高中數(shù)學(xué)講義-復(fù)數(shù)課堂總結(jié)

高中數(shù)學(xué)講義一復(fù)數(shù)課堂總結(jié)

目錄

1.思維導(dǎo)圖....................................................................1

2.數(shù)學(xué)抽象....................................................................2

2.1.題型一復(fù)數(shù)的概念....................................................2

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算.....................................................................3

3.1.題型二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算................................................3

4.直觀想象.....................................................................4

4.1.復(fù)數(shù)的幾何意義........................................................4

5.復(fù)數(shù)的概念：...............................................................4

6.復(fù)數(shù)的幾何意義：...........................................................5

7.復(fù)數(shù)的模：.................................................................5

8.復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：.............................................................5

9.復(fù)數(shù)相等特別提醒：.........................................................6

10.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技巧..............................................................6

11.數(shù)學(xué)中的合數(shù)是什么意思？..................................................7

11.1.合數(shù)的概念.............................................................7

11.2.什么是質(zhì)數(shù).............................................................7

11.3.質(zhì)數(shù)和合數(shù)應(yīng)用.........................................................7

12.章末質(zhì)量檢測(cè)卷（二）復(fù)數(shù)....................................................7

1.思維導(dǎo)圖

第1頁(yè)共15頁(yè)

概念

幾何意義

復(fù)數(shù)的概念

共軌復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)

加法、減法運(yùn)算

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算乘法、除i去運(yùn)算

2.數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思路，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的

本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過(guò)程中.在本章中，主要體現(xiàn)在

復(fù)數(shù)的基本概念中.

2.1.題型一復(fù)數(shù)的概念

(1)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)。+詈(adR)是純虛數(shù)，則。=()

A.4B.3

C.2D.1

(2)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=a+i(aeR)滿足z2+z=l—3i,則|z|=()

A.巾或小B.2或5

C.小D.5

.,6+2i(6+2i)(—1—i)

解析：(1)??Z+—

1—1(―1+i)(—1—i)

,—4—8i

4+-2-=。一2—4i是純虛數(shù),

??.q—2=0,即a=2,故選C.

(2)?/z2+z=:(^+i)2+6z+i

=a2-1+a+(2〃+l)i=1—3i,

第2頁(yè)共15頁(yè)

cr-1+a=1,

解得a=-2.

2。+1=-3,

.?.z=—2+i,故|z|=—(—2)2+12=小.

故選C.

答案：(1)C(2)C

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)

結(jié)果的重要手段.在本章中，主要表現(xiàn)在復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算中.

3.1.題型二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

y一2

(1)已知復(fù)數(shù)z=l+i(i為虛數(shù)單位)，則z2+：=()

A.1+iB.1-i

C.-1+iD.-1-i

(2)已知復(fù)數(shù)z滿足(l+，§i)z=J3i,則z=()

3近3

-+-V23

A.22B.2-

33邛

c-+??

4V431D.4-1

解析：⑴???z=l+i,

22

2故選

/.z+~z—21+71+717=l+i.A.

土上口彳，日________小i(1一小一

()法一：由已知何，z=]+小j=(]十小i)(1-4)

=呼=1+小?故選C.

法二：設(shè)z=a+〃i,Q,〃￡R,則由(1+，§i)z=y[3i,可得(l+，§i),(a+

bi)=y/3i,即(〃一6b)+(y/3a+b)i=y[3i,所以〃一小匕=0,小a+b=y[3，

33

所以

即-V3-+坐i.故選c.

a-4-4z-4

答案：(1)A(2)C

第3頁(yè)共15頁(yè)

4.直觀想象

直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，在本

章中，主要表現(xiàn)在復(fù)數(shù)Z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量應(yīng)之間的相互聯(lián)系中.

4.1.復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)設(shè)復(fù)數(shù)Z1和Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，且Zl=3一

2i,貝(Jzi,Z2=()

A.-5+12iB.-5-12i

C.-13+12iD.-13-12i

(2)已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量為應(yīng)(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，0Z與實(shí)軸正方向的夾角

為120。，且復(fù)數(shù)z的模為2,則復(fù)數(shù)2為()

A.1iB.—1+/i

C.—1—小iD.—1±^/3i

解析：(l)zi=3—2i,則Z2=—3+2i,所以ZI?Z2=(3—2i)(—3+2i)=—5

+⑵.故選A.

(2)設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為Z(a,b).

根據(jù)題意可畫圖形如圖所示.

\z\=2,且它與龍軸正方向的夾角為120°,

：.a=-1,b=±\f3,

即點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(一1,小)或(一1,一事).

：.z=-1+小i或—1—4i.

答案：(1)A(2)D

5.復(fù)數(shù)的概念：

形如a+bi(a,beR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位。全體復(fù)數(shù)所成的

集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示。

復(fù)數(shù)的表示：

復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即2=2+切(a,beR),這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的

代數(shù)形式，其中a叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫復(fù)數(shù)的虛部。

第4頁(yè)共15頁(yè)

6.復(fù)數(shù)的幾何意義:

（1）復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：

點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是b,復(fù)數(shù)z=a+bi（a、bGR）可用點(diǎn)Z（a,b）

表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y

軸叫做虛軸。顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純

虛數(shù)

（2）復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)

應(yīng)關(guān)系，即

這是因?yàn)椋恳粋€(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，復(fù)平

面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有惟一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)。

這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義，也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示

方法。

7.復(fù)數(shù)的模：

復(fù)數(shù)z=a+bi（a、bGR）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z（a,b）到原點(diǎn)的距離叫復(fù)

數(shù)的模，記為|Z|,即|Z|=

虛數(shù)單位i：

（1）它的平方等于一1,即i2=—1；

（2）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍

然成立

（3）i與-1的關(guān)系：i就是一1的一個(gè)平方根，即方程x2=-l的一個(gè)根,

方程x2=-l的另一個(gè)根是一i。

（4）i的周期性:i4n+l=i,i4n+2=—1,i4n+3=-i,i4n=1。

8.復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：

復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：

對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi（a、b《R）,當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，復(fù)數(shù)a+bi（a、b￡R）是實(shí)

數(shù)a；當(dāng)bWO時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且bWO時(shí)，z=bi叫做純虛數(shù)；

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=O時(shí)，z就是實(shí)數(shù)0。

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兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：

如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，即:

如果a,b,c,d@R,那么a+bi=c+di

a=c,b=do特殊地，a,b￡R時(shí)，a+bi=O

a=0,b=0o

復(fù)數(shù)相等的充要條件，提供了將復(fù)數(shù)問(wèn)題化歸為實(shí)數(shù)問(wèn)題解決的途徑。

9.復(fù)數(shù)相等特別提醒：

一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小。如果兩個(gè)復(fù)數(shù)

都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小，也只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小。

解復(fù)數(shù)相等問(wèn)題的方法步驟：

(1)把給的復(fù)數(shù)化成復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式；

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件解之。

10.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技巧

1、做好預(yù)習(xí)：

單元預(yù)習(xí)時(shí)粗讀，了解近階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容，課時(shí)預(yù)習(xí)時(shí)細(xì)讀，注重知識(shí)的

形成過(guò)程，對(duì)難以理解的概念、公式和法則等要做好記錄，以便帶著問(wèn)題聽(tīng)課。

2、認(rèn)真聽(tīng)課：

聽(tīng)課應(yīng)包括聽(tīng)、思、記三個(gè)方面。聽(tīng)，聽(tīng)知識(shí)形成的來(lái)龍去脈，聽(tīng)重點(diǎn)和

難點(diǎn)，聽(tīng)例題的解法和要求。思、，一是要善于聯(lián)想、類比和歸納，二是要敢于

質(zhì)疑，提出問(wèn)題。記，指課堂筆記一一記方法，記疑點(diǎn)，記要求，記注意點(diǎn)。

3、認(rèn)真解題：

課堂練習(xí)是最及時(shí)最直接的反饋，一定不能錯(cuò)過(guò)。不要急于完成作業(yè)，要

先看看你的筆記本，回顧學(xué)習(xí)內(nèi)容，加深理解，強(qiáng)化記憶。

4、及時(shí)糾錯(cuò)：

課堂練習(xí)、作業(yè)、檢測(cè)，反饋后要及時(shí)查閱，分析錯(cuò)題的'原因，必要時(shí)強(qiáng)

化相關(guān)計(jì)算的訓(xùn)練。不明白的問(wèn)題要及時(shí)向同學(xué)和老師請(qǐng)教了，不能將問(wèn)題處

于懸而未解的狀態(tài)，養(yǎng)成今日事今日畢的好習(xí)慣。

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11.數(shù)學(xué)中的合數(shù)是什么意思?

11.1.合數(shù)的概念

合數(shù)指自然數(shù)中除了能被1和本身整除外，還能被其他數(shù)（0除外）整除的

數(shù)。與之相對(duì)的是質(zhì)數(shù)，而1既不屬于質(zhì)dao數(shù)也不屬于合數(shù)。最小的合數(shù)是

4<,其中，完全數(shù)與相親數(shù)是以它為基礎(chǔ)的。

11.2.什么是質(zhì)數(shù)

質(zhì)數(shù)又稱素?cái)?shù)，有無(wú)限個(gè)。一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不

能被其他自然數(shù)整除，換句話說(shuō)就是該數(shù)除了1和它本身以外不再有其他的因

數(shù)；否則稱為合數(shù)。

根據(jù)算術(shù)基本定理，每一個(gè)比1大的整數(shù)，要么本身是一個(gè)質(zhì)數(shù)，要么可

以寫成一系列質(zhì)數(shù)的乘積；而且如果不考慮這些質(zhì)數(shù)在乘積中的順序，那么寫

出來(lái)的形式是唯一的。最小的質(zhì)數(shù)是2。

11.3.質(zhì)數(shù)和合數(shù)應(yīng)用

1、質(zhì)數(shù)與密碼學(xué)：所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時(shí)加入質(zhì)數(shù)，

編碼之后傳送給收信人，任何人收到此信息后，若沒(méi)有此收信人所擁有的密鑰，

則解密的過(guò)程中（實(shí)為尋找素?cái)?shù)的過(guò)程），將會(huì)因?yàn)檎屹|(zhì)數(shù)的過(guò)程（分解質(zhì)因

數(shù)）過(guò)久，使即使取得信息也會(huì)無(wú)意義。

2、質(zhì)數(shù)與變速箱：在汽車變速箱齒輪的設(shè)計(jì)上，相鄰的兩個(gè)大小齒輪齒數(shù)

設(shè)計(jì)成質(zhì)數(shù)，以增加兩齒輪內(nèi)兩個(gè)相同的齒相遇嚙合次數(shù)的最小公倍數(shù)，可增

強(qiáng)耐用度減少故障。

12.章末質(zhì)量檢測(cè)卷（二）復(fù)數(shù)

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

一+3』）

「l+2il-2i（）

A.—|B.1

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3

C.一§iD.i

]2i________1—2i2i(l+2i)

[l+2i+l-2i=(l+2i)(l-2i)+(l-2i)(l+2i)

l-2i+2i—43

=一.故選

55A.]

2-i

2.已知復(fù)數(shù)Z—機(jī)+i為實(shí)數(shù)（加為實(shí)數(shù)單位），則機(jī)一（）

55

A.~3B.一5

C.-2D.-1

(2-i)(m—i)2m—1—(m+2)i.,、山,

C[Z-（一2.1，因?yàn)閆是實(shí)數(shù)，則一

（"2十1）（"2—1）機(jī)”十1

加+2

=0,所以優(yōu)=—2.故選C.]

/n2+1

3.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（1+?。﹊的虛部是（）

A.1B.小

C.1+73D.（1+?。﹊

C[由復(fù)數(shù)的概念知，復(fù)數(shù)（1+?。﹊的虛部是1+小，故選CJ

4.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)zi=-3+2i,z2=l-4i,則復(fù)數(shù)z=zi+z2在復(fù)

平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

C[由復(fù)數(shù)加法運(yùn)算可知z=zi+z2=—3+2i+l—4i=-2—2i.在復(fù)平面內(nèi)

表示的點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,-2）,所以所在象限為第三象限.所以選C.]

5.已知為=(5,-1),OB=(3,2),AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則方=()

A.5-iB.3+2i

C.-2+3iD.-2—3i

D[由題可知油=(-2,3),故油對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=-2+3i,則方=-

2—3i,故選D.]

第8頁(yè)共15頁(yè)

6.若z=（加+1）+（加一1）近是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限,

則實(shí)數(shù)〃2的取值范圍為（）

A.(—8,—1)B.(—8,1)

C.(-1,1)D.(-1,+8)

C[z=("?+l)+(a—l)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(〃?+1,加一1),因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四

，”+1>0,

象限，得彳人解得一1<相<1.故選C.]

1m—1<0,

7.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足??；=-i,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.z為純虛數(shù)

B.在復(fù)平面內(nèi)，7對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

C.z的虛部為2i

D.|z尸小

,z+3,曰一3+i(—3+i)(1—i)一

D由口=-i^z=-r+r=(i+i)(i——=—i+2i，z

1一2i,

z=-l+2i不為純虛數(shù)，A不正確；z=—1—2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（一1,—2）位于

第三象限，B不正確；z=—l+2i的虛部為2,C不正確；\z\=yj（-1）2+22=

小，D正確.故選D.]

8.已知Z],Z2均為復(fù)數(shù)，下列四個(gè)命題中，為真命題的是（）

A.|zi|=|z

B.若31=2,則Z2的取值集合為｛-2,2,—2i,2i｝（i是虛數(shù)單位）

C.若1+Z2=0，則Zl=0或Z2=0

D.Z1Z2+ZIZ2一定是實(shí)數(shù)

D[對(duì)A,例如取zi=i,則W無(wú)意義，故A錯(cuò)誤；對(duì)B,|Z2|=2,取Z2

=2（cos8+isin。），2兀），故B錯(cuò)誤；對(duì)C,例如取zi=i,z2=~i,滿足

條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)D,設(shè)z\=a+hi,Z2=c+di,a,b,c,d￡R,則ziz2

+z1Z2=3+Ai)(c—di)+(。-Ai)(c+di)=ac~\-bd~\~(be—ad)\+ac+bd+(ad—

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bc）i=2ac+2bd,所以ziz2+z1Z2是實(shí)數(shù)，故D正確.故選D.]

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全

的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

9.若復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=3+i（其中i是虛數(shù)單位）,復(fù)數(shù)z的共車厄復(fù)數(shù)為7，

則（）

A.|z|=V5

B.z的實(shí)部是2

C.z的虛部是1

D.復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

3+i(3+i)(1—i)4-2i

ABD；下=(+)(-)=2=2-i,

.,.|z|=^22+l=小，故選項(xiàng)A正確；z的實(shí)部是2,故選項(xiàng)B正確；z的虛部

是一1,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)，=2+i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（2,1）,在第一

象限，故選項(xiàng)D正確.故選ABD.]

10.給出下列命題，其中是真命題的是（）

A.純虛數(shù)z的共加復(fù)數(shù)是一z

B.若Zl—Z2=0,則zi=z2

C.若Z1+Z2GR,則Zl與Z2互為共輾復(fù)數(shù)

D.若Zl—Z2=0,則ZI與"2互為共枕復(fù)數(shù)

AD[A項(xiàng)，根據(jù)共軻復(fù)數(shù)的定義，顯然是真命題；B項(xiàng)，若Zl—Z2=0,則

Z1=Z2,當(dāng)Zl,Z2均為實(shí)數(shù)時(shí)，則有Zl=Z2,當(dāng)Zl,Z2是虛數(shù)時(shí)，Z1關(guān)Z2,所

以B是假命題；C項(xiàng)，若Z1+Z2GR,則Zl,Z2可能均為實(shí)數(shù)，但不一定相等，

或ZI與Z2的虛部互為相反數(shù)，但實(shí)部不一定相等，所以C是假命題；D項(xiàng)，若

Zl—Z2=0,則Z1=Z2,所以Z1與Z2互為共聊,復(fù)數(shù)，故D是真命題.故選AD.]

11.（2020.滕州一中高二開(kāi)學(xué)考試）下面關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題中，結(jié)論正確

的是（）

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A.若復(fù)數(shù)zdR,則zGR

B.若復(fù)數(shù)z滿足Z2￡R,則ZGR

C.若復(fù)數(shù)z滿足}GR,則zGR

D.若復(fù)數(shù)Zl,Z2滿足Z1Z2GR,則Z1=Z2

AC[A選項(xiàng)，設(shè)復(fù)數(shù)z=a+歷(a,b&R),則z=a-b\{a,〃GR),因?yàn)?/p>

zGR,所以匕=0,因此z=aGR,即A正確；

B選項(xiàng)，設(shè)復(fù)數(shù)z=a+〃i(a,bSR),則z2=(a+歷)2=4—》2+2。為，

因?yàn)閆2^R,所而=0,若a=0,0W0,則夫R,故B錯(cuò)；

C選項(xiàng)’設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,麻R),貝葉=露=篝=冷一

b.

a^+b2L

1h

因?yàn)槿鼼R,所以/+蘇=0,即/?=0,所以z=aGR,故C正確；

D選項(xiàng)，設(shè)復(fù)數(shù)zi=a+bi(a,b^R),Z2=c+di(c,c/GR),

則ziZ2=(a+Z?i)(c+di)=(ac-/?6/)+(ad+方c)i,

a=\,c=2,

因?yàn)閆IZ26R,所以ad+"c=O,若I能滿足ad+hc=O,

S=l,[d=-2,

但Z1#Z2,故D錯(cuò)誤.故選AC.]

12.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)法，其中正確的是()

A.復(fù)數(shù)z=a+歷(a,8?R)是實(shí)數(shù)的充要條件是6=0

B.復(fù)數(shù)z=a+/?i(a,b@R)是純虛數(shù)的充要條件是

C.若Z”Z2互為共貌復(fù)數(shù)，則ZIZ2是實(shí)數(shù)

D.若zi,Z2互為共輾復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱

AC[對(duì)于A：復(fù)數(shù)z=a+〃i(a,匕@R)是實(shí)數(shù)的充要條件是Z?=0,顯然成

立，故A正確；對(duì)于B：若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,匕GR)是純虛數(shù)，則a=0且bWO,

故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若zi,Z2互為共舸復(fù)數(shù)，設(shè)zi=a+Ai(a,8WR),則Z2=a

—bi(a,bGR),所以ziz2=(a+bi)(a一歷)=層一名[2=<+"是實(shí)數(shù),故c正確；

對(duì)于D：若zi,Z2互為共匏復(fù)數(shù)，設(shè)zi=a+bi(a,Z?GR),則Z2=a—bi(a,bG

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R),所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為(a,b),(a,-h),這兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故

選AC.]

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線

上)

13.已知復(fù)數(shù)z=l—2i,那么上=.

Z

解析：Vz=l-2i,/.z=l+2i,故="I]=.,1_32i~~777-

z1+21(1+21)(.1—21；

l-2i12.

555L

答案：P1I?1

14.若1+6i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程/+法+c=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則方

+c=

解析：因?yàn)?+啦i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程r+^+cuO的一個(gè)復(fù)數(shù)根，

所以(1+也i)2+^(l+V2i)+c=O,

即一1+2色i+b+巾bi+c=O,

.'.b+c=l.

答案：1

15.復(fù)數(shù)z滿足(z+2i)i=3—i,則|z|=.

解析：?.?復(fù)數(shù)z滿足(z+2i)i=3—i,

，z=—-2i=-l-5i,則0=回.

答案：^26

16.如果向量應(yīng)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)4i,改繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°后再把

模變?yōu)樵瓉?lái)的6倍得到向量近1,那么與龍?對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(用代數(shù)

形式表示).

解析：?.?4i=4(cos90。+isin90°).

所求復(fù)數(shù)為4(cos90°+isin90°)X^/2(cos45°+isin45°)=4啦(cos

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135°+isin135°)=4/(—坐+羋[=—4+4i.

答案：一4+4i

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證

明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)已知復(fù)數(shù)z=lg(nr+2m+1)+(m2+3m+2)i(i為虛數(shù)

單位)，試求實(shí)數(shù)〃2分別取什么值時(shí)，Z分別為：

⑴實(shí)數(shù)；

(2)虛數(shù);

(3)純虛數(shù).

[m2+2m+1>0,

解析：⑴由々I。八得〃z=-2,?,?當(dāng)加=—2時(shí)，z是實(shí)數(shù)；

”十3加十2=0,

[/?Z2+2/??+1>0,

⑵由J7ZA得mW—1且mW—2,???當(dāng)加6(—8,—2)U(—2,

1機(jī)”9十3加+2750,

—1)U(―1,+8)時(shí)，Z是虛數(shù)；

[m2+3m+2#:0,2+3m+2W0,

(3)由題意得?即J.」?

[lg(/n2+2m+1)=n0,[in2+2m+l=l,

解得機(jī)=0..\當(dāng)機(jī)=0時(shí)，z是純虛數(shù).

18.(本小題滿分12分)(1)在①z+"T=4,②z為純虛數(shù)，③z為實(shí)數(shù)，這

三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題.

已知復(fù)數(shù)z=(m2—3/7?+2)+(m2—5m+6)i(i為虛數(shù)單位)，z為z的共輛復(fù)

數(shù)，若，求實(shí)數(shù)〃2的值；(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)

條件給分)

(2)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解關(guān)于x的方程：X2+2X+2=0.

解析：(1)①：z=(〃我一3M+2)—(nr—5〃z+6)i,z+z=4,

2</772-3m+2)=4,即m2—3m=0,解得m=0或m=3.

②為純虛數(shù)，

機(jī)2—3m+2=0,

,解得m=1.

、用9—25m+6W0,

③..2為實(shí)數(shù)，???加2—5m+6=0,解得m=2,〃2=3.

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(2)'..(x+1)2=-1=i2,.,.xi=-1+i,X2=-1-i.

19.(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)zi=a+i,Z2=l—i,aGR.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求zi?z2的值；

(2)若zi—Z2是純虛數(shù)，求a的值；

(3)若言在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求a的取值范圍.

解析：(1)由題意知，z2=l+i,zi,z2=(l+i)(14-i)=14-2i+i2=2i.

(2)由題意知zi—Z2=(a-l)+2i為純虛數(shù)，則a—1=0,所以a=l.

zia+i(a