數(shù)學(xué)（文）一輪教學(xué)案第八章第4講直線(xiàn)平面垂直的判定與性質(zhì)

第4講直線(xiàn)、平面垂直的判定與性質(zhì)

考綱展示命題探究

、

考點(diǎn)展示考綱要求高考命題探究

1.內(nèi)容探究：線(xiàn)面、面面垂直的判定與性質(zhì)是高考

(1)掌握直線(xiàn)與平面垂直的判定礴和性質(zhì)定理.熱點(diǎn)，同時(shí)掌握三種垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化證明垂直

垂直的判定與性質(zhì)

(2)掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.關(guān)系的方法.

2.形式探究：本講內(nèi)容高考中多以解答題形式出現(xiàn).

、一__Z

肥考點(diǎn)垂直的判定與性質(zhì)

遮渭基礎(chǔ)點(diǎn)重難點(diǎn)

1直線(xiàn)與平面垂直的判定定理

(1)自然語(yǔ)言：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直,

則該直線(xiàn)與此平面垂直.

(2)圖形語(yǔ)言：如圖1所示.

(3)符號(hào)語(yǔ)言：aUa,bUa,aAb=P,/_La,

自然語(yǔ)言：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行.

圖形語(yǔ)言：如圖2所示.

符號(hào)語(yǔ)言：aJ_a,b-La^a//b.

3平面與平面垂直的判定

(1)兩個(gè)平面垂直的定義

如果兩個(gè)相交平面所成的二面角是直二面角，那么就說(shuō)這兩個(gè)平

面互相垂直.平面a與用垂直，記作a，夕.

(2)兩個(gè)平面垂直的判定定理

自然語(yǔ)言：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直.

圖形語(yǔ)言：如下圖所示.

符號(hào)語(yǔ)言：AB±J3,ABUaOaip.

4平面與平面垂直的性質(zhì)

自然語(yǔ)言：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)與另

一個(gè)平面垂直.

圖形語(yǔ)言：如下圖所示.

符號(hào)語(yǔ)言：a±/3,aCB=CD,AB^a,AB±CD^AB±/3.

M注意點(diǎn)斜線(xiàn)在平面上的射影的理解

斜線(xiàn)在平面上的射影是過(guò)斜足和垂足的一條直線(xiàn)，而不是線(xiàn)段.

J?小題快做；

1.思維辨析

(1)直線(xiàn)I與平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)都垂直，則Z±a.()

(2)若直線(xiàn)a_L平面a,直線(xiàn)b〃a,則直線(xiàn)。與。垂直.()

(3)直線(xiàn)a_La,bA_a,則)

(4)若a_L夕，a.()

(5)a_La,aU/30alp.()

答案(1)X(2)V(3)V(4)X(5)V

2.正方體ABCD—4'B'CD'中，E為A，C的中點(diǎn)，則

直線(xiàn)CE垂直于()

A.A'CB.BD

C.AzD'D.AAZ

答案B

解析連接夕D',

':B'D'±A'C,B'D'LCC',

且4,Cnccz=C,

：.B'D'，平面CC'E.

而CEU平面CC'E,

：.B'D'LCE.

丸,：BD〃B'D',J.BDLCE.

3.m,n是空間中兩條不同直線(xiàn)，a、p是兩個(gè)不同平面，下面

有四個(gè)命題：

①機(jī)J_a,n//J3,a"日今mln：

@mA^n,a//J3,m-La^n//

(3)m±n,all加〃a0“_L￡；

?mA_a,m//n,a〃口0n邛.

其中，所有真命題的編號(hào)是.

答案①④

解析①中，由〃〃夕，a〃夕得〃〃a或"Ua,又mXa,

故①正確；②中，也可能〃u夕，故②錯(cuò)誤；③中，直線(xiàn)〃也可能與

平面夕斜交或平行，也可能在平面夕內(nèi)，故③錯(cuò)；

④中，由加〃八，mXa,可得〃_La,又a〃￡可得〃_L￡,故④正

確.

活命題法解題法

?［考法綜述］本考點(diǎn)在高考中多次出現(xiàn)，考題模式主要有三

類(lèi)：①直線(xiàn)與平面垂直的判定與證明；②利用直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)

證明線(xiàn)線(xiàn)垂直或面面垂直；③利用定義求直線(xiàn)與平面所成的角和二面

角.

命題法證明線(xiàn)、面垂直問(wèn)題

典例（1）設(shè)I是直線(xiàn)，a,J3是兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法中

正確的是（）

A.若/〃a,1//J3,則a〃4

B.若/〃a,1邛,貝

C.若a,夕，Z±a,則/_1_夕

D.若l//a,則讓￡

（2）如圖，在四棱錐尸一A5CZ）中，AB//CD,AB±AD,CD=2AB,

平面底面ABCD,和下分別是CD和PC的中點(diǎn).求

證：

①底面A5CD；

②5E〃平面PAD；

③平面平面PCD.

［解析］（1）對(duì)于A,若/〃a,1//J3,貝la,4可能相交；對(duì)于B,

若/〃a,則平面a內(nèi)必存在一直線(xiàn)機(jī)與/平行，則加_L夕，又加Ua,

故a,氏選項(xiàng)C,/可能平行于夕或/在平面用內(nèi)；選項(xiàng)D,/還可能

平行于夕或在平面夕內(nèi).

(2)證明：①因?yàn)槠矫鍾LD，底面ABCD,且B4垂直于這兩個(gè)平

面的交線(xiàn)40,

所以底面A5CD.

②因?yàn)锳B〃CD,CD=2AB,石為CD的中點(diǎn)，

所以AB〃r)E,且AB=DE

所以四邊形A5ED為平行四邊形.

所以BE//4D

又因?yàn)?次平面B4。，AZ)u平面B4Z),

所以5E〃平面PAD.

③因?yàn)锳5LAZ),而且四邊形A5ED為平行四邊形，

所以BELCD,AD1CD.

由①知底面ABCD.

所以PALCD.

所以CD,平面PAD.

所以CDLPD.

因?yàn)镋和尸分別是CD和尸。的中點(diǎn)，

所以PD//EF.

所以CDLEF.

所以CD,平面BEF.

又因?yàn)镃DU面PCD.

所以平面平面PCD.

［答案］(1)B(2)見(jiàn)解析

9【解題法】線(xiàn)面垂直、面面垂直的證法及三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)

化

(1)線(xiàn)面垂直的證法

①利用線(xiàn)面垂直的判定定理.

②利用“兩平行線(xiàn)中的一條與已知平面垂直，則另一條也與這個(gè)

平面垂直”.

③利用“一條直線(xiàn)垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂

直”.

④利用面面垂直的性質(zhì)定理.

(2)面面垂直的證法

①用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面

的一條垂線(xiàn).

②用面面垂直的定義，即證明兩個(gè)平面所成的二面角是直二面

角，把證明面面垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問(wèn)題.

(3)垂直問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系

判定

判定判定、”

線(xiàn)線(xiàn)垂直彳旨線(xiàn)面垂直一^面面垂直

A性質(zhì)性質(zhì)

性質(zhì)

建國(guó)對(duì)點(diǎn)題必刷題

h,h.,h,14,滿(mǎn)足h上b,h.h，Z3J-/4?則下列結(jié)論一■定正確

的是()

A./1_L/4

B.h//h

C./1與/4既不垂直也不平行

D.與/4的位置關(guān)系不確定

答案D

解析由42_L/3可知/1與，3的位置不確定，

若則結(jié)合/3，/4,得所以排除選項(xiàng)B、C,

若/1±/3,則結(jié)合/3±/4,知11與/4可能不垂直，所以排除選項(xiàng)

A.故選D.

2.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的

四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉月需.

在如圖所示的陽(yáng)馬尸一ABCD中，側(cè)棱尸。，底面A5CD,且尸。

=CD,點(diǎn)E是尸。的中點(diǎn)，連接。E,BD,BE.

(1)證明：。石，平面尸5C試判斷四面體EBCD是否為鱉%若是,

寫(xiě)出其每個(gè)面的直角(只需寫(xiě)出結(jié)論)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)記陽(yáng)馬P-ABCD的體積為Vi,四面體EBCD的體積為V2,

求行V.的值.

V2

解(1)證明：因?yàn)槭酌鍭5CD,所以POLBC

由底面ABC。為長(zhǎng)方形，有5CLCD,而PZ)ACD=。，

所以平面PCD.DEU平面PCD,所以BCLDE.

又因?yàn)槭琙)=CD,點(diǎn)E是尸。的中點(diǎn)，所以。ELPC

而PCABC=C,所以DEL平面PBC.

由平面PCD,。石，平面PBC,可知四面體EBCD的四個(gè)

面都是直角三角形，

即四面體EBCZ)是一個(gè)鱉月需，其四個(gè)面的直角分別是NBCZ),Z

BCE,ZDEC,ZDEB.

(2)由已知，尸。是陽(yáng)馬尸一ABC。的高，

所以Vi=^SABCDPD^BCCDPD；

由(1)知，OE是鱉H。一BCE的高，BC±CE,

所以V2=￡BCEDE=%CCEDE.

5o

在Rt△尸。。中，因?yàn)槭琙)=CD,點(diǎn)E是尸。的中點(diǎn),

所以DE=CE9

Vi馬BCCDPD2CDpD

于無(wú)羽=1=CEDE=4,

-^BCCEDE

3.如圖，在三棱錐V—45。中，平面儂5,平面A5C,AVAB

為等邊三角形，ACL5C且AC=BC=也，0,"分別為A5,01的

中I占八、、?

(1)求證：陽(yáng)〃平面MOC；

(2)求證：平面平面VAB；

(3)求三棱錐V-ABC的體積.

解(1)證明：如圖，因?yàn)镺,M分別為A5,%的中點(diǎn)，所以

OM//VB.

又因?yàn)槠矫鍹OC,

所以VB〃平面MOC.

(2)證明：因?yàn)锳C=BC,。為A5的中點(diǎn)，所以O(shè)CLAA

又因?yàn)槠矫?3,平面A5C,且OCU平面A5C,所以O(shè)CL平

面VAB.

所以平面A/OC_L平面VAB.

(3)在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=yl2,所以AB=2,0C

=1,所以S△儂產(chǎn)小，又因?yàn)?C平面018,

所以VC-VAB=2OC-SAVAB=

又因?yàn)槿忮Fv—A5C的體積與三棱錐C-VAB的體積相等，所

以三棱錐V—A5C的體積為

71

4.如圖1,在直角梯形A5CZ)中，AD//BC,ZBAD=^,AB=

BC=^AD=a,E是的中點(diǎn)，。是AC與5E的交點(diǎn).將△A5E沿

5E折起到圖2中△A/E的位置，得到四棱錐A1—5CDE.

(1)證明：CD,平面A。。；

(2)當(dāng)平面AiBEL平面BCDE時(shí)，四棱錐ALBCDE的體積為

36也，求。的值.

解(1)證明：在題圖1中，因?yàn)?5=5。=/。=。，E是A。的

JT

中點(diǎn)，/BAD”,所以

即在題圖2中，BELA\O,BELOC,

從而平面A。。，

又CD"BE,所以CO,平面AiOC.

(2)由已知，平面AiBEl,平面BCDE,

且平面AiBEH平面BCDE=BE,

又由(1),AxOLBE,所以AC平面BCDE,

即AiO是四棱錐Ai-BCDE的高.

由題圖1知，AQ=^AB=*a,平行四邊形5CDE的面積S=

BC,AB=c^.

從而四棱錐Ai—BCDE的體積為V=^XSXAiO=^Xa2X^a=

JJ乙

號(hào)o3,由修〃=366，得a=6.

5.如圖，四邊形A5CD為菱形，G為4。與5。的交點(diǎn)，BEL

平面ABCD.

(1)證明：平面4ECL平面5ED；

(2)若NA5C=120。，AELEC,三棱錐E—ACD的體積為寺",求

該三棱錐的側(cè)面積.

解(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛5CZ)為菱形，所以ACLBD

因?yàn)锽E,平面4BCD,所以故平面5ED.

又ACU平面4E。，所以平面4ECL平面BED

(2)設(shè)A5=x,在菱形A5CD中，由NA5C=120。，可得

AG=GC=2x,GB=GD

因?yàn)锳E±EC,所以在RtAAEC中，可得EG=^x.

由BEL平面ABCD,知△EBG為直角三角形，可得BE=^x.

由已知得，三棱錐E-ACD的體積VE-ACD=^X^AC-GD-BE=^

x3='^,故％=2.

從而可得AE=EC=ED=4.

所以△EAC的面積為3,△H￡＞的面積與△ECD的面積均為小.

故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+2^5.

6.如圖，在四棱錐尸一A5CD中，B4L平面ABCD,底面ABC。

是菱形，點(diǎn)。是對(duì)角線(xiàn)AC與的交點(diǎn)，”是尸。的中點(diǎn)，且A3

=2,ZBAD=60°.

(1)求證：〃平面B45

(2)求證：平面尸平面B4C；

(3)當(dāng)三棱錐M-BCD的體積等于乎時(shí)，求PB的長(zhǎng).

解(1)證明：因?yàn)樵凇魇?。中，O,M分別是5。，尸。的中點(diǎn),

所以是△尸50的中位線(xiàn)，所以0M//PB,

又0A阻平面B4SP5U平面B45,

所以〃平面PAB.

(2)證明：因?yàn)閷O，平面ABCD,50U平面A5CD,所以

因?yàn)榈酌鍭5C。是菱形，所以

又ACU平面B4GB4U平面B4C,ACnB4=A,

所以50,平面PAC.

因?yàn)锽Z)u平面尸5。，所以平面尸50,平面B4c

(3)因?yàn)榈酌鍭5CD是菱形，又是尸。的中點(diǎn)，

所以VM—BCD=2VM-ABCD—VP-ABCD,故VP—ABCD=5.

又45=2,ZBAD=60°,所以S四邊形ABC。=2小.

因?yàn)樗睦忮FP-ABCD的高為F4,

13

所以1X2小XB4=小，得B4=5，

J乙

因?yàn)锽4J_平面ABCD,ABU平面A5CD,所以B4LAA

7.如圖，四棱錐尸一A5CD中，底面是以。為中心的菱形，P0

.JT1

_1_底面ABCD,AB=2,ZBAD=^,"為5。上一點(diǎn)，且8^=5.

J乙

P

.O

(1)證明：POM；

(2)若MP±AP,求四棱錐P-ABM0的體積.

(1)證明：如圖，連接05,因?yàn)锳5co為菱形，。為菱形的中心,

所以A0J_0A

jr

因?yàn)?/p>

7T

所以

OB=AB-sinZOAB=2siiYo7=1,

1jr

又因?yàn)椋宜栽凇髦校?2

3M=5乙JN05M=Q,05VOM=OB+

BM2-2OBBM-COSZOBM=l2+^2-2Xlx|xcos|=1.

所以O(shè)B2=OM1+BM1,故OMLBM,即OMLBC.

又POL底面ABC。，所以POLBC

從而B(niǎo)C與平面POM內(nèi)兩條相交直線(xiàn)OM,PO都垂直，所以

5CL平面POM.

(2)由⑴可得，OA=AB-cosZOAB=2-co^=y13.

設(shè)PO=a,由尸0,底面A5CD知，△PQ4為直角三角形，

故Ri2=PO2+OA2=a2+3.

3

又△尸也是直角三角形，故尸肝=尸02+0〃2=〃+如

連接AM,在中，AM2^AB2+BM2-2ABBMcosZABM

=22+^-2X2X]Xcos行=1.

由于MPLAP,故4人尸〃為直角三角形，則/^+尸仔二人"，

即/+3+屋+|=曰，得。=害或。=—坐(舍去)，即尸0=坐.

此時(shí)S四邊形ABA/O=SZ\AOB+SAOMB=^2,AO-OB~\~OM=X^3X1

*近一空斫以u(píng)—LqPC—L乂囚白乂吏一工

十2以2以2—8,即么yp-ABMo—3Q四邊形ABM。一?！?以8效2—16,

如圖，AABC和△5CD所在平面互相垂直，且45=50=50=2,

ZABC=ZDBC=120°,E,F,G分別為AC,DC,A。的中點(diǎn).

(1)求證：E7U平面BCG；

(2)求三棱錐D-BCG的體積.

附：錐體的體積公式其中S為底面面積，力為高.

(1)證明：由已知得AA5cz△05C因此AC=75C

又G為的中點(diǎn)，

所以CG±AD.

同理BG±AD,

因此AZ),平面BGC.

又EF//AD,

所以E/U平面BCG.

(2)在平面ABC內(nèi)，作A0LCB,交CB延長(zhǎng)線(xiàn)于0.

由平面45cL平面BCD,知49,平面BDC.

又G為中點(diǎn)，因此G到平面5。。的距離力是49長(zhǎng)度的一

半.

在中，AO=AB-sin60°=V3,所以VD^BCG=VG^BCD=\-S^

DBC'h=^'^'BD-BC'Sinl20°=亍

學(xué)霸錯(cuò)題警示對(duì)面面垂直的性質(zhì)定理認(rèn)識(shí)不清

機(jī)如圖，在正方體ABCD-AiBiCiDi中，

E是53的中點(diǎn)，O是底面正方形A5co的中心，求證：0E±

平面ACDi.

D,

［錯(cuò)解］

??,能。方正方向，???/IC上班，

:網(wǎng)上牛面船CD,

???BB/UJ.m牛面陰DA,

???牛面AC］上牛面BDD/B/,

又。Eu面BDD/B/,，兆1?牛面AC，.

［錯(cuò)因分析］面面垂直的性質(zhì)定理是：如果兩個(gè)平面互相垂直，

那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面.錯(cuò)解忽略了

“垂直于交線(xiàn)”這個(gè)條件導(dǎo)致錯(cuò)誤.

［正解］連接氏。，AiD,在△5小。中，

.:E,0分別是5/和。5的中點(diǎn)，

：.OE//B\D.

?.?AbBi，平面A41A。，

AjBi_LAZ)i,

又

.,.ADi_L平面AbBi。，：.ADt±BiD.

同理可證SOLCDi.

又?.?AZ)ina)i=。］,AD］,C?U平面ACD1,

.,.5bDJ_平面ACDi.

'：B{D//OE,平面4cA.

［心得體會(huì)］

耍讓我面專(zhuān)直可我戲戲嚏直龍面面唾直，

這是玄冰幾何讓明我面金直時(shí)多用的轉(zhuǎn)化方

法

(/)由我戒唾直揩城面唾直時(shí)，送妥直戲與

牛面內(nèi)的兩條女I型直質(zhì)唾直，不要忽嫉“第

次"這個(gè)條件.

(2)由面面聾直將戲面金直時(shí)，耍殘童一個(gè)

牛面內(nèi)唾直了女戲的直戲?qū)Ｖ辨菔?。個(gè)牛面，

不要忽'堿“號(hào)直孑交戲”這個(gè)條件.

M課時(shí)撬分練

時(shí)間：45分鐘

基礎(chǔ)組

1.[2016?冀州中學(xué)猜題]設(shè)機(jī)，〃是兩條不同的直線(xiàn)，a,夕是兩個(gè)

不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.m//a,n//B，旦a〃B，則miln

B.mJ_a,且a邛,貝!Jm-Ln

C.m//a,n"rn^Ln,則a邛

D.機(jī)Ua,n//a,m//P，n//則a〃夕

答案B

解析對(duì)于A,m,八的位置關(guān)系應(yīng)該是平行、相交或異面，故

A不正確；對(duì)于B,由面面垂直及線(xiàn)面垂直的性質(zhì)知，m±n,故B

正確；對(duì)于C,a與夕還可以平行或相交，故C不正確；對(duì)于D,a

與夕還可以相交，所以D不正確.故選B.

2.[2016?武邑中學(xué)仿真]已知不同直線(xiàn)m、n及不重合平面a、4

給出下列結(jié)論：

①機(jī)Ua,nUB，加-L〃今a_L￡

②mUa,nU0,m//n^a//P

③mUa,nup,m//n^a//

?mA^a,nIB，加今a_L￡

其中的假命題有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

答案C

解析①為假命題，機(jī)不一定與平面夕垂直，所以平面a與夕不

一定垂直.命題②與③為假命題，②中兩平面可以相交，③a與p可

能相交.只有④是真命題，因?yàn)閮善矫娴拇咕€(xiàn)所成的角與兩平面所成

的角相等或互補(bǔ).

3.[2016彳斷水中學(xué)模擬]設(shè)/、m、〃均為直線(xiàn)，其中相、〃在平面

a內(nèi),則是"/J_772且/_L"”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析當(dāng)/_La時(shí)，且/J_兒

但當(dāng)/_L/w,/_L〃時(shí)，若機(jī)、〃不是相交直線(xiàn)，則得不到/_La.

即/_La是/_L機(jī)且/_L〃的充分不必要條件.故選A.

4.[2016?冀州中學(xué)期中]已知相和“是兩條不同的直線(xiàn)，a和4

是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中一定能推出羽，用的是

（）

A.a.L/3,且機(jī)UaB.m//n,且〃_L￡

C.a邛,且機(jī)〃aD.mA-n,且〃〃夕

答案B

解析根據(jù)定理、性質(zhì)、結(jié)論逐個(gè)判斷.因?yàn)閍邛,mUa,則

m,4的位置關(guān)系不確定，可能平行、相交、機(jī)在夕面內(nèi)，故A錯(cuò)誤;

由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可知B正確；若a,夕，m//a,則加，用的位

置關(guān)系也不確定，故C錯(cuò)誤；若加_L“，n///3,則加，用的位置關(guān)系

也不確定，故D錯(cuò)誤.

5.[2016彳斷水中學(xué)仿真]設(shè)平面a與平面夕相交于直線(xiàn)m,直線(xiàn)a

在平面a內(nèi),直線(xiàn)b在平面夕內(nèi)，且b.Lm,則“a_L￡"是"a_LZ?”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若a_L夕，因?yàn)?。門(mén)用=機(jī)，bup,bLm,所以根據(jù)兩個(gè)平

面垂直的性質(zhì)定理可得。，a,又aUa,所以反過(guò)來(lái)，當(dāng)a〃

機(jī)時(shí)，因?yàn)閆?_L/w,一定有Z?_La,但不能保證Z?_La,所以不能推出a

6.[2016?棗強(qiáng)中學(xué)預(yù)測(cè)]B4垂直于正方形A5CD所在平面，連接

PB,PC,PD,AC,BD,則下列垂直關(guān)系正確的是（）

①平面平面尸5C；②平面平面B4O；

③平面平面尸CD；④平面平面B4C

A.①②B.①③

C.②③D.②④

答案A

解析易證5。，平面B4S則平面平面PBC.又AD//BC,

故平面RLB,則平面B4Z），平面B4A

7.[2016?冀州中學(xué)一輪檢測(cè)]如圖所示，在四棱錐尸一A5C。中，

底面45CD,且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)"

滿(mǎn)足_______時(shí)，平面平面PCD（只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為是正

確的條件即可）

答案。加，尸。（答案不唯一）

解析由定理可知，BD±PC.

...當(dāng)尸。時(shí)，即有PC,平面MBZ）,而尸CU平面PCD,

二.平面MB。，平面PCD.

8.[2016?武邑中學(xué)一輪檢測(cè)]已知a、b、/表示三條不同的直線(xiàn),

a、8、y表示三個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：

①若aC￡=a,8Cy=b,且a〃A,則a〃/;

②若a、8相交，且都在a、B外,a//a,a//J3,b//a,b///3,則

a〃￡；

③若a_L￡,aC/3=a,Z?UQ,a_L。，則。_La；

④若QUQ,bUa,l-La,lA_b,10a,則/J_a.

其中正確命題的序號(hào)是.

答案②③

解析①在正方體ASG。一A5CD中，令平面AIiCD為a,

平面DCCiDi為B，平面AiBiCiDi為y,又平面4SCDA平面DCCiDi

=CD,平面AiSGDiA平面OCGZ)i=GZ)i,則CZ)與GA所在的

直線(xiàn)分別表示a,b,CD//C1D1,但平面43CZ)與平面4/iGZ)i不

平行，即a與y不平行，故①錯(cuò)誤.②因?yàn)?。、。相交，假設(shè)其確定

的平面為力根據(jù)a〃a,b//a,可得;a.同理可得7〃夕，因此a〃夕,

故②正確.③如果兩平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直

線(xiàn)和另一個(gè)平面垂直，故③正確.④當(dāng)?！ㄈf(wàn)時(shí)，/垂直于平面a內(nèi)兩

條不相交直線(xiàn)，不能得出/La,故④錯(cuò)誤.

9.[2016?武邑中學(xué)月考]如圖，在四棱錐P-ABCD中，B4，底

面ABCD,ABLAD,ACLCD,ZABC=60°,PA=AB=BC,E是

PC的中點(diǎn).

(1)證明：CDLAE-,

(2)證明：平面A5E.

證明(1)在四棱錐尸一ABCD中，因?yàn)榈酌鍭BCD,CDU

平面A5CZ),故VACXCD,B4nAe=4,

二.CD，平面B4C,而AEU平面B4c

，CDLAE,

⑵由M=AB=BC,ZABC=60°,可得AC=B4,,:E是PC的

中點(diǎn)，：.AE±PC,

由(1)知，AELCD,且PCACD=C,所以平面PCD,而

POU平面PCD,

：.AE±PD,

?.?孫，底面ABCD,尸。在底面45CD內(nèi)的射影是A。，

AB±AD,：.AB±PD,

XVABAAE=A,

綜上可得產(chǎn)。,平面ABE.

10.[2016?冀州中學(xué)一輪檢測(cè)]如圖，已知4尸，平面ABCD,四

邊形A5E尸為矩形，四邊形A5CD為直角梯形，ZDAB=90°,AB//

CD,AD=AF=CD=2,A5=4.

(1)求證：AS平面BCE；

(2)求三棱錐E-BCF的體積.

解(1)證明：過(guò)點(diǎn)。作CMLA5,垂足為因?yàn)?/p>

所以四邊形ADCM為矩形，所以AV=MB=2,

又AZ)=2,AB=4,所以AC=2噌，CM=2,BC=2小,

所以AC2+BC2=AB2,所以AC±BC,因?yàn)锳尸，平面ABCD,

AF//BE,

所以平面A5CD,所以5ELAC

又BEU平面BCE,BCU平面5CE,且BECBC=B,

所以AC,平面BCE.

(2)因?yàn)锳/，平面45CD,所以AFLCM,

XCMLAB,AFC^WABEF,

ABEF,AFHAB=A,所以CM■，平面A5EF.

VE^BCF=VC^BEF=^X^XBEXEFXCM=^X2X4X2=1，

52o3

ll.[2016?武邑中學(xué)模擬]如圖，四邊形45CD為正方形，。4，平

ffiABCD,PD//QA,QA=AB^PD.

(1)證明：尸。_1_平面。Q2；

(2)求棱錐Q—ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值.

解(1)證明：由條件知四邊形尸。A。為直角梯形，

因?yàn)?A，平面4BCD,0AU平面尸ZMQ,所以平面尸。AQL平

WABCD,交線(xiàn)為AD.

又四邊形A5C。為正方形，DC±AD,

所以DC,平面PDA。，

又PQU平面PDAQ,所以PQLDC.

在直角梯形PDA。中可得

DQ=PQ=^PD,則PQLQD.

又。CAQD=。，所以尸。,平面。CQ.

(2)設(shè)AB=a.由題設(shè)知A。為棱錐Q—ABCD的高，

所以棱錐Q—ABCD的體積Vi=1a3.

由(1)知尸。為棱錐P-DCQ的高，

而PQ=\[2a,△DC。的面積為弓-屋，

3

所以棱錐P-DCQ的體積V2=1?.

故棱錐。-A5CZ)的體積與棱錐尸一OC。的體積的比值為1.

12.[2016?棗強(qiáng)中學(xué)一輪檢測(cè)]如圖，在直角梯形ABCD中，AB

//CD,ABLAD,且AB=AD=^CDAD為一邊向梯形外作矩形ADEF,

然后沿邊AD將矩形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直.

(1)求證：平面瓦)E；

(2)若點(diǎn)D到平面BEC的距離為坐，求三棱錐F-BDE的體積.

解(1)證明：在矩形ADE/中，ED1AD,

因?yàn)槠矫鍭DEFL平面ABCD,

所以ED，平面A5CZ),所以ED,5c

又在直角梯形A5CZ)中，AB=AD=1,CD=2,NBDC=45。,

所以BC=j,

在△BCD中，BD=BC=\[2,CD=2,所以

所以所以平面BDE.

(2)由(1)得，平面平面5CE,作于點(diǎn)“，則。”

_1_平面BCE,

所以DH=與.在NBDE中，BDDE=BEDH,

即正刃石=坐（=0廬+2）,解得DE=1.

所以VF^BDE=VB-EFD=^X^X1X1X1=^.

32o

能力組

13.[2016彳斷水中學(xué)周測(cè)]已知平面a與平面夕相交，直線(xiàn)m±a,

則（）

A.夕內(nèi)必存在直線(xiàn)與冽平行，且存在直線(xiàn)與加垂直

B.用內(nèi)不一定存在直線(xiàn)與機(jī)平行，不一定存在直線(xiàn)與根垂直

C.用內(nèi)不一定存在直線(xiàn)與機(jī)平行，但必存在直線(xiàn)與根垂