考點13 函數(shù)與方程11種常見考法歸類-【考點通關(guān)】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納與解題策略(新高考地區(qū)專用)含解析

考點13函數(shù)與方程11種常見考法歸類-【考點通關(guān)】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納與解題策略(新高考地區(qū)專用)考點13函數(shù)與方程11種常見考法歸類考點一求函數(shù)的零點考點二確定零點所在的區(qū)間考點三判斷函數(shù)零點個數(shù)（一）解方程法（二）零點存在性定理法（三）數(shù)形結(jié)合法考點四已知函數(shù)零點求值考點五根據(jù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)的取值范圍考點六根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍考點七與零點相關(guān)的比較大小問題考點八求零點的和考點九嵌套函數(shù)的零點問題考點十函數(shù)零點的綜合應(yīng)用考點十一用二分法求方程的近似解1.函數(shù)的零點與方程的解(1)零點的定義：對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點.(2)方程的解、函數(shù)的零點、函數(shù)的圖象之間的關(guān)系：方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點.(3)函數(shù)零點存在定理：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解.注：①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個零點.②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值同號.③連續(xù)不斷的函數(shù)通過零點時，函數(shù)值不一定變號.④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點，不一定能推出.⑤周期函數(shù)如果存在零點，則必有無窮多個零點.⑥對于零點存在性定理，須知滿足條件的零點可能不唯一；不滿足條件時，也可能有零點.2.理解函數(shù)零點存在定理要注意三點：①“函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線”和“f(a)f(b)<0”這兩個條件缺一不可.如圖1僅滿足前者，圖2僅滿足后者，兩函數(shù)均無零點.圖1圖2②定理不可逆，就是說滿足了①中的兩個條件的函數(shù)一定有零點，但是一個函數(shù)有零點，不一定需要具備這兩個條件.如圖3中f(a)f(b)＞0，但函數(shù)有零點.圖3圖4③該定理只能判斷出零點的存在性，而不能判斷出零點的個數(shù).至少存在一個零點，就是說滿足了①中的兩個條件的函數(shù)一定至少有一個零點，但不一定只有一個零點，可能有其它更多的零點，如圖4，但若該函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則有唯一零點.3.確定函數(shù)的零點（方程的根）所在的區(qū)間確定函數(shù)的零點（方程的根）所在的區(qū)間時，可以利用函數(shù)的零點存在性定理確定零點所在的位置，是零點問題中最常見的一類題型，其要點是要保證函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，且在這個區(qū)間兩端點處的函數(shù)值為異號，也可以利用數(shù)形結(jié)合法，通過畫函數(shù)圖象與軸的交點來確定．4.函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法（1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．（2）零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）才能確定函數(shù)有多少個零點或零點值所具有的性質(zhì)．（3）數(shù)形結(jié)合法：一種是轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖像與軸的交點個數(shù)，另一種是轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)的交點個數(shù)。如判斷型函數(shù)的零點個數(shù)問題時，可采用數(shù)形結(jié)合的方法．轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)和的圖象的交點個數(shù)問題，先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點個數(shù)，其中交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．5.已知函數(shù)零點所在區(qū)間求參數(shù)的取值范圍根據(jù)函數(shù)零點所在的區(qū)間求解參數(shù)的關(guān)鍵是結(jié)合條件給出參數(shù)的限制條件，此時應(yīng)分三步：①判斷函數(shù)的單調(diào)性；②利用零點存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式；③解不等式，即得參數(shù)的取值范圍．在求解時，注意函數(shù)圖象的應(yīng)用．6.已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.7.已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)或參數(shù)的取值范圍已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題的主要解法：直接法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法.一般情況下，常利用數(shù)形結(jié)合法，在求解的過程中，解題的思路是將函數(shù)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)問題，將式子移項變形，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點問題，畫出函數(shù)的圖象以及相應(yīng)的直線，在直線移動的過程中，利用數(shù)形結(jié)合思想，求得相應(yīng)的結(jié)果．8.與函數(shù)零點有關(guān)的比較大小問題與函數(shù)零點有關(guān)的函數(shù)值比較大小，可以通過函數(shù)性質(zhì)結(jié)合零點存在性定理確定，也可考慮在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出圖象，根據(jù)交點及圖象位置關(guān)系確定.9.嵌套函數(shù)的零點（1）在復(fù)合函數(shù)中,我們把一個函數(shù)自身對自身復(fù)合所得到的函數(shù)叫做嵌套函數(shù),也叫迭代函數(shù).其中函數(shù)的零點問題是命題的熱點求解時通常先“換元解套”將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個相對簡單的函數(shù),借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解。（2）四個命題命題1函數(shù)在上有個零點方程在上有個解方程組在上有組解函數(shù)的圖像與軸在上有個交點(其中).命題2函數(shù)在上有個零點方程在上有個解方程組中在上有個解(其中).命題3若方程有個不同的實數(shù)根,且方程有個不同的實數(shù)根,則函數(shù)的零點共有個證明因為是方程的根,所以,設(shè)為方程的不同的實數(shù)根;所以,所以也為方程不同的實數(shù)根,即為的零點.故函數(shù)的零點共有個命題4若方程有個不同的實數(shù)根,且方程有個不同的實數(shù)根,則函數(shù)的零點共有個證明因為是方程的根,所以,設(shè)為方程的不同的實數(shù)根,所以,所以也為方程不同的實數(shù)根,即為的零點.故函數(shù)的零點共有個上述命題充分體現(xiàn)了四大數(shù)學(xué)思想,通過分類討論和數(shù)形轉(zhuǎn)換,不僅為圖像法在解決函數(shù)零點問題中的運用提供理論保障,同時還為處理嵌套函數(shù)零點問題提供了求解方向,即研究內(nèi)外層函數(shù)零點的情況。（3）對于一般的“”的函數(shù)的零點問題,解答步驟是:(1)換元解套,令,則,從而將一個復(fù)合函數(shù)的零點問題拆解為兩個相對簡單的函數(shù)和的零點問題,(2)依次解方程,令解出的值,然后代入方程中解出的值.而由含參嵌套函數(shù)方程引起的參數(shù)范圍問題,在上述解題要訣的基礎(chǔ)上,讓含參的值動起來,動靜結(jié)合、數(shù)形結(jié)合、抓住臨界位置進行求解。（4）常見類型題如下：①求嵌套函數(shù)的零點個數(shù)關(guān)于嵌套函數(shù)方程的零點個數(shù)問題,可先換元解套,則,從而先由確定的解(或取值范圍),再由通過數(shù)形結(jié)合確定的解的個數(shù)②求分段函數(shù)中參數(shù)的取值范圍③求嵌套函數(shù)(或方程)中參數(shù)的取值范圍10.用二分法求方程的近似解(1)二分法：對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.(2)給定精確度ε，用二分法求函數(shù)y＝f(x)零點x0的近似值的一般步驟如下：①確定零點x0的初始區(qū)間[a，b]，驗證f(a)f(b)<0.②求區(qū)間(a，b)的中點c.③計算f(c)，并進一步確定零點所在的區(qū)間：(i)若f(c)＝0(此時x0＝c)，則c就是函數(shù)的零點；(ii)若f(a)f(c)<0(此時x0∈(a，c))，則令b＝c；(iii)若f(c)f(b)<0(此時x0∈(c，b))，則令a＝c.④判斷是否達到精確度ε：若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟②～④.11.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是充分運用“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)和“形”的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過代數(shù)的論證、圖形的描述來研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用包括以下兩個方面：①“以形助數(shù)”，把某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；②“以數(shù)輔形”，把直觀圖形數(shù)量化，使形更加精確.考點一求函數(shù)的零點1．（2023春·河南周口·高三校考階段練習(xí)）函數(shù)的零點是_________．2．（2023秋·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點是（

）A． B． C． D．93．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則方程的根___________.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）e是自然對數(shù)的底數(shù)，的零點為______.考點二確定零點所在的區(qū)間5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）方程的解所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)與的圖象交點為，則所在區(qū)間是（

）A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，均為上連續(xù)不斷的曲線，根據(jù)下表能判斷方程有實數(shù)解的區(qū)間是（

）x-10123-0.6703.0115.4325.9807.651-0.5303.4514.8905.2416.892A． B． C． D．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）二次函數(shù)的部分對應(yīng)值如下表：-3-2-1012346-4-6-6-46可以判斷方程的兩根所在的區(qū)間是（

）A．和 B．和C．和 D．和考點三判斷函數(shù)零點個數(shù)（一）解方程法13．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．514．（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：①是偶函數(shù)；

②在區(qū)間上單調(diào)遞增；③在上有4個零點；

④的值域是.其中所有正確結(jié)論的編號是（

）A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④（二）零點存在性定理法15．（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）已知奇函數(shù)的定義域為，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線．若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)至少為（

）A．1 B．2 C．3 D．416．（2023秋·山東濟南·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，其部分函數(shù)值對應(yīng)如下表：123450.372.720則函數(shù)在區(qū)間上的零點至少有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個17．（2023·高三課時練習(xí)）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x，對應(yīng)值表：x1234136.13615.55210.88x56711.238由表可知，函數(shù)存在零點的區(qū)間至少有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個（三）數(shù)形結(jié)合法18．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A． B． C． D．19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．420．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）函數(shù)的零點個數(shù)為__________.21．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則在上的零點個數(shù)為________．22．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)滿足：當(dāng)時，，且對任意都成立，則方程的實根個數(shù)是______．23．（2023秋·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的周期為2，當(dāng)時，．如果，那么的零點個數(shù)是（

）A．3 B．4C．5 D．6考點四已知函數(shù)零點求值24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若是函數(shù)的一個零點，則（

）A． B．0 C．2 D．425．（2023·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是函數(shù)的一個零點，則的值為（

）A． B． C． D．26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的零點為，則（

）．A． B．1 C． D．227．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（）有兩個零點-1和m，若存在實數(shù)，使得，則實數(shù)m的值可能是（

）A． B． C． D．考點五根據(jù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)的取值范圍28．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間（1，＋∞）內(nèi)沒有零點，則實數(shù)a的取值可以為（

）A．－1 B．2 C．3 D．429．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)在上有零點，則實數(shù)的取值范圍為________．30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在內(nèi)有極值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，.若在有零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A．[-1，+∞) B．[，+∞) C．[，+∞) D．[0，+∞)32．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)a的可能取值是（

）A．0 B．1 C．2 D．333．（2023春·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點，則的最小值為___________.34．（2023·高三課時練習(xí)）已知函數(shù)的零點，，則______．35．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，若函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．36．（2023·山東日照·山東省日照實驗高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知是函數(shù)的零點，是函數(shù)的零點，且滿足，則實數(shù)的最小值是(

)A． B． C． D．考點六根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．38．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)有且只有1個零點，則實數(shù)的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．339．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)恰有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍為______．40．（2023春·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知關(guān)于的函數(shù)有唯一零點，則（

）A． B．3 C．或3 D．441．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是________．42．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考三模）已知，則“”是“有兩個不同的零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件43．（2023·北京·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)①當(dāng)時，_________；②若恰有2個零點，則a的取值范圍是_________．44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．45．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)滿足：①定義域為；②；③有且僅有兩個不同的零點，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．46．（2023·北京海淀·清華附中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)①函數(shù)的零點個數(shù)為__________．②若存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程有三個不同的根，則實數(shù)m的取值范圍是__________．47．（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，函數(shù)恰有三個不同的零點，則的取值范圍是_______．48．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，若方程有四個不同的實數(shù)根，則滿足上述條件的a值可以為（

）A． B． C． D．149．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，若在區(qū)間上恰有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．（1，3） B．（2，4） C． D．考點七與零點相關(guān)的比較大小問題50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，的零點分別是a，b，c，則a，b，c的大小順序是（

）A． B． C． D．52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，的零點分別為，，，則（

）．A． B．C． D．53．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列不等式中成立的是A． B． C． D．54．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，的零點分別為，，則（

）A． B． C． D．55．【多選】（2023秋·河北石家莊·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，且，則（

）A． B．C． D．56．【多選】（2023·吉林·統(tǒng)考二模）如圖，函數(shù)的圖象稱為牛頓三叉戟曲線，函數(shù)滿足有3個零點，，，且，則（

）A． B． C．D．考點八求零點的和57．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的所有零點之和為（）A． B． C． D．58．（2023·江西九江·統(tǒng)考二模）函數(shù)的所有零點之和為______．59．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）已知是定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時，，則在區(qū)間上所有零點之和為__________.60．（2023秋·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則函數(shù)的所有零點之和為______.61．（2023·廣東廣州·廣州市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)在上的所有零點之和為（

）A．－32 B．32 C．16 D．862．（2023春·天津和平·高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程恰有四個不同的實數(shù)解，分別記為，，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．63．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的兩個零點為，，函數(shù)的兩個零點為，，則________考點九嵌套函數(shù)的零點問題64．（2023春·廣東揭陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．565．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，函數(shù)恰有5個零點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．66．（2023·全國·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考二模）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．3 B．5 C．7 D．967．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知則函數(shù)的零點個數(shù)是______．68．（2023·陜西西安·西安中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，若關(guān)于的方程有且僅有個不同實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．69．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若有4個零點，則B．存在實數(shù)t，使得有5個零點C．當(dāng)有6個零點時．記零點分別為，且，則D．對任意恒有2個零點考點十函數(shù)零點的綜合應(yīng)用70．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，，則________.71．（2023秋·廣東廣州·高三廣州市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)恰有兩個零點，和一個極大值點，且，，成等比數(shù)列，則__________；若的解集為，則的極大值為__________．72．（2023·江蘇鹽城·?？寄M預(yù)測）設(shè)隨機變量，函數(shù)沒有零點的概率是，則_____________附：若，則，．考點十一用二分法求方程的近似解73．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考二模）用二分法求方程近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是（

）A． B． C． D．74．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)過計算得，，則其中一個零點所在區(qū)間和第二次應(yīng)計算的函數(shù)值分別為（

）A．， B．，C．， D．，75．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，數(shù)據(jù)如下表：那么方程的一個近似根（精確到0.1）為（

）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5考點13函數(shù)與方程11種常見考法歸類考點一求函數(shù)的零點考點二確定零點所在的區(qū)間考點三判斷函數(shù)零點個數(shù)（一）解方程法（二）零點存在性定理法（三）數(shù)形結(jié)合法考點四已知函數(shù)零點求值考點五根據(jù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)的取值范圍考點六根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍考點七與零點相關(guān)的比較大小問題考點八求零點的和考點九嵌套函數(shù)的零點問題考點十函數(shù)零點的綜合應(yīng)用考點十一用二分法求方程的近似解1.函數(shù)的零點與方程的解(1)零點的定義：對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點.(2)方程的解、函數(shù)的零點、函數(shù)的圖象之間的關(guān)系：方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點.(3)函數(shù)零點存在定理：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解.注：①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個零點.②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值同號.③連續(xù)不斷的函數(shù)通過零點時，函數(shù)值不一定變號.④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點，不一定能推出.⑤周期函數(shù)如果存在零點，則必有無窮多個零點.⑥對于零點存在性定理，須知滿足條件的零點可能不唯一；不滿足條件時，也可能有零點.2.理解函數(shù)零點存在定理要注意三點：①“函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線”和“f(a)f(b)<0”這兩個條件缺一不可.如圖1僅滿足前者，圖2僅滿足后者，兩函數(shù)均無零點.圖1圖2②定理不可逆，就是說滿足了①中的兩個條件的函數(shù)一定有零點，但是一個函數(shù)有零點，不一定需要具備這兩個條件.如圖3中f(a)f(b)＞0，但函數(shù)有零點.圖3圖4③該定理只能判斷出零點的存在性，而不能判斷出零點的個數(shù).至少存在一個零點，就是說滿足了①中的兩個條件的函數(shù)一定至少有一個零點，但不一定只有一個零點，可能有其它更多的零點，如圖4，但若該函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則有唯一零點.3.確定函數(shù)的零點（方程的根）所在的區(qū)間確定函數(shù)的零點（方程的根）所在的區(qū)間時，可以利用函數(shù)的零點存在性定理確定零點所在的位置，是零點問題中最常見的一類題型，其要點是要保證函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，且在這個區(qū)間兩端點處的函數(shù)值為異號，也可以利用數(shù)形結(jié)合法，通過畫函數(shù)圖象與軸的交點來確定．4.函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法（1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．（2）零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）才能確定函數(shù)有多少個零點或零點值所具有的性質(zhì)．（3）數(shù)形結(jié)合法：一種是轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖像與軸的交點個數(shù)，另一種是轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)的交點個數(shù)。如判斷型函數(shù)的零點個數(shù)問題時，可采用數(shù)形結(jié)合的方法．轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)和的圖象的交點個數(shù)問題，先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點個數(shù)，其中交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．5.已知函數(shù)零點所在區(qū)間求參數(shù)的取值范圍根據(jù)函數(shù)零點所在的區(qū)間求解參數(shù)的關(guān)鍵是結(jié)合條件給出參數(shù)的限制條件，此時應(yīng)分三步：①判斷函數(shù)的單調(diào)性；②利用零點存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式；③解不等式，即得參數(shù)的取值范圍．在求解時，注意函數(shù)圖象的應(yīng)用．6.已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.7.已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)或參數(shù)的取值范圍已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題的主要解法：直接法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法.一般情況下，常利用數(shù)形結(jié)合法，在求解的過程中，解題的思路是將函數(shù)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)問題，將式子移項變形，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點問題，畫出函數(shù)的圖象以及相應(yīng)的直線，在直線移動的過程中，利用數(shù)形結(jié)合思想，求得相應(yīng)的結(jié)果．8.與函數(shù)零點有關(guān)的比較大小問題與函數(shù)零點有關(guān)的函數(shù)值比較大小，可以通過函數(shù)性質(zhì)結(jié)合零點存在性定理確定，也可考慮在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出圖象，根據(jù)交點及圖象位置關(guān)系確定.9.嵌套函數(shù)的零點（1）在復(fù)合函數(shù)中,我們把一個函數(shù)自身對自身復(fù)合所得到的函數(shù)叫做嵌套函數(shù),也叫迭代函數(shù).其中函數(shù)的零點問題是命題的熱點求解時通常先“換元解套”將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個相對簡單的函數(shù),借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解。（2）四個命題命題1函數(shù)在上有個零點方程在上有個解方程組在上有組解函數(shù)的圖像與軸在上有個交點(其中).命題2函數(shù)在上有個零點方程在上有個解方程組中在上有個解(其中).命題3若方程有個不同的實數(shù)根,且方程有個不同的實數(shù)根,則函數(shù)的零點共有個證明因為是方程的根,所以,設(shè)為方程的不同的實數(shù)根;所以,所以也為方程不同的實數(shù)根,即為的零點.故函數(shù)的零點共有個命題4若方程有個不同的實數(shù)根,且方程有個不同的實數(shù)根,則函數(shù)的零點共有個證明因為是方程的根,所以,設(shè)為方程的不同的實數(shù)根,所以,所以也為方程不同的實數(shù)根,即為的零點.故函數(shù)的零點共有個上述命題充分體現(xiàn)了四大數(shù)學(xué)思想,通過分類討論和數(shù)形轉(zhuǎn)換,不僅為圖像法在解決函數(shù)零點問題中的運用提供理論保障,同時還為處理嵌套函數(shù)零點問題提供了求解方向,即研究內(nèi)外層函數(shù)零點的情況。（3）對于一般的“”的函數(shù)的零點問題,解答步驟是:(1)換元解套,令,則,從而將一個復(fù)合函數(shù)的零點問題拆解為兩個相對簡單的函數(shù)和的零點問題,(2)依次解方程,令解出的值,然后代入方程中解出的值.而由含參嵌套函數(shù)方程引起的參數(shù)范圍問題,在上述解題要訣的基礎(chǔ)上,讓含參的值動起來,動靜結(jié)合、數(shù)形結(jié)合、抓住臨界位置進行求解。（4）常見類型題如下：①求嵌套函數(shù)的零點個數(shù)關(guān)于嵌套函數(shù)方程的零點個數(shù)問題,可先換元解套,則,從而先由確定的解(或取值范圍),再由通過數(shù)形結(jié)合確定的解的個數(shù)②求分段函數(shù)中參數(shù)的取值范圍③求嵌套函數(shù)(或方程)中參數(shù)的取值范圍10.用二分法求方程的近似解(1)二分法：對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.(2)給定精確度ε，用二分法求函數(shù)y＝f(x)零點x0的近似值的一般步驟如下：①確定零點x0的初始區(qū)間[a，b]，驗證f(a)f(b)<0.②求區(qū)間(a，b)的中點c.③計算f(c)，并進一步確定零點所在的區(qū)間：(i)若f(c)＝0(此時x0＝c)，則c就是函數(shù)的零點；(ii)若f(a)f(c)<0(此時x0∈(a，c))，則令b＝c；(iii)若f(c)f(b)<0(此時x0∈(c，b))，則令a＝c.④判斷是否達到精確度ε：若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟②～④.11.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是充分運用“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)和“形”的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過代數(shù)的論證、圖形的描述來研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用包括以下兩個方面：①“以形助數(shù)”，把某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；②“以數(shù)輔形”，把直觀圖形數(shù)量化，使形更加精確.考點一求函數(shù)的零點1．（2023春·河南周口·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點是_________．【答案】1和3【分析】直接利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與零點的定義，令即可求解【詳解】依題意，令，解得：或，故答案為：1和3.2．（2023秋·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點是（

）A． B． C． D．9【答案】B【分析】分和分別解方程，由零點定義可得出答案.【詳解】當(dāng)時，，解得當(dāng)時，，解得所以函數(shù)的零點為：故選：B3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則方程的根___________.【答案】或2/2或-1【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理確定在上的解，再求方程的正根即可.【詳解】當(dāng)時，，所以，令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故當(dāng)時，有唯一根，當(dāng)時，，令，解得（舍去）或2，故當(dāng)時，的根為2，綜上，根為或2.故答案為：或2.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）e是自然對數(shù)的底數(shù)，的零點為______.【答案】/【分析】只用求方程的零點，討論左右兩個函數(shù)的最值即可求解.【詳解】由得，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，取等號，令，，令解得；令解得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以要使，只能，，所以零點為，故答案為:.考點二確定零點所在的區(qū)間5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在性定理求得正確答案.【詳解】在上單調(diào)遞增，，所以的零點在區(qū)間.故選：B6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【答案】C【分析】根據(jù)零點存在性定理，在為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合，即可求解.【詳解】依題意，函數(shù)的定義域為，而在為單調(diào)遞減函數(shù)，在為單調(diào)遞減函數(shù)，因為，所以，即所以，，所以，所以由零點存在性定理可知，函數(shù)在區(qū)間有零點.故選：C.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)零點存在定理將端點值代入，即可判斷零點所在區(qū)間.【詳解】由于均為增函數(shù)，所以為定義域上的增函數(shù)，,根據(jù)零點存在定理,零點在區(qū)間內(nèi).故選：C8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化簡函數(shù)，再令y=0求解判斷.【詳解】解：，，，令，得，，，，在上的零點為故選：B9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）方程的解所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，由零點存在定理判斷．【詳解】設(shè)，易知在定義域內(nèi)是增函數(shù)，又，，所以的零點在上，即題中方程的根屬于．故選：B．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)與的圖象交點為，則所在區(qū)間是（

）A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)【答案】B【分析】令，利用零點存在性定理即可求解.【詳解】令，則f(0)＝－4<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0，∴f(x)的零點在區(qū)間(1，2)內(nèi)，即函數(shù)與的圖象交點的橫坐標(biāo)．故選：B11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，均為上連續(xù)不斷的曲線，根據(jù)下表能判斷方程有實數(shù)解的區(qū)間是（

）x-10123-0.6703.0115.4325.9807.651-0.5303.4514.8905.2416.892A． B． C． D．【答案】B【分析】先構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)圖表利用函數(shù)的零點判定定理即可【詳解】令可得：，由題意得連續(xù)，根據(jù)函數(shù)的零點判定定理可知：在上有零點故在上有解故選：B12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）二次函數(shù)的部分對應(yīng)值如下表：-3-2-1012346-4-6-6-46可以判斷方程的兩根所在的區(qū)間是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【分析】結(jié)合表格與零點存在性定理判斷出二次函數(shù)的零點所在區(qū)間，進而可以求出結(jié)果.【詳解】由表格可知：，所以，結(jié)合零點存在性定理可知：二次函數(shù)的零點所在區(qū)間為和，所以方程的兩根所在的區(qū)間是和，故選：A.考點三判斷函數(shù)零點個數(shù)（一）解方程法13．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】利用輔助角公式可得，令，從而解得在的零點個數(shù).【詳解】由，得，又，所以，所以或解得或.所以函數(shù)在的零點個數(shù)是2.故選：A.14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：①是偶函數(shù)；

②在區(qū)間上單調(diào)遞增；③在上有4個零點；

④的值域是.其中所有正確結(jié)論的編號是（

）A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④【答案】A【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義即可判斷①，根據(jù)正弦函數(shù)以及二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷即可求解②，根據(jù)二次方程以及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解③，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性即可判斷④.【詳解】對于①，，故是偶函數(shù)，故①正確，對于②，當(dāng)時，，令，，則，因為在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故②正確；對于③,當(dāng)時，由，即或，得，或，或，由①知是偶函數(shù)，故當(dāng)時，得，或，或，，所以在有6個零點，③錯誤；對于④，當(dāng)時，，因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時，又是偶函數(shù)，故值域為，④錯誤；故選：A（二）零點存在性定理法15．（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）已知奇函數(shù)的定義域為，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線．若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)至少為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域為R可得，由和奇函數(shù)的性質(zhì)可得、，利用零點的存在性定理即可得出結(jié)果.【詳解】奇函數(shù)的定義域為R，其圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，得，由得，所以，故函數(shù)在之間至少存在一個零點，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在之間至少存在一個零點，所以函數(shù)在之間至少存在3個零點.故選：C16．（2023秋·山東濟南·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，其部分函數(shù)值對應(yīng)如下表：123450.372.720則函數(shù)在區(qū)間上的零點至少有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】函數(shù)的圖象在上是連續(xù)不斷的，且，函數(shù)在上至少有一個零點，根據(jù)表格函數(shù)值判斷即可.【詳解】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，結(jié)合零點存在性定理，可以發(fā)現(xiàn)，所以函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上至少有一個零點，以及4是函數(shù)的一個零點，所以函數(shù)在區(qū)間上的零點至少有3個，故選C.【點睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)零點的個數(shù)問題，涉及到的知識點有函數(shù)零點存在性定理，屬于簡單題目.17．（2023·高三課時練習(xí)）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x，對應(yīng)值表：x1234136.13615.55210.88x56711.238由表可知，函數(shù)存在零點的區(qū)間至少有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】根據(jù)零點存在定理直接得到答案【詳解】∵，，，存在零點的區(qū)間至少有4個.故選：【點睛】本題考查了零點存在定理，屬于簡單題.（三）數(shù)形結(jié)合法18．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得，分析可知函數(shù)的零點個數(shù)即為函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)果.【詳解】由可得，作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)為，故函數(shù)的零點個數(shù)為.故選：C.19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】令得，根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)可在同一直角坐標(biāo)系中作出，的大致圖象，由圖象可知，函數(shù)與的圖象有3個交點，即可得出答案．【詳解】解：令得，在同一直角坐標(biāo)系中作出（圖中細(xì)實線所示），（圖中粗實線所示）的大致圖象如下：由圖象可知，函數(shù)與的圖象有3個交點，即函數(shù)有3個零點，故選：C.20．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）函數(shù)的零點個數(shù)為__________.【答案】1【分析】在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，由圖即可得出答案.【詳解】解：注意到，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，易知零點個數(shù)為1.故答案為：1.21．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則在上的零點個數(shù)為________．【答案】2【分析】根據(jù)題意分析可得原題意等價于求與在上的交點個數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)分析運算.【詳解】令，可得，原題意等價于求與在上的交點個數(shù)，∵，則，且，有余弦函數(shù)可知與在上有2個交點所以與在上有2個交點.故答案為：2.22．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)滿足：當(dāng)時，，且對任意都成立，則方程的實根個數(shù)是______．【答案】6【分析】利用函數(shù)的周期性和函數(shù)圖像，結(jié)合函數(shù)的零點定義，根據(jù)數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】，的周期，如圖所示即為函數(shù)的圖像，，做出的圖像，觀察與圖像有6個交點，則方程的實根個數(shù)是6.故答案為：6.23．（2023秋·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的周期為2，當(dāng)時，．如果，那么的零點個數(shù)是（

）A．3 B．4C．5 D．6【答案】C【分析】先將問題的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的交點，分析出的值域，由此判斷出零點個數(shù)．【詳解】函數(shù)的零點個數(shù)為函數(shù)與的圖象的交點的個數(shù)，因為函數(shù)的定義域為，所以當(dāng)時，函數(shù)與的圖象沒有交點，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，．又函數(shù)的周期為2，所以．當(dāng)時，，所以當(dāng)時，函數(shù)與的圖象沒有交點，作函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的圖象，觀察圖象可得兩函數(shù)圖象有5個交點,所以函數(shù)的零點個數(shù)為5.故選：C.考點四已知函數(shù)零點求值24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若是函數(shù)的一個零點，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)、函數(shù)零點的定義，列式求解作答.【詳解】因為是函數(shù)的一個零點，則，于是，即，而函數(shù)是奇函數(shù)，則有，所以.故選：D25．（2023·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是函數(shù)的一個零點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可得，然后根據(jù)二倍角公式結(jié)合齊次式即得.【詳解】因為是函數(shù)的一個零點，所以，即，故，則．故選：D．26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的零點為，則（

）．A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】由已知有，根據(jù)零點得到，利用指對數(shù)的關(guān)系及運算性質(zhì)得到關(guān)于t的表達式，進而由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定t值即可.【詳解】由題設(shè)，由得：，若，可得，若，可得，綜上，，故.故選：B27．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（）有兩個零點-1和m，若存在實數(shù)，使得，則實數(shù)m的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由題意可得，則，，依題意可得：，然后結(jié)合根的對稱性分析得答案．【詳解】是函數(shù)的一個零點，，，則，，，．由，，得①，由，得，即②，由①②得：．函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，其對稱軸方程為，則．零點到對稱軸的距離，，另一零點為，，，因為，所以，故，，綜合四個選項，實數(shù)的值可能是和．故選：BC．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)根的對稱分布性.考點五根據(jù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)的取值范圍28．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間（1，＋∞）內(nèi)沒有零點，則實數(shù)a的取值可以為（

）A．－1 B．2 C．3 D．4【答案】ABC【分析】由題意設(shè)，則在上，與有相同的零點，即討論在區(qū)間內(nèi)沒有零點，求出其導(dǎo)函數(shù)，分析其單調(diào)性，得出其最值情況，從而結(jié)合其大致的圖形可得出答案.【詳解】，設(shè)則在上，與有相同的零點.故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點,即在區(qū)間內(nèi)沒有零點當(dāng)時，在區(qū)間上恒成立,則在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，顯然在區(qū)間內(nèi)沒有零點.當(dāng)時,令，得，令，得所以在區(qū)間上單調(diào)遞減增.在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以設(shè)，則所以在上單調(diào)遞減,且所以存在，使得要使得在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則所以綜上所述，滿足條件的的范圍是由選項可知：選項ABC可使得在區(qū)間內(nèi)沒有零點，即滿足題意.故選：ABC29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)在上有零點，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【分析】由零點的存在性定理求解即可【詳解】因為在單調(diào)遞增，且有零點，所以，解得，故答案為：30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在內(nèi)有極值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可導(dǎo)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極值的充要條件即可作答.【詳解】由得，，因函數(shù)在內(nèi)有極值，則時，有解，即在時，函數(shù)與直線y=a有公共點，而，即在上單調(diào)遞減，，則，顯然在零點左右兩側(cè)異號，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C【點睛】結(jié)論點睛：可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同．31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，.若在有零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A．[-1，+∞) B．[，+∞) C．[，+∞) D．[0，+∞)【答案】C【分析】令，函數(shù)換元為，在有零點可以轉(zhuǎn)化為在上有解，即，該問題又轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的問題，利用函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可解決.【詳解】由已知得，，則，則，設(shè)，當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)，則，若在有零點，即在上有解，即，即，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，故，則實數(shù)的取值范圍是.故選：.32．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)a的可能取值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BC【分析】根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點存在定理可得，從而可得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，得，解得,故選：BC33．（2023春·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點，則的最小值為___________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)零點性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式，通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可.【詳解】設(shè)為在上的一個零點，則，所以在直線上，又為坐標(biāo)原點，易知.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以的最小值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)點到直線距離公式，結(jié)合兩點間距離公式，再構(gòu)造函數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵.34．（2023·高三課時練習(xí)）已知函數(shù)的零點，，則______．【答案】2【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理判斷零點的范圍，即可得答案.【詳解】因為函數(shù)為R上單調(diào)減函數(shù)，故函數(shù)為R上單調(diào)減函數(shù)，又，，故在上有唯一零點，結(jié)合題意可知，故答案為：235．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，若函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義求出，確定函數(shù)的單調(diào)性，然后由的零點是0得出結(jié)論．【詳解】∵是奇函數(shù)，∴，，，易知在上是增函數(shù)，∴有唯一零點0，函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，∴在上有解，，∴．故選：A．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的零點，解題關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化，把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程在某個區(qū)間上有解，從而再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域．36．（2023·山東日照·山東省日照實驗高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知是函數(shù)的零點，是函數(shù)的零點，且滿足，則實數(shù)的最小值是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，求出其零點的值，根據(jù)求出的范圍.令g(x)=0，參變分離，將問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題即可求解．【詳解】，，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，為方程的根，即﹒故，即為，解得﹒是函數(shù)的零點，方程在上有解﹒即在上有解﹒，在上有解﹒令，則，設(shè)，則，易知h(t)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減﹒又，﹒﹒故實數(shù)a的最小值是﹒故選：A﹒考點六根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化為與有交點，再根據(jù)值域求解即可.【詳解】，，函數(shù)有零點，與有交點，，即，故選：C38．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)有且只有1個零點，則實數(shù)的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的最值即可求解.【詳解】依題意，因為函數(shù)有且只有1個零點，所以有且僅有一個解，即有且僅有一個解，轉(zhuǎn)化為與有且僅有一個交點，當(dāng)時，與沒有交點，所以；當(dāng)時，因為，所以，當(dāng)時，有最小值1，有最小值，此時與沒有交點，由于與都是偶函數(shù)，若在除去之外有交點，則交點必為偶數(shù)個，不符合題意，所以不符合題意；當(dāng)時，因為，所以，又因為，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，此時有唯一的交點.故選：B.39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)恰有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍為______．【答案】．【分析】使用參數(shù)分離的方法，將原方程轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€與曲線相交，并且只有唯一交點.【詳解】由，x=0不是方程的解，∴，將原方程唯一零點轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€與曲線有唯一交點，下面討論曲線的圖像：的定義域為，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，

，因此y在處，取得極小值，其極小值為，當(dāng)時，，即y是單調(diào)遞減的，當(dāng)x從小于0的方向趨向0的時候，y趨向于，故圖像如下圖：；故答案為：.40．（2023春·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學(xué)校考開學(xué)考試）已知關(guān)于的函數(shù)有唯一零點，則（

）A． B．3 C．或3 D．4【答案】B【分析】令，可得是偶函數(shù)，利用偶函數(shù)的性質(zhì)可得，從而可得，再由零點個數(shù)求出即可求解.【詳解】，令，則有是偶函數(shù)，若只有唯一零點，則必過原點，即，從而.當(dāng)時，有3個零點，舍去.故，此時，則，故.故選：B41．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是________．【答案】【分析】通過對進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)零點的存在性定理，判斷出函數(shù)在定義上的零點，進而得出結(jié)果．【詳解】因為，所以當(dāng)時，有，解得，所以當(dāng)時，有兩個零點，不符合題意；當(dāng)時，由，解得或，且有，，當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；又因為，，所以，存在一個正數(shù)零點，所以不符合題意；當(dāng)時，令，解得或，且有，當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；又因為，，所以，存在一個負(fù)數(shù)零點，要使存在唯一的零點，則滿足，解得或，又因為，所以，綜上，的取值范圍是．故答案為：.42．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？既＃┮阎?，則“”是“有兩個不同的零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)有2個零點，求參數(shù)的取值范圍，再判斷充分，必要條件.【詳解】若有兩個不同的零點，則，解得或，所以“”是“有兩個不同的零點”的充分不必要條件.故選：A43．（2023·北京·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)①當(dāng)時，_________；②若恰有2個零點，則a的取值范圍是_________．【答案】【分析】由分段函數(shù)解析式先求，再求的值，結(jié)合零點的定義分段求零點，由條件求a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，所以，所以，令，可得當(dāng)時，，所以或，當(dāng)或時，方程在上有唯一解，當(dāng)或時，方程在上的解為或，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，方程在上無解，綜上，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，因為恰有2個零點，所以或，所以a的取值范圍是.故答案為：；.44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將函數(shù)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖象交點個數(shù)問題，再數(shù)形結(jié)合得解.【詳解】函數(shù)有兩個不同的零點，即方程有兩個不同的根，從而函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，由可知，當(dāng)時，函數(shù)是周期為1的函數(shù)，如圖，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)即時，兩函數(shù)圖象有兩個不同的交點，故函數(shù)有兩個不同的零點.故選：A.45．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)滿足：①定義域為；②；③有且僅有兩個不同的零點，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可轉(zhuǎn)化為有且僅有兩個不同的零點，，對求導(dǎo)，結(jié)合的單調(diào)性可知，由此可知另一根為，由的范圍可求出的范圍，即可求出的取值范圍.【詳解】函數(shù)有且僅有兩個不同的零點，，因為，令，即有且僅有兩個不同的零點，，得或，若，令，可得或；令，可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，同理若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，，要使有且僅有兩個不同的零點，，則，而，則，因為，則，則，則有一根是確定的為，又因為，所以的另一根為，所以，因為，，.故選：B.46．（2023·北京海淀·清華附中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)①函數(shù)的零點個數(shù)為__________．②若存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程有三個不同的根，則實數(shù)m的取值范圍是__________．【答案】1【分析】第一空，分類討論，無論，函數(shù)都一個零點；第二空，由第一空討論，，值的情況，從而可得滿足題意的的范圍.【詳解】第一空：當(dāng)時，可知有一個零點；當(dāng)時，有一個零點；當(dāng)時，可知有一個零點；綜上函數(shù)的零點個數(shù)為1個.第二空：如圖所示，當(dāng)時，若要滿足題意需，得；當(dāng)時，不符題意；如圖所示，當(dāng)時，若要滿足題意需，得；綜上m的取值范圍是：故答案為：1；47．（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，函數(shù)恰有三個不同的零點，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】由題意得，，找到的必過點，作出和的圖像，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，計算求解即可.【詳解】，，畫出的圖像，化簡，，故的必過點，恰有三個不同的零點，即為有三個不同的實根，作出和的圖像，直線與曲線相切時，有，由，可得，解得或，又由，得，故（舍去），當(dāng)與曲線相切時，兩圖像恰有三個交點，令，此時，解得，結(jié)合圖像可得，或故答案為：48．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，若方程有四個不同的實數(shù)根，則滿足上述條件的a值可以為（

）A． B． C． D．1【答案】BC【分析】通過分類討論去絕對值，得出，，與，再根據(jù)根的數(shù)量確定的取值范圍，即可對選項一一驗證.【詳解】當(dāng)時，即，解得，當(dāng)時，即，解得，則當(dāng)時，，此時方程，即，即，此時若則，此時若則，當(dāng)時，，此時方程，即，即，其中方程①與②最多各有一個實數(shù)根，方程③最多有兩個不同的實數(shù)根，原方程有四個不同的實數(shù)根，方程①與②各有一個實數(shù)根，方程③有兩個不同的實數(shù)根，對于方程有兩個不同的實數(shù)根，可以等價為：解得，對于選項A：取不到，故選項A錯誤；對于選項B：當(dāng)時，方程①的根為，方程②的根為，符合題意，故選項B正確；對于選項C：當(dāng)時，方程①的根為，方程②的根為，符合題意，故選項C正確；對于選項D：取不到1，故選項D錯誤；綜上所述，選項BC正確，故選：BC.49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，若在區(qū)間上恰有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．（1，3） B．（2，4） C． D．【答案】C【分析】x∈，數(shù)形結(jié)合確定的范圍使得圖像和恰好有四個交點.【詳解】，在區(qū)間上恰有4個零點，等價與圖象恰好有4個交點，因為x∈，所以，如圖所示，則應(yīng)該滿足，解得.故選：C.考點七與零點相關(guān)的比較大小問題50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用零點存在定理計算出、的取值范圍，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出，即可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，且，，因為，由零點存在定理可知；構(gòu)造函數(shù)，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，且，，因為，由零點存在定理可知.因為，則，因此，.故選：B.51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，的零點分別是a，b，c，則a，b，c的大小順序是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將，，的零點看成函數(shù)分別與，，的交點的橫坐標(biāo)，分別畫出這些函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法即可求解.【詳解】由已知條件得的零點可以看成與的交點的橫坐標(biāo)，的零點可以看成與的交點的橫坐標(biāo)，的零點可以看成與的交點的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系分別畫出，，，的函數(shù)圖象，如下圖所示,可知，故選：.52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，的零點分別為，，，則（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化函數(shù)，，的零點為與，，的交點，數(shù)形結(jié)合，即得解.【詳解】函數(shù)，，的零點，即為與，，的交點，作出與，，的圖象，如圖所示，可知故選：C53．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列不等式中成立的是A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x，由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x，作出函數(shù)y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的圖象如圖：∵函數(shù)f（x）＝ex+x﹣2的零點為a，函數(shù)g（x）＝lnx+x﹣2的零點為b，∴y＝ex與y＝2﹣x的交點的橫坐標(biāo)為a，y＝lnx與y＝2﹣x交點的橫坐標(biāo)為b，由圖象知a＜1＜b，故選A．考點：函數(shù)的零點54．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，的零點分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、的對稱性知與關(guān)于直線對稱，利用指數(shù)冪、對數(shù)運算的性質(zhì)計算依次判斷選項即可.【詳解】因為函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，圖象也關(guān)于直線對稱，設(shè)與圖象的交點為A，與圖象的交點為，則與關(guān)于直線對稱，則，．因為，所以，則，即，因為的圖象與直線的交點為，所以，，，則．故選：ABD.55．【多選】（2023秋·河北石家莊·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】作出作出和的圖像，利用數(shù)形結(jié)合法判斷：對于AD：利用對稱性即可判斷；對于B:直接利用圖像判斷；對于C：由，利用二次函數(shù)求解.【詳解】如圖示，作出和的圖像.當(dāng)時，.因為存在使得，所以.由圖示可知關(guān)于對稱，所以，所以.故A正確；令，即，解得：或.所以由圖示可知：.故B正確.因為當(dāng)時，，所以，，所以時，有，即的圖像關(guān)于對稱，所以關(guān)于對稱，所以，所以，即，所以.因為，所以.故C錯誤；因為關(guān)于對稱，所以，所以.又因為，所以.故D正確.故選：ABD56．【多選】（2023·吉林·統(tǒng)考二模）如圖，函數(shù)的圖象稱為牛頓三叉戟曲線，函數(shù)滿足有3個零點，，，且，則（

）A． B． C．D．【答案】ACD【分析】對于選項A：根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，則根據(jù)零點的定義結(jié)合圖像得出時，才有三個零點；對于選項B：根據(jù)解析式得出當(dāng)時，，即可結(jié)合已知得出根據(jù)單調(diào)性得出答案；對于選項C：令，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性與最值，即可得出，即可結(jié)合已知得出，即可根據(jù)單調(diào)性得出答案；對于選項D：根據(jù)已知得出，代入解析式轉(zhuǎn)化得出，令，，，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出其最值，即可得出答案.【詳解】，令，則；令，則且；的增區(qū)間為：，減區(qū)間為：與，對于A選項：且有三個零點，，即A選項正確；對于B選項：當(dāng)時，，即，，，在上單調(diào)遞減，，即，即B選項錯誤；對于C選項：令，.，在上遞減，即.，，.，，又在上單調(diào)遞增，，即，即C選項正確；對于D選項：，，即，，，，令，，則，令，則，令，解得，令，解得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上的最小值為，故，故D選項正確.故選：ACD.考點八求零點的和57．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的所有零點之和為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令求解即可.【詳解】時，由得，時，由得或，所以四個零點和為．故選：D．58．（2023·江西九江·統(tǒng)考二模）函數(shù)的所有零點之和為______．【答案】6【分析】令，兩個解即為零點，將零點問題轉(zhuǎn)換成，兩個函數(shù)的交點問題，作圖即可求出零點，且和的函數(shù)圖象關(guān)于對稱，零點也關(guān)于，即可求出所有零點之和.【詳解】解：令，得，解得或，即為零點，令，，可知的周期，對稱軸，且的對稱軸，做出和的圖象如圖所示：顯然，在和上各存在一個零點，在處的切線為x軸，在上存在零點，同理在上存在零點，所以在上存在6個零點，因為和的函數(shù)圖象關(guān)于對稱，則零點關(guān)于對稱，所以的所有零點之和為.故答案為：6.59．（2023·江西宜春·統(tǒng)考一模）已知是定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時，，則在區(qū)間上所有零點之和為__________.【答案】4044【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可求出周期及對稱軸，再由時函數(shù)的解析式可作出函數(shù)的圖象，原問題可轉(zhuǎn)化為與交點橫坐標(biāo)問題，由對稱性求和即可.【詳解】由是定義在R上的奇函數(shù)，所以，又，所以，則的周期是2，且得是其中一條對稱軸，又時，于是圖象如圖所示，又函數(shù)零點，即為與的交點的橫坐標(biāo)，由圖知：交點關(guān)于對稱，每個周期都有2個交點，所以、各有個周期，故各有個交點，它們兩兩關(guān)于對稱，所以零點之和為.故答案為：60．（2023秋·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則函數(shù)的所有零點之和為______.【答案】18【分析】判斷出的對稱性、周期性，畫出與的圖象，結(jié)合圖象求得的所有零點之和.【詳解】∵滿足，則關(guān)于直線對稱，又∵是定義在上的奇函數(shù)，則，即，則，∴是以4為周期的周期函數(shù)，對，可得，則，∴關(guān)于點對稱，令，則，可知：與均關(guān)于點對稱，如圖所示：設(shè)與的交點橫坐標(biāo)依次為，則，故函數(shù)的所有零點之和為.故答案為：18.61．（2023·廣東廣州·廣州市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)在上的所有零點之和為（

）A．－32 B．32 C．16 D．8【答案】D【分析】由已知可分析出函數(shù)是偶函數(shù),則其零點必然關(guān)于原點對稱,故在上所有的零點的和為0,則函數(shù)在上所有的零點的和,即函數(shù)在上所有的零點之和,求出上所有零點,可得答案.【詳解】函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),.又函數(shù),函數(shù)是偶函數(shù),函數(shù)的零點都是以相反數(shù)的形式成對出現(xiàn)的.函數(shù)在上所有的零點的和為,函數(shù)在上所有的零點的和,即函數(shù)在上所有的零點之和.即方程在上的所有實數(shù)解之和.由時,,故有函數(shù)在上的值域為,當(dāng)且僅當(dāng)時,.又當(dāng)時,,如圖：函數(shù)在上的值域為；函數(shù)在上的值域為；函數(shù)在上的值域為,當(dāng)且僅當(dāng)時,,即方程在上的又一個實數(shù)解.即有一個零點；函數(shù)在上的值域為,當(dāng)且僅當(dāng)時,,故在上恒成立,在上無零點,同理在上無零點,依此類推,函數(shù)在無零點.綜上函數(shù)在上的所有零點之和為8,故選：D.【點睛】分段函數(shù)的零點方法點睛：可以分段考查函數(shù)的零點情況，利用直觀想象，借助數(shù)形結(jié)合，通過圖象的變化規(guī)律來分析與處理，合理歸納.62．（2023春·天津和平·高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程恰有四個不同的實數(shù)解，分別記為，，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用輔助角公式化簡得到分段函數(shù)形式，根據(jù)對數(shù)函數(shù)、正弦型函數(shù)性質(zhì)畫出圖象，數(shù)形結(jié)合確定的范圍或?qū)ΨQ性，進而求的范圍.【詳解】，所以如下圖示，要使恰有四個不同的實數(shù)解，則，不妨設(shè)，由圖知：，且，即，令，可得或，令，可得或，所以，而在上遞減，故，綜上，.故選：A63．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的兩個零點為，，函數(shù)的兩個零點為，，則________【答案】2【分析】由題可得，進而可得，然后結(jié)合條件即得.【詳解】因為函數(shù)的兩個零點為，，則，即，又，則，即，所以.故答案為：2.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用同構(gòu)函數(shù)可得，可得，結(jié)合條件即得.考點九嵌套函數(shù)的零點問題64．（2023春·廣東揭陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】令，結(jié)合題意得到的兩根為，，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值進而求解.【詳解】令，則，當(dāng)時，由可得或（舍去）；當(dāng)時，由可得，所以的兩根為，，則或，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，若，易知方程無解，若，當(dāng)時，由，得或（舍去），此時方程有唯一的解；當(dāng)時，由，得，此時方程有唯一的解，綜上所述可知函數(shù)的零點個數(shù)為個，故選：A.65．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，函數(shù)恰有5個零點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可先做出函數(shù)的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論，即可確定m的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，．由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故