新教材2024版高考數(shù)學微專題小練習專練56含解析

Page7專練56高考大題專練(六)概率與統(tǒng)計的綜合運用1．[2024·全國新高考Ⅰ卷]某學校組織“一帶一路”學問競賽，有A，B兩類問題，每位參與競賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學競賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學競賽結(jié)束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．2．[2024·全國卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同學進行羽毛球競賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；競賽前抽簽確定首先競賽的兩人，另一人輪空；每場競賽的勝者與輪空者進行下一場競賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人接著競賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，競賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙首先競賽，丙輪空．設(shè)每場競賽雙方獲勝的概率都為eq\f(1,2).(1)求甲連勝四場的概率；(2)求須要進行第五場競賽的概率；(3)求丙最終獲勝的概率．3．為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．依據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事務(wù)：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，依據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).4．某科技公司新研制生產(chǎn)一種特別疫苗，為確保疫苗質(zhì)量，定期進行質(zhì)量檢驗．某次檢驗中，從產(chǎn)品中隨機抽取100件作為樣本，測量產(chǎn)品質(zhì)量體系中某項指標值，依據(jù)測量結(jié)果得到頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)技術(shù)分析人員認為，本次測量的產(chǎn)品的質(zhì)量指標值X聽從正態(tài)分布N(μ，12.22)，若同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，計算μ，并計算測量數(shù)據(jù)落在(187.8，212.2)內(nèi)的概率；(3)設(shè)生產(chǎn)成本為y元，質(zhì)量指標值為x，生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標值之間滿意函數(shù)關(guān)系y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.4x，x≤205，,0.8x－100，x>205.))假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，試計算生產(chǎn)該疫苗的平均成本．參考數(shù)據(jù)：X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.5.[2024·全國甲卷(理)，19]甲、乙兩個學校進行體育競賽，競賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目競賽結(jié)束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的競賽結(jié)果相互獨立．(1)求甲學校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．6.[2024·廣東深圳模擬]“2024弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化閱歷溝通大會”于2024年11月26日在深圳實行，會議同期實行了“深圳市中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化公益講堂”啟動儀式．從2024年1月起到12月，深圳市文化和健康發(fā)展促進會將連續(xù)舉辦52場中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化公益講堂，邀請多位名家名師現(xiàn)場開講．某學校文學社為響應(yīng)這次活動，舉辦了中華古詩詞背誦競賽，統(tǒng)計的競賽成果(單位：分)的數(shù)據(jù)如頻率分布直方圖所示，已知成果在[80，90)內(nèi)的有50人．(1)求a的值及參與競賽的總?cè)藬?shù)．(2)分別從[80，90)，[90，100]分數(shù)段中選取1人和2人組成“優(yōu)勝”隊，與另一學校的“必勝”隊的3人進行友情賽，兩隊的選手每人均競賽1局，共競賽3局，勝1局得1分，輸1局得0分，沒有平局．已知“優(yōu)勝”隊中成果在[80，90)內(nèi)的選手獲勝的概率為eq\f(2,5)，在[90，100]內(nèi)的2名選手獲勝的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(3,7)，記“優(yōu)勝”隊的得分為隨機變量X，求X的分布列和期望．7.[2024·全國卷Ⅱ]某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡潔隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得eq\i\su(i＝1,20,x)i＝60，eq\i\su(i＝1,20,y)i＝1200，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝80，eq\i\su(i＝1,20,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝9000，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝800.(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；(3)依據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更精確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，eq\r(2)≈1.414.8．[2024·新高考Ⅰ卷，20]一醫(yī)療團隊為探討某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣(衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人(稱為比照組)，得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060比照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事務(wù)“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事務(wù)“選到的人患有該疾病”，eq\f(P（B|A）,P（\o(B,\s\up6(－))|A）)與eq\f(P（B|\o(A,\s\up6(－))）,P（\o(B,\s\up6(－))|\o(A,\s\up6(－))）)的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R.(ⅰ)證明：R＝eq\f(P（A|B）,P（\o(A,\s\up6(－))|B）)·eq\f(P（\o(A,\s\up6(－))|\o(B,\s\up6(－))）,P（A|\o(B,\s\up6(－))）)；(ⅱ)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A|B)，P(A|eq\o(B,\s\up6(－)))的估計值，并利用(ⅰ)的結(jié)果給出R的估計值．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828專練56高考大題專練(六)概率與統(tǒng)計的綜合運用1．解析：(1)由題可知，X的全部可能取值為0，20，100.Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝0))＝1－0.8＝0.2；Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝20))＝0.8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－0.6))＝0.32；Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝100))＝0.8×0.6＝0.48.所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)由(1)知，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X))＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.若小明先回答B(yǎng)問題，記Y為小明的累計得分，則Y的全部可能取值為0，80，100.Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y＝0))＝1－0.6＝0.4；Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y＝80))＝0.6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－0.8))＝0.12；Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝100))＝0.8×0.6＝0.48.所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y))＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因為54.4<57.6，所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題．2．解析：(1)甲連勝四場的概率為eq\f(1,16).(2)依據(jù)賽制，至少須要進行四場競賽，至多須要進行五場競賽．競賽四場結(jié)束，共有三種狀況：甲連勝四場的概率為eq\f(1,16)；乙連勝四場的概率為eq\f(1,16)；丙上場后連勝三場的概率為eq\f(1,8).所以須要進行第五場競賽的概率為1－eq\f(1,16)－eq\f(1,16)－eq\f(1,8)＝eq\f(3,4).(3)丙最終獲勝，有兩種狀況：競賽四場結(jié)束且丙最終獲勝的概率為eq\f(1,8)；競賽五場結(jié)束且丙最終獲勝，則從其次場起先的四場競賽依據(jù)丙的勝、負、輪空結(jié)果有三種狀況：勝輸贏勝，輸贏空勝，負空勝勝，概率分別為eq\f(1,16)，eq\f(1,8)，eq\f(1,8).因此丙最終獲勝的概率為eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(7,16).3．解析：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.4．解析：(1)由10×(a＋0.009＋0.022＋0.033＋0.024＋0.008＋a)＝1，解得a＝0.002.(2)依題意，μ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，故X～N(200，12.22)，所以P(187.8≤X≤212.2)＝P(200－12.2≤X≤200＋12.2)≈0.6827，故測量數(shù)據(jù)落在(187.8，212.2)內(nèi)的概率約為0.6827.(3)依據(jù)題意得平均成本為0.4×170×0.02＋0.4×180×0.09＋0.4×190×0.22＋0.4×200×0.33＋(0.8×210－100)×0.24＋(0.8×220－100)×0.08＋(0.8×230－100)×0.02＝75.04，故生產(chǎn)該疫苗的平均成本為75.04元．5．解析：(1)設(shè)三個項目競賽中甲學校獲勝分別為事務(wù)A，B，C，易知事務(wù)A，B，C相互獨立．甲學校獲得冠軍，對應(yīng)事務(wù)A，B，C同時發(fā)生，或事務(wù)A，B，C中有兩個發(fā)生，故甲學校獲得冠軍的概率為p＝P(ABC＋eq\o(A,\s\up6(－))BC＋Aeq\o(B,\s\up6(－))C＋ABeq\o(C,\s\up6(－)))＝P(ABC)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))BC)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＋P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.(2)由題意得，X的全部可能取值為0，10，20，30.易知乙學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.6，0.2，則P(X＝0)＝(1－0.5)×(1－0.6)×(1－0.2)＝0.16，P(X＝10)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.2)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.2)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.2＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×(1－0.2)＋0.5×(1－0.6)×0.2＋(1－0.5)×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，所以X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06則E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.6．解析：(1)由題意得(0.01＋a＋0.02＋0.03)×10＝1，得a＝0.04.∵成果在[80，90)內(nèi)的有50人，且成果在[80，90)內(nèi)的頻率為0.02×10＝0.2，∴參與競賽的總?cè)藬?shù)為eq\f(50,0.2)＝250.(2)X的全部可能取值為3，2，1，0，P(X＝3)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,7)＝eq\f(4,35)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(4,7)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,7)＋eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,7)＝eq\f(8,21)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(4,7)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,7)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(4,7)＝eq\f(41,105)，P(X＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(4,7)＝eq\f(4,35).∴X的分布列為X0123Peq\f(4,35)eq\f(41,105)eq\f(8,21)eq\f(4,35)E(X)＝0×eq\f(4,35)＋1×eq\f(41,105)＋2×eq\f(8,21)＋3×eq\f(4,35)＝eq\f(157,105).7．解析：(1)由已知得樣本平均數(shù)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,20,y)i＝60，從而該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為60×200＝12000.(2)樣本(xi，yi)，(i＝1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,20,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,20,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\i\su(i＝1,20,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))＝eq\f(800,\r(80×9000))＝eq\f(2\r(2),3)≈0.94.(3)分層抽樣：依據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進行分層抽樣．理由如下：由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān)．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物數(shù)量差異也很大，接受分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一樣性，提高了樣本的代表性．從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更精確的估計．8．解析：(1)由題意，得K2＝eq\f(200×（40×90－60×10）2,100×100×50×150)＝24>6.635，∴有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異．(2)(ⅰ)證明：，eq\f(P（A|B）,P（\o(A,\s\up6(－))|B）)·eq\f(P（\o(A,\s\up6(－))|\o(B,\s\up6(－))）,P（A|\o(B,\s\up6(－))）)＝eq\f(P（AB）,P（B）)·eq\f(P（B）,P（\o(A,\s\up6(－))B）)·eq\f