(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題03等比數(shù)列及其通項公式重難點專練(原卷版+解析)

專題03等比數(shù)列及其通項公式重難點專練（原卷版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．(2023·上海市控江中學(xué)高二期末）設(shè)是等比數(shù)列，則“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．(2023·上?！じ呷驴迹┮粋€直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角為（）．A． B． C． D．3．(2023·上?！じ呷驴迹┤舻缺葦?shù)列的公比為，則關(guān)于、的二元一次方程組的解，下列說法中正確的是（）A．對任意，方程組都有無窮多組解B．對任意，方程組都無解C．當且僅當時，方程組無解D．當且僅當時，方程組有無窮多組解4．(2023·上?！?fù)旦附中模擬預(yù)測）若等比數(shù)列的公比為，則關(guān)于的二元一次方程組的解的情況的下列說法中正確的是（）A．對任意，方程組有唯一解 B．對任意，方程組無解C．當且僅當時，方程組有無窮多解 D．當且僅當時，方程組無解5．(2023·上?！つM預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項和為，則下列判斷一定正確是A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則6．(2023·上?！じ咭黄谥校┲?，是以為第三項、為第七項的等差數(shù)列的公差，是以為第三項、4為第六項的等比數(shù)列的公比，則該三角形的形狀是（）A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．等腰直角三角形 D．不能確定7．(2023·上海市第三女子中學(xué)高三期中）已知數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)都有，則下列關(guān)于的論斷中正確的是（）A．一定是等差數(shù)列 B．一定是等比數(shù)列C．可能是等差數(shù)列，但不會是等比數(shù)列 D．可能是等比數(shù)列，但不會是等差數(shù)列8．(2023·上海市復(fù)興高級中學(xué)高三期中）已知等比數(shù)列的公比為，是的前項和.則“數(shù)列單調(diào)遞減”是“，”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．(2023·上海·復(fù)旦附中青浦分校高二月考）已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是（）A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線10．(2023·上海崇明·二模）若數(shù)列滿足則“”是“為等比數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題11．(2023·上海·高三月考）在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過坐標原點，是的一個法向量，已知數(shù)列滿足：對任意的正整數(shù)，點均在上，若，則的值為____12．(2023·上海師大附中高一期末）已知等差數(shù)列的各項不為零，且、、成等比數(shù)列，則公比是________13．(2023·上?！らh行中學(xué)高三期中）已知等比數(shù)列滿足，且，則的最小值為__________．14．(2023·上?！じ呷驴迹┮阎獢?shù)列、均為正項等比數(shù)列，、分別為數(shù)列、的前項積，且，則的值為___________.15．(2023·上海·高三月考）在中，是的中點，點列在直線上，且滿足，若，則數(shù)列的通項公式______________．16．(2023·上?！じ呷驴迹┮阎椀缺葦?shù)列中，，，用表示實數(shù)的小數(shù)部分，如，，記，則數(shù)列的前15項的和為______.17．(2023·上海·高三月考）已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則．類比等差數(shù)列的上述結(jié)論，對等比數(shù)列，若，則當時可以得到_________．18．(2023·上海市控江中學(xué)高二期末）已知數(shù)列滿足，則其通項公式_______．19．(2023·上?！じ呷驴迹┤簟⒎謩e是正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)，且、、這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則的值形成的集合是___________.20．(2023·上?！じ呷驴迹┮阎却笥诘牡缺葦?shù)列滿足，記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，的前項和為，則__________.三、解答題21．(2023·上海市控江中學(xué)高一期末）已知數(shù)列滿足，.(1)若是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；(2)若是等比數(shù)列，且數(shù)列滿足，求證：是等比數(shù)列.22．(2023·上?！じ呷驴迹┮阎枪顬?的等差數(shù)列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明23．(2023·上海寶山·一模）已知函數(shù)，無窮數(shù)列滿足，.(1)若，寫出數(shù)列的通項公式（不必證明）；(2)若，且，，成等比數(shù)列，求的值；問是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)證明：，，，，成等差數(shù)列的充要條件是.24．(2023·上海·曹楊二中高二期末）已知數(shù)列滿足，，，n為正整數(shù).(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項公式；(2)證明：數(shù)列中的任意三項，，都不成等差數(shù)列；(3)若關(guān)于正整數(shù)n的不等式的解集中有且僅有三個元素，求實數(shù)m的取值范圍；25．(2023·上?！じ呷驴迹┮阎懈F數(shù)列滿足，將所有項之和為的可能的不同數(shù)列的個數(shù)記為.（1）求，；（2）已知，，若時，總有，求出一組實數(shù)對；（3）求關(guān)于的表達式.專題03等比數(shù)列及其通項公式重難點專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．(2023·上海市控江中學(xué)高二期末）設(shè)是等比數(shù)列，則“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【標準答案】C【思路指引】根據(jù)嚴格遞增數(shù)列定義可判斷必要性，分類討論可判斷充分性.【詳解詳析】若是嚴格遞增數(shù)列，顯然，所以“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”必要條件；對任意的正整數(shù)n都成立，所以中不可能同時含正項和負項，，即，或，即，當時，有，即，是嚴格遞增數(shù)列，當時，有，即，是嚴格遞增數(shù)列，所以“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”充分條件故選：C2．(2023·上?！じ呷驴迹┮粋€直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角為（）．A． B． C． D．【標準答案】B【思路指引】不妨設(shè)直角三角形中，，互余，為最小角，可得即，求解即可【詳解詳析】設(shè)，則互余，不妨設(shè)為最小角又由已知得即解得或（舍去）故故選：B【名師指路】本題考查了解三角形和數(shù)列綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題3．(2023·上海·高三月考）若等比數(shù)列的公比為，則關(guān)于、的二元一次方程組的解，下列說法中正確的是（）A．對任意，方程組都有無窮多組解B．對任意，方程組都無解C．當且僅當時，方程組無解D．當且僅當時，方程組有無窮多組解【標準答案】D首先解方程組消去得：，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，從而得到答案.【詳解詳析】解方程組，消去得：，因為為等比數(shù)列，所以，即.所以當時，即時，方程組有無窮多解.故選：D【名師指路】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.4．(2023·上?！?fù)旦附中模擬預(yù)測）若等比數(shù)列的公比為，則關(guān)于的二元一次方程組的解的情況的下列說法中正確的是（）A．對任意，方程組有唯一解 B．對任意，方程組無解C．當且僅當時，方程組有無窮多解 D．當且僅當時，方程組無解【標準答案】C【思路指引】消去，得到，利用等比數(shù)列的性質(zhì)可知，討論，得到選項.【詳解詳析】解方程組，，消去，得到數(shù)列的公比為的等比數(shù)列，，當，即時，方程組由無窮多解，當，即時，方程組無解.故選：C【名師指路】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和方程組解的情況，意在考查討論的思想和變形能力，屬于基礎(chǔ)題型.5．(2023·上海·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項和為，則下列判斷一定正確是A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【標準答案】D【思路指引】若，得，由于，推出，所以要確定，正負，取決于的正負，可得，錯誤；若，可得，，的正負，取決于正負，故錯誤；若，則，可確定正確．【詳解詳析】解：若則，所以，即，，所以，，所以當時，，當時，，故，錯誤，若，則，所以，所以當時，，即，當時，，即，故錯誤，若，則，即，所以，所以，即，故選：．【名師指路】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理運算能力，特殊化思想，屬于中檔題.6．(2023·上?！じ咭黄谥校┲?，是以為第三項、為第七項的等差數(shù)列的公差，是以為第三項、4為第六項的等比數(shù)列的公比，則該三角形的形狀是（）A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．等腰直角三角形 D．不能確定【標準答案】B【思路指引】利用等差及等比數(shù)列的性質(zhì)求出與的值，再利用兩角和的正切公式求出的值，得出，及的范圍，即可確定出三角形的形狀．【詳解詳析】是以為第三項、為第七項的等差數(shù)列的公差，，是以為第三項、4為第六項的等比數(shù)列的公比，，在中，有，，，根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)，和都大于零，，為銳角三角形．故選：B．【名師指路】本題考查了三角形的形狀判斷，涉及的知識有：誘導(dǎo)公式，兩角和的正切公式，以及等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．7．(2023·上海市第三女子中學(xué)高三期中）已知數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)都有，則下列關(guān)于的論斷中正確的是（）A．一定是等差數(shù)列 B．一定是等比數(shù)列C．可能是等差數(shù)列，但不會是等比數(shù)列 D．可能是等比數(shù)列，但不會是等差數(shù)列【標準答案】C【思路指引】根據(jù)得，分類討論當和兩種情況分析得數(shù)列可能為等差數(shù)列，但不會為等比數(shù)列.【詳解詳析】，，，若，則數(shù)列為等差數(shù)列；若，則數(shù)列為首項為，公比為4的等比數(shù)列，，此時（），即數(shù)列從第二項起，后面的項組成等比數(shù)列.綜上，數(shù)列可能為等差數(shù)列，但不會為等比數(shù)列.故選：C【名師指路】關(guān)鍵點點睛：數(shù)列中含有和的式子一般需要轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化后可利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，此類問題注意驗證時是否滿足遞推式，屬于中檔題．8．(2023·上海市復(fù)興高級中學(xué)高三期中）已知等比數(shù)列的公比為，是的前項和.則“數(shù)列單調(diào)遞減”是“，”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【標準答案】B【思路指引】根據(jù)單調(diào)遞減，可得或，由，可得，根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可求解.【詳解詳析】因為是等比數(shù)列且公比為，可得若數(shù)列單調(diào)遞減，則或，若可得，所以，或，由可得，即，所以或，所以由，可得，若，可得為單調(diào)遞減函數(shù)，若是遞減數(shù)列，則，或，所以充分性不成立必要性成立，所以“數(shù)列單調(diào)遞減”是“，”的必要而不充分條件故選：B.9．(2023·上?！?fù)旦附中青浦分校高二月考）已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是（）A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線【標準答案】C【思路指引】首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對所得的等式進行恒等變形即可確定其軌跡方程.【詳解詳析】由題意得，即，對其進行整理變形：，，，，所以或，其中為雙曲線，為直線.故選：C.【名師指路】關(guān)鍵點點睛：本題考查軌跡方程，關(guān)鍵之處在于由題意對所得的等式進行恒等變形，提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，屬于中等題.10．(2023·上海崇明·二模）若數(shù)列滿足則“”是“為等比數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【標準答案】A,不妨設(shè)，則可證充分性；為等比數(shù)列且時得不到，可知必要性不成立【詳解詳析】不妨設(shè)，則為等比數(shù)列；故充分性成立反之若為等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為，，當時，所以必要性不成立故選：A．【名師指路】(1)證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與中項公式法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可．(2)利用遞推關(guān)系時要注意對n＝1時的情況進行驗證．二、填空題11．(2023·上?！じ呷驴迹┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，直線經(jīng)過坐標原點，是的一個法向量，已知數(shù)列滿足：對任意的正整數(shù)，點均在上，若，則的值為____【標準答案】-32【思路指引】由直線的法向量可得直線的斜率和直線的方程，求得，則數(shù)列表示公比為的等比數(shù)列，運用等比數(shù)列的通項公式，即可求解.【詳解詳析】由題意，直線經(jīng)過坐標原點，且是直線的一個法向量，可得直線的斜率為，所以直線的方程為，又由點在直線上，所以，即，所以數(shù)列表示公比為的等比數(shù)列，可得，所以.故答案為：.【名師指路】本題主要考查了等比數(shù)列的定義和通項公式的運用，以及直線直線的法向量的應(yīng)用，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12．(2023·上海師大附中高一期末）已知等差數(shù)列的各項不為零，且、、成等比數(shù)列，則公比是________【標準答案】1或【思路指引】由、、成等比數(shù)列，列方程找出，從而可求出公比【詳解詳析】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為、、成等比數(shù)列，所以，即，化簡得，或當時，等差數(shù)列的每一項都相等，所以、、成等比數(shù)列時的公比為1當時，，所以，所以等比數(shù)列的公比為1或5故答案為：1或【名師指路】此題考查的是等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的運算，屬于基礎(chǔ)題13．(2023·上?！らh行中學(xué)高三期中）已知等比數(shù)列滿足，且，則的最小值為__________．【標準答案】8【思路指引】由已知可得，代入，令，可得，即可求出最小值.【詳解詳析】設(shè)數(shù)列的公比為，則且，，，即，所以，，令()，則，則當時，取得最小值為8.故答案為：8.14．(2023·上?！じ呷驴迹┮阎獢?shù)列、均為正項等比數(shù)列，、分別為數(shù)列、的前項積，且，則的值為___________.【標準答案】推導(dǎo)出數(shù)列、為等差數(shù)列，由此可得出，即可得解.【詳解詳析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則（常數(shù)），所以，數(shù)列為等差數(shù)列，同理可知，數(shù)列也為等差數(shù)列，因為，同理可得，因此，.故答案為：.【名師指路】結(jié)論點睛：已知等差數(shù)列、的前項和分別為、，則.15．(2023·上?！じ呷驴迹┰谥?，是的中點，點列在直線上，且滿足，若，則數(shù)列的通項公式______________．【標準答案】【詳解詳析】如圖所示，∵D是BC的中點，,又=+，，∴+=+an（），化為：=（1﹣an﹣an+1）+，∵點列Pn（n∈N*）在線段AC上，∴1﹣an﹣an+1+=1，化為：an+1=﹣，又a1=1，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項為1，公比為﹣．∴an=．故答案為．點睛：這個題目考查了向量中共線定理的應(yīng)用，和數(shù)列通項的求法；對于向量的小題常見的解題思路為：向量基底化，用已知長度和夾角的向量表示要求的向量，或者建系實現(xiàn)向量坐標化，或者應(yīng)用數(shù)形結(jié)合.16．(2023·上海·高三月考）已知正項等比數(shù)列中，，，用表示實數(shù)的小數(shù)部分，如，，記，則數(shù)列的前15項的和為______.【標準答案】5【思路指引】通過和可計算出數(shù)列的通項公式，即，由二項式定理結(jié)合題意可得，進而可得結(jié)果.【詳解詳析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，則，由和，解得，，則.由，，則，故答案為：5.【名師指路】本題主要考查了等比數(shù)列中基本量的計算，二項式定理的應(yīng)用，對新定義的理解是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.17．(2023·上?！じ呷驴迹┮阎獢?shù)列為等差數(shù)列，若，則．類比等差數(shù)列的上述結(jié)論，對等比數(shù)列，若，則當時可以得到_________．【標準答案】【思路指引】運算類比：差類比商，積類比乘方，商類比開方，由此有【詳解詳析】設(shè)，則，，所以，故答案為：．18．(2023·上海市控江中學(xué)高二期末）已知數(shù)列滿足，則其通項公式_______．【標準答案】【思路指引】構(gòu)造法可得，由等比數(shù)列的定義寫出的通項公式，進而可得.【詳解詳析】令，則，又，∴，故，而，∴是公比為，首項為，則，∴.故答案為：.19．(2023·上?！じ呷驴迹┤?、分別是正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)，且、、這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則的值形成的集合是___________.【標準答案】由已知條件可得，，由基本不等式可得，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，可求得與的值，即可得解.【詳解詳析】由已知條件可得，，由基本不等式可得，所以，，由于、、這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則有，解得，所以，，，因此，.故答案為：.【名師指路】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵在于確定、的關(guān)系，結(jié)合已知條件得出關(guān)于、的方程組求解，進而可求得與的值.20．(2023·上?！じ呷驴迹┮阎却笥诘牡缺葦?shù)列滿足，記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，的前項和為，則__________.【標準答案】【思路指引】先求出，再由特殊到一般，歸納出時，，從而可得，最后利用錯位相減法可得結(jié)果.【詳解詳析】設(shè)的公比為，由得或（舍去）所以在區(qū)間上，，在區(qū)間上上，個1在區(qū)間上，，個2在區(qū)間上，，個3，…歸納得當時，所以令則兩式相減，整理得所以故答案為：【名師指路】方法點睛：“錯位相減法”求數(shù)列的和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點：①掌握運用“錯位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積）；②相減時注意最后一項的符號；③求和時注意項數(shù)別出錯；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時除以.三、解答題21．(2023·上海市控江中學(xué)高一期末）已知數(shù)列滿足，.(1)若是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；(2)若是等比數(shù)列，且數(shù)列滿足，求證：是等比數(shù)列.【標準答案】(1)(2)證明見解析【思路指引】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，求出公差，進而可得結(jié)果；（2）設(shè)出公比為，利用，結(jié)合等比數(shù)列定義可得結(jié)論.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，；(2)設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，，兩式相減，即也適合，，是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.22．(2023·上海·高三月考）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明【標準答案】（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【思路指引】（I）由等差數(shù)列的求和公式運算可得的通項，由等比數(shù)列的通項公式運算可得的通項公式；（II）（i）運算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；（ii）放縮得，進而可得，結(jié)合錯位相減法即可得證.【詳解詳析】（I）因為是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．所以，所以，所以；設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，解得（負值舍去），所以；（II）（i）由題意，，所以，所以，且，所以數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）由題意知，，所以，所以，設(shè)，則，兩式相減得，所以，所以.【名師指路】關(guān)鍵點點睛：最后一問考查數(shù)列不等式的證明，因為無法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號，再由錯位相減法即可得證.23．(2023·上海寶山·一模）已知函數(shù)，無窮數(shù)列滿足，.(1)若，寫出數(shù)列的通項公式（不必證明）；(2)若，且，，成等比數(shù)列，求的值；問是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)證明：，，，，成等差數(shù)列的充要條件是.【標準答案】(1)；(2)，為等比數(shù)列；，不為等比數(shù)列，理由見解析；(3)證明見解析.【思路指引】（1）根據(jù)遞推關(guān)系寫出前幾項，直接得到通項公式；（2）時，由，，成等比數(shù)列可求出判斷數(shù)列即可，時同理可求出，由等比數(shù)列定義判斷即可；（3）結(jié)合（2）先證明充分性，再分別討論，，證明必要性即可.(1)因為，所以，所以；(2)因為當時，由，所以，所以，即為等比數(shù)列；當時，由舍，所以，因為，所以數(shù)列不是等比數(shù)列；綜上，當時，是等比數(shù)列，當時，不是等比數(shù)列；(3)充分性:當時，由(2)知，此時為等差數(shù)列;必要性:當時,，所以，所以，數(shù)列為遞增數(shù)列,易知，存在，此時，與矛盾，舍去;當時，由，所以,所以，，即為等差數(shù)列;當時，由與不符，舍去;綜上，，，，，成等差數(shù)列的充要條件是.【名師指路】方法點睛：注意在涉及數(shù)列的證明求解過程中，分類討論方法的應(yīng)用