銜接點(diǎn)01 運(yùn)算與技巧（解析版）-2024小升初數(shù)學(xué)暑假銜接講義

2/2銜接點(diǎn)01運(yùn)算與技巧小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)正有理數(shù)和零的加減乘除混合運(yùn)算，培養(yǎng)的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生的運(yùn)算能力。初中階段較小學(xué)數(shù)學(xué)在數(shù)和運(yùn)算方面主要變化有：數(shù)系擴(kuò)大了，上升到有理數(shù)域，最后到實(shí)數(shù)域，這是對數(shù)的認(rèn)識的一個飛躍。同時數(shù)的運(yùn)算也相應(yīng)的從小學(xué)中的正數(shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算上升到了有理數(shù)和實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，并且加入了乘方、開方運(yùn)算。主要培養(yǎng)的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生的運(yùn)算能力、抽象能力、應(yīng)用意識等。對于四則混合運(yùn)算，我們要求學(xué)生熟練地掌握運(yùn)算順序和計(jì)算的正確率；到了初中后，只要弄懂符號法則，那有理數(shù)的運(yùn)算教學(xué)也能達(dá)到事半功倍之效。對于運(yùn)算技巧（簡便運(yùn)算），希望大家能發(fā)自內(nèi)心想要讓運(yùn)算簡便，而不是題目要求要簡便。通過本專題希望大家能同學(xué)們多觀察、體會，勤總結(jié)，靈活運(yùn)用簡算方法，深刻理解簡算的數(shù)學(xué)思想。題型探究題型1、活用運(yùn)算定律和性質(zhì)（湊整思想） 3題型2、巧分組法 10題型3、換元法 13題型4、分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)計(jì)算 16題型5、數(shù)列求和（等差、等比數(shù)列） 22題型6、運(yùn)用乘法公式運(yùn)算 26培優(yōu)精練A組（能力提升） 29B組（培優(yōu)拓展） 381．運(yùn)算定律1）加法交換律：加法結(jié)合律：2）乘法交換律：乘法結(jié)合律：3）乘法分配律：乘法分配律的逆用：2．運(yùn)算性質(zhì)1）減法的性質(zhì)：2）除法的性質(zhì)：3）商的“不變性”，即若，則，；3．裂項(xiàng)公式（補(bǔ)充）：把一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的和或積，使得算式可以消去某些項(xiàng)，使運(yùn)算簡捷。第一類（“裂差”型運(yùn)算）：或第二類（“裂和”型運(yùn)算）：或裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對比：裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡化的目的”，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡化目的。4．?dāng)?shù)列求和公式（補(bǔ)充）eq\o\ac(○,1)等差數(shù)列求和等差數(shù)列求和公式：（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)計(jì)算方法：（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差+1eq\o\ac(○,2)等比數(shù)列求和等比數(shù)列的求和公式：（末項(xiàng)×公比—首項(xiàng)）÷（公比—1）（公比≠1）5．乘法公式（補(bǔ)充）平方差公式：完全平方公式：，題型1、活用運(yùn)算定律和性質(zhì)（湊整思想）【解題技巧】“湊整”就是把“一些分?jǐn)?shù)（或小數(shù)）湊成整數(shù)”，把“一些整數(shù)湊成10的整倍數(shù)”，使有理數(shù)式子容易計(jì)算出結(jié)果。在湊整過程中，常用添項(xiàng)、拆項(xiàng)、分解因數(shù)、提公因數(shù)等方法技巧。一般情況下，小學(xué)階段的湊整主要使用運(yùn)算定律或減法的性質(zhì)、除法的性質(zhì)及商的不變性達(dá)到湊整的目的。例1．（2023·四川成都·小升初真題）能簡算的要簡算。（1）

（2）（3）（4）

（5）【答案】（1）；（2）；（3）13；（4）66；（5）【分析】（1）分?jǐn)?shù)連乘，能約分的要先約分。（2）利用乘法的分配律。（3）括號里面的分?jǐn)?shù)的分母恰好和括號外面的整數(shù)約分，則利用乘法的分配律計(jì)算。（4）將看成1×，這樣就可以利用乘法的分配律計(jì)算。（5）將101看成100＋1，這樣利用乘法的分配律，正好可以和分?jǐn)?shù)約分。【詳解】（1）＝＝（2）＝＝＝（3）＝＝7＋6＝13（4）＝＝＝＝66（5）＝＝＝99＋＝例2．（2023·河北邯鄲·小升初真題）計(jì)算下列各題，能簡算的要簡算。（1）

（2）（3）（4）

（5）

（6）（9＋7）÷（＋）【答案】（1）；（2）40

；（3）2023；（4）15；（5）1

（6）13【分析】（1）62.5%化為分?jǐn)?shù)是，把除法改寫成乘法形式，再根據(jù)乘法分配律可進(jìn)行簡算；（2）根據(jù)除法的性質(zhì)，把算式改寫成連除形式可進(jìn)行簡算；（3）根據(jù)積不變的規(guī)律統(tǒng)一將其中一個因數(shù)轉(zhuǎn)換為20.23，再根據(jù)乘法分配律進(jìn)行簡算。（4），先根據(jù)帶符號搬家，將算式變?yōu)?，然后把化?.2，根據(jù)減法的性質(zhì)和括號的應(yīng)用，將算式變?yōu)檫M(jìn)行簡算即可；（5）仔細(xì)觀察分子、分母中各數(shù)的特點(diǎn)，就會發(fā)現(xiàn)分子中2005×2006可變形為（2004＋1）×2006=2004×2006＋2006－1，同時發(fā)現(xiàn)2006－1=2005，這樣就可以把原式轉(zhuǎn)化成分子與分母相同，從而簡化運(yùn)算．（6）在本題中，被除數(shù)提取公因數(shù)65，除數(shù)提取公因數(shù)5，再把和的和作為一個數(shù)來參與運(yùn)算，會使計(jì)算簡便很多．【詳解】（1）（2）（3）（4）（5）原式===1（6）原式=（＋）÷（＋）=[65×（＋）]÷[5×（＋）]=65÷5=13變式1．（2024·四川成都·小升初真題）計(jì)算下面各題，能簡算的要簡算。（1）

（2）

（3）（4）

（5）

（6）【答案】（1）；（2）60；（3）15；（4）0.6；（5）；（6）【分析】（1）先算括號里面的加法，再算括號外面的乘法。括號里面是異分母分?jǐn)?shù)加法，先通分將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母加法。分?jǐn)?shù)的乘法，能約分的要先約分。（2）分?jǐn)?shù)連乘能約分的先約分。（3）運(yùn)用乘法的分配律簡便運(yùn)算。（4）先算括號里面的減法，再算括號外面的乘法。括號里面是異分母分?jǐn)?shù)減法，先通分將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母減法。分?jǐn)?shù)的乘法，能約分的要先約分。（5）分?jǐn)?shù)的乘除混合運(yùn)算現(xiàn)將分?jǐn)?shù)的除法轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)的乘法計(jì)算。除以一個數(shù)相當(dāng)于乘這個數(shù)的倒數(shù)。（6）先算括號里面的減法，再算括號外面的乘法。括號里面是整數(shù)減分?jǐn)?shù)，先將整數(shù)轉(zhuǎn)化為和另外一個分?jǐn)?shù)同分母的分?jǐn)?shù)，再根據(jù)同分母減法計(jì)算。分?jǐn)?shù)的乘法，能約分的要先約分。【詳解】（1）（2）（3）（4）（5）（6）變式2．（2023·山東濟(jì)南·小升初真題）脫式計(jì)算，能簡算的要簡算。6.8×0.35＋408÷24

1.8×＋2.2×25%－0.25（0.2＋）×÷8

【答案】19.38；0.75；；【分析】（1）先算乘法和除法，再算加法；（2）根據(jù)乘法分配律進(jìn)行簡算；（3）先算小括號里面的加法，再算乘法，最后算除法；【詳解】（1）6.8×0.35＋408÷24＝2.38＋17＝19.38（2）1.8×＋2.2×25%－0.25＝1.8×0.25＋2.2×0.25－0.25＝（1.8＋2.2－1）×0.25＝（4－1）×0.25＝3×0.25＝0.75（3）（0.2＋）×÷8＝（＋）×÷8＝（＋）×÷8＝×÷8＝×＝變式3．（2023春·廣西·六年級培優(yōu)）計(jì)算．（1）

（2）（＋1＋）÷（＋＋）【答案】（1）1

（2）2【詳解】（1）

====1（2）（＋1＋）÷（＋＋）=（＋＋）÷（＋＋）=2×（＋＋）÷（＋＋）=2變式4.（2023·福建泉州·小升初模擬）神機(jī)妙算。（1）8×3÷[1÷（3－2.95）]（2）×39＋×25＋2×（3）2018÷2018＋【答案】；1680；1【分析】（1）根據(jù)乘法交換律簡算；（2）（3）根據(jù)乘法分配律簡算；【詳解】（1）8×3÷[1÷（3－2.95）]＝8××（3.2－2.95）＝8××0.25＝8×0.25×＝2×＝（2）×39＋×25＋2×＝（1－）×39＋×25＋2×＝39－×39＋×25＋2×＝39－×（39－25－2）＝39－×12＝39－9＝30（3）2018÷2018＝2018÷＋＝2018÷＋＝2018÷＋＝2018×＋＝＋＝1【點(diǎn)睛】在四則混合運(yùn)算中，要仔細(xì)觀察算式的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用一些定律進(jìn)行簡便計(jì)算。題型2、巧分組法【解題技巧】觀察所求算式特征，巧妙運(yùn)用分組搭配處理，可以簡化運(yùn)算。例1．（2024·廣東·小升初模擬）計(jì)算題，寫出計(jì)算過程和結(jié)果。（1）

（2）【答案】（1）；（2）2050【分析】（1）將帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)和真分?jǐn)?shù)相加，利用加法的交換律和結(jié)合律將整數(shù)和整數(shù)相加，分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)相加。（2）觀察數(shù)據(jù)，把整數(shù)和整數(shù)先加起來。【詳解】（1）＝＝＝25＋＝（2）＝＝＝＝＝＝2050例2．（2024六年級·浙江·培優(yōu)）計(jì)算。（1）（2）2023-2020+2017-2014＋2011－2018＋……＋16－13＋10－7＋4【答案】（1）（2）1003【分析】（1）根據(jù)帶分?jǐn)?shù)的意義，可將算式變?yōu)?，然后去掉括號，將算式變?yōu)椋缓蟾鶕?jù)帶符號搬家和括號的應(yīng)用，將算式變?yōu)椋儆?jì)算括號里面的結(jié)果，接著根據(jù)乘法的意義，將算式變?yōu)檫M(jìn)行簡算即可。（2）合理分組：（2023-2020）+（2017-2014）＋（2011－2018）＋……＋（13－10）＋（7－4）＋1每兩個數(shù)為一組，結(jié)果是3；一共有337組；進(jìn)行簡算即可?！驹斀狻浚剑剑剑剑剑剑剑剑?）2023-2020+2017-2014＋2011－2018＋……＋13－10＋7－4+1=（2023-2020）+（2017-2014）＋（2011－2018）＋……＋（13－10）＋（7－4）＋1每兩個數(shù)為一組，結(jié)果是3；一共有337組；=3×337+1=1012變式1．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考小升初真題）簡算，并寫出簡算過程。99－97＋95－93＋91－89＋…＋7－5＋3－1

【答案】50；【分析】第四小題，通過觀察，兩組數(shù)字為一組，共分為25組，每組得數(shù)是2，進(jìn)而計(jì)算即可；【詳解】99－97＋95－93＋91－89＋…＋7－5＋3－1＝（99－97）＋（95－93）＋（91－89）＋…＋（7－5）＋（3－1）＝2＋2＋2＋…＋2＋2（25個2）＝2×25＝50變式2．（2024·江蘇·六年級?？计谥校┯?jì)算：

【答案】21；【分析】法1：把整數(shù)和整數(shù)部分相加，分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)部分相加，分?jǐn)?shù)部分相加時，把寫成1－，寫成－，寫成－，寫成－，寫成－，寫成－，再進(jìn)行簡算即可；法2：把整數(shù)和整數(shù)部分相加，分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)部分相加，分?jǐn)?shù)部分相加時，添項(xiàng)，再減去，達(dá)到湊整的目的，再進(jìn)行簡算即可?！驹斀狻糠?：＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）＋（）＝21＋（1－＋－＋－＋－＋－＋－）＝21＋（1－）＝21＋＝21【詳解】法2：＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）＋（+－）＝21＋（＋＋＋＋＋－）＝21＋（＋＋＋＋－）＝21＋（＋＋＋－）＝21＋（＋＋－）＝21＋（＋－）＝21＋（1－）＝21＋＝21題型3、換元法【解題技巧】從式子的整體角度考察，把部分式子用字母代替后，再進(jìn)行化簡求值。通過引入字母轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu)，這樣不但可以減少運(yùn)算過程，還有利于尋找接題思路，其中的新變量在解題過程中起到橋梁作用。例1．（2023·湖南湘潭·六年級自主招生）計(jì)算?！敬鸢浮俊痉治觥苛睿紸，＝B，將原式改寫成含字母A、B的式子，再根據(jù)乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c將式子化簡，最后再把A、B換回原來的式子計(jì)算出結(jié)果。【詳解】令＝A，＝B；原式＝A×（B＋）－（A＋）×B＝AB＋A－AB－B＝A－B＝×（A－B）＝×[（）－（）]＝×[]＝×1＝例2．（2024·成都市小升初模擬）計(jì)算（寫出必要的計(jì)算過程）?！敬鸢浮俊痉治觥考僭O(shè)＝a，則原式變形為：（1＋a）×（a＋）－a×（1＋a＋），化簡后即可得解?！驹斀狻吭O(shè)＝a，原式化為：（1＋a）×（a＋）－a×（1＋a＋）＝a＋＋a2＋－a－a2－＝【點(diǎn)睛】要仔細(xì)觀察算式的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用一些定律進(jìn)行簡便計(jì)算，注意解題的關(guān)鍵是將的和設(shè)為a。變式1．（2022·廣東深圳·六年級?？计谥校┣伤?。（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）2020÷，把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，＝＝，原式化為：2020÷，把除法換成乘法，原式化為：2020×，約分，即可解答；（2）（＋＋＋）×（＋＋＋）－（＋＋＋＋）×（＋＋），把（＋＋＋）化為[（＋＋）＋]，（＋＋＋＋）化為[（＋＋＋）＋]；原式化為：（＋＋＋）×[（＋＋）＋]－[（＋＋＋）＋]×（＋＋），再根據(jù)乘法分配律，原式化為：（＋＋＋）×（＋＋）＋（＋＋＋）×－（＋＋＋）×（＋＋）－×（＋＋），原式化為：（＋＋＋）×－×（＋＋），再根據(jù)乘法分配律，原式化為：×（＋＋＋－－－），再進(jìn)行計(jì)算?！驹斀狻浚?）2020÷＝2020÷＝2020÷＝2020×＝（2）（＋＋＋）×（＋＋＋）－（＋＋＋＋）×（＋＋）＝（＋＋＋）×[（＋＋）＋]－[（＋＋＋）＋]×（＋＋）＝（＋＋＋）×（＋＋）＋（＋＋＋）×－（＋＋＋）×（＋＋）－×（＋＋）＝（＋＋＋）×－×（＋＋）＝×（＋＋＋－－－）＝×＝變式1.（2023·廣東·校考小升初模擬）用簡便方法計(jì)算?！敬鸢浮俊痉治觥考僭O(shè)，，把字母代入原式化簡含有字母的式子，最后再把a(bǔ)和b的值代入化簡后的式子求出結(jié)果，據(jù)此計(jì)算。【詳解】假設(shè)，原式＝＝＝＝＝＝＝＝題型4、分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)計(jì)算【解題技巧】把一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的和或積，使得算式可以消去某些項(xiàng)，使運(yùn)算簡捷。利用下面的拆項(xiàng)公式課化簡一些有理數(shù)式子的計(jì)算第一類（“裂差”型運(yùn)算）：①或②。裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征：（1）分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將x提取出來即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運(yùn)算。（2）分母上均為幾個自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個分母上的因數(shù)“首尾相接”（3）分母上幾個因數(shù)間的差是一個定值。第二類（“裂和”型運(yùn)算）：或裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對比：裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡化的目的”，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡化目的。例1．（2022·廣西南寧·?？夹∩跽骖}）觀察下列等式：，，，請將以上三個等式兩邊分別相加得：。（1）猜想并寫出：（

）。（2）（

）。（3）探究并計(jì)算：（

）。（4）計(jì)算：【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】（1）先根據(jù)題中所給出的等式進(jìn)行猜想，寫出猜想結(jié)果即可；（2）根據(jù)（1）中的猜想計(jì)算出結(jié)果；（3）根據(jù)乘法分配律提取，再計(jì)算即可求解；（4）先拆項(xiàng)，再抵消結(jié)果即可求解。【詳解】（1）＝＝【點(diǎn)睛】本題考查的是分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵。例2．（2024六年級下·山東·培優(yōu)）?！敬鸢浮俊痉治觥繉τ诜帜缚梢詫懽鲀蓚€因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即，這里我們把較小的數(shù)寫在前面，即，那么就有。先將2006利用乘法的分配律提出來，剩下的加法算式中，可以利用上面的公式化簡，即、……，再利用乘法的分配律提出，最后可以發(fā)現(xiàn)，可以抵消掉一部分的分?jǐn)?shù)。【詳解】【點(diǎn)睛】將算式中的項(xiàng)進(jìn)行拆分，使拆分后的項(xiàng)可前后抵消，這種拆項(xiàng)計(jì)算稱為裂項(xiàng)法。裂項(xiàng)分為分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)和整數(shù)裂項(xiàng)，常見的裂項(xiàng)方法是將數(shù)字分拆成兩個或多個數(shù)字單位的和或差。例3．（2023·四川成都·小升初真題）計(jì)算。

【答案】；【分析】，根據(jù)帶分?jǐn)?shù)的意義以及帶符號搬家，將算式變?yōu)?，將每個分?jǐn)?shù)變?yōu)椋鶕?jù)，將算式變?yōu)?，然后?jì)算出，再把括號去掉，將算式變?yōu)?；能相互抵消掉的分?jǐn)?shù)就互相抵消，據(jù)此算式變?yōu)?，進(jìn)而得出結(jié)果。，先把所有的假分?jǐn)?shù)化為帶分?jǐn)?shù)，然后根據(jù)減法的性質(zhì)，將算式變?yōu)椋俑鶕?jù)帶符號搬家，將算式變?yōu)?，?jù)此加上括號，將算式變?yōu)?，?jì)算第一個括號的結(jié)果為8，因?yàn)椋运闶降扔?，也就是，?jù)此計(jì)算出，再去掉括號，將算式變?yōu)椋詈笥?jì)算出結(jié)果?！驹斀狻孔兪?．（2024·湖北·六年級期中）計(jì)算題：（1）（2）（3）（4）【答案】；；；【分析】第一小題，觀察算式可得“”，再利用公式“”，即可簡算；第二小題，利用公式“”，即可簡算。第三小題，利用公式“”，可以簡算；第四小題，先分別計(jì)算出整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分的和，再相加即可，整數(shù)部分的和是1023，觀察分?jǐn)?shù)部分發(fā)現(xiàn)：＝1－、＝－、＝－……，據(jù)此可知“”，等于“”，據(jù)此解題即可?！驹斀狻浚剑?×2012＋＝4024＋＝4024＋＝4024＋＝＝＝＝＝＝＝5××（）＝5××（）＝5××＝＝（1＋2＋4＋…＋256＋512）＋（）＝1023＋（）＝1023＋＝變式2．（2022·湖南長沙·小升初真題）計(jì)算：。【答案】/0.9【分析】因?yàn)?＋2＋3＋…＋n＝（1＋n）n÷2，將算式變?yōu)?，然后根?jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘2，則算式變?yōu)?，再?jì)算出括號里面的加法，接著根據(jù)乘法分配律，將算式變?yōu)?，根?jù)，將算式變?yōu)?，接著將算式化為，然后?jì)算括號里面的減法，最后計(jì)算括號外面的乘法?！驹斀狻浚剑剑剑剑剑剑剑剑健军c(diǎn)睛】解決本題關(guān)鍵是找出分母的規(guī)律，再進(jìn)一步把算式進(jìn)行化簡。變式3．（2024·浙江·六年級校考期中）計(jì)算：1－＋－＋－【答案】【詳解】1－＋－＋－=（1+）-（+）+（+）-（+）+（+）-（+）=1+--++--++--=1-=題型5、數(shù)列求和（等差、等比數(shù)列）【解題技巧】eq\o\ac(○,1)等差數(shù)列求和等差數(shù)列求和公式：（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)計(jì)算方法：（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差+1eq\o\ac(○,2)等比數(shù)列求和等比數(shù)列的求和公式：（末項(xiàng)×公比—首項(xiàng)）÷（公比—1）（公比≠1）例1．（2023·四川成都·小升初模擬）計(jì)算：【答案】【分析】觀察分?jǐn)?shù)的分子和分母發(fā)現(xiàn)它們是連續(xù)的奇數(shù)，相鄰的兩個數(shù)相差2，那么分子里數(shù)字的個數(shù)有（2013－1）÷2＋1＝1007個數(shù)，分子的數(shù)字和是（2013＋1）×1007÷2＝2014×1007÷2，分母里的數(shù)字的個數(shù)有（4027－2015）÷2＋1＝1007個數(shù)，分母的數(shù)字和是（4027＋2015）×1007÷2＝6042×1007÷2，最后進(jìn)行約分?！驹斀狻浚剑剑焦蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】此題考查的是一個特殊的計(jì)算，注意計(jì)算是有規(guī)律可循的。例2．（23-24七年級上·江蘇淮安·階段練習(xí)）【等比數(shù)列】按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列的一般形式可以寫成：．一般地，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比值等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用表示．如：數(shù)列為等比數(shù)列，其中，公比為．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）等比數(shù)列的公比為，第項(xiàng)是．【公式推導(dǎo)】如果一個數(shù)列，是等比數(shù)列，且公比為，那么根據(jù)定義可得到：．所以，，，（2）由此，請你填空完成等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：．【拓廣探究】等比數(shù)列求和公式并不復(fù)雜，但是其推導(dǎo)過程——錯位相減法，構(gòu)思精巧、形式奇特．下面是小明為了計(jì)算的值，采用的方法：設(shè)①，則②，得，∴．【解決問題】（3）請仿照小明的方法求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求解；（2）根據(jù)公式推導(dǎo)過程即可求解；（3）根據(jù)例題的方法求得，然后錯位相減法，即可求解．【詳解】解：（1）等比數(shù)列的公比為，第四項(xiàng)為，第五項(xiàng)為，故答案為：；（2）∵，，，∴，故答案為：；（3）設(shè)①，則②，得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，理解題意是解題的關(guān)鍵．變式1．（2024·四川成都·小升初真題）下列各題要寫出主要計(jì)算過程。（1）

（2）【答案】（1）1001；（2）【分析】（1）同分母相加，分母不變，分子相加。分子相加過后發(fā)現(xiàn)是連續(xù)的自然數(shù)相加，是一組等差數(shù)列，等差數(shù)列的求和為（第一個數(shù)＋最后一個數(shù)）×項(xiàng)數(shù)÷2。（2）觀察式子發(fā)現(xiàn)，越往后就是一組等差數(shù)列，等差數(shù)列的求和方式為（第一個數(shù)＋最后一個數(shù)）×項(xiàng)數(shù)÷2。將式子進(jìn)行整理后發(fā)現(xiàn)規(guī)律。、【詳解】（1）＝＝＝＝＝＝（2）＝＝＝變式2．（2024·廣東·七年級期中）閱讀材料：求的值.解：設(shè)將等式兩邊同時乘以2，得將下式減去上式，得即請你仿照此法計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)M=，將等式兩邊同時乘以3，然后按照材料中的方法進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；（2）設(shè)N=，將等式兩邊同時乘以5，然后按照材料中的方法進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案.【詳解】解：（1）根據(jù)材料，設(shè)M=①，∴將等式兩邊同時乘以3，則3M=②，由②①，得：，∴；∴.（2）根據(jù)材料，設(shè)N=③，∴將等式兩邊同時乘以5，④，由④③，得：，∴；∴.【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是明確題意，運(yùn)用題目中的解題方法，運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)思想解答問題．題型6、運(yùn)用乘法公式運(yùn)算【解題技巧】平方差公式：完全平方公式：，例1．（2023·浙江·小升初模擬）計(jì)算：【答案】?！痉治觥糠帜缚赏ㄟ^高斯求和公式進(jìn)行巧算，分子可根據(jù)公式a2－b2＝（a－b）（a＋b）進(jìn)行巧算。【詳解】【點(diǎn)睛】此題為計(jì)算題，難度較大，但只需認(rèn)真分析，化繁為簡。靈活運(yùn)用乘法分配律、分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)，高斯求和等一些方法達(dá)到更加簡便的運(yùn)算。例2．（2022·四川綿陽·小升初真題）計(jì)算題：

【答案】330；【分析】分母部分利用完全平方公式：化簡；分子部分觀察數(shù)字規(guī)律，將66×22改寫成33×44，再提取公因數(shù)進(jìn)行簡便運(yùn)算；【詳解】例3．（2024·山東·六年級培優(yōu)）利用乘法公式進(jìn)行簡便計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)9996(2)9801(3)【分析】（1）根據(jù)，計(jì)算求解即可；（2）根據(jù)，計(jì)算求解即可．（3）處理數(shù)字以后再運(yùn)用乘法的分配律和完全平方公式進(jìn)行簡算，；【解析】(1)解：．(2)解：．(3)原式【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式與完全平方公式的應(yīng)用．解題關(guān)鍵在于熟練掌握平方差公式與完全平方公式．變式1．（2022·重慶沙坪壩·小升初真題）計(jì)算：

【答案】2006；【分析】把原式化為，然后化為，再進(jìn)行計(jì)算即可；＝＝＝＝2006變式2.（1）（2022·四川青羊·八年級期中）計(jì)算：＝___．（2）（2022·湖南漢壽·七年級期中）計(jì)算：799×801﹣8002＝_____．【答案】；-1【分析】（1）根據(jù)式子的特點(diǎn)，將分母用平方差公式展開，再進(jìn)行計(jì)算即可．（2）先將799×801轉(zhuǎn)化為（800﹣1）×（800+1），再利用平方差公式，即可解答．【詳解】（1）．故答案為：（2）解：799×801﹣8002＝（800﹣1）×（800+1）﹣8002＝8002﹣1﹣8002＝﹣1，故答案為：-1【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的計(jì)算，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·廣東·梅州市七年級階段練習(xí)）簡便計(jì)算：(1)20022(2)【答案】(1)(2)1【分析】（1）將2022拆分為（2000+2），利用完全平方和公式計(jì)算；（2）將變形為，利用平方差公式計(jì)算．(1)解：；(2)解：．【點(diǎn)睛】本題考查利用完全平方和公式和平方差公式簡便計(jì)算，根據(jù)數(shù)字特點(diǎn)將原式變形為完全平方和以及平方差的形式是解題的關(guān)鍵．A組（能力提升）1．（2022·廣西貴港·小升初真題）有一個數(shù)字鍵“4”壞了的計(jì)算器，用這個計(jì)算器計(jì)算24×25時，下列按鍵方案中（

）合適。A．3×8×25 B．6×4×25 C．25×25－1 D．2×2×3×25【答案】A【分析】當(dāng)計(jì)算器中數(shù)字鍵壞了后，可以運(yùn)用加減乘除法將不能按出的數(shù)字轉(zhuǎn)換成別的算式，再進(jìn)行解答?！驹斀狻緼．25×24＝3×8×25，所以可以用A選項(xiàng)的方法；B．25×24＝6×4×25，有4，不可以用B選項(xiàng)的方法；C．25×24＝25×（25－1）＝25×25－25，不相等，所以不可以用C選項(xiàng)的方法；D．25×24＝2×2×6×25，不相等，所以不可以用D選項(xiàng)的方法。故答案為：A【點(diǎn)睛】本題考查計(jì)算器的使用，結(jié)合乘法運(yùn)算定律是解題的關(guān)鍵。2．（2024六年級下·浙江·培優(yōu)）?！敬鸢浮俊痉治觥肯人憷ㄌ柪锩娴募臃ê蜏p法，發(fā)現(xiàn)得出來的分?jǐn)?shù)正好可以約分。在分?jǐn)?shù)的巧算中，乘除法最主要的簡便運(yùn)算就是能約分。【詳解】3．（2024六年級·成都市·外地生考試）計(jì)算：?！敬鸢浮?022【分析】把應(yīng)用乘法分配律展開，再把、、展開成整數(shù)和分?jǐn)?shù)的和，然后整數(shù)和整數(shù)一起簡算，分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)一起簡算，再結(jié)合減法的性質(zhì)解答?！驹斀狻俊军c(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的簡算，靈活應(yīng)用乘法分配律、減法性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。4．（2023六年級下·江蘇·培優(yōu)）計(jì)算：?！敬鸢浮?35【分析】可以將分成，再利用乘法的分配律，通過約分恰好是整數(shù)。同理將可以分為，可以分為，最后利用分配律得出幾個整數(shù)相加?！驹斀狻?．（2024六年級下·重慶·模擬）計(jì)算。?！敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)以下的公式的規(guī)律：，可以先算，再進(jìn)行計(jì)算比較簡便。【詳解】6．（23-24六年級下·江西宜春·期中）用你喜歡的方法計(jì)算。

【答案】3；；1；【分析】第一道題：先把分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，計(jì)算小括號里面的連減，再算括號外面的除法；第二道題：先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，再應(yīng)用乘法分配律計(jì)算比較簡便；第三道題：應(yīng)用除法的性質(zhì)計(jì)算比較簡便；第四道題：應(yīng)用減法的性質(zhì)計(jì)算比較簡便?！驹斀狻浚剑?.9÷0.3＝3＝＝＝1＝＝＝2024÷2024＝1＝＝＝＝＝7．（2022·四川成都·小升初真題）計(jì)算題。

【答案】100；90；2018；；【分析】第1、2小題，按照帶括號的四則混合運(yùn)算法則，要先算乘除，后算加減，有括號的先算括號里面的，有中括號和小括號的要先算小括號再算中括號。第3小題，利用乘法分配律及乘法分配律的逆運(yùn)算進(jìn)行簡便運(yùn)算，注意計(jì)算過程中，根據(jù)數(shù)字40.36和20.18的特點(diǎn)，將40.36寫成20.18×2的形式。第4小題，觀察數(shù)字特點(diǎn)結(jié)合數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系，將改寫成，將改寫成，再利用乘法分配律的逆運(yùn)算進(jìn)行簡便運(yùn)算。第5小題，觀察數(shù)據(jù)，1＝2×＝2×，，……，可總結(jié)出規(guī)律①；又，，……則總結(jié)出規(guī)律②；據(jù)此計(jì)算即可。【詳解】8．（2023·四川·小升初真題）看清題目，巧思妙算。

【答案】；；；123【分析】（1）（2）（3）小數(shù)、分?jǐn)?shù)、整數(shù)的四則混合運(yùn)算的法則都是有括號的先算括號，無括號的先算乘除后算加減。先將小數(shù)變成分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)變成假分?jǐn)?shù)，再將除法轉(zhuǎn)換成乘法，除以一個數(shù)（0除外）相當(dāng)于乘這個數(shù)的倒數(shù)。能約分的要約分。（4）觀察式子，將帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)和假分?jǐn)?shù)相加的形式。例，這樣可以利用乘法的分配率計(jì)算。正好可以使得數(shù)全是整數(shù)相加?！驹斀狻浚剑剑剑剑剑剑剑剑剑剑剑剑剑剑剑剑剑剑?＝9．（2022·湖南株洲·小升初真題）能簡算的要簡算。

【答案】20010；；；【分析】，將分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，將除法改寫成乘法，將1375×2.001轉(zhuǎn)化為1.375×2001，利用乘法分配律進(jìn)行簡算；，將轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為，中間抵消，最后計(jì)算即可。，第一個小括號先算除法，交換減數(shù)和加數(shù)的位置再計(jì)算，優(yōu)先算出兩個小括號里的，再算中括號里的除法，最后算括號外的除法。，將拆成，根據(jù)假分?jǐn)?shù)的分子＝帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分×分母＋分子，將寫成假分?jǐn)?shù)的形式，先不計(jì)算，除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，將除法改寫成乘法，利用乘法分配律進(jìn)行簡算，經(jīng)過轉(zhuǎn)化，最終左邊算式結(jié)果是3，右邊的除法算式得到，據(jù)此進(jìn)行簡算。【詳解】

B組（培優(yōu)拓展）1．（2023六年級上·湖北·專題練習(xí)）計(jì)算：?！敬鸢浮俊痉治觥繉⒎?jǐn)?shù)的分子與分母分別寫成兩個因數(shù)相乘的形式，通過先約分再進(jìn)行計(jì)算?！驹斀狻恳虼?。【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是找出算式的特征：把分子和分母改寫成兩個因數(shù)相乘的形式。2．（2024·廣東·六年級培優(yōu)）計(jì)算：【答案】【分析】設(shè)＝a，＝b，則原式＝（1＋a）b－（1＋b）a，把這個式子化簡即可解答?！驹斀狻吭O(shè)＝a，＝b，則原式＝（1＋a）b－（1＋b）a＝b＋ab－a－ab＝b－a＝（）－（）＝3．（2023·四川成都·小升初真題）用靈活而合理的方法計(jì)算。（1）（2）（3）（4）【答案】（1）；（2）100；（3）1；（4）5050【分析】（1）先根據(jù)帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)的方法，將算式變?yōu)?，再將算式變?yōu)?，根?jù)乘法分配律，將算式變?yōu)椋缓笥?jì)算出括號里面的加法，再將除法化為乘法，約分可得，然后將2003拆分為2002＋1，根據(jù)乘法分配律，將算式變?yōu)?，約分可得，再根據(jù)帶符號搬家，得，