高中數(shù)學(xué)第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題 (59)(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題（59）

一、單項選擇題（本大題共9小題，共45.0分）

1.如圖，設(shè)矩形ABCQ所在平面與梯形ACEF所在平面相交于4c.若4B=1,BC=W，4F=FE=

EC=1,則下列二面角的平面角的大小為定值的是（）

A.F-AB-CB.B-AF-DC.A-BF-CD.B-EF-D

2.已知棱長為1的正方體4BCD-&B1C1D1中，E,F,〃分別是AB、AD,441的中點，又P、Q

分別在線段A/i、-上，且力鏟=&Q=x,0<x<1,設(shè)面MEFn面MPQ=，，則下列結(jié)論

中不成立的是（）

A.，〃面ABCB.11AC

C.面ME尸與面MPQ不垂直D.當(dāng)x變化時，/不是定直線

3.在三棱錐P—ABC中，平面PBC1平面ABC,/.ACB=90°,BC=PC=2,若AC=PB,則三棱

錐P—48C體積的最大值為（）

A.延B.破C.166D326

3927?27

4.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，/.DAB=60°,現(xiàn)將△BCD沿BD折疊到△BPO的位置，若

三棱錐P-4B0的外接球的表面積為?兀，則三棱錐P-4B。的體積為

B?竽

5.在正方體ZBCD-&B1C1C1中，N為底面A8CZ）的中心，P為線段上的動點（不包括兩個端

點），M為線段4P的中點，則下列判斷錯誤的是（）

Di

A.CM>PN

B.CM與PN是異面直線

C.平面H4N1平面BD/Bi

D.過P,A,C三點的正方體的截面一定是等腰梯形

6.如圖，設(shè)線段DA和平面ABC所成角為a(0<a<)，二面角D-AB-

c的平面角為S，貝久)

A.a<p<n

B.a<p<rt-a

C.a<p<n

D.-a<p<TT-a

7.如圖所示，直三棱柱ABC-G中，44i=2,AB=BC=1,/.ABC=90°,外接球的球

心為O,點E是側(cè)棱SB1上的一個動點.有下列判斷：

①&E一定不垂直AC1；②直三棱柱內(nèi)存在一個球，其球的體積最大值是gg

③三棱錐E-的體積為定值；④4E+EC］的最小值為2企.

其中正確的個數(shù)是

A.1B.2C.3D.4

8.已知Q41平面ABC,PC1平面ABC,AB1BC,PC=1,AB=AQ=3,BC=4,現(xiàn)有下述四

個結(jié)論：①四邊形ACPQ為直角梯形；②四面體P48C的外接球的表面積為25兀；③平面PBC1

平面QAB；④四面體P4BC與四面體248c的公共部分的體積為|.其中所有正確結(jié)論的編號是

A.①③B.①③④C.②④D.①②③④

9.如圖是一個幾何體的三視圖，則此幾何體的體積是（）

正視圖側(cè)視圖

脩視圖

A.2?r+-B.2?r+-C.-7TD.；兀

3333

二、多項選擇題（本大題共4小題，共16.0分）

10.如圖，正方體48。。一力道他也棱長為1,線段BQ上有兩個動點E、F,且EF=^,則下列

結(jié)論正確的是（）

A.AC_L平面BEFB.AE、8廠始終在同一個平面內(nèi)

C.EF〃平面ABCDD.三棱錐4-BEF的體積為定值

11.如圖，正方體4BC0-4出16。1的棱長為1,點MCAB],N€BC「且4M

BN豐立,則下列說法正確的是（）

A.AAi1MN；

B.41cJ/MN；

C.MN〃平面4當(dāng)Ci%；

D.MN與&G是異面直線.

12.在正方體4BC。-4B1GD1中，點E,尸分別是CD】，BD的中點.則下

列結(jié)論正確的是（）

A.EF1CF

B.EF1B/

C.平面CEF，平面CFBi

D.BiE與平面CEF所成角的正弦值為夸

13.在正方體ABCD-AiBiGDi中，M在8傳上，N在8。上，且瓦=3祝，前=3前，則

AB

A.CN〃平面441G

B.異面直線MN與AZ）所成角的正切值為加

C.MN平面BiCDi

D.過A、G、M三點的平面截正方體所得的截面為等腰梯形

三、填空題（本大題共6小題，共30.0分）

14.己知正三棱柱ABC-&B1G的側(cè)棱長為4,底面邊長為2,用一個平面截此棱柱，與側(cè)棱

BBi，CCi分別交于點M,N,Q,若AMNQ為直角三角形，則/MNQ面積的最大值為.

15.矩形ABCD中，AB=陋，BC=1,現(xiàn)將△ACD沿對角線4c向上翻折，得到四面體D-ABC,

則該四面體外接球的表面積為;若翻折過程中8。的長度在［9,乎］范圍內(nèi)變化，則點

。的運動軌跡的長度是

16.已知四邊形48。是邊長為5的菱形，對角線BD=8（如圖①）,

現(xiàn)以AC為折痕將44BC折起，使點B到達點P的位置，棱AC,

P。的中點分別為E,F,且四面體PACO的外接球球心在四面

體內(nèi)部（如圖②），則線段EF長度的取值范圍為

17.平面四邊形ABCZ）中，BC=3,ABAC=30°,4"=VILADLAC,將它沿對角線AC翻折,

得到直二面角D'-AC-B（如圖所示），此時四面體ABCD'的外接球的體積是.

18.在菱形ABC。中，4n48=60°,將這個菱形沿對角線BO折起，使得平面/MB1平面BOC,若

此時三棱錐A-BCD的外接球的表面積為5乃，則AB的長為.

19.已知點P是正方體ABC?！?B1GD1的底面ABCQ上一動點，旦滿足|P*=2|PB|,設(shè)PD1與平

面48C。所成的角為。，則。的最大值為.

四、多空題(本大題共1小題，共4.0分)

20.已知四棱錐P-4BCD的底面ABC。是邊長為3的正方形，PDABCD,PD=6,E為PD

中點，過EB作平面a分別與線段PA,PC交于點M,N,且4c//a,則翳四邊形EMBN

的面積為_(2)_.

五、解答題(本大題共10小題，共120.0分)

21.如圖，在四棱錐P-4BCD中，已知PB，底面1BC,AD//BC,AB=-AD=2,PD1CD,

異面直線PA與CO所成角等于60。.

(1)求直線PC與平面PA。所成角的正弦值的大??；

(2)在棱PA上是否存在一點E,使得二面角4-8E—D的余弦值為彳?若存在，指出點E在棱

PA上的位置;若不存在，說明理由.

22.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面ABCD為矩形,P4，平面ABCD,

PA=AD,E為中點.

(I)證明：4B〃平面PCD.

(II)證明：AEl￥?iPCD.

23.如圖，正方形ABC。和四邊形ACEF所在的平面互相垂直.EF〃/IC,

AB=V2,CE=EF=1.

⑴求證：力"/平面BCE.

(2)求證：CFJ_平面8QE.D

(3)在直線CC上是否存在點M,使得4M，平面BDE?并說明理由.

24.如圖，在四棱錐E-4BC0中，底面A5CD為正方形，4E_L平面CDE,已知力E=0E=3,F

為線段QE上的動點.

(/)若尸為OE的中點，求證：BE〃平面4CF;

(D)若二面角E-BC-尸與二面角D-BC-產(chǎn)的大小相等，求DF長.

25.已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖是直角三角形，俯視圖是有一條

對角線的正方形，E是側(cè)棱PC上的動點.

(1)求證：平面24c1平面BDE；

(2)若E為PC的中點，求直線BE與平面PBC所成角的正弦值.

26.在如圖所示的幾何體中，四邊形A8CQ為矩形，平面4BEFABCD,EF//AI3,ABAF=90°,

AD=2,AB=AF=2EF=1,點P在棱力尸上,

(1)若點P為。F的中點，求異面直線BE與CP所成的角的余弦值;

(2)若平面D4P與平面APC夾角的余弦值為華，求尸尸的長度.

3

27.如圖，在三棱柱力BC-AiBiG中，乙4cB=4cleB=90°,乙414C=60°,D,E分別為和&G

的中點，且=AC=BC.

E.

(I)求證:&E〃平面Be”；

(n)求平面BC1。與平面A8C所成銳二面角的余弦值.

28.如圖，AZBC的外接圓。。的半徑為遮，CD_LO0所在的平面，BEHCD,CD=4,BC=2,

且BE=1,tan/AEB=2圾

(1)求證：平面40C_L平面8CCE.

(2)試問線段。E上是否存在點M,使得直線AM與平面4CZ)所成角的正弦值為多若存在，確

定點M的位置，若不存在，請說明理由.

29.已知正方形48CQ,E,尸分別為AB,C￡＞的中點，將AADE沿。E折起，使△力CD為等邊三角

形，如圖所示，記二面角A-CE-C的大小為0(0＜。＜兀).

(1)證明：點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線E尸上:

(2)求角。的正弦值.

30.如圖，長方體ABCD-4出6。1的底面ABCD是正方形，點E在棱上，BEVECr.

(1)證明：BE，平面EBiG；

(2)若4E=&E,AB=3,求四棱錐E-BaGC的體積.

(3)若4E=&E,求二面角B-EC-6的正弦值.

【答案與解析】

1.答案：D

解析：

本題考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，訓(xùn)練了二面角

的平面角的求法，考查運算求解能力，是中檔題.

在等腰梯形ACEF中，過F作FGJ.AC于G,作EH1AC于H,連接BG,DH,可得NBFG為二面角

B-EF-4的平面角，NOEH為二面角。一EF—C的平面角，由4CJL平面BG凡ACI5??DHE,可

得二面角B-EF-。的平面角為ZBFG+乙DEH,進一步求得NBFG+乙DEH=90。得答案.

解：如圖，

在等腰梯形ACEF中，過F作FG_L4C于G,作EH工4C于”，

連接BG,DH,

由矩形ABCO得，AC=2,

在梯形ACEF中，由ZF=CE=EF,可得4G=工，F(xiàn)G=EH=―，

22

由三角形ABC為直角三角形，且4B=1,BC=?可得ZBAC=6O。，

則BG=J12+(1)2-2xlx|xi=y.

???^LAGB=90°,即BG14C,FGQBG=G,則ACJ■平面GFB,

???4BFG為二面角B-EF-4的平面角，

同理可得NDEH為二面角。-EF-C的平面角，

vACBGF,ACDHE,則二面角B—EF-D的平面角為NBFG+NDEH.

???△BGF與ADHE均為等腰三角形，

180°-4BGF1800-zDWE

???乙BFGZ.DEH=

22

VFG//EH,GB//HDf

NBGF+NDHE=180°,

???4BFG+乙DEH=360y+血￡)=2^2：=90°.

22

???二面角B-EF-D為定值.

故選D.

2.答案：D

解析:

本題考查空間想象能力，直線與平面，直線與直線的位置關(guān)系，考查邏輯推理能力.

畫出直線/,然后判斷選項即可.

解：如圖作出過M的中截面，

???棱長為1的正方體SBCD-41B1C1D1中，

E,F,M分別是4B、AD,44的中點，又P、。分別在線段AB1、上,

且&P=AQ=x,0<x<1,QP//EF,EF〃中截面，

QPcTffiMPQ,EFC平面MPQ,

E/7/平面MPQ,面MEFn面MPQ=I,

EFu面MEF,EF//1,

又EFu面ABCD,IC面ABCD,

.?"〃面ABC。，故選項A正確；

???幾何體是正方體，???4CJ.EF,EF//1

.-.ILAC,故選項B正確；

設(shè)&Gn=?！高B則。iM〃/1Q,

而ACJAIB.ACJBD.BD〃EF.AIB//ME,

所以O(shè)|N_LEF.O|M_LAIE,MEnMF=M,ME,MFu平面MEF,

所以O(shè)iM1平面MEF,過直線/與平面MEF垂直的平面只能有一個,

所以面與面MPQ不垂直，所以選項C是正確的；

因為EF〃1,M是定點，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以直線/是唯一的，故

選項。不正確.

故選O.

3.答案：D

解析：

本題考查三棱錐的體積的最大值的求法，考查空間向量坐標(biāo)運算、向量垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考

查運算求解能力，是中檔題.

取P8中點M,連結(jié)CM,推導(dǎo)出4c1平面PBC,設(shè)點A到平面PBC的距離為八=AC=2x,貝DCM1PB,

CM=V4—X2y從而

2222

SGPBC=jx2xxV4-x=xV4-x,VA_PBC=|x(x<4-%)x2x=,設(shè)t=<4-x.

(0<t<2),則Y=4-t2,從

而以-PBC=若處="券，(0<t<2)，關(guān)于，求導(dǎo)，得『?)=亨，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出三棱

錐P—4BC體積的最大值.

解：如圖，取PB的中點M,連接CM,因為平面PBC_L平面A8C,平面PBCC平面ABC=BC,ACu

平面ABC,AC1BC,所以AC1平面尸8c.

設(shè)點A到平面PBC的距離為/i=4C=2x；由于PC=8C=2,PB=2x(0<x<2),M為PB的中

點，所以CM_LPB,CM=<4-x2r可得SgipBc=|-2%-V4-%2=xV4-%2,

力-PBC=|x(x<4-x2)X2%=尹2；士設(shè)《=V4-X2(0<t<2)，WJx2=4-t2,所以%_PBC

￡￡^2=三(0<”2),

關(guān)于f求導(dǎo)得V'(t)=亨，令/(t)=0解得t=等或t=一學(xué)(舍)，

由U(t)單調(diào)性可知，當(dāng)《=雷時，(匕_PBC)表大=辭?

故選D.

4.答案：A

解析：

本題考查空間中的翻折問題、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征和三棱錐的外接球的性質(zhì)，屬較難題.

要求出三棱錐P-的體積，需要求點P到平面4BD的距離，及△ABD的面積，需要認清三棱錐

P-4B。的結(jié)構(gòu)特征，先依據(jù)已知條件可求出球的半徑，進一步探究球心位置，認識三棱錐的特征，

可求出ZPE4可得點P到直線AE的距離，即三棱錐P-ABO的高，從而問題得解.

解：取BO的中點E,連接AC,PE,菱形ABC。中，/.DAB=60°,

則408。和44BD是全等的正三角形，

??,三棱錐P—/BD的外接球的表面積為一',

?>

???外接球的半徑R=叵.

3

設(shè)球心為O,APB。秘AABD的外心分別為例、N,

則依據(jù)球的性質(zhì)有

OM±平面PBDON±平面4BD,ME=NE=：PE=^-,OB=R=華?

JJ45

又BM=竽,二OM=0N=l,OE=手/MEN=2/OEM=120°,于是“EC=60°.

點尸到直線AE的距離等于PEsin"EC=A/3xsin60°=|,

即三棱錐P-ABC的高為條

則三棱錐P—力BC的體積為三X?X%X^X4=3.

32222

故選A.

解析：

本題考查共面，面面垂直，正方體的截面等問題，需根據(jù)各個知識點進行推理證明判斷，難度較大.

由CN,PM交于點A得共面，可判斷B,利用余弦定理把CM,P/V都用4cMp表示后可比較大小，證明

AN與平面8DD1B］后可得面面垂直，可判斷C,作出過尸，A,C三點的截面后可判斷￡>.

解：連接PC,由正方體性質(zhì)可得C,N,4共線，

而PA,AC在APaC所在的平面內(nèi)，且點M在直線PA上，點N在直線AC上，

因此CM,PN均在平面PAC上，故B錯誤；

i己4P4C=9,則PN2=AP2+AN2-2AP-ANcosO=AP2+-AC2-AP-ACcos9,

4

CM2=AC2+AM2-2AC■AMcosd=AC2+-AP2-AP-ACcosd,又AP<AC,

4

CM2-PN2=^AC2-AP2)>0,CM2>PN2,即CM>PN,故A正確;

由于正方體中，AN1BD,8當(dāng)1平面ABCQ,ANc5]2?ABCD,

則BB1J_4N,BB]CBD=B,BB、、BO在平面BBiA。內(nèi)

可得ANJL平面BBiDiD,

4Nu平面尸AN,從而可得平面P4NJ■平面BDDiBi，故C正確;

取G"中點K,連接KP,KC，4G，易知PK〃&G，

又正方體中，A\C、〃AC,PK//AC,PK,AC共面，PKCA就是過P,A,C三點的正方體的截面,

PKCA是等腰梯形.。正確.

故選8.

6.答案：B

解析：

本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于較

難題.

如圖所示，圖一：過點。作D。J■平面ABC,垂足為。點，連接0A,過點。作0EL4B,垂足為E

點，連接DE.則N040是線段D4和平面ABC所成角a(0<a<今,

NOE。是二面角。一4B—C的平面角/?,利用直角三角形邊角關(guān)系即可得出.a<0<乃一a.同理圖

二中：可得a<7T—/?,a

解：如圖所示，

圖一：過點。作DO_L平面A8C,垂足為。點，

連接04,過點。作0E1AB,垂足為E點，連接DE.

則4040是線段D4和平面ABC所成角a(0<a<§,

NOED是二面角。-AB-C的平面角/?,

則tana=—,tanp=—,OA>OE,

tana<tan^,可得a<￡,a+<TT,因此a<0<7T—a.

同理圖二中：tana=詈，tan（兀一口）=器，

可得a<?r-0,a<f3,因此a<0<7r-a.

綜上可得：a<p<n-a.

故選：B.

7.答案：B

解析：

本題考查異面直線、線線垂直的判定、空間幾何體的體積等，屬于較難題.

逐個判斷各選項即可.

解：①選項：當(dāng)&E14B1時，4速平面

所以AiELACi，①錯誤；

②選項：由題易知其球的體積最大時，半徑r=等，

所以體積V=［兀（學(xué)）3=寧!兀，②錯誤；

③選項：球心。是直線4G，41c的交點，底面0A4的面積不變，

直線SB1〃平面440,所以點E到底面的距離不變，

三棱錐E-4公。的體積為定值，③正確；

④選項：將矩形441&B和矩形BBiGC展開到一個面內(nèi),

當(dāng)點E為AG與SB1的交點時，4E+EG取得最小值2a,④正確.

故選：B.

8.答案：B

解析：

本題考查空間中的垂直關(guān)系與四面體的外接球等問題，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).

根據(jù)題意依次判斷各個結(jié)論的正誤即可.

解：因為。4_L平面ABC,PCJL平面ABC,所以Q4〃PC,且PC1AC.又。4=3PC,所以四邊形ACPQ

為直角梯形.

依題意可得，四面體PA8C的外接球的球心0為線段PA的中點，因為4。=回節(jié)=5/。=1,

/cVs2+12x/26

AAO=-----=——

22

二四面體PABC的外接球的表面積為267r.

易證BCJ_平面QAB,而8Cu平面尸8C,所以平面PBC1平面QAB.設(shè)24CQC=D,

則四面體PABC與四面體QABC的公共部分為四面體4BCD.過。作0E14C于E.則器=言=%

所以DE=：PC=：，所以四面體ABCD的體積為:x；x3x4x：=|.

443242

故所有正確結(jié)論的①③④，

故選B.

9洛案：D

解析：

本題考查幾何體的三視圖.

根據(jù)幾何體的三視圖可知該幾何體為半個圓柱和四分之一個圓錐的組合體，求體積即可.

解：根據(jù)幾何體的三視圖可知該幾何體為半個圓柱和四分之一個圓錐的組合體，

圓柱的底面半徑為2,高為1,圓錐的底面半徑為2,高為2,

所以該幾何體的體積是位&+Ixix7rx22x2=-.

2433

故選。.

10.答案：ACD

解析：

本題考查直線與平面垂直、平行的判定，棱錐的體積，線線位置關(guān)系，考查空間想象能力，邏輯思

維能力，是中檔題.

通過直線AC垂直平面平面8%。山，判斷A是正確的；只需找出兩個特殊位置，即可判斷8是不正

確的；通過平面2BCD〃平面為B1GD1，可得EF〃平面ABCD,說明C是正確的；計算三角形8EF

的面積和A到平面BE尸的距離是定值，說明。是正確的；綜合可得答案.

解：???在正方體中，4C_LBD,_L平面B15DB,所以AC_L平面BEF,故A正確；

?.?當(dāng)點F在當(dāng)處，E為劣81的中點時，顯然AE,8P是異面直線，3不正確；

???平面4BCD〃平面EFu平面4出(?1。1，EF〃平面ABS,故C正確；

???由于點B到直線當(dāng)劣的距離不變，故^BEF的面積為定值.又點A到平面BE尸的距離為曰，故匕_BEF

為定值.。正確；

故選ACD

11.答案：AC

解析：

本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，涉及直線與直線，直線與平面間的位置關(guān)系判定，考查了空間想象

能力，屬于中檔題.

分別過點M,N作4出，BQ的垂線，垂足分別為Ni得到MM】_L平面公&(:也，NN11平面

力道傳1。1，且即可得到四邊形M/N】N為矩形，然后結(jié)合選項分析判斷即可求解.

解：分別過點M,N作BiG的垂線，垂足分別為Mi，M，

因為平面力力//J_平面&B1GD],

且平面44//n平面4/iCiDi=

所以MM1，平面48傳1。1，

乂MiMu平面為B1GD1，

所以MMi1MM

同理可得NN]，平面4道16。1，

所以MMJ/NNi，

又AM=BN豐五,則=C】N

而]MM】__81MlNN】_JN_。必

^-BrA-8遇/BB]-QB-QB】'

即MM】=箋=BiMi，NNi=*=GM，

所以MM】=NN],

所以MM】=NNj

所以四邊形MM/IN為矩形,

所以MN〃/Ni，

又1MM，

所以/L4i_LMN,故A正確:

由登=當(dāng)場,黯=為名,

又BiMi=GN】=1-BN，即々Mi與BiM不一定相等,

所以4cl與MiM不一定平行，即4cl與MN不一定平行,

故B錯誤;

因為MN〃MiM，且MiMu平面公&前。uMNC平面

所以MN〃平面4聲傳1。1，故C正確;

當(dāng)M,N分別為AB】，BG的中點時，滿足&G〃MiNi，此時4G〃MN,故。錯誤.

故選AC.

12.答案：ABC

解析：

本題考查了空間線面位置關(guān)系的判斷與性質(zhì)，考查線面角的計算，屬于中檔題.

證明CF_L平面BB15。，利用勾股定理證明EFJ.8/,從而可得出各結(jié)論.

解：(1)?:CB=CD,尸是B力的中點，CF_LBD,

乂BBi1平面ABCD,CFu平面ABCD,CF1BB「

又BDCBBi=B,CFJ■平面BB/i。，

又EFu平面:CFJLEF,故A正確；

(2)設(shè)正方體棱長為2,則Bi。1=BD=2V2,DE=1,DF=BF=五,

2222

EF=y/DE+DF=a，BrF=^BF+BBy=&，BrE=+DrE=3,

222

EF+BXF=BrE,EF1BrF,故8正確；

(3)由⑴(2)可知CF_LEf,EF_LBi尸，二EF1平面BiCf,

又EFu平面CEF,.?.平面CEF1平面CFBi，故C正確；

(4)由(3)知平面CEF_L平面CF/,由(2)知EF1BrF,

又平面CEFn平面CFBi=EF,：.B^F1平面CEF,

/FEBI為BiE與平面CEF所成角，

又sin4FEBi=虹=漁，故。錯誤.

1

BrE3

故選：ABC.

13.答案：BC

解析：

本題考查了線面平行，異面直線所成角，線面垂直，空間向量加減運算，正方體中的截面問題，考

查了空間想象能力，屬于中檔題.

結(jié)合已知條件，對每個選項進行分析判斷即可得到答案.

解：由題意，平面44傳1與平面441cle是同一個平面，而CN與平面44傳也交于點C,則A錯誤；

-----.__>—.1——>―.1->1---.—>—.1―.—.

MN=MC+CB+BN-BC+-BD=-(^^+BC)-BC+-(BX+BQ

=i(-CQ+BC)-eC+1(-^4fi+5C)=~^(AB+BC+CCi)=一［何，貝皿/7〃46，

于是4口力。就是異面直線MN與A力所成角，在直角三角形AC1。中，C%=五AD,經(jīng)計算得

tan^AD=V2,則B正確；

由于4cll_平面81co1，又MN〃AC1,所以MN_L平面口述為，則C正確；

延長4V交BC于點G,由AADN?ABNG,得G為BC的中點，延長GM交BC于點G1，同理可得

Gi為BC的中點，

所以G與Gi重合，取久名的中點”，連接AH和"G，即得截面4GC1H,從而截面4GG”為菱形，

則。錯誤.

故選BC.

解析:

本題考查了空間線面位置關(guān)系，幾何體的截面問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查了轉(zhuǎn)化思想,

屬于較難題.

不妨取點M為點A,設(shè)CQ=x,BN=y,x,yG[0,4],則y=子=x+：,4S2=(4+x2)-[4+

(y-%)2]=204-4(x2+^)>設(shè)/'(x)=x2+^,xe[2-V2,2+詞,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值,

即可求解.

解：如圖，不妨取點M為點A,設(shè)CQ=x,BN=y,x,ye[0,4].

不妨設(shè)NMQN=90°,則MN?=MQ2+NQ2,

即4+y2=4+/+4+(y—幻2,整理得：%2一Xy+2=o,

y='+?=%+->又丁y<4,所以久4--<4,

7x%yx

解得2-&工x工2+設(shè)4MNQ的面積為S,

則4s2=(44-x2),[4+(y—%)2]=(4+/).(4+9)=20+4%2+,=20+4評+制,

設(shè)/(x)=x2+W，XG[2-V2,2+V2],則((x)=2x-2=卑2

可知函數(shù)在[2-VIVI)上單調(diào)遞減，在(VX2+碼上單調(diào)遞增，

又/(2-魚)=12,f(2+&)=12,所以/(x)max=12,

二(4S2)max=20+4x12=68,Smax=V17.

故答案為g.

15.答案：鈕；京

解析：

本題考查了四面體的外接球的表面積和空間距離的計算，建立坐標(biāo)系用0表示出8。的長是解題的關(guān)

鍵,屬于難題.連接4C交BD于點0,。是四面體。-4BC外接球的球心,過。作。E1AC,垂足為E,

則。點的軌跡為以E為圓心，以立為半徑的圓弧，以E為原點建立坐標(biāo)系，設(shè)二面角。-AC-D'的

2

大小為仇用。表示出B和。的坐標(biāo)，利用距離公式計算。的范圍，從而確定圓弧對應(yīng)圓心角的大小，

進而計算出圓弧長.

解：連接AC交BO于點0,在翻轉(zhuǎn)過程中，0A=0B=0C=。。，

故。是四面體。一ABC外接球的球心，半徑是=5B2+BCZ=里=-

22

則該四面體外接球的表面積為ITTXOA217T.

過。作DE1AC,垂足為E,連接BE,D'E.

?.?矩形ABC￡>中，AB=V3，AD=1,

???DE=--BE2=AB2+AE2-2AB-4Ecos30。=3+--2xV3xix—貝UBE=—.

242242

???。點的軌跡為以E為圓心，以立為半徑的圓弧.

2

ZD'EC為二面角。-AC-。'的平面角.

以E為原點，以E4,ED,ED'為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系E—xyz,

設(shè)乙D'ED=6,則0(0,/cos。,[sin。),F(-l,-y,0)

BD=Jl+|(cos6+l)2+Jsin29=J5+3^sS,

y/75+3cos6VTO

2"J2"2

解得一[<cosd<0,

三W。W三,

。點軌跡的圓心角為全

。點軌跡的長度為三x3=立兀.

326

16.答案：（亨,4）

解析：

本題考查空間中點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，屬

難題.

由題意可知AAPC的外心01在中線PE上，設(shè)過點01的直線，1_L平面4PC,△力DC的外心。2在中線

DE上,設(shè)過點。2的直線6，平面AQC,由對稱性知直線k，。的交點。在直線EF上，則點。為四

面體4PC。的外接球的球心.由題意得E4=3,PE=4,由勾股定理及。遇+。速=PE=4求得

。送=L.令乙PEF=3,得EF=PEcosQ=4cos0<4.再由cos。=竺=絆，得0E-EF=0E-PE=-,

8PEOEx2

結(jié)合。E<EF,求得EF>正，從而得到線段EF長度的取值范圍.

2

解：如圖，由題意可知△力PC的外心。1在中線PE上，

設(shè)過點。1的直線，11平面APC,可知，1u平面PED,

同理△40c的外心。2在中線上，設(shè)過點。2的直線&平面ADC,

則％u平面PED,由對稱性知直線％的交點。在直線或7上.

根據(jù)外接球的性質(zhì)，點。為四面體4PC。的外接球的球心.

由題意得E/4=3,PE=4,而。涕2=0送2+E42,。14+?；?PE=4,

°[E=

令乙PEF=9,顯然0<8（三：.EF=PEcosG=4cos9<4.

cosd

'-'=S=^■--OEEF=O1EPE=\,

又OE<EF,：.EF?>Z，即EF>包.

綜上所述，更<EF<4.

???線段E/長度的取值范圍為（當(dāng),4）.

故答案為：（年,4）.

17.答案：477r

解析:

本題考查了幾何體外接球的表面積，解題關(guān)鍵是求出球的半徑，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

設(shè)M是AaBC的外心，。是四面體ABCD'的外接球的球心，在矩形。中，OM=4E=豆,

22

在AABC中，3="缶*嬴=3.

可得四面體ABCD，的外接球的半徑R=VOM2+4M2=浮即可得相

解：如圖,

設(shè)M是A/IBC的外心，。是四面體4BCD'的外接球的球心，E是AD'的中點，則0M，面ABC,

因為4014C,由直二面角。'一4（?一8,即平面40'C_1_面48。，

又平面AD'Cn面ABC=4C,AD'u平面可得力D'l面ABC,

則由線面垂直的性質(zhì)可得4EJ.AM,OM1.AM,且0E14D',

則四邊形OEAM是矩形，

在矩形OEAM中，。M=4E=W=亨，

在△礪;中，出="缶E_2_.

sin3Q0=3,

四面體4BCD’的外接球的半徑R=幅E/=亨，

此時四面體力BCD'的外接球的體積是S=4兀/?2=47TT.

故答案為：477r.

18.答案:V3

解析：

本題考查了棱錐的外球的半徑，屬于中檔題.

取8。的中點連接AM,CM,由題意知△48。，△BCD都是等邊三角形，確定棱錐外接球半徑,

利用外接球的表面積求

解：

①②

如圖①所示，取8。的中點M,連接AM,CM,由題意知AaBD,△BCD都是等邊三角形，設(shè)邊長

為a.

如圖②，由題意知△4MC為等腰直角三角形，在RtAAMC中，P,Q分別是CM,AM上靠近〃的

三等分點，

0C即為三棱錐A-BCD外接球的半徑.在Rt△OPC中,(faxx'=瑞=5,解得。=同

故答案為百

19.答案：；

解析：

本題考查求直線與平面所成角的最大值問題，考查空間想象能力，屬于較難題.

以點A為原點，AB為x軸，A。為y軸，建立直角坐標(biāo)系，利用|P4|=2|PB|,得到P點的軌跡方程,

即可得到答案.

解：不妨記正方體ABCD-的棱長為2,

在平面ABCD內(nèi)，以點A為原點，AB為x軸，AD為)，軸，建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)P(%,y),由|P4|=2|PB|,4(0,0),5(2,0),

所以+y2=2,(%—2)2+y2,

即1號丫+必二半

延長AB到Q使得BQ=I，

即點P在平面ABC。內(nèi)的軌跡是以Q為圓心，：為半徑的圓在正方形ABCQ內(nèi)的圓弧,

若要PD1與平面A8CD所成角最大，

當(dāng)點P為。。與圓弧的交點時，。尸最小，即PDi與平面A8C。所成的角。最大，

|PD|min=］令+22-；2,

所以在Rt^DiOP中，tan。=耨，

所以。的最大值為。=今

故答案為今

20.答案：|

3V6

解析：

本題考查了平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用，線面平行的性質(zhì)，線面垂直的判定和線面垂直的性質(zhì)，屬于中

檔題.

連接AC、BD,交于。，連接尸。，交BE于H,利用平面幾何知識得霽=|,再利用線面平行的性

質(zhì)得AC〃MN,再利用平面的基本性質(zhì)得MN,再利用利用平面幾何知識得詈=|,利用線面垂

直的性質(zhì)得P。1BD,PD1AC,再利用線面垂直的判定得力C_L平面PBD,從而得MN，平面PBD,

最后利用平面幾何知識，計算得結(jié)論.

解：如圖：

連接AC、BD,交于。，則。既是AC的中點，也是8。的中點.

因為E為尸。中點，連接尸。，交BE于H,則”是△PDB的重心，

匚匚i、1PH2

所以而一

因為AC〃a,&。面24。="/7,ACPAC,所以4C//MN.

又因為HeBE,BEua,所以Hea.

又因為H6P0,POc?PAC,所以H6面PAC,

因此Hean面P4C=MN.

在APAC中，因為4C〃MN,所以詈=翳=|.

又因為底面A8CQ是邊長為3的正方形，所以AC=BD=3或，S.AC1BD.

又因為在△P4C中，AC//MN,翳=|，所以MN=|4C=2或.

又因為PDJ_平面ABC。，AC、BCu平面ABC。，所以PD1BD,PD1.AC.

在Rt/SPDB中，因為PDJ.BD,PD=6,BO=3或，E為PD中煎,

所以BE=>JBD2+DE2="18+9=3VI

又因為ACJL8。，PD1AC,BD、POu平面PDCiBD=D,

所以4。_1_平面。3。，而4C〃MN,因此MN_L平面P8D.

又因為BEu平面PB。，所以MNJ.BE,

因此四邊形EMBN的面積為*MNxBE=ix2^2x373=376.

故答案為I；3>/6.

21.答案：解：⑴???在四棱錐P-4BC。中，己知PB_L底面A8CZ),AB1BC,

???以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，8P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

vAD//BC,AB=AD=2,CD1PD,異面直線PA和C￡>所成角等于60。.

二設(shè)BC=a,BP-b,

則8(0,0,0),4(2,0,0),C(0,a,0),D(2,2,0),P(0,0,b).

?.?PD=(2,2,-b),CD=(2,2-a,0).CD1PD,

.?.而?麗=4+4-2a=0，解得a=BC=4,

又刀=(2,0，-b),CD=(2,-2,0).

???異面直線PA和CD所成角等于60。，

CO。=翳除=后去'解得°=BP=2,

PC=(0,4,-2),AD=(0,2,0),PA=(2,0，-2).

設(shè)平面PAD的一個法向量為五=(Xi.ypZi),

則￡"=2%=0,取i,得元=(i,o,1),

設(shè)直線PC和平面尸AO所成角為0,

則直線PC和平面PAO所成角的正弦值的大小為：

sind=配宿=2=叵

-\PC\-\n\~x/20xV2—10,

(2)假設(shè)在棱PA上存在一點E,使得二面角A-BE-D的余弦值為

設(shè)麗=4瓦?，0<A<1,且E(x,y,z),

則(x,y,z-2)=A(2,0,-2),解得E(2；l,0,2-2A),

JD=(2,2,0),'BE=(2A,0,2-2A),

設(shè)平面DEB的一個法向量為而=(x2,y2.Z2)，

嘉UMM)j取…T得…-…,

則

又平面ABE的法向量萬=(0,1,0),

.?二面角4-BE-。的余弦值為引

.i<rnv>\=國初=,=逅

*cos，PI?曲.向”(l-RZ+M6

解得4=]或4=2(舍去).

???存在這樣的E點，E為棱PA上的靠近A的三等分點.

解析：本題考查線面角的正弦值的求法，考查滿足二面角的點是否存在的判斷與求法，考查運算求

解能力與空間想象能力.

(1)以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，8尸為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=a,BP=b,

由CD，PZ),求出a=BC=4,由異面直線PA和CD所成角等于60。，求出b=BP=2,由此利用

向量法能求出直線PC和平面口力所成角的正弦值.

(2)假設(shè)在棱PA上存在一點E,使得二面角A-BE-D的余弦值為邛，求出平面DEB的一個法向量

和平面A8E的法向量，利用向量法能求出存在這樣的E點，E為棱PA上的靠近A的三等分點.

22.答案：證明：(/)在矩形ABCO中，AB//CD,

AB6平面PCD,CDu平面PCD,

4B〃平面PCD.

(〃)在等腰△PAD中，E為P。中點，

AELPD,：.PA，平面ABCD,

PA1.CD,

???在矩形ABC。中，CDA.AD,力DnP4=A點,

???CD，平面PAD,■■■CDLAE.

綜上，AE1PD,AE1CD,CP、P。u平面PCD,CPCPD=P裊,

AE1平面PCD.

解析：(/)推導(dǎo)出4B〃CD,由此能證明4B〃平面PCD

(〃)推導(dǎo)出4E1P。，PAI5]2?ABCD,PA1CD,從而COJ■平面PA。，進而C0J.4E,由此能證明

AE1平面PCD.

本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基

礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與