人教版八年級數學下冊基礎知識專題17.3 勾股定理（分層練習）（提升練）

專題17.3勾股定理（分層練習）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┑妊苯侨切涡边呴L為，則面積為（

）A． B． C． D．2．（2024上·山西晉中·八年級統(tǒng)考期末）公園有一塊長方形草坪，芳芳同學發(fā)現有極少數人為了走捷徑，踐踏草坪走出了一條路，為了倡導人們愛護花草，建議公園管理人員在處立一個標牌：“小草青青，腳下留情”．經過測量得知：兩處的距離為兩處的距離為則踐踏草坪少走的距離是（

）A． B． C． D．3．（2023下·重慶銅梁·八年級重慶市巴川中學校?？计谀┤鐖D，露在水面上的魚線長為．釣魚者想看看魚鉤上的情況把魚竿提起到的位置，此時露在水面上的魚線長為4m，若的長為，試問的魚竿有多長？設長，則下所列方程正確的是（）.A． B．C． D．4．（2022下·北京海淀·八年級統(tǒng)考期末）如圖，有一架秋千，當它靜止時，踏板離地0.5米，將它往前推3米時，踏板離地1.5米，此時秋千的繩索是拉直的，則秋千的長度是（

）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米5．（2023上·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，則的面積為（

）

A．4 B．8 C．16 D．326．（2023上·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）如圖所示，在中，平分，平分，且，交于點，若，則等于（）A． B． C． D．7．（2024上·甘肅蘭州·九年級蘭州十一中?？计谀┤鐖D，在等邊中，是邊上的中線，延長至點，使，若，則（）A． B．6 C．8 D．8．（2024上·河北石家莊·九年級校聯考期末）因班級文化建設需要，小方需要在一張的矩形卡紙中裁剪出若干張半徑為，圓心角是的扇形紙片，若采取如圖所示進行裁剪，則最多可以裁剪出扇形紙片（

）

A．20張 B．21張 C．40張 D．41張9．（2023上·貴州畢節(jié)·七年級?？计谥校┤鐖D，由四個全等的直角三角形拼成的圖形，設，則斜邊的長是（）A． B． C． D．10．（2024上·河南南陽·八年級南陽市第三中學校聯考階段練習）如圖，在中，，，，Q是上一動點，過點作于，于，，則的長是（

）A． B． C．4 D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，x=．12．（2024上·四川成都·九年級四川省成都市玉林中學?？计谀┤鐖D，在射線上取，在射線上取，連接，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點，以為圓心，為半徑畫弧，交于點，則．13．（2023上·河南鄭州·八年級?？计谀﹫D中的兩個滑塊A，B由一個連桿連接，分別可以在垂直和水平的滑道上滑動．開始時，滑塊A距O點20厘米，滑塊B距O點15厘米．問：當滑塊A向下滑13厘米時，滑塊B滑動了厘米．

14．（2023上·江蘇南京·八年級校聯考期末）如圖，，，以A點為圓心，長為半徑作圓弧與數軸交于點P．若點A表示的數為0，點B表示的數為1，則點P表示的數為．15．（2023·安徽·模擬預測）如圖，四邊形的對角線相交于點，過點作于點，與交于點．請完成下列問題：

（1）；（2）若，則的長為．16．（2024上·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長為，在杯內離杯底的點處有滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點處．則螞蟻到達蜂蜜點的最短距離為．17．（2024上·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，給出如下定義：對于以為底邊的等腰及外一點C，若，直線中，其中一條經過點O，另一條與的腰垂直，則稱點C是的“關聯點”．如圖，已知點，，，則點就是的“關聯點”．若點是的“關聯點”，則線段的長是．

18．（2024上·浙江衢州·八年級統(tǒng)考期末）在直角三角形紙片中，，折疊紙片使得點落在邊上點處，折痕是（如圖1），將紙片復原，再次折疊紙片，使得點落在邊上的點處，折痕是（如圖2），繼續(xù)折疊紙片，使得點與點重合，折痕是，得到多邊形（如圖3），將若干個全等的多邊形交叉重疊便可得到棒棒糖的糖果部分（如圖4）．

（1）圖1中的長為．（2）圖3中的長為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2024上·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點C和點D關于直線對稱．（1）求作點D；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫過程）（2）連接，過點C作交的延長線于點E，求的長度．20．（8分）（2023上·遼寧朝陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，長方形的頂點A、C的坐標分別是和，E為C點左側x軸上一動點，連接，將沿所在直線翻折得到，當點恰好落在y軸上時，求的長（提示：點E可能在x軸正半軸上，也可能在x軸負半軸上）21．（10分）（2024上·福建福州·八年級福建師大附中?？计谀┤鐖D，中，，點在的邊上，，以為直角邊在同側作等腰，使，過作于點，連接．（1）求證：；（2）當時，則為多少；（3）若，求的值．22．（10分）（2023上·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期中）如圖，有一架救火飛機沿東西方向，由點飛向點，在直線的正下方有一個著火點，且點與兩點的距離分別為和，又兩點距離為，飛機與著火點距離在以內可以受到灑水影響．

（1）請通過計算說明，著火點是否受灑水影響；（2）若救火飛機的速度為，要想撲滅著火點估計需要13秒，請你通過計算說明在救火飛機從點飛到點的過程中，著火點能否被撲滅．23．（10分）（2024上·江蘇南京·八年級校聯考期末）在中，，（1）如圖①，為邊上一點，連接，以為邊作，，，連接．求證：，（2）如圖②，為外一點．若，，．則的長為______．24．（12分）（2024上·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期末）【問題提出】（1）如圖1，為的邊上的高，若，，則的長為________；【問題探究】（2）如圖2，在中，，平分交于點D，若，，求的長；【問題解決】（3）如圖3，直線l是一條小路，是李叔叔家的一塊花園的平面示意圖，其中邊在小路l上，邊上的點D處有一口灌溉水井，經測量，，米，米．李叔叔計劃對該花園進行擴建，在點C右側的小路l上取點E，并在、、內分別種植不同的花卉，根據李叔叔的規(guī)劃要求，，請你計算區(qū)域的面積．參考答案：1．A【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質及勾股定理，根據等腰直角三角形的性質及勾股定理得該等腰直角三角形的直角邊為，再利用三角形的面積公式即可求解，熟練掌握基礎知識是解題的關鍵．解：依題意得：該等腰直角三角形的直角邊為：，面積為：，故選A．2．D【分析】本題考查了勾股定理．熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．由勾股定理得，，根據，計算求解即可．解：由題意知，，由勾股定理得，，∵，∴則踐踏草坪少走的距離為，故選：D．3．A【分析】如圖：設長，則，分別在和可得、，再根據可得，然后代入相關數據即可解答．解：設長，則，在中，，在中，，∵，∴，即．故選A．【點撥】本題主要考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理的基本形式以及的隱含條件是解答本題的關鍵.4．C【分析】設米，用表示出的長，在直角三角形中，利用勾股定理列出關于的方程，求出方程的解即可得到結果．解：設米，米，米，（米，米，在中，米，米，米，根據勾股定理得：，解得：，則秋千的長度是5米．故選：C．【點撥】此題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．5．C【分析】本題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質與判定，過點C作于D，交于E，先證明，設，則，再證明，得到，則，利用勾股定理得到，解得，則．解：如圖所示，過點C作于D，交于E，∴，∵，∴，∴，∴，設，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．

6．C【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．根據角平分線的定義和平行線的性質可得和是等腰三角形，可得，從而可得，然后再利用角平分線的定義以及平角定義可得，從而在中，利用勾股定理進行計算，即可解答．解：平分平分，在中，故選：C．7．C【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理等．先由等邊三角形的性質，得，，，再根據，得，進而得，則，然后在中，由勾股定理求出即可．解：為等邊三角形，，，是邊上的中線，，，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，．故選：C．8．C【分析】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質，二次根式除法，在中，，則，再由即可得到答案．解：如圖所示，在中，，∴，∵，∴最多可以裁剪出扇形紙張，故選：C．

9．B【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質，用含a，b的式子表示各個線段是解題的關鍵．解：設，則，求得，求得，得到，根據勾股定理即可得到結論．解：設，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：B．10．C【分析】本題考查了勾股定理及等面積法，連接，設，通過勾股定理得出ｋ的值，再求出，再利用等面積法求解即可，熟練掌握知識點是解題的關鍵．解：連接，∵，∴設，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得（負舍），∴，∴，∵，∴，∴，故選：C．11．15【分析】本題考查了直角三角形三邊之間的關系，根據勾股定理可求得的值，正確計算是解答本題的關鍵．解：∵三角形是直角三角形，∴，解得：，故答案為：．12．【分析】本題考查作圖-基本作圖、勾股定理，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．由題意得，，，由勾股定理得，則，，即可得出答案．解：由題意得，，，，，，．故答案為：．13．9【分析】根據勾股定理求出的長，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，繼而求出滑塊B滑動的距離．解：依題意得：，設滑動后點A、B的對應位置是，由勾股定理得，（厘米），當滑塊A向下滑13厘米時，（厘米），∴（厘米），∴滑塊B滑動的距離為：（厘米），故答案為：9．【點撥】本題考查的是勾股定理的應用，善于觀察題目的信息，靈活運用勾股定理是解題的關鍵．14．【分析】利用勾股定理求出，則可得，再利用實數與數軸關系即可得出答案．解：點A表示的數為0，點B表示的數為1，∴，∵，∴由勾股定理，得，，∴，∵點P在數軸的負半軸上，∴點P表示的數為．故答案為：．【點撥】本題考查勾股定理，實數與數軸，熟練掌握勾股定理和用數軸上的點表示實數是解題的關鍵．15．45【分析】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理，線段垂直平分線的性質等知識．（1）設，由等腰三角形的性質可得，，再根據三角形外角的性質求解即可；（2）連接，則易得，；由勾股定理求出，再由等腰三角形性質及勾股定理求得，即可得結果．（1）解：設，，，．，，∴，．（2）解：如圖，連接．

∵，∴；∵，∴，∴；，；，，由勾股定理得：，．16．10【分析】本題考查了平面展開-最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵，將杯子側面展開，建立A關于的對稱點，根據兩點之間線段最短可知的長度即為所求．解：如圖，將杯子側面展開，作關于的對稱點，連接，則即為最短距離，圓柱形玻璃杯底面周長為，杯底的點處，沿與蜂蜜相對的點處，，，，，故答案為：10．17．/【分析】此題考查了勾股定理，過點Q作軸于點A，利用勾股定理求出，利用面積法求出的長，勾股定理求出，得到，再根據勾股定理求出線段的長．解：如圖，過點Q作軸于點A，

∵是的“關聯點”，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為．18．3【分析】本題考查了勾股定理與折疊問題，等腰三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定；（1）在直角三角形紙片中，，勾股定理求得，如圖1中，設，則，，在中，勾股定理即可求解；（2）設交于點，根據折疊可得，證明，在中，勾股定理求得，進而證明，即可求解．解：（1）在直角三角形紙片中，，∴，如圖1中，設，則，，根據折疊可得，，在中，，即，解得：，∴，故答案為：．（2）∵折疊，∴，，∴；在圖2中，設交于點，根據折疊可得，

∴，又∵，∴，∴，∴；∴設，則，在中，，∴，解得：，∴；在圖3中，∵，∴，∴；在中，，∴，∴，∴，∴；∵，∴；故答案為：．19．（1）見分析；（2）6【分析】本題考查了作圖，平行線的性質和判定，軸對稱的性質，勾股定理，熟練掌握基本作圖以及平行線的性質是解題的關鍵（1）在的上方作，在射線上截取，使，點D即為所求；（2）過A作于H，設交直線于G，分別求出，可得結論解：（1）如圖所示（2）過A作于H，設交直線于G，，，，，由，，解得，，點C和點D關于直線對稱，，，，，，是線段的垂直平分線，在中，，，，，20．或【分析】本題考查坐標與軸對稱，勾股定理．分點在軸正半軸上和點在軸負半軸上，兩種情況，進行求解即可．解題的關鍵是畫出圖形，利用數形結合和分類討論的思想進行求解．解：當點在軸正半軸上時，如圖：設交軸于點，則：四邊形均為長方形，∵長方形的頂點A、C的坐標分別是和，∴，，，∵翻折，∴，，在中，，∴，設，則，在中，，即：，∴，即：；當點在軸負半軸上時：如圖同法可得，∴，設，則，在中，，即：，∴，即：，綜上：或．21．（1）見分析；（2）2；（3）【分析】（1）首先證得，利用全等三角形的判定定理即可得解；（2）利用全等三角形的性質可得，可得，由勾股定理可得，進一步計算可得結果；（3）由（1）得，可得，利用勾股定理得到，可得，進一步計算可得結果；解：（1）證明：∵，∴，∵，，∴，又∵是等腰直角三角形，∴，在和中，∴；（2）解：由（1）得，∴，∴，由勾股定理得，，∵，∴，解得；（3）解：由（1）得，，，整理得，即，∴，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，，∴，∴，∴，，解得，即．【點撥】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理和全等三角形的性質與判定，結合勾股定理計算是解題的的關鍵．22．（1）著火點灑水影響，見分析；（2）著火點能被撲滅，見分析【分析】本題考查了勾股定理與勾股定理的逆定理的應用，等腰三角形的性質，（1）過點作，垂足為，勾股定理的逆定理證明是直角三角形，進而等面積法求得長度，與500進行比較即可求得答案；（2）以點為圓心，為半徑作圓，交于點，勾股定理求得，進而求得的長，根據飛機的速度得到飛行時間，再根據題意求得滅火時間，即可解決問題