2024 年暑假初升高數(shù)學(xué)銜接 數(shù)學(xué)講義

2024年暑假初升高銜接數(shù)學(xué)講義拓展初中-銜接高中-精準(zhǔn)定位-強(qiáng)化練習(xí)！同學(xué)們，首先祝賀你們進(jìn)入高中數(shù)學(xué)殿堂繼續(xù)學(xué)習(xí)。在經(jīng)歷了三年的初中數(shù)學(xué)了解，對數(shù)學(xué)思維有了一定的雛形，在對問題的分析方法和解決能力上得到了一定的訓(xùn)練。這也是我們繼續(xù)高中數(shù)數(shù)學(xué)中我們將學(xué)習(xí)函數(shù)，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，它在高中數(shù)學(xué)中是起著提綱的作用，它融匯在整個高中數(shù)學(xué)知識中，其中有數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想方法；如：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想等，它也是高考的重點(diǎn)，近年來，高考壓軸題都以函數(shù)題為考察方法的。高考題中與函數(shù)思想方法有關(guān)的習(xí)題占整個試生愛好，愛好它就要去實(shí)踐它，達(dá)到樂在其中，有興趣才會形成學(xué)習(xí)的主動性和積極性。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們把這種從自發(fā)的感性的樂趣出發(fā)上升為自覺的理性的“認(rèn)識”過程，這自然會變?yōu)榱⒅緦W(xué)好數(shù)學(xué)，成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功教具和模型的演示都視為欣賞音樂，及時回答老師課堂提問，培養(yǎng)思考與老師同步性，提高精神，把老師對你的提（4）聽課中注意老師講解時的數(shù)學(xué)思想，多問為什么要直角坐標(biāo)系的產(chǎn)生都是從實(shí)際生活中抽象出來的。只有回歸現(xiàn)實(shí)才能使對概念的理解切實(shí)可靠，在應(yīng)用概念判斷、習(xí)慣是經(jīng)過重復(fù)練習(xí)而鞏固下來的穩(wěn)重持久的條件反感到有序而輕松。高中數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣應(yīng)是：多質(zhì)疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應(yīng)用。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言，并永久記憶在自己的腦海中。另外還要保證每天有一定的數(shù)學(xué)能力包括：邏輯推理能力、抽象思維能力、計算能力、空間想象能力和分析解決問題能力共五大能力。這些能力是在不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境中得到培養(yǎng)的。在平時學(xué)習(xí)中要注意開發(fā)不同的學(xué)習(xí)場所，參與一切有益的學(xué)習(xí)實(shí)把空間中的實(shí)體高度抽象在大腦中，并在大腦中進(jìn)行分析推理。其它能力的培養(yǎng)都必須學(xué)習(xí)、理解、訓(xùn)練、應(yīng)用中得到發(fā)展。特別是，教師為了培養(yǎng)這些能力，會精心設(shè)計“智力課”和“智力問題”比如對習(xí)題的解答時的一題多學(xué)生務(wù)必要用全身心投入、全方位智力參與，最終達(dá)到自己各方面有許多初中階段數(shù)學(xué)成績很好的學(xué)生，升入高中后，感覺數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難，他們教材的原因：初中數(shù)學(xué)教材，多數(shù)知識點(diǎn)與學(xué)生日常生活實(shí)際貼近，且初中學(xué)生一般容易接受、理解和掌握。相對而言，高中數(shù)學(xué)概念抽象，邏輯性強(qiáng)，教材敘述比較嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范，知識難度加大，抽象思維和空間想象能力明顯提高，且習(xí)題類型多，解題技巧靈活多變，計算相對復(fù)雜，體現(xiàn)了“起點(diǎn)高、教法的原因：初中數(shù)學(xué)內(nèi)容少，知識難度不大，教學(xué)要求較低，因而教學(xué)進(jìn)度較慢，對于某些重點(diǎn)、難點(diǎn)，教教學(xué)進(jìn)度相應(yīng)加快，知識的重點(diǎn)和難點(diǎn)也不可能象初中那樣通過反復(fù)強(qiáng)調(diào)來排難釋疑，且高中教學(xué)往往通過設(shè)導(dǎo)、設(shè)問、設(shè)陷、設(shè)變，啟發(fā)引導(dǎo)，開拓思路，然后由學(xué)生自己思考、去解答，比較注意知識的發(fā)生過程，傾重對學(xué)生思想方法的滲透和思維品質(zhì)的培養(yǎng)。這使得剛?cè)敫咧械牟糠謱W(xué)生不適應(yīng)教學(xué)方法，聽課時存在思維障礙，跟不上教學(xué)法的原因：在初中，部分學(xué)生習(xí)慣于圍著教師轉(zhuǎn)，獨(dú)立思考和對規(guī)律進(jìn)行歸納總結(jié)的能力較差，滿足于知識的接受，缺乏學(xué)習(xí)的主動性。而到了高中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求學(xué)生勤于思考，善于歸納總結(jié)規(guī)律，掌握數(shù)學(xué)思維方法，做到舉一反三，觸類旁通。但是，剛?cè)雽W(xué)的高一新生，往往沿用初中時的學(xué)法，致使學(xué)習(xí)出現(xiàn)困難，甚至完成當(dāng)天其它原因：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感、興趣、性格針對以上影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原因，同學(xué)們應(yīng)當(dāng)怎樣彌補(bǔ)這些不足呢？下面從高中學(xué)透徹領(lǐng)悟所學(xué)知識：高中數(shù)學(xué)的理論性、抽象性強(qiáng)，這就需要學(xué)生在知識的理解上下大功夫，不僅要弄清數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì)，還要弄清概念的背景及其與其它概念的聯(lián)系。例如初三學(xué)生都會解一元二次方程，我曾在高一新生中做過這種調(diào)查：為什么一元二次方程在△≥0時有根？答對率不到15％，說明了什么？學(xué)生對一元二次方程這個概科學(xué)地對待預(yù)習(xí)：對于一部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)不太理想的同學(xué)，我主張課前預(yù)習(xí)。正確的方法是先不打開書，設(shè)想這節(jié)課的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)，然后打開書；看到要對某個概念進(jìn)行定義，馬上蓋上書，自己試著定義一下；看到一個定理的第一句敘述，再蓋上書自己猜想他的結(jié)論；看到一個公式時，也是這樣?？吹嚼}時，先不要看解法，自己先在紙上把它做一遍，再與書上的解法進(jìn)行比較、思考……這樣的預(yù)習(xí)，無論對知識的掌握，還是對思維的訓(xùn)練，都是有對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，思維反應(yīng)敏銳的同學(xué)，我不主張課前預(yù)習(xí)。因為通過預(yù)習(xí)已經(jīng)知道了課上要講的內(nèi)容、結(jié)論、推導(dǎo)過程、例題解法等，那么，課堂上還談何“超前思維、真正做課堂的主人、在思維運(yùn)動中訓(xùn)練思維呢？”提高聽課效率：高中學(xué)習(xí)期間，學(xué)生在課堂的時間占了一大部分。因此聽課效率如何，決定著學(xué)習(xí)的效果。我首先應(yīng)做好課前的物質(zhì)準(zhǔn)備和精神準(zhǔn)備，上課時不至于出現(xiàn)書、本等物丟三落四的現(xiàn)象；上課前也不應(yīng)做過于耳到：就是專心聽講，聽老師如何講課，如何分析，如何歸納總結(jié)，另外，還要聽同學(xué)們的答問，看是否對自眼到：就是在聽講的同時看課本和板書，看老師講課的表情，手勢和演示實(shí)驗的動作，生動將聽課中的要點(diǎn)、思維方法等作出簡單扼要的記錄，以便復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)的有效方法不是一遍遍地看書或筆記，而是采取回憶式的復(fù)習(xí)：一下還有哪些沒記清的，把它補(bǔ)起來，就能使當(dāng)天上課內(nèi)容鞏固下來，同時也檢查了當(dāng)天課堂聽課的效果如何，也2、做好單元復(fù)習(xí)。學(xué)習(xí)一個單元后應(yīng)進(jìn)行（3）自我體會：對本章內(nèi)，自己做錯的典型問題應(yīng)有記載，分析其原因及正確答案，應(yīng)記錄下來本章你覺得最有價值的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問做適量的練習(xí)題：有不少同學(xué)把提高數(shù)學(xué)成績的希望寄托在大量做題上，這是不成績，重要的不在做題多，而在于做題的效益要高。做題的目的在于檢查你學(xué)的知識，方法是否掌握得很好。如果你掌握得不準(zhǔn)，甚至有偏差，那么多做題的結(jié)果，反而加深了你的缺欠，因此，在準(zhǔn)確地把握住基本知識和方法的基礎(chǔ)上，做一定量的練習(xí)是必要的。而對于中檔題，尢其要講究做題的效益，即做題后有多大收獲，這就需要在做法和解法，本題的分析方法與解法，在解其它問題時，是否也用到過，把它們聯(lián)系起來，你就會得到更多的經(jīng)驗和教訓(xùn)，更重要的是養(yǎng)成善于思考的好習(xí)慣，這將大大有利于你今后的學(xué)習(xí)。當(dāng)然沒有一定量（老師布置的作業(yè)量）課外要自學(xué)、研究：課外自學(xué)與研究的目的是擴(kuò)大知識面，開闊眼界，進(jìn)一步提力。課外自學(xué)的范圍不宜過大，應(yīng)該圍繞所學(xué)的教材進(jìn)度看一些課外參考書及數(shù)學(xué)雜志，作一些較新鮮或難度較大的習(xí)題。課外自學(xué)應(yīng)該是有計劃地有節(jié)制地進(jìn)行，不要因小失大，更不要影響其它學(xué)科的學(xué)習(xí)。在課外自學(xué)的過程分析能力較強(qiáng)的學(xué)生，可以選一、二個專題，深入進(jìn)行探討和研究，把研究結(jié)果寫成論文，用以培養(yǎng)和鍛煉自己的思維能力?；A(chǔ)不太好、分析能力一般的學(xué)生，應(yīng)該經(jīng)常和基礎(chǔ)好、分析能力強(qiáng)的同學(xué)在一起研究、探討一些數(shù)學(xué)著顯著的區(qū)別。初中的數(shù)學(xué)主要是以形象、通俗的語言方式進(jìn)行表達(dá)。而高一數(shù)學(xué)一下子就觸及抽象的集合語言、邏輯運(yùn)算語言以及以后要學(xué)習(xí)到的函數(shù)語言、高一學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙的另一個原因是高中數(shù)學(xué)思維方法與初中生將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分幾步，因式分解先看什么，再看什么，即使是思維非常靈活的平面幾何問題，也對線段相等、角相等……分別確定了各自的思維套路。因此，初中學(xué)習(xí)中習(xí)慣于這種機(jī)械的，便于操作的定勢方式，而高中數(shù)學(xué)在思維形式上產(chǎn)生了很大的變化，正如上節(jié)所述，數(shù)學(xué)語言的抽象化對思維能力提出了高要求。當(dāng)然，能力的發(fā)展是漸進(jìn)的，不是一朝一夕的事，這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應(yīng)，故而導(dǎo)致成績下降。高一新生一定要能從經(jīng)驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡，最后還需初步初中數(shù)學(xué)知識少、淺、難度容易、知識面笮。高中數(shù)學(xué)知識廣泛，將對初中的數(shù)在三維空間中求一些幾何實(shí)體的體積和表面積；還將學(xué)習(xí)“排列組合”知識，以便解決排隊方法種數(shù)等問題。如：①三個人排成一行，有幾種排隊方法答：=6種②四人進(jìn)行乒乓球雙打比賽，有幾種比賽場次答：=3種）高中將學(xué)習(xí)統(tǒng)計這些排列的數(shù)學(xué)方法。初中中對一個負(fù)數(shù)開平方無意義，但在高中規(guī)定了i=-1,就使-1的平方根為±i.即可把數(shù)的概念進(jìn)行推廣，使數(shù)的概念擴(kuò)大到初中生在學(xué)習(xí)上的依賴心理是很明顯的。第一，為提高分?jǐn)?shù)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中教高中后，還象初中那樣，有很強(qiáng)的依賴心理，跟隨老師慣性運(yùn)轉(zhuǎn)，沒有掌握學(xué)習(xí)的主動權(quán)。表現(xiàn)在不定計劃，坐等2、學(xué)不得法。老師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內(nèi)涵，分析重點(diǎn)難點(diǎn)，突出思想方法。而還有些同學(xué)晚上加班加點(diǎn)，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，結(jié)果是事倍3、進(jìn)一步學(xué)習(xí)條件不具備。高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)相比，知識的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。這就要求必須掌握基礎(chǔ)知識與技能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備。高中數(shù)學(xué)很多地方難度大、方法新、分析能力要求高。如二次函數(shù)值的求法，實(shí)根分布與參變量的討論，三角公式的變形與靈活運(yùn)用，空間概念的形成，排列組合應(yīng)用題及實(shí)際應(yīng)用問題等。有的內(nèi)容還是初中教材都不講的脫節(jié)內(nèi)容，如不采取補(bǔ)救措施，查缺補(bǔ)漏，就必然會跟不上高中學(xué)習(xí)本。把平時容易出現(xiàn)錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取做到：找錯、析錯、改錯、防錯。達(dá)到：能從反面入手深入理解正確東西；能由果朔因把錯誤原因弄個水落石出、以便對癥下藥；解答問外題，加大自學(xué)力度。6、反復(fù)鞏固，消滅前學(xué)后忘。7、學(xué)會總結(jié)歸類?？桑孩購臄?shù)學(xué)思想分類②從解題方法歸類4.高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和特點(diǎn)僅在知識上而且在數(shù)學(xué)能力上已經(jīng)作好了高中繼續(xù)學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備。只要認(rèn)清高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，并促使自己適應(yīng)這些特點(diǎn)，那么學(xué)好高中數(shù)學(xué)是完全可能的。高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)概括地說3、知識的獨(dú)立性大：初中知識的系統(tǒng)性是較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，平面幾何尤其如此，這個系統(tǒng)給我們學(xué)習(xí)帶來了很大的方便。因為它便于記憶，又適合于知識的提取和使用。因此，平面幾何的知識使人長久不忘，記得清，用得上。但初中畢業(yè)生以較高的數(shù)學(xué)成績升入高中后，不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，相當(dāng)多的高一的兩極分化，少數(shù)學(xué)生甚至對學(xué)習(xí)失去了信心。前幾年，不少學(xué)校受高考指揮棒的影響，只注重升學(xué)率而忽視了合格率?，F(xiàn)在高中搞會考制，上述問題引起了各校足夠的重視。本文對高一數(shù)學(xué)成績大面積下降談?wù)勗斐傻脑蚣皯?yīng)初中教材偏重于實(shí)數(shù)集內(nèi)的運(yùn)算，缺少對概念的嚴(yán)格定義或?qū)Ω拍畹亩x不全，義就是如此；對不少數(shù)學(xué)定理沒有嚴(yán)格論證，或用公理形式給出而回避了證明，比如不等式的許多性質(zhì)就是這樣處理的；教材坡度較緩，直觀性強(qiáng)，對每一個概念都配備了足夠的例題和習(xí)題。而高一教材第一章就是集合、映射等的證明又是一個難點(diǎn)，立體幾何對空間想象能力的要求又很高。教材概念多、符號多、定義嚴(yán)格，論證要求又高，高一新生學(xué)起來相當(dāng)困難。此外，內(nèi)容也多，每節(jié)課容量遠(yuǎn)大于初中數(shù)學(xué)。這些都是高一數(shù)學(xué)成績大面積下降的客高一學(xué)生普遍反映數(shù)學(xué)課能聽懂但作業(yè)不會做。不少學(xué)生說，平時自究其原因是初中教師重視直觀、形象教學(xué)，老師每講完一道例題后，都要布置相應(yīng)的練習(xí)，學(xué)生到黑板表演的機(jī)會相當(dāng)多。為了提高合格率，不少初中教師把題型分類，讓學(xué)生死記解題方法和步驟。在初三，重點(diǎn)題目反復(fù)做過多次。而高中教師在授課時強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，注重舉一反三，在嚴(yán)格的論證和推理上下功夫。又由于高中搞小循環(huán)，接高一課程的教師剛帶完高三，他們往往用高三復(fù)習(xí)時應(yīng)達(dá)到的難度來對待高一教學(xué)。因此造成初、高中教師教學(xué)方法上的巨大差距，中間又缺乏過渡過程，至使高中新生普遍適應(yīng)不了高高一學(xué)生在初中三年已形成了固定的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣。他們上課不會科學(xué)地安排時間，缺乏自學(xué)、看書的能力，還有些學(xué)生考上了高中后，認(rèn)為可以松口氣了，放松了對自己的要高中教師應(yīng)聽初中數(shù)學(xué)課，了解初中教師的授課特點(diǎn)。開學(xué)初，要通握知識的程度和學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣。在摸清三個底（初中知識體系，初中教師授課特點(diǎn)，學(xué)生狀況）的前提下，根據(jù)高一教材和大綱，制訂出相當(dāng)?shù)慕虒W(xué)計劃，確定應(yīng)采取的教學(xué)方根據(jù)實(shí)踐，新高一第一章課時數(shù)要增加。要加強(qiáng)基本概念、基礎(chǔ)知識的教學(xué)。教一學(xué)生缺乏嚴(yán)格的論證能力，所以證明函數(shù)單調(diào)性時可進(jìn)行系列訓(xùn)練，開始時可搞模仿性的證明。要增加學(xué)生到黑板上演練的次數(shù)，從而及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，章節(jié)考試難度不能大。通過上述方法，降低教材難度，提高學(xué)生的可接受性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)信心，讓學(xué)生逐步適應(yīng)高開學(xué)第一節(jié)課，教師就應(yīng)對學(xué)習(xí)的五大環(huán)節(jié)提出具體、可行要求。如：作業(yè)的等。對學(xué)生在學(xué)習(xí)上存在的弊病，應(yīng)限期改正。嚴(yán)格要求貴在持之以恒，貫穿在學(xué)生學(xué)習(xí)的全過程，成為學(xué)生的習(xí)慣?？荚嚨拿芏纫黾?，如第一章可分為三塊進(jìn)行教學(xué)，每講完一塊都要復(fù)習(xí)、測驗測驗，課前5分鐘小題測驗，應(yīng)經(jīng)?；?，用以督促、檢查、鞏固所學(xué)知識。實(shí)踐表明，教好課與嚴(yán)要求，是提高教面需教師的指導(dǎo)，另一方面也靠老師的強(qiáng)求。教師應(yīng)向?qū)W生介紹高中數(shù)學(xué)特點(diǎn)，進(jìn)行學(xué)習(xí)方法的專題講座，幫助學(xué)生制訂學(xué)習(xí)計劃。這里，重點(diǎn)是會聽課和合理安排時間。聽課時要動腦、動筆、動口，參與知識的形成過程，而不是只記結(jié)論。教師應(yīng)有針對性地向?qū)W生推薦課外輔導(dǎo)書，以擴(kuò)大知識面。提倡學(xué)生進(jìn)行章節(jié)總結(jié)，把知識串成線，做到書由厚讀薄，又由薄變厚。期中、期末都要召開學(xué)習(xí)方法交流會，讓好的學(xué)習(xí)方法成為全現(xiàn)代教育倡導(dǎo)自主性學(xué)習(xí)和研究性學(xué)習(xí)，堅信能力是練出來的，因此我們在課程安排和教學(xué)常規(guī)中，設(shè)置有課前三分鐘準(zhǔn)備、晚修分段學(xué)習(xí)、教學(xué)三清（即堂堂清、周周清、月月清）等，這樣設(shè)置的目的，就是為了培養(yǎng)同學(xué)們良好的修習(xí)養(yǎng)身習(xí)慣。我希望同學(xué)們領(lǐng)會意圖，配合學(xué)校的安排。在課前三分鐘，提前回到自己的座位，把課做到眼晴看、耳朵聽、嘴巴說、腦筋想、手頭記，充分調(diào)動和發(fā)揮各器官功能……晚修分時段學(xué)習(xí)，合理安排各科學(xué)習(xí)時間，做到復(fù)習(xí)、作業(yè)、預(yù)習(xí)三不誤，照顧到當(dāng)天學(xué)習(xí)及第二天學(xué)習(xí)的全部學(xué)科，做到均衡發(fā)展，要主動到走廊上請教下班輔導(dǎo)的老師，維護(hù)課室里面安靜的晚修秩序，預(yù)習(xí)，即課前的自學(xué)。指在教師講課之前，自己先獨(dú)立地閱讀新課內(nèi)容。初步理解內(nèi)容，是上課做好接受新知識的準(zhǔn)備過程。有些學(xué)生由于沒有預(yù)習(xí)習(xí)慣，對老師一堂課要講的內(nèi)容一無所知，坐等教師講課，老師講什么就聽什么，老師叫干什么就干什么，學(xué)習(xí)就很辛苦。有些學(xué)生雖能預(yù)習(xí)，但看起書來似走馬觀花，不動腦、不分析，這種預(yù)習(xí)一點(diǎn)也達(dá)不到效果。老師建議：預(yù)習(xí)時要讀、思、問、記同步進(jìn)行，對課本內(nèi)容能看懂多少就算多少，不必求全理解，疑難也不必鉆深，只需順手用筆作出不同符號的標(biāo)記，把沒有讀懂的問題記下來，作為聽課的重點(diǎn)。完之后再進(jìn)行。時間多，就多預(yù)習(xí)幾門，鉆得深一點(diǎn)；反之，就少預(yù)習(xí)幾門，鉆得淺一點(diǎn)。切不可以每天學(xué)習(xí)任務(wù)還未完成就忙著預(yù)習(xí)，打亂了正常的學(xué)習(xí)秩序。若你以前沒有預(yù)習(xí)的習(xí)慣，現(xiàn)在可以先選一兩門自己學(xué)起來感到吃力的學(xué)科進(jìn)行預(yù)習(xí)嘗試，等嘗到甜頭，取得經(jīng)驗后，再逐漸增加學(xué)科，學(xué)生的大部分時間是在課堂中度過的。因此，聽課是學(xué)生接受教師指導(dǎo)，掌握知識，發(fā)展智力的中心環(huán)節(jié)，是獲取知識的重要途徑，是保證高效率學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。聽課時，有的學(xué)生全神貫注，專心聽講；有的分心走神，萎靡不振，打瞌睡；有的像錄音機(jī)，全聽全錄；有的邊聽邊記，基本上能把教師講的內(nèi)容都記下來；有的以聽為主，邊聽邊思考，有了問題記下來；有的干脆不記，只顧聽講；有的邊聽邊劃邊思考。思考時，有的思考當(dāng)堂內(nèi)容，有的思考與本課相關(guān)的知識體系，有的思考教師的思路，有的拿自己的思路與教師的思路比較。那么，怎樣才能達(dá)到聽好課的目的呢？總的要求是：要抓住各學(xué)科的不同特點(diǎn)，帶著問題聽，聽清內(nèi)容，記住要點(diǎn)，抓住關(guān)鍵，著重聽老復(fù)習(xí)是對前面已學(xué)過的知識進(jìn)行系統(tǒng)再加工，并根據(jù)學(xué)習(xí)情況對學(xué)習(xí)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，為下一階段的學(xué)習(xí)做好兩天后留下的只有28%；六天后為25%。所有的人，學(xué)習(xí)的知識都會發(fā)生先快后慢的遺忘過程。一些記性好的繞概念、公式、法則、定理、定律復(fù)習(xí)。通過追根溯源，思考它們是怎么形成與推導(dǎo)出來的？能應(yīng)用到哪些方面？（3）要反復(fù)復(fù)習(xí)。學(xué)完一課復(fù)習(xí)一次，學(xué)完一章或一專門復(fù)習(xí)。通過這種步步為營的復(fù)習(xí)，形成的知識聯(lián)系就不會消退。學(xué)校為此采取了教學(xué)“三清”措施，希望老師書上有的不必多記。難點(diǎn)不放過，疑點(diǎn)有標(biāo)記。不亂，不混，條理明。對聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)的問題，要及時記。筆記要留初中板塊：第1講數(shù)與式[[數(shù)與式{根式數(shù)與式{數(shù)與式{根式數(shù)與式{[公式法l分解因式{l其它方法知識點(diǎn)一：乘法公式【內(nèi)容概述】【公式2】(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(立方和公式) 【公式3】(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3(立方差公式) 【公式4】(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2（請同學(xué)證明）【公式5】(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3（請同學(xué)證明）【典型例題—1】：例1.計算：例2.計算：(2a+b)(4a2-2ab+b2)例3.計算(1)(3x+2y)(9x2-6xy+4y2)(2)(2x-3)(4x2+6xy+9)變式1：利用公式計算(a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)變式2:利用立方和、立方差公式進(jìn)行因式分解27m3-n327m3-x3-125m6-n6【典型例題—2】：例4.計算：例5.已知x2-3x+1=0，求x3+的值.例6.已知a+b+c=0，求a的值.變式1:計算：(x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1).變式2:已知a+b+c=4，ab+bc+ac=4，求a2+b2+c2的值.知識點(diǎn)二、根式【內(nèi)容概述】式子·(a≥0)叫做二次根式，其性質(zhì)如下：【典型例題—1】：基本的化簡、求值例7.化簡下列各式(2)例8.計算-a成立的條件是()A．a(chǎn)>0B．a(chǎn)<0C．a(chǎn)≤0D．a(chǎn)是任意實(shí)數(shù)-|x-6|的值是()變式3：計算【說明】1、二次根式的化簡結(jié)果應(yīng)滿足：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.2、二次根式的化簡常見類型有下列兩種：①被開方數(shù)是整數(shù)或整式．化簡時，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開得盡方的因數(shù)或因式開②分母中有根式或被開方數(shù)有分母(如形式(如形式(如)．這時可將其化為 可化為轉(zhuǎn)化為“分母中有根式”的情況.化簡時，要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個根式進(jìn)行化簡化為其中2+·i3與2-叫做互為有理化因式).【典型例題—2】：有理化因式和分母有理化有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩個代數(shù)式叫做有理化因式。如·ia與va；與a互為有理化因式。分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。例9.計算1）(++1)(1-+)-(+)2(2)知識點(diǎn)三、分式【典型例題—1】：分式的化簡例11.化簡例12.化簡【典型例題—2】：分式的證明例試證：（其中n是正整數(shù)計算：【典型例題—3】：分式的運(yùn)用例14.設(shè)e=，且e＞1，2－5ac＋2＝0，求e的值.變式1：對任意的正整數(shù)=_____________變式2:選擇題：若則）（A）1（BCD）知識點(diǎn)四、因式分解【內(nèi)容概述】因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形。在分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用。是一種重要的基本技能。因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等。【典型例題—1】：公式法(立方和、立方差公式)【內(nèi)容概述】我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式中的立方和、立方差公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(立方和公式)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3(立方差公式)由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，就得到：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)這就是說，兩個數(shù)的立方和(差)，等于這兩個數(shù)的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差(和)。運(yùn)用這兩個公式，可以把形式是立方和或立方差的多項式進(jìn)行因式分解。例15.用立方和或立方差公式分解下列各多項式：(2)0.125-27b3變式：分解因式：(1)3a3b-81b4(2)a7-ab6【典型例題—2】：分組分解法【內(nèi)容概述】從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式．而對于四項以上的多項式，如ma+mb+na+nb既沒有公式可用，也沒有公因式可以提?。虼耍梢韵葘⒍囗検椒纸M處理．這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法.分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組．常見題型：（1）分組后能提取公因式（2）分組后能直接運(yùn)用公式（1）分組后能提取公因式例16.把2ax-10ay+5by-bx分解因式。變式：把a(bǔ)b(c2-d2)-(a2-b2)cd分解因式。（2）分組后能直接運(yùn)用公式例17.把x2-y2+ax+ay分解因式。變式：把2x2+4xy+2y2-8z2分解因式?！镜湫屠}—3】：十字相乘法【內(nèi)容概述】（1）x2+(p+q)x+pq型的因式分解這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：①二次項系數(shù)是1；②常數(shù)項是兩個數(shù)之積；③一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和.∵x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)，運(yùn)用這個公式，可以把某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式.（2）一般二次三項式ax2+bx+c型的因式分解a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)，我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)a分解成a1a2，常數(shù)項c分解成c1c2，把a(bǔ)1,a2,c1,c2寫成EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up9(a),a)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up6(1),2)×EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up9(c),c)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up6(1),2)，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1c2+a2c1。(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行．這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法.必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解.（1）x2+(p+q)x+pq型的因式分解例18.把下列各式因式分解：例19.把下列各式因式分解：(1)x2+5x24(2)x22x15例20.把下列各式因式分解：(1)x2+xy6y2(2)(x2+x)28(x2+x)+12（2）一般二次三項式ax2+bx+c型的因式分解例21.把下列各式因式分解：(1)12x2-5x-2(2)5x2+6xy-8y2變式練習(xí):（1）x2-6x+5（2）x2+15x+56（3）x2+2xy-3y2（4）(x2+x)2-4(x2+x)-12【典型例題—3】：其它因式分解的方法（1）配方法例22.分解因式x2+6x-16變式:（1）x2+12x+20（2）a4+a2b2+b4（2）拆項法(選講）例23.分解因式x3-3x2+4（3）其它方法（選講）例24.(x2-5x+2)(x2-5x+4)-8課后練習(xí)1．填空：(3)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+().想，都是問題（4）若(x-2y)(x2+2xy+4y2)+8y3=1，則x,y的值為（5）若x2+x+1=0，則x4-x2-2x-1=若x2+xy-2y2=0，則=________________ （A）-a（B）a（C）--a（D）-·a若=2，則的值為()A．B．-C．-D.-2m23．把下列各式分解因式：(1)3ax-3ay+xy-y2(2)8x3+4x2-2x-1(3)5x2-15x+2xy-6y（4）4xy+1-4x2-y24b+a3b2-a2b3-ab4(6)x6-y6-2x3+1第2講一元二次函數(shù)與二次不等式1、能熟練掌握二次函數(shù)的圖像，能夠根據(jù)解析式快速畫出函數(shù)的圖像2、理解并掌握二次函數(shù)的三種表達(dá)式教學(xué)目標(biāo)3、理解并掌握二次函數(shù)的最值問題4、能夠根據(jù)二次函數(shù)、一元二次不等式不等式的關(guān)系解二次不等式二次函數(shù)的最值問題重點(diǎn)、難點(diǎn)一元二次不等式的解法考點(diǎn)及考試要求二次函數(shù)的最值與一元二次不等式的解法知識框架1、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)2、二次函數(shù)的三種表達(dá)式3、二次函數(shù)的最值問題4、一元二次不等式知識點(diǎn)一、y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)【內(nèi)容概述】函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口方向；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為直當(dāng)時，函數(shù)取最小值.函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口方向；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為直當(dāng)時，函數(shù)取最大值.上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過上圖直觀地表示出來．因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題.【典型例題】例1.求二次函數(shù)y=-3x2-6x+1圖象的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值并指出當(dāng)x取何值時，y隨x的增大而增大（或減小）？并畫出該函數(shù)的圖象.變式1：作出以下二次函數(shù)的草圖（1）y=x2-x-6(2)y=x2+2x+1(3)y=-x2+1例2.某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關(guān)系如下表所示：x/元y/件若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？例3.把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)y＝x2的圖像，求b，c的值.知識點(diǎn)二、二次函數(shù)的三種表示方式【內(nèi)容概述】1、一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2、頂點(diǎn)式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－h(huán)，k).3、交點(diǎn)式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).【典型例題】例4.已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點(diǎn)在直線y＝x＋1上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)（31求二次函數(shù)的解析式.例5.已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達(dá)式.例6.已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(－122)，(08)，(2，8)，求此二次函數(shù)的表達(dá)式.例7.函數(shù)yx2＋x－1圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)是()（A）0個（B）1個（C）2個（D）無法確定變式1:已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與x軸交于點(diǎn)(－1，0)和(2，0)，則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y＝a(a≠0).變式2：二次函數(shù)yx2+2v3x＋1的函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為.變式3：根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式.（1）圖象經(jīng)過點(diǎn)(12)，(03)，(－16)；（2）當(dāng)x＝3時，函數(shù)有最小值5，且經(jīng)過點(diǎn)(1，11)；（3）函數(shù)圖象與x軸交于兩點(diǎn)(1－\2，0)和(1＋v2，0)，并與y軸交于(02).知識點(diǎn)三、二次函數(shù)的最值問題【內(nèi)容概述】1．二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的最值.二次函數(shù)在自變量x取任意實(shí)數(shù)時的最值情況：處取得最大值無最小值2．二次函數(shù)最大值或最小值的求法.第一步：確定a的符號，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步：配方求頂點(diǎn)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為對應(yīng)的最大值或最小值.3．求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值.如：y=ax2+bx+c在m≤x≤n（其中m<n）的最值.第一步：先通過配方，求出函數(shù)圖象的對稱軸：x=x0；第二步：討論：（1）若a>0時求最小值或a<0時求最大值，需分三種情況討論：③對稱軸大于n即x0>n，即對稱軸在m（2）若a>0時求最大值或a<0時求最小值，需分兩種情況討論：說明：求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值，要注意對稱軸與自變量的取值范圍相應(yīng)位置【典型例題】例8.求下列函數(shù)的最大值或最小值.（1）y=2x23x52）y=x23x+4例11.當(dāng)t≤x≤t+1時，求函數(shù)x2一x的變式1：設(shè)a>0，當(dāng)-1≤x≤1時，函數(shù)y=-x2-ax+b+1的最小值是-4，最大值是0，求a,b的值.變式2：已知函數(shù)y=x2+2ax+1在-1≤x≤2上的最大值為4，求a的值.變式3：求關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2-2tx+1在-1≤x≤1上的最大值(t為常數(shù)).變式4：已知函數(shù)yx2－2x＋3，當(dāng)自變量x在下列取值范圍內(nèi)時，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當(dāng)函數(shù)取最大（小）值時所對應(yīng)的自變量x的值：（1）x≤-22）x≤232≤x≤14）0≤x≤3.知識點(diǎn)四、一元二次不等式【內(nèi)容概述】通過前面的學(xué)習(xí)，咱們已經(jīng)掌握了根據(jù)二次函數(shù)的解析式畫函數(shù)的圖像，現(xiàn)在同學(xué)們根據(jù)圖像與x軸交點(diǎn)的個數(shù)分類，詳細(xì)總結(jié)，然后對比二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的關(guān)系.（在黑板上畫出表格的框架，讓學(xué)生來填，引導(dǎo)學(xué)生自主找規(guī)律）1、一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集：設(shè)相應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1、x2且x1≤x2，Δ=b2-4ac，則不等式的解的各種情況如下表：二次函數(shù)y=ax2+bx+c一元二次方程(a>0)的解集2．簡單分式不等式的解法解簡單的分式不等式的方法：對簡單分式不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為整式不等式，應(yīng)當(dāng)注意分母不為零.3．含有字母系數(shù)的一元一次不等式一元一次不等式最終可以化為ax>b的形式：（1）當(dāng)a>0時，不等式的解為：（2）當(dāng)a<0時，不等式的解為：（3）當(dāng)a=0時，不等式化為：0.x>b；①若b>0，則不等式的解是全體實(shí)數(shù)；②若b≤0，則不等式無解.【典型例題】例12.解下列不等式：(1)x2+x-6>0(2)(x-1)(x+2)≥(x-2)(2x+1)24x2x例14.已知對于任意實(shí)數(shù)x，kx2一2x+k恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.變式2：解下列不等式(3)(4)變式4:已知關(guān)于x的不等式mx2一x+m課后練習(xí)1．根據(jù)下列條件，分別求出對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式.（2）已知拋物線的頂點(diǎn)為（1，一3且與y軸交于點(diǎn)（0，1（3）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)M（一3，05，0且與y軸交于點(diǎn)（0，一3（4）已知拋物線的頂點(diǎn)為（3，一2且與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4.≤x≤a，其中a≥2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應(yīng)的自變量x的值.3.若0<a<1,則不等式的解是()A.a<x<<x<aC.x>或x<aD.x<或x>a4.如果方程ax2＋bx＋b＝0中，a＜0，它的兩根x1，x2滿足x1＜x2，那么不等式ax2＋bx＋b＜0的解5.解下列不等式：（1）3x2－2x＋1＜0；（2）3x2－4＜03）2x－x2≥-1；（4）4－x2≤0.6.解關(guān)于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a為常數(shù)）.7.關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解為x<—2或x>—求關(guān)于x的不等式ax2—bx+c>0的解.第3講一元二次方程與韋達(dá)定理1、理解并掌握一元二次方程根的判別式教學(xué)目標(biāo)2、理解并掌握根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）1、韋達(dá)定理與一元二次方程的關(guān)系重點(diǎn)、難點(diǎn)2、韋達(dá)定理的應(yīng)用1、一元二次方程根的判別式考點(diǎn)及考試要求2、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）知識框架1、一元二次方程根的判別式2、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）3、簡單的二元二次方程組（選講）4、分式方程和無理方程的解法（選講）知識點(diǎn)一、一元二次方程根的判別式【典型例題】例1.求下列方程的根（1）x2+2x3=0(2)x2+2x+1=0例2.判定下列關(guān)于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)如果方程有實(shí)數(shù)根，寫出方程的實(shí)數(shù)根.（1）x2－3x＋3＝02）x2－ax－1＝03）x2－ax＋(a－1)＝0（4）x2－2x＋a＝0.變式練習(xí):已知關(guān)于x的一元二次方程3x2—2x+k=0，根據(jù)下列條件，分別求出k的范圍：(1)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2)方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；(3)方程有實(shí)數(shù)根；(4)方程無實(shí)數(shù)根。知識點(diǎn)二、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）【內(nèi)容概述】則有：所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：a這一關(guān)系也被稱為“韋達(dá)定理”．特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其兩根，由韋達(dá)定理可知：x1＋x2p，x1·x2＝q，即：p(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化為x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0。由于x1，x2是一元二次方程x2＋px+q＝0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0的兩根．因此有：1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0.【典型例題】=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值.例4.已知關(guān)于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有兩個實(shí)數(shù)根，并且這兩個實(shí)數(shù)根的平方和比兩個根的積大21，求m的值.例5.已知兩個數(shù)的和為4，積為－12，求這兩個數(shù).例6.若x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根.變式：若x1,x2是方程x2+2x-2007=0的兩個根，試求下列各式的值：x|x1-x2|例7.若關(guān)于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)a的范圍.例8.已知關(guān)于x的方程k2+1=0，根據(jù)下列條件，分別求出k的值。(1)方程兩實(shí)根的積為5；(2)方程的兩實(shí)根x1,x2滿足|x1|=x2。例9.已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的兩個實(shí)數(shù)根。（1）是否存在實(shí)數(shù)成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值。x2x1變式1：填空:（1）若方程x2－3x－1＝0的兩根分別是和，則.x1x2（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情況是.（3）以－3和1為根的一元二次方程是.（4）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則m2n＋mn2－mn的值等于.（5）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的兩個實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是.-1|=0，當(dāng)k取何值時，方程kx2＋ax＋b＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根？變式3:已知方程x2－3x－1＝0的兩根為x1和x2，求(x1－3)(x2－3)的值.變式4:已知關(guān)于x的方程x2－kx－2＝0.（1）求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩根為x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.知識點(diǎn)三、簡單的二元二次方程組（選講內(nèi)容）【內(nèi)容概述】在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程組的解法，掌握了用“消元法”解二元一次方程組．高中新課標(biāo)必修2中學(xué)習(xí)圓錐曲線時，需要用到二元二次方程組的解法．因此，需介紹簡單的二元二次方程組的解法。含有兩個未知數(shù)、且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做二元二次方程。由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組，或由兩個二元二次方程組組成的方程組，叫做二元二次方程組。（1）由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組【內(nèi)容概述】一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組，一般都可以用“代入法”求解．其蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化思想：將二元一次方程化歸為熟悉的一元二次方程求解。例10.解方程組例11.解方程組（2）由兩個二元二次方程組成的方程組（可因式分解型）【內(nèi)容概述】方程組中，一個方程可以因式分解化為兩個二元一次方程，則原方程組可轉(zhuǎn)化為兩個方程組，其中每個方程組都是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成。例12.解方程組例13.解方程組例14.解方程組2=26例15.解方程組知識點(diǎn)四、分式方程和無理方程的解法（選講）【內(nèi)容概述】初中大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了可化為一元一次方程的分式方程的解法。這里將要學(xué)習(xí)可化為一元二次方程的分式方程的解法以及無理方程的解法．要求掌握：(1)不超過三個分式構(gòu)成的分式方程的解法，會用“去分母”或”換元法”求方程的根，并會驗根；(2)了解無理方程概念，掌握可化為一元二次方程的無理方程的解法，會用”平方”或”換元法”求根，并會驗根?！镜湫屠}—1】可化為一元二次方程的分式方程（1）去分母，化分式方程為一元二次方程例16.解方程（2）用換元法，化分式方程為一元二次方程例17.解方程-4=0例18.解方程=11.【典型例題—2】可化為一元二次方程的無理方程（1）平方法解無理方程（2）換元法解無理方程變式練習(xí):解下列方程課堂練習(xí)11．選擇題:（1）已知關(guān)于x的方程x2＋kx－2＝0的一個根是1，則它的另一個根是()（A3（B）3（C2（D）2（2）下列四個說法：①方程x2＋2x－7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為－7；②方程x2－2x＋7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為7；③方程3x2－7＝0的兩根之和為0，兩根之積為-；④方程3x2＋2x＝0的兩根之和為－2，兩根之積為0.其中正確說法的個數(shù)是()（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個（3）關(guān)于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一個根是0，則a的值是()（A）0（B）1（C1（D）0，或－12．填空:（1）方程kx2＋4x－1＝0的兩根之和為－2，則k=.（3）已知關(guān)于x的方程x2－ax－3a＝0的一個根是－2，則它的另一個根是.（4）方程2x2＋2x－1＝0的兩根為x1和x2，則|x1－x2|=.3．試判定當(dāng)m取何值時，關(guān)于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個相等的實(shí)數(shù)根？沒有實(shí)數(shù)根？課后練習(xí)21、選擇題：（1）已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x2－8x＋7＝0的兩根，則這個直角三角 形的斜邊長等于() （A）·3（B）3（C）6（D）9（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的兩個根，則的值為()x2x1（A）6（B）4（C）3（D）（3）如果關(guān)于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有兩實(shí)數(shù)根α,β,則α+β的取值范圍為(）(4)已知a,b,c是ΔABC的三邊長，那么方程的根的情況是()A）沒有實(shí)數(shù)根B）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根C）有兩個相等的實(shí)數(shù)根D）有兩個異號實(shí)數(shù)根2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的兩根為x1，x2，且3x1＋2x2＝18，則m=.3.求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2－7x－1＝0各根的相反數(shù)24．已知關(guān)于x的方程（1）求證：無論m取什么實(shí)數(shù)時，這個方程總有兩個相異實(shí)數(shù)根；（2）若這個方程的兩個實(shí)數(shù)根x1，x2滿足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相應(yīng)的x1，x2.5.若關(guān)于x的方程x2＋x＋a＝0的一個大于1、零一根小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍6選做）已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個實(shí)數(shù)根.（1）是否存在實(shí)數(shù)使成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值；x2x1若k2，λ=，試求λ的值.第4講絕對值不等式與無理式不等式1、理解絕對值的意義，能夠熟練的解絕對值不等式教學(xué)目標(biāo)2、了解解無理不等式的方法，會解無理不等式重點(diǎn)、難點(diǎn)絕對值不等式與無理不等式的解法考點(diǎn)及考試要求絕對值不等式與無理不等式的解法知識框架1、絕對值的意義2、絕對值不等式的解法3、簡單高次不等式的解法4、無理不等式的解法知識點(diǎn)一、絕對值【內(nèi)容概述】絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零．即：絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：a-b表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)b之間的距離.知識點(diǎn)二、絕對值不等式的解法【內(nèi)容概述】（1）不等式x<a(a>0)的解是（2）不等式x>a(a>0)的解是x>a,或x<-a}；（3）不等式ax+b<c(c>0)的解為{x|-c<ax+b<c}(c>0)；（4）不等式ax+b>c(c>0)的解為{x|ax+b<-c,或ax+b>c}(c>0).【典型例題】例1.解下列不等式：⑴.|x-3|>4⑵.1≤|x+1|例2.解不等式：x-1+x+2≥5[5x-1>3(x-2)l2-x≤5.l2-x≤5.例3.解不等式|x2-5x+5|<1.變式1：|x2-11x+24|<6變式2：|x2+7x+11|<1課堂練習(xí)（1）|x-1|<12）|x2-x-1|≤1；1≤|x2-1|<3；|x+1|+|2-x|>4知識點(diǎn)三、簡單高次不等式【內(nèi)容概述】（設(shè)a<b<c<d)：（1）(x-a)(x-b)(x-c)>0→a<x<b,x>c；（3）(x-a)(x-b)2(x-c)>0→x<a,x>c說明1）化高為低即“降次”2）數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用；穿針引線法：從右往左，從上往下，奇過偶不過(前提：x的系數(shù)化為正數(shù))【典型例題】例4.解不等式變式：≥x+1知識點(diǎn)四：無理不等式【內(nèi)容概述】前面我們已經(jīng)研究了一元一次不等式、一元二次不等式和一元高次不等式，它們稱為整式不等式，再加上分式不等式，統(tǒng)稱為有理不等式，下面，我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)一下無理不等式的解法。無理不等式一般是指在根號下含有未知數(shù)的不等式，今天我們主要研究在二次根號下含有未知數(shù)的簡單的無理不等式的解法?！镜湫屠}】通過這個題型我們可以發(fā)現(xiàn)：在解無理不等式的時候，關(guān)鍵是找出與其同解的有理不等式組，而解有理不等式組（如：一元一次不等式組、一元二次不等式組和一元高次不等式組等等）都是我們比較拿手的。簡言之：“解無理不等式”要轉(zhuǎn)化為“解有理不等式”。即：無理不等式的有理化解法。例5.解不等式變式：解不等式⑴1-x-3x-2≤0例6.解不等式>x-1變式：解不等式>1+2x例7.解不等式<1+2x變式：<x+1（4綜合問題例8.解不等式：2x+1>x+1-1變式：9-x2+·6x-x2>3知識點(diǎn)五、四個結(jié)論選講）【內(nèi)容概述】（1）f(x)≥a恒成立f(x)min≥a2）f(x)≤a恒成立f(x)max≤a；（3）f(x)≥a有解f(x)max≥a4）f(x)≤a有解f(x)min≤a；【典型例題】例9（1）求使得不等式有實(shí)數(shù)解的a的取值范圍：（2）對于恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：課堂練習(xí)11.解下列不等式：（1）(x24)(x6)2≤0；2.解下列不等式：3.解下列不等式：課后練習(xí)21.解下列不等式（3）>x-129x-1)2>0；2、若關(guān)于x的不等式x2-ax-6a≤0有解，且對任意的解x1,x2恒有|x1-x2|≤5，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；第5講集合的基本概念1、理解并掌握集合的含義與表示教學(xué)目標(biāo)2、理解并掌握集合間的基本關(guān)系1、集合元素的三種特性（確定性、互異性、無序性）重點(diǎn)、難點(diǎn)2、元素與集合之間的關(guān)系、集合的表示方法、子集與真子集考點(diǎn)及考試要求1、集合元素的三種特性（確定性、互異性、無序性）2、元素與集合之間的關(guān)系、集合的表示方法、子集與真子集知識框架1、集合的概念2、元素與集合的關(guān)系及常用數(shù)集記法3、集合的表示方法4、集合的分類5、集合間的基本關(guān)系（子集，真子集）知識點(diǎn)一、集合的概念【內(nèi)容概述】一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構(gòu)成一個集合.集合中的每一個對象稱為該集合的元素，簡稱“元”【典型例題】例1.考查下列每組對象能否構(gòu)成一個集合：（1）著名的數(shù)學(xué)家2）某校2010年在校的所有高個子同學(xué)；（3）不超過20的非負(fù)數(shù)4）方程x2－9＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解；（5）直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)6）-\3的近似值的全體.變式1:下面有三個命題：其中正確的命題有個.（1）自然數(shù)中最小的數(shù)是零（2）0是自然數(shù)（3）{1,2,3}是不大于3的自然數(shù)組成的集合；【概括】：集合中元素的特性確定性：它的元素必須是確定的?；ギ愋裕和患现胁粦?yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素.一個給定集合中的元素是指屬于這個集合的互不相同的對象。無序性：對于給定的集合，其中的元素是不考慮順序的例2.下列各組對象：其中能構(gòu)成集合的組數(shù)是() 4平面上到點(diǎn)O的距離等于1的點(diǎn)的全體○5正三角形的全體A.2B.3C.4D.5變式2：下列各種對象，可以構(gòu)成集合的有個3某書中的難題A.1B.2C.3D.4知識點(diǎn)二、元素與集合的關(guān)系及常用數(shù)集記法【內(nèi)容概述】1．集合通常用表示，用表示集合中的元素.2．如果a是集合A的元素，就說a集合A，記作A，讀作“”；如果a不是集合A的元素，就說aA，記作A，讀作“”.3。數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法：實(shí)數(shù)集：有理數(shù)集：整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集：正整數(shù)集或【典型例題】 1_____N,-3_____N,0_____N,2_____N,變式3：下面命題：正確的個數(shù)是個。集合N中最小的數(shù)是1○2若-a不屬于N，則a屬于N知識點(diǎn)三、集合的表示方法【內(nèi)容概述】1、自然語言：通過日常語言來描述集合問題中被研究的對象，如全體實(shí)數(shù)組成的集合、正整數(shù)集等。2、列舉法：把集合的元素一一列出來寫在大括號的方法。如{1，-2}說明：(1)書寫時，元素與元素之間用逗號分開；(2)一般不必考慮元素之間的順序；(3)在表示數(shù)列之類的特殊集合時,通常仍按慣用的次序；(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能時，可以列出該集合的一部分元素,以提供某種規(guī)律,其余元素以省略號代替【典型例題—1】列舉法：例4.用列舉法表示下列集合：（1）小于5的正奇數(shù)組成的集合（2）能被3整除而且大于4小于15的自然數(shù)組成的集合（3）從51到100的所有整數(shù)的集合4）小于10的所有自然數(shù)組成的集合；（5）方程x2=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合6）由1-20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合?！緝?nèi)容概述】我們不能用列舉法表示不等式x-7<3的解集，因為這個集合中的元素是列舉不完的，但是，我們可以用這個集合中元素所具有的共同特征來描述：描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共屬性描述出來,寫在大括號里的方法)。表示形式：A={x∈Ip(x)}，其中豎線前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共屬性；A={x∈Ip(x)}表示集合A是由所有具有性質(zhì)P的那些元素x組成的，即若x具有性說明:(1)有些集合的代表元素需用兩個或兩個以上字母表示；(2)應(yīng)防止集合表示中的一些錯誤。如：把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},用{實(shí)數(shù)集}或{全體實(shí)數(shù)}表示R?！镜湫屠}—2】描述法：例5．用描述法表示下列集合：（1）由適合x2-x-2>0的所有解組成的集合2）拋物線y=x2上的點(diǎn)；（3）拋物線y=x2上點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(4)拋物線y=x2上點(diǎn)的縱坐標(biāo)；變式1：試分別用列舉法和描述法表示下列集合：（1）方程x2—2=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集2）由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合。知識點(diǎn)四、集合的分類【內(nèi)容概述】[有限集:含有有限個元素的集合集合的分類{無限集:含有無限個元素的集合l空集:不含有任何元素的集合⑦(empty-set)【典型例題】例6.觀察下列三個集合的元素個數(shù)2+1=0}課堂練習(xí)填空題1．由下列對象組成的集體屬于集合的是(填序號).①不超過π的正整數(shù)；②高一數(shù)學(xué)課本中所有的難題；③中國的大城市；④平方后等于自身的數(shù)；⑤某校高一(2)班中考試成績在500分以上的學(xué)生.2．下列四個說法中正確的個數(shù)是.①集合N中最小數(shù)為1；②若a∈N，則－a∈N；③若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為2；④所有小的正數(shù)組成一個集合.(1)－3______N；(2)3.14______Q；(3)______Z；4．集合A＝{1,2,3,5}，當(dāng)x∈A時，若x－1∈A，x＋1∈A，則稱x為A的一個“孤立元素”，則A中孤立元素的個數(shù)為.5．已知x、y、z為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值所組成的集合是M，則M中元素的個數(shù)為.6．方程x2－2x＋1＝0的解集中含有個元素.7．已知集合S的三個元素a、b、c是△ABC的三邊長，那么△ABC(填“能”或“不能”)為等腰三角形.8．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x.知識點(diǎn)五、集合間的基本關(guān)系【典型例題—1】子集的概念：例1.觀察下列幾組集合，有什么共同的地方（1）A={1，2，3}B={1，2，3，4，5}（2）A={3，5，7}B={3，5，7}我們可以發(fā)現(xiàn)A中的任何一個元素在B中都能找到。那么這樣的兩個集合是什么樣的關(guān)系呢？【概括】對于集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合是包含關(guān)系，集合A為集合B的子集。記作AB(或B彐A)讀作A含于B例3.寫出集合｛a，b｝的所有子集，例4.說出下列每對集合之間的關(guān)系.（1）A1，2，3，4B3，42）Px｜x2＝1Q-1，13）N，N*.}，且AB，則實(shí)數(shù)a的范圍是()2-3x+2=0},B={x【典型例題—2】韋恩圖：【內(nèi)容概述】用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖叫做韋恩圖。想，都是問題例6.求下列集合之間的關(guān)系，并用Venn圖表示.Ax｜x是平行四邊形Bx｜x是菱形Cx｜x是矩形Dx｜x是正方形｝.【典型例題—3】集合相等：設(shè)集合A={x|x2-1=0}，B={-1,1}，那么這兩個集合會有什么關(guān)系呢？【概括】集合A與集合B中的元素完全相同，只是表示方法不同，我們就說集合A與集合B相等，即：A=B判斷集合A={xx例8.判斷集合A與B是否相等？(1)A={0}，B=⑦;(2)A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x|x=2m+1,m∈Z}；變式：已知三元集合A=｛x,xy,x-yB=｛0,x|,y且A=B,求x與y的值.【典型例題—4】真子集：【內(nèi)容概述】如果集合B是集合A的子集，并且集合A中至少有一個元素不屬于集合B，那么把集合B[不包含本身的子集叫做真子集]對于集合A、B、C，如果AüB，BüC，則AüC.例9.選用適當(dāng)?shù)姆枴啊被颉啊碧羁眨豪?0.設(shè)集合M={0,1,2},試寫出M的所有子集，和真子集想，都是問題xax-1=0}若BA,求a的值所組成的集合M.【典型例題—5】空集【內(nèi)容概述】1、我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作⑦2、空集是任何集合的子集。3、空集是任何非空集合的真子集例11.求方程x2+1=0的實(shí)數(shù)根變式：下列四個集合中，表示空集的是()2=-x2,x2課后練習(xí)1.已知集合A=｛a,b,cB={x|x∈A},則集合B的真子集個數(shù)最多是()A.5個B.6個C.7個D.8個2.設(shè)集合M｛1,2,3,4,5且a∈M時，6-a∈M,則集合M=.3.寫出滿足條件｛0，1｝M｛0，1,2,3}的集合M4.集合{3，x，x2－2x}中，x應(yīng)滿足的條件是.5.集合中的元素有.6．用符號∈或∈填空： ①1N，0N3Q，0.5Z，2R.②1R，·i5Q3|N+,|-·i3｜Z.2______7．若集合A＝{x｜x2＋(a－1)x＋b＝0}中，僅有一個元素a，則ab=.8.已知集合A={x|x<-1或x>2},B={x|4x+p<0},當(dāng)BA時，求實(shí)數(shù)p的取值范圍.求實(shí)數(shù)a的取值范圍10．實(shí)數(shù)集A滿足條件：1∈A，若a∈A，則(1)若2∈A，求A；(2)集合A能否為單元素集？若能，求出A；若不能，說明理由；a11選做）已知集合A＝{x｜ax2－3x＋2＝0}，其中a為常數(shù)，且a∈R①若A是空集，求a的范圍；②若A中只有一個元素，求a的值；③若A中至多只有一個元素，求a的范圍.第6講集合的基本運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)、難點(diǎn)考點(diǎn)及考試要求1理解兩個集合的并集、交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集2理解在給定集合中的一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集3能夠使用韋恩圖表示集合的關(guān)系與運(yùn)算，并能夠解決一些簡單的實(shí)際集合的并集、交集、補(bǔ)集運(yùn)算的應(yīng)用熟練掌握集合的并、交、補(bǔ)運(yùn)算知識框架集合的并集、交集、補(bǔ)集知識點(diǎn)一、并集【內(nèi)容概述】1、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，叫做集合A與集合B2、并集運(yùn)算必須掌握的幾條性質(zhì)1并集滿足交換律，符號語言表達(dá)式為：AUB=BUA；2任何集合同自身的并集等于集合自身，符號語言表達(dá)式為：AUA=A；3任何集合同空集的并集等于集合本身，符號語言表達(dá)式為：AU⑦=A；ABAUB=B；5任何集合都是該集合與另一集合并集的子集，符號語言表達(dá)式為：A(AUB),B(AUB).【典型例題】2若AUB=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.變式1：若集合A，則AUB=.知識點(diǎn)二、交集【內(nèi)容概述】1、交集的定義：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，叫做A與B的交集.2、交集的運(yùn)算必須掌握的幾條性質(zhì)：（1）A∩B=B∩A2）A∩BA,A∩BB；【典型例題】2變式2：已知集合A={0,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9}分別符合下列條件的a的值.例4.設(shè)集合M={-1,0,1},N={x|x2≤x}，則M∩N=.變式1：圖中陰影部分用集合表示為.想，都是問題知識點(diǎn)三、補(bǔ)集【內(nèi)容概述】1.全集：在研究集合與集合之間的關(guān)系時，有時這些集合都是某一個給定集合的子集，這個給定集合可以看成一個全集，用符號“U”表示，也就是說，全集含有我們所要研究的各個集合的全部元素.2.補(bǔ)集：如果集合A是全集U的一個子集，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，叫做集合A相對于全集U的補(bǔ)集，簡稱為集合A的補(bǔ)集.3.對補(bǔ)集定義的理解要注意以下幾點(diǎn)：（1）補(bǔ)集是相對于全集而存在的，研究一個集合的補(bǔ)集之前一定要明確其所對應(yīng)的全集.比如當(dāng)研究數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時，我們常常將實(shí)數(shù)集R當(dāng)做全集.(2)補(bǔ)集既是集合之間的一種關(guān)系，同時也是集合之間的一種運(yùn)算，當(dāng)然也是一種