2024成都中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)之第四章 微專題 遇到中點(diǎn)如何添加輔助線 教學(xué)課件

第一輪專題復(fù)習(xí)之第四章微專題遇到中點(diǎn)如何添加輔助線

考情及趨勢(shì)分析成都8年高頻點(diǎn)考情及趨勢(shì)分析考情分析年份題號(hào)題型分值考查知識(shí)點(diǎn)中點(diǎn)位置202326(1)解答題4構(gòu)造直角三角形斜邊中線斜邊中點(diǎn)202127(3)解答題4構(gòu)造中位線直角邊中點(diǎn)202020(3)解答題4斜邊中線斜邊中點(diǎn)25B卷填空題4中位線性質(zhì)矩形兩邊中點(diǎn)201827(2)解答題4直角三角形斜邊中線斜邊中點(diǎn)201727解答題10等腰三角形，三線合一等腰三角形底邊中點(diǎn)【考情總結(jié)】1.考查題型：與中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題一般不會(huì)單獨(dú)考查，常在幾何圖形綜合題、圓的綜合題和幾何動(dòng)態(tài)綜合題中涉及考查；2.考查特點(diǎn)：在題干中出現(xiàn)時(shí)，常直接利用三角形中位線性質(zhì)或中線的性質(zhì)求解.一階

方法訓(xùn)練方法一構(gòu)造中位線(8年2考：2021.27，2020.25)方法解讀情形1當(dāng)圖形中出現(xiàn)兩個(gè)中點(diǎn)時(shí)，考慮構(gòu)造中位線條件：如圖，點(diǎn)D，E分別為AB，AC邊的中點(diǎn)．

輔助線作法：連接DE.結(jié)論：DE∥BC；DE＝

BC；△ADE∽△ABC.情形2遇到中線考慮中線中位法條件：如圖，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)．

輔助線作法：延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使得CE＝BC，連接AE.結(jié)論：CD∥AE；CD＝

AE；△BDC∽△BAE.例1

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，連接AE，BD交于點(diǎn)F，則

的值為_(kāi)_______．例2如圖，在正方形ABCD中，P是BC邊上一點(diǎn)，Q是CD邊上的中點(diǎn)，連接AP，PQ，若E，F(xiàn)分別是AP，PQ的中點(diǎn)，AB＝4，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．例1題圖例2題圖例3

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，且∠BCA＝2∠BED，BE＝

AC，CE＝3，求AC的長(zhǎng)．一題多解法例3題圖解法一：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC交BC于點(diǎn)G，G∴∠BGD＝∠BCA.∵∠BCA＝2∠BED，∴∠BGD＝2∠BED.∵∠BGD＝∠BED＋∠EDG，∴∠BED＝∠GDE，∴DG＝EG.∵D是AB中點(diǎn)，DG∥AC.∴DG是△ABC的中位線，∴DG＝

AC.一題多解∵BC＝BE＋CE＝

AC＋3，∴BG＝

BC＝

AC＋

.∵BG＝BE－GE＝

AC－

AC＝

AC，∴AC＋

＝

AC，∴AC＝9.G例3題圖解法二：如圖，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使EG＝BE，連接AG.例3題圖G∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴DE是△ABG的中位線，∴DE∥AG，∴∠BED＝∠G.∵∠BCA＝2∠BED，∴∠BCA＝2∠G＝∠G＋∠CAG，∴∠G＝∠CAG，∴CG＝AC.例3題圖G∵BE＝

AC，∴設(shè)CG＝AC＝3x，則BE＝EG＝4x，∴CE＝EG－CG＝x＝3，∴AC＝3x＝9.方法二構(gòu)造中線(8年4考：2023.26，2020.20，2018.27，2017.27)方法解讀情形1遇等腰三角形底邊中點(diǎn)時(shí)，考慮作底邊上的中線，利用“三線合一”解題條件：如圖，在等腰△ABC中，點(diǎn)D是底邊BC的中點(diǎn)．

輔助線作法：連接AD.結(jié)論：AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.情形2遇到直角三角形斜邊上的中點(diǎn)時(shí)，考慮作斜邊上的中線條件：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)．

輔助線作法：連接CD.結(jié)論：CD＝

AB.例4如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD＝AB，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，AC＝6，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．例5如圖，將兩個(gè)含30°的直角三角形擺放在一起，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接DE.若AC＝2，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．例4題圖例5題圖3方法三倍長(zhǎng)中線法方法解讀情形1倍長(zhǎng)中線條件：如圖，在△ABC中，AD是BC邊的中線．

輔助線作法1：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE.輔助線作法2：過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.結(jié)論：△ACD≌△EBD.情形2倍長(zhǎng)類中線條件：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，E是邊AB上一點(diǎn)，連接DE.

輔助線作法1：延長(zhǎng)ED至點(diǎn)F，使DF＝ED，連接CF.輔助線作法2：過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.結(jié)論：△BDE≌△CDF.例6

如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE＝AC，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F，求證：AF＝EF.一題多解法例6題圖證法一：如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使得AD＝DG，連接BG.G∵AD是BC邊上的中線，∴DC＝DB.在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB(SAS)，一題多解例6題圖G∴∠CAD＝∠G，BG＝CA.又∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠BED＝∠G.∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAD，∴AF＝EF.證法二：如圖，延長(zhǎng)ED至點(diǎn)H，使得DH＝DE，連接CH.例6題圖H∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD.在△BDE和△CDH中，∴△BDE≌△CDH(SAS)，∴BE＝CH，∠BED＝∠H.∵AC＝BE，∴AC＝CH，∴∠H＝∠FAE.∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF.例7如圖，在正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且∠EFD＝∠ADF，求tan∠CDF的值．例7題圖解：如圖，延長(zhǎng)FE至點(diǎn)G，使得EG＝EF，連接AG.G設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，設(shè)CF＝x，則BF＝1－x，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE.在△AEG和△BEF中，例7題圖G∴△AEG≌△BEF(SAS)，∴AG＝BF＝1－x，∠EAG＝∠EBF＝∠BAD＝90°，∴D，A，G三點(diǎn)共線．∵∠EFD＝∠ADF，∴GF＝GD＝1－x＋1＝2－x，EF＝

GF＝1－

.在Rt△BEF中，由勾股定理得，BF2＋BE2＝EF2，即(1－x)2＋()2＝(1－

)2，解得x＝

或x＝1(舍去)，∴tan∠CDF＝

＝

.二階

綜合訓(xùn)練1.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，D，E分別為邊AC，BC的中點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC交BC于點(diǎn)F，若EF＝2，求BF的長(zhǎng)．第1題圖解：如圖，連接DE，BD.∵點(diǎn)D，E分別為邊AC，BC的中點(diǎn)，∴DE∥AB，BD＝CD，∴∠DEC＝∠ABC＝90°，∠DBC＝∠C＝30°，∴∠DEF＝90°.第1題圖∵DF⊥AC，∴∠CDF＝90°，∴∠DFE＝90°－∠C＝60°，∴∠DBF＝∠BDF＝30°，∴BF＝DF.∵EF＝2，cos∠DFE＝

＝

，∴DF＝4，∴BF＝4.2.如圖，在△ABC中，D是邊AC的中點(diǎn)，E為BC邊上一點(diǎn)，且CD＝CE，∠ACB＝30°，∠BAC＝45°，若DE＝2，求AB的長(zhǎng)．第2題圖解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF∥DE交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.F∵CD＝CE，∠ACB＝30°，∴∠CED＝∠CDE＝

(180°－∠ACB)＝75°.∵AF∥DE，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，∴DE為△ACF的中位線，∴∠CFA＝∠CAF＝∠CED＝∠CDE＝75°，∴∠BAF＝∠CAF－∠BAC＝30°，AF＝2DE＝4，第2題圖F∴∠ABF＝180°－∠AFB－∠BAF＝75°.∵∠ABF＝∠AFB＝75°，∴AB＝AF＝4.3.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝45°，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)．若AC＝2，求EF的長(zhǎng)．第3題圖

解：如圖，連接BE，DE.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴BE＝

AC，DE＝

AC，∴BE＝DE＝1.∵∠BEC是△ABE的外角，BE＝AE，∴∠BEC＝2∠BAE，同理可得∠DEC＝2∠DAC，∴∠BED＝∠BEC＋∠DEC＝2∠BAD＝90°，第3題圖∴在Rt△BDE中，BD＝

BE＝

.∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，∴EF＝

BD＝

.

解題關(guān)鍵點(diǎn)連接BE，DE，通過(guò)線段關(guān)系推導(dǎo)出角度關(guān)系，從而得到△BED為等腰直角三角形．4.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，E是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB上一點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若∠G＝45°，GF＝

，AC＝4，求BF的長(zhǎng)．第4題圖解：如圖，延長(zhǎng)FE至點(diǎn)Q，使得EQ＝EF，連接CQ.Q∵點(diǎn)E是邊BC的