適用于新高考新教材廣西專版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)單元質(zhì)檢卷六立體幾何與空間向量

單元質(zhì)檢卷六立體幾何與空間向量(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列說(shuō)法正確的是()A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.假如一條直線平行于一個(gè)平面,則這條直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線C.假如一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,則該直線與此平面垂直D.平行于同一平面的兩條直線相互平行2.假如直線a∥平面α,P∈α,那么過(guò)點(diǎn)P且平行于直線a的直線()A.只有一條,不在平面α內(nèi)B.有多數(shù)條,不愿定在平面α內(nèi)C.只有一條,且在平面α內(nèi)D.有多數(shù)條,確定在平面α內(nèi)3.某種藥物呈膠囊形態(tài),該膠囊中間部分為圓柱,左右兩端均為半徑為1的半球.已知該膠囊的體積為133π,則它的表面積為(A.356π B.103C.10π D.1634.一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2,高為3,則該正四棱錐的表面積為()A.8 B.12 C.16 D.205.(2024甘肅一模)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,BC=AC=22,AA1=1,點(diǎn)M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),則異面直線BM與CN所成角的余弦值為()A.155 B.105 C.536.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,過(guò)A1B1的截面與AC交于點(diǎn)D,與BC交于點(diǎn)E,該截面將三棱柱分成體積相等的兩部分,則CDAC=(A.13 B.C.2-327.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等,側(cè)面綻開圖的圓心角之和為2π,側(cè)面積分別為S甲和S乙,體積分別為V甲和V乙.若S甲S乙=2,則V甲A.5 B.22C.10 D.58.在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,BC⊥PC,PA=AC=2,BC=a,動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)動(dòng)身,沿外表面經(jīng)過(guò)棱PC上一點(diǎn)到點(diǎn)A的最短距離為10,則該棱錐的外接球的表面積為()A.5π B.8π C.10π D.20π二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于空間兩條不同直線a,b和兩個(gè)不同平面α,β,下列說(shuō)法正確的是()A.若a⊥α,b⊥α,則a∥bB.若a⊥b,b⊥β,則a∥βC.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,則a⊥bD.若a∥α,α⊥β,則a⊥β10.《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”;底面為矩形,一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽(yáng)馬”;四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”.如圖,在塹堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,且AA1=AB=2.下列說(shuō)法正確的是()A.四棱錐B-A1ACC1為“陽(yáng)馬”B.四面體A1-C1CB為“鱉臑”C.過(guò)A點(diǎn)分別作AE⊥A1B于點(diǎn)E,AF⊥A1C于點(diǎn)F,則EF⊥A1BD.四棱錐B-A1ACC1體積最大為211.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E為棱CC1的中點(diǎn),F為棱AA1上的點(diǎn),且滿意A1F∶FA=1∶2,點(diǎn)F,B,E,G,H為過(guò)三點(diǎn)B,E,F的平面BMN與正方體ABCD-A1B1C1D1的棱的交點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是()A.HF∥BEB.三棱錐B1-BMN的體積為6C.直線MN與平面A1B1BA的夾角是45°D.D1G∶GC1=1∶312.在正方體AC1中,E是棱CC1的中點(diǎn),F是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且A1F與平面D1AE的垂線垂直,如圖所示,下列說(shuō)法正確的是()A.點(diǎn)F的軌跡是一條線段B.A1F與BE是異面直線C.A1F與D1E不行能平行D.三棱錐F-ABD1的體積為定值三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知圓錐同時(shí)滿意條件:①側(cè)面綻開圖為半圓;②底面半徑為正整數(shù),請(qǐng)寫出一個(gè)這樣的圓錐的體積V=.

14.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面A1CC1與平面BDC1的交線是.

15.已知正三棱錐P-ABC的底面邊長(zhǎng)為6,其內(nèi)切球的半徑為1,則此三棱錐的高為.

16.(2024山東濰坊一模)在半徑為1的球中作一個(gè)圓柱,當(dāng)圓柱的體積最大時(shí),圓柱的母線長(zhǎng)為.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(10分)如圖,在邊長(zhǎng)是2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,A1C的中點(diǎn).(1)求異面直線EF與CD1所成角的大小;(2)求證:EF⊥平面A1CD.18.(12分)(2024安徽合肥一模)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4,AB=AC=AA1=2,M為AB的中點(diǎn),N為B1C1的中點(diǎn),P是BC1與B1C的交點(diǎn).(1)求證:A1C⊥BC1.(2)在線段A1N上是否存在點(diǎn)Q,使得PQ∥平面A1CM?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)Q的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.19.(12分)小明同學(xué)參與綜合實(shí)踐活動(dòng),設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示,底面ABCD是邊長(zhǎng)為8(單位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.(1)求證:EF∥平面ABCD;(2)求該包裝盒的容積(不計(jì)包裝盒材料的厚度).20.(12分)(2024新高考Ⅰ,18)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.點(diǎn)A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)求證:B2C2∥A2D2;(2)點(diǎn)P在棱BB1上,當(dāng)二面角P-A2C2-D2為150°時(shí),求B2P.21.(12分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)求證:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點(diǎn),求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.22.(12分)如圖,四邊形PDCE為矩形,四邊形ABCD為梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=12CD=1,PD=2(1)若M為PA中點(diǎn),求證:AC∥平面MDE;(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值;(3)在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q(除去端點(diǎn)),使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為π3?若存在,請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)Q的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由

單元質(zhì)檢卷六立體幾何與空間向量1.C解析當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),不能確定一個(gè)平面,故A錯(cuò)誤;假如一條直線平行于一個(gè)平面,則這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線可能平行也可以異面,故B錯(cuò)誤;由線面垂直的判定定理知C正確;平行于同一平面的兩條直線可能平行,可能相交也可以異面,故D錯(cuò)誤.故選C.2.C解析過(guò)a與P作一平面β,由于P∈α,故可設(shè)平面α與平面β的交線為b,且P∈b,由平面的基本性質(zhì)可知兩平面的交線b是唯一的,因?yàn)橹本€a∥平面α,所以a∥b,即過(guò)點(diǎn)P和已知直線a平行的直線有且只有一條,且在平面α內(nèi).3.C解析設(shè)中間圓柱部分的高為h,則膠囊的體積V=43π×13+π×12×h=13π3,解得h=3,所以膠囊的表面積為4π×12+2π×1×3=4.B解析如圖所示,在正四棱錐P-ABCD中,底面ABCD的邊長(zhǎng)為2,設(shè)點(diǎn)P在底面ABCD的投影點(diǎn)為點(diǎn)O,則四棱錐P-ABCD的高PO=3,則O為AC的中點(diǎn),且AO=12AC=22AB=2,PB=PA=取AB的中點(diǎn)E,連接PE,則PE⊥AB,且PE=PA2則S△PAB=12AB·PE=2,故正四棱錐P-ABCD的表面積S=4S△PAB+S四邊形ABCD=4×2+2×2=12.故選B5.A解析如圖,分別取AB,AC的中點(diǎn)G,F,連接AG,AF,由題意易知,四邊形A1MBG為平行四邊形,所以A1G∥BM,同理,A1F∥NC,所以異面直線BM與CN所成角為∠GA1F或其補(bǔ)角,又GF=12BC=2,A1F=A1A2+AF2=3,A1G=A1A2+AG2=在Rt△A1GF中,cos∠GA1F=A1因此,直線BM與CN所成角的余弦值為155故選A.6.D解析由題可知平面A1B1ED與棱柱上、下底面分別交于A1B1,ED,則A1B1∥ED,ED∥AB,明顯CDE-C1A1B1是三棱臺(tái),設(shè)△ABC的面積為1,△CDE的面積為S,三棱柱的高為h,則12·1·h=13h(1+S+S),解得由△CDE∽△CAB,可得CDAC7.C解析如圖,甲、乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面綻開圖剛好拼成一個(gè)圓,設(shè)圓的半徑(即圓錐的母線長(zhǎng))為3,則圓的周長(zhǎng)為6π.設(shè)甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為r1,r2,高分別為h1,h2,則2πr1=4π,2πr2=2π,則r1=2,r2=1,由勾股定理得,h1=5,h2=22,所以V甲V8.B解析將側(cè)面PBC沿PC翻折到與側(cè)面PAC共面,如圖所示.則動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)動(dòng)身,沿外表面經(jīng)過(guò)棱PC上一點(diǎn)到點(diǎn)A的最短距離為AB.∵PA⊥底面ABC,AC?平面ABC,∴PA⊥AC.又BC⊥PC,PA=AC,∴∠ACB=π2∴AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=2+a2+22a×22=10,解得a=2∴PB=PC2+B取PB中點(diǎn)O,連接AO,CO,∵PA⊥AB,PC⊥BC,∴AO=CO=12PB∴O為該棱錐的外接球的球心,其半徑R=12PB=2∴球O的表面積S=4πR2=8π.故選B.9.AC解析對(duì)于A,若a⊥α,b⊥α,則直線a和b相當(dāng)于平面α的法向量,故a∥b,故A正確;對(duì)于B,若a⊥b,b⊥β,則a∥β或a?β,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,若a⊥α,b⊥β,α⊥β,則a⊥b,故C正確;對(duì)于D,若a∥α,α⊥β,則a⊥β或a與β相交或a∥β,故D錯(cuò)誤.故選AC.10.ABC解析由題意可知,AA1⊥平面ABC,又BC?平面ABC,所以AA1⊥BC,又AC⊥BC,且AA1∩AC=A,則BC⊥平面AA1C1C,所以四棱錐B-A1ACC1為“陽(yáng)馬”,故A項(xiàng)正確;由AC⊥BC,得A1C1⊥BC,又A1C1⊥C1C且C1C∩BC=C,所以A1C1⊥平面BB1C1C,又BC1?平面BB1C1C,所以A1C1⊥BC1,故△A1BC1為直角三角形.又由BC⊥平面AA1C1C,得△A1BC為直角三角形,由“塹堵”的定義可得△A1C1C為直角三角形,△CC1B為直角三角形,所以四面體A1-C1CB為“鱉臑”,故B項(xiàng)正確;因?yàn)锽C⊥平面AA1C1C,所以BC⊥AF,又AF⊥A1C且A1C∩BC=C,則AF⊥平面A1BC,所以AF⊥A1B.又AE⊥A1B且AF∩AE=A,所以A1B⊥平面AEF,故A1B⊥EF,故C項(xiàng)正確;在底面有4=AC2+BC2≥2AC×BC,即AC×BC≤2,當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC時(shí)等號(hào)成立,VB-A1ACC1=13SA1ACC1×BC=111.AD對(duì)于A選項(xiàng),由于平面ADD1A1∥平面BCC1B1,而平面BMN與這兩個(gè)平面分別交于HF和BE,依據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知HF∥BE,故A正確;由于A1F∶FA=1∶2,而E是CC1的中點(diǎn),故MA1=1,C1N=2.對(duì)于B選項(xiàng),VB1-BMN=VB-MNB1=13×12×MB對(duì)于C選項(xiàng),因?yàn)锽1N⊥平面A1B1BA,所以直線MN與平面A1B1BA所成的角為∠NMB1,且tan∠NMB1=B1N對(duì)于D選項(xiàng),可知D1G=12,GC1=32故選AD.12.ABD解析對(duì)于選項(xiàng)A,如圖,分別找線段BB1,B1C1的中點(diǎn)M,N,連接A1M,MN,A1N.由題得MN∥AD1,MN?平面D1AE,AD1?平面D1AE,所以MN∥平面D1AE.又A1M∥D1E,A1M?平面D1AE,D1E?平面D1AE,所以A1M∥平面D1AE.又MN∩A1M=M,所以平面A1MN∥平面D1AE.因?yàn)锳1F與平面D1AE的垂線垂直,又A1F?平面D1AE,所以直線A1F與平面D1AE平行,所以A1F?平面A1MN.又平面A1MN∩平面BCC1B1=MN,所以點(diǎn)F的軌跡為線段MN,故選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,由圖可知,AF與BE是異面直線,故選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)M重合時(shí),直線A1F與直線D1E平行,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)镸N∥AD1,MN?平面ABD1,AD1?平面ABD1,所以MN∥面ABD1,則點(diǎn)F到平面ABD1的距離是定值,又三角形ABD1的面積是定值,所以三棱錐F-ABD1的體積為定值,故選項(xiàng)D正確.故選ABD.13.33π(答案不唯一)解析設(shè)底面半徑r=1,母線長(zhǎng)為l,由綻開圖為半圓,可知2π=l·π,所以l=2,所以高h(yuǎn)=l2-r2=3,則體積V=114.C1M解析因?yàn)镃1∈平面A1CC1,且C1∈平面BDC1,同時(shí)M∈平面A1CC1,且M∈平面BDC1,所以平面A1CC1與平面BDC1的交線是C1M.15.3解析設(shè)三棱錐的高為h.因?yàn)榈酌嫱饨訄A的半徑r=62sin60°=23,且底面三角形的高為3所以底面外接圓圓心原委面各邊的距離為3,由正三棱錐的結(jié)構(gòu)知,各側(cè)面三角形的高為h2所以各側(cè)面三角形的面積為12×6×h2+3=則13h×12×62×sin60°=13×1×9h2+3+12×62×sin60°,則3(h-1)16.23解析設(shè)圓柱的底面半徑為r,球心到圓柱底面的距離為h(0<h<1),圓柱的母線長(zhǎng)為2h,則r2=1-h2,圓柱的體積為V=2πr2h=2πh(1-h2)=2πh-2πh3,V'=2π-6πh2=-6πh+當(dāng)h∈0,33時(shí),V'>0,當(dāng)h∈33,1時(shí),V'<0,即所以當(dāng)h=33時(shí),V取得最大值為43π917.解據(jù)題意,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.則D(0,0,0),A1(2,0,2),C(0,2,0),E(2,1,0),F(1,1,1),D1(0,0,2),∴EF=(-1,0,1),CD1=(0,-2,2),DA1=(2,0,2),(1)cos<EF,C=-=12∴<EF,C即異面直線EF和CD1所成的角為60°.(2)證明:∵EF·DA1=-1×2+0×0+1∴EF⊥DA1,即EF∵EF·DC=-1×0+0×2+1×0∴EF⊥DC,即EF⊥又DA1,DC?平面A1CD,且DA1∩DC=D,∴EF⊥平面A1CD.18.(1)證明由棱柱的體積公式V=S△ABC·|AA1|,可得S△ABC=12AB·ACsin∠BAC=又AB=AC=2,可知sin∠BAC=1,∠BAC=90°.在△A1B1C1中,A1B1=A1C1,N為B1C1的中點(diǎn),可得A1N⊥B1C1,又B1B⊥平面A1B1C1,A1N?平面A1B1C1,可得B1B⊥A1N,而B1B∩B1C1=B1,B1C1?平面B1BCC1,B1B?平面B1BCC1,所以A1N⊥平面B1BCC1,即有A1N⊥BC1,由tan∠C1CN=C1NC1C=2則tan∠C1CN·tan∠CC1B=1,易知∠C1CN+∠CC1B=90°,即有BC1⊥CN,而CN∩A1N=N,A1N?平面A1CN,CN?平面A1CN.所以BC1⊥平面A1CN,則A1C⊥BC1.(2)解以A為原點(diǎn),以AC,AB,AA1所在的直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A1(0,0,2),C(2,0,0),M(0,1,0),N(1,1,2),B1(0,2,2),所以CB1的中點(diǎn)P(1,1,1),所以A1N=(1,1,0),A1P=(1,1,-1),CM=(-2,1,0),CA設(shè)平面A1CM的法向量為n=(x,y,z),則n·CA1=-2設(shè)A1Q=mA1N=(m,m,0),m∈[0,1],則PQ=A所以PQ·n=m-1+2(m-1)+1=3m-2,當(dāng)PQ⊥n時(shí),可得PQ∥平面A1CM,所以3m-2=0,即m=23.所以在線段A1N上存在點(diǎn)Q,且當(dāng)A1Q=23A1N時(shí),PQ∥平面A119.(1)證明過(guò)點(diǎn)E作EE'⊥AB于點(diǎn)E',過(guò)點(diǎn)F作FF'⊥BC于點(diǎn)F',連接E'F'.∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為8的正方形,△EAB,△FBC均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直,∴EE'⊥平面ABCD,FF'⊥平面ABCD,且EE'=FF',∴四邊形EE'F'F是平行四邊形,則EF∥E'F'.∵E'F'?平面ABCD,EF?平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.(2)解過(guò)點(diǎn)G,H分別作GG'⊥CD,HH'⊥DA,交CD,DA于點(diǎn)G',H',連接F'G',G'H',H'E',AC.由(1)及題意可知,G',H'分別為CD,DA的中點(diǎn),EFGH-E'F'G'H'為長(zhǎng)方體,故該包裝盒由一個(gè)長(zhǎng)方體和四個(gè)相等的四棱錐組合而成.∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為8的正方形,∴AC=82+82=82cm,E'F'=H'E'=12AC=42cm,EE'=AE∴該包裝盒的容積為V=VEFGH-E'F'G'H'+4VA-EE'H'H=E'F'×E'H'×EE'+4×13×SEE'H'H×14AC=42×42×43+4×13×42×43×2220.(1)證明(方法1)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CD,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如右圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意可得A2(2,2,1),B2(0,2,2),C2(0,0,3),D2(2,0,2).B2C2=(0,-2,1),A2所以B2因?yàn)锳2,B2,C2,D2四點(diǎn)不共線,故B2C2∥A2D2.(方法2基底法)由題意可得AA2=14AA因?yàn)锳2D2=B2C2,且A2,B2,C2,D2四點(diǎn)不共線,故B2(2)解在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CD,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意可知,A2(2,2,1),C2(0,0,3),D2(2,0,2),設(shè)點(diǎn)P(0,2,a),其中0≤a≤4.C2A2=(2,2,-2),C2D2=(2,0,-1),設(shè)平面A2C2D2的法向量為n1=(x1,y1,z1),則n1·C2A2=2x1+2y1-2z1=0,設(shè)平面PA2C2的法向量為n2=(x2,y2,z2),則n2·C2A2=2x2+2y2-2z2=0,n2·C2P因?yàn)槎娼荘-A2C2-D2為150°,所以|cos<n1,n2>|=|n整理可得a2-4a+3=0,解得a=1或a=3.結(jié)合圖形可知,當(dāng)a=3或a=1時(shí),B2P=1,此時(shí)二面角P-A2C2-D2為150°.21.(1)證明因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.又底面ABCD為正方形,所以AD⊥DC.所以AD⊥平面PDC.因?yàn)锳D∥BC,AD?平面PBC,所以AD∥平面PBC,又因?yàn)锳D?平面PAD,平面PAD∩平面PBC=l,所以l∥AD.所以l⊥平