廣東省揭陽市實驗中學2025屆數學九上期末統考試題含解析

廣東省揭陽市實驗中學2025屆數學九上期末統考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，，、，…是分別以、、，…為直角頂點，一條直角邊在軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點，，，…均在反比例函數（）的圖象上.則的值為（）A． B．6 C． D．2．下列方程中不是一元二次方程的是（）A． B． C． D．3．一元二次方程的根的情況為（）A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根C．只有一個實數根 D．沒有實數根4．若函數與的圖象如圖所示，則函數的大致圖象為（）A． B． C． D．5．如圖1所示的是山西大同北都橋的照片，橋上面的部分是以拋物線為模型設計而成的，從正面觀察該橋的上面部分是一條拋物線，如圖2，若，以所在直線為軸，拋物線的頂點在軸上建立平面直角坐標系，則此橋上半部分所在拋物線的解析式為（）A． B．C． D．6．如圖，與是位似圖形，相似比為，已知，則的長（）A． B． C． D．7．如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結論不正確的是（）A．當時，它是矩形 B．當時，它是菱形C．當時，它是菱形 D．當時，它是正方形8．下列函數中，變量是的反比例函數是（）A． B． C． D．9．將二次函數y＝2x2+2的圖象先向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度后所得新函數圖象的表達式為（）A．y＝2（x﹣1）2+3 B．y＝﹣2（x+3）2+1C．y＝2（x﹣3）2﹣1 D．y＝2（x+3）2+110．一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k+2＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣2 B．k＜﹣2 C．k＜2 D．k＞2二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，△ABC中，∠C=90°，，D為AC上一點，∠BDC=45°,CD=6,則AB=_______．12．若，則=___________.13．如圖，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，點C為弧AB的中點，D為半徑OA上一點，點A關于直線CD的對稱點為E，若點E落在半徑OA上，則OE＝______．14．如圖,是的直徑,弦交于點,，，，則的長為_____．15．如圖，，如果，那么_________________．16．已知x=－1是一元二次方程x2＋mx＋1=0的一個根，那么m的值是_________．17．如圖，直線AB與⊙O相切于點C，點D是⊙O上的一點，且∠EDC=30°，則∠ECA的度數為_________．18．點P（3，﹣4）關于原點對稱的點的坐標是_____．三、解答題(共66分)19．（10分）在學習“軸對稱現象”內容時，老師讓同學們尋找身邊的軸對稱圖形，小明利用手中的一副三角尺和一個量角器（如圖所示）進行探究．（1）小明在這三件文具中任取一件，結果是軸對稱圖形的概率是_________；（取三件中任意一件的可能性相同）（2）小明發(fā)現在、兩把三角尺中各選一個角拼在一起（無重疊無縫隙）會得到一個更大的角，若每個角選取的可能性相同，請用畫樹狀圖或列表的方法說明拼成的角是鈍角的概率是多少．20．（6分）若一條圓弧所在圓半徑為9，弧長為，求這條弧所對的圓心角．21．（6分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作⊙O的切線DF，交AC于點F．（1）求證：DF⊥AC；（2）若⊙O的半徑為4，∠CDF=1．5°，求陰影部分的面積．22．（8分）某單位800名職工積極參加向貧困地區(qū)學校捐書活動，為了解職工的捐書數量，采用隨機抽樣的方法抽取30名職工的捐書數量作為樣本，對他們的捐書數量進行統計，統計結果共有4本、5本、6本、7本、8本五類，分別用A、B、C、D、E表示，根據統計數據繪制成了如圖所示的不完整的條形統計圖，由圖中給出的信息解答下列問題：（1）補全條形統計圖；（2）求這30名職工捐書本數的平均數，寫出眾數和中位數；（3）估計該單位800名職工共捐書多少本？23．（8分）超市銷售某種兒童玩具，如果每件利潤為40元（市場管理部門規(guī)定，該種玩具每件利潤不能超過60元），每天可售出50件．根據市場調查發(fā)現，銷售單價每增加2元，每天銷售量會減少1件．設銷售單價增加元，每天售出件．（1）請寫出與之間的函數表達式；（2）當為多少時，超市每天銷售這種玩具可獲利潤2250元？（3）設超市每天銷售這種玩具可獲利元，當為多少時最大，最大值是多少？24．（8分）如圖，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，）、D（0，），射線l過點D且與x軸平行，點P、Q分別是l和x軸正半軸上動點，滿足∠PQO=60°．（1）①點B的坐標是；②當點Q與點A重合時，點P的坐標為；（2）設點P的橫坐標為x，△OPQ與矩形OABC的重疊部分的面積為S，試求S與x的函數關系式及相應的自變量x的取值范圍．25．（10分）如圖，在矩形ABCD中，點E是AD上的一個動點，連接BE，作點A關于BE的對稱點F，且點F落在矩形ABCD的內部，連接AF，BF，EF，過點F作GF⊥AF交AD于點G，設．（1）求證：AE=GE；（2）當點F落在AC上時，用含n的代數式表示的值；（3）若AD=4AB，且以點F，C，G為頂點的三角形是直角三角形，求n的值．26．（10分）如圖，二次函數的圖象經過點與．求a，b的值；點C是該二次函數圖象上A，B兩點之間的一動點，橫坐標為，寫出四邊形OACB的面積S關于點C的橫坐標x的函數表達式，并求S的最大值．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【分析】過點分別作x軸的垂線，垂足分別為，得出△為等腰直角三角形，進而求出，再逐一求出，…的值，即可得出答案.【詳解】如圖，過點分別作x軸的垂線，垂足分別為∵△為等腰直角三角形，斜邊的中點在反比例函數的圖像上∴(2,2)，即∴設，則此時(4+a,a)將(4+a,a)代入得a(4+a)=4解得或(負值舍去)即同理，，…，∴故答案選擇A.【點睛】本題考查的是反比例函數的圖像與性質以及反比例函數上點的特征，難度系數較大，解題關鍵是根據點在函數圖像上求出y的值.2、C【分析】根據一元二次方程的定義進行排除選擇即可，一元二次方程的關鍵是方程中只包含一個未知數，且未知數的指數為2.【詳解】根據一元二次方程的定義可知含有一個未知數且未知數的指數是2的方程為一元二次方程，所以A，B，D均符合一元二次方程的定義，C選項展開移項整理后不含有未知數，不符合一元二次方程的定義，所以錯誤，故選C.【點睛】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知此定義是解題的關鍵.3、D【分析】先根據計算判別式的值，然后根據判別式的意義判斷方程根的情況．【詳解】因為△=，所以方程無實數根．故選：D．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△=0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，方程無實數根．4、A【分析】首先根據二次函數及反比例函數的圖象確定k、b的符號，然后根據一次函數的性質確定答案即可.【詳解】∵二次函數的圖象開口向上，對稱軸＞0∴a>0，b<0,

又∵反比例函數的圖形位于二、四象限，∴-k＜0，∴k＞0

∴函數y=kx-b的大致圖象經過一、二、三象限．故選:

A【點睛】本題考查的是利用反比例函數和二次函數的圖象確定一次函數的系數，然后根據一次函數的性質確定其大致圖象，確定一次函數的系數是解決本題的關鍵．5、A【分析】首先設拋物線的解析式y=ax2+bx+c，由題意可以知道A（-30,0）B（30,0）C（0,15）代入即可得到解析式.【詳解】解：設此橋上半部分所在拋物線的解析式為y=ax2+bx+c∵AB=60OC=15∴A（-30,0）B（30,0）C（0,15）將A、B、C代入y=ax2+bx+c中得到y=-x2+15故選A【點睛】此題主要考查了二次函數的實際應用問題，主要培養(yǎng)學生用數學知識解決實際問題的能力.6、B【分析】根據位似變換的定義、相似三角形的性質列式計算即可．【詳解】∵△ABC與△DEF是位似圖形，相似比為2：3，

∴△ABC∽△DEF，

∴，即，

解得，DE=故選：B．【點睛】本題考查的是位似變換，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比是解題的關鍵．7、D【解析】根據已知及各個四邊形的判定對各個選項進行分析從而得到最后答案．【詳解】A.正確，對角線相等的平行四邊形是矩形；B.正確，對角線垂直的平行四邊形是菱形；C.正確，有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形；D.不正確，有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。故選D【點睛】此題考查平行四邊形的性質，矩形的判定，正方形的判定，解題關鍵在于掌握判定法則8、B【解析】根據反比例函數的一般形式即可判斷．【詳解】A.不符合反比例函數的一般形式的形式，選項錯誤；B.符合反比例函數的一般形式的形式，選項正確；C.不符合反比例函數的一般形式的形式，選項錯誤；D.不符合反比例函數的一般形式的形式，選項錯誤．故選B．【點睛】本題考查了反比例函數的定義，熟練掌握反比例函數的一般形式是解題的關鍵．9、D【分析】根據二次函數圖像的平移法則進行推導即可.【詳解】解：將二次函數y＝2x2+2的圖象先向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度后所得新函數圖象的表達式為y＝2（x+3）2+2﹣1，即y＝2（x+3）2+1．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數圖像的平移，掌握并靈活運用“上加下減，左加右減”的平移原則是解題的關鍵.10、D【分析】根據一元二次方程有兩個不相等的實數根，得△即可求解.【詳解】∵一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k+2=0有兩個不相等的實數根，∴△解得k＞2.故選D.【點睛】本題考查一元二次方程△與參數的關系，列不等式是解題關鍵.二、填空題(每小題3分,共24分)11、1【分析】根據題意由已知得△BDC為等腰直角三角形，所以CD=BC=6，又因為已知∠A的正弦值，即可求出AB的長．【詳解】解：∵∠C=90°，∠BDC=45°，∴BC=CD=6，又∵sinA=＝，∴AB=6÷=1．故答案為：1．【點睛】本題考查解直角三角形問題，直角三角形知識的牢固掌握和三角函數的靈活運用．12、【分析】根據題干信息，利用已知得出a=b，進而代入代數式求出答案即可．【詳解】解：∵，∴a=b，∴=．故答案為：．【點睛】本題主要考查比例的性質，正確得出a=b，并利用代入代數式求值是解題關鍵．13、1﹣1【分析】連接OC，作EF⊥OC于F，根據圓心角、弧、弦的關系定理得到∠AOC=30°，根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理得到∠ECF=15°，根據正切的定義列式計算，得到答案．【詳解】連接OC，作EF⊥OC于F，∵點A關于直線CD的對稱點為E，點E落在半徑OA上，∴CE=CA，∵=，∴∠AOC=∠AOB=30°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=75°，∵CE=CA，∴∠CAE=∠CEA=75°，∴∠ACE=30°，∴∠ECF=∠OCA-∠ACE=75°-30°=15°，設EF=x，則FC=x，在Rt△EOF中，tan∠EOF=，∴OF==，由題意得，OF+FC=OC，即x+x=1，解得，x=2﹣2，∵∠EOF=30°，∴OE=2EF=1﹣1，故答案為：1﹣1．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關系、解直角三角形的應用、三角形內角和定理，掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．14、【分析】作于,連結,由，得，由,，得，進而得，根據勾股定理得，即可得到答案.【詳解】作于,連結,如圖,∵,∴,∵,，∴,∴,∴,∵在中,,∴,∴,∵在中,,，∴,∴．故答案為：【點睛】本題主要考查垂徑定理和勾股定理的綜合，添加輔助線，構造直角三角形和弦心距，是解題的關鍵.15、【分析】根據平行線分線段成比例定理解答即可.【詳解】解：∵，∴，即，解得：.故答案為：.【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，屬于基本題型，熟練掌握該定理是解題關鍵.16、1【解析】試題分析：將x=－1代入方程可得：1－m+1=0，解得：m=1．考點：一元二次方程17、30°【分析】連接OE、OC，根據圓周角定理求出∠EOC=60°，從而證得為等邊三角形，再根據切線及等邊三角形的性質即可求出答案．【詳解】解：如圖所示，連接OE、OC，∵∠EDC=30°，∴∠EOC=2∠EDC=60°，又∵OE=OC，∴為等邊三角形，∴∠ECO=60°，∵直線AB與圓O相切于點C，∴∠ACO=90°，∴∠ECA=∠ACO－∠ECO=90°－60°=30°．故答案為：30°．【點睛】本題考查了圓的基本性質、圓周角定理及切線的性質，等邊三角形的判定與性質，熟練掌握各性質判定定理是解題的關鍵．18、（﹣3，4）．【分析】根據關于關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數．填空即可．【詳解】解：點P（3，﹣4）關于原點對稱的點的坐標是（﹣3，4），故答案為（﹣3，4）．【點睛】解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數；（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數；（3）關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數．三、解答題(共66分)19、（1）（2）【分析】（1）找到沿某條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合的圖形是軸對稱圖形，判斷出三個圖形中軸對稱圖形的個數，從而可求得答案；（2）畫好樹狀圖，根據概率公式計算即可解答．【詳解】解：（1）因為：等腰直角三角形，量角器是軸對稱圖形，所以小明在這三件文具中任取一件，結果是軸對稱圖形的概率是故答案為：（2）設90°的角即為，60°的角記為，45°的角記為，30°的角記為畫樹狀圖如圖所示，一共有18種結果，每種結果出現的可能性是相同的，而其中可以拼成的這個角是鈍角的結果有12種，∴這個角是鈍角的概率是【點睛】此題為軸對稱圖形與概率的綜合應用，考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．20、【分析】根據弧長公式計算即可.【詳解】∵，，∴，∴【點睛】此題考查弧長公式，熟記公式并掌握各字母的意義即可正確解答.21、（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）連接，易得，由，易得，等量代換得，利用平行線的判定得，由切線的性質得，得出結論；（2）連接，利用（1）的結論得，易得，得出，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式得出結論．【詳解】（1）證明：連接，，，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC．∵DF是⊙O的切線，∴DF⊥OD．∴DF⊥AC．（2）連結OE，∵DF⊥AC，∠CDF=1．5°．∴∠ABC=∠ACB=2．5°，∴∠BAC=45°．∵OA=OE，∴∠AOE=90°．的半徑為4，，，．【點睛】本題主要考查了切線的性質，扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當的輔助線，利用切線性質和圓周角定理，數形結合是解答此題的關鍵．22、（1）補全圖形見解析；（2）平均數是6本，眾數是6本，中位數是6本．（3）該單位800名職工共捐書有4800本．【分析】（1）根據總數和統計數據求解即可；（2）根據平均數，眾數和中位數定義公式求解即可；（3）根據已知平均數乘以員工總數求解即可.【詳解】解：（1）D組人數＝30﹣4﹣6﹣9﹣3＝8人，補圖如下：．（2）平均數是：＝6（本），眾數是6本，中位數是6本．（3）∵平均數是6本，∴該單位800名職工共捐書有6×800＝4800本．【點睛】本題主要考查了數據統計中的平均數，眾數和中位數的問題，熟練掌握其定義與計算公式是解答關鍵.23、（1）（2）當為10時，超市每天銷售這種玩具可獲利潤2250元（3）當為20時最大，最大值是2400元【分析】（1）根據題意列函數關系式即可；（2）根據題意列方程即可得到結論；（3）根據題意得到，根據二次函數的性質得到當時，隨的增大而增大，于是得到結論．【詳解】（1）根據題意得，；（2）根據題意得，，解得：，，∵每件利潤不能超過60元，∴，答：當為10時，超市每天銷售這種玩具可獲利潤2250元；（3）根據題意得，，∵，∴當時，隨的增大而增大，∴當時，，答：當為20時最大，最大值是2400元．【點睛】本題考查了一次函數、二次函數的應用，弄清題目中包含的數量關系是解題關鍵．24、（1）①（6，），②（3，）；（2）【分析】（1）①由四邊形OABC是矩形，根據矩形的性質，即可求得點B的坐標；②由正切函數，即可求得∠CAO的度數，③由三角函數的性質，即可求得點P的坐標；（2）分別從當0≤x≤3時，當3＜x≤5時，當5＜x≤9時，當x＞9時去分析求解即可求得答案．【詳解】解：（1）①∵四邊形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，∵A（6，0）、C（0，2），∴點B的坐標為：（6，2）；②如圖1：當點Q與點A重合時，過點P作PE⊥OA于E，∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3，∴AE=，∴OE=OA-AE=6-3=3，∴點P的坐標為（3，3）；故答案為：①（6，2），②（3，3）；（2）①當0≤x≤3時，如圖，OI=x，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由題意可知直線l∥BC∥OA，∴，∴EF=此時重疊部分是梯形，其面積為：S梯形=（EF+OQ）?OC=（3+x）∴．當3＜x≤5時，如圖AQ=OIIOOA=x36=x3AH=(x3)S=S梯形﹣S△HAQ=S梯形﹣AH?AQ=（3+x）﹣∴．③當5＜x≤9時，如圖∵CE∥DP∴∴∴S=（BE+OA）?OC=（12﹣）∴．④當x＞9時，如圖∵AH∥PI∴∴∴S=OA?AH=．綜上：．【點睛】此題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質以及直角三角形的性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意數形結合思想與分類討論思想的應用．25、（1）證明見解析；（2）；（3）n=2或．【分析】（1）因為GF⊥AF，由對稱易得AE=EF，則由直角三角形的兩個銳角的和為90度，且等邊對等角，即可證明E是AG的中點；（2）可設AE=a，則AD=na，即需要用n或a表示出AB，由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°，可證明△ABE~△DAC，則，因為AB=DC，且DA，AE已知表示出來了，所以可求出AB，即可解答；（3）求以點F，C，G為頂點的三角形是直角三角形時的n，需要分類討論，一般分三個，∠FCG=90°，∠CFG=90°，∠CGF=90°；根據點F在矩形ABC