2024八年級數(shù)學(xué)上冊專題突破第11講直角三角形全等的判定含解析新版浙教版

Page1第11講直角三角形全等的判定【學(xué)問點睛】“HL”：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等Rt△是特殊的三角形，所以三角形全等的判定方法對于直角三角形全部適用，故兩直角三角形全等的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL【類題訓(xùn)練】1．如圖，BF＝CE，AE⊥BC，DF⊥BC，添加一個條件____，即可證明Rt△ABE≌Rt△DCF．下列添加的條件不正確的是（）A．AB＝DC B．AE＝BF C．EA＝FD D．∠A＝∠D【分析】依據(jù)直角三角形全等的判定方法，即可解答．【解答】解：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC＝∠AEB＝90°，∵BF＝CE，∴BF﹣EF＝CE﹣EF，∴BE＝CF，A、∵AB＝DC，BE＝CF，∠DFC＝∠AEB＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故A不符合題意；B、∵AE＝BF，BE＝CF，∠DFC＝∠AEB＝90°，∴Rt△ABE和Rt△DCF不愿定全等，故B符合題意；C、∵EA＝DF，BE＝CF，∠DFC＝∠AEB＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（SAS），故C不符合題意；D、∵∠A＝∠D，BE＝CF，∠DFC＝∠AEB＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（AAS），故D不符合題意；故選：B．2．下列說法不正確的是（）A．兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 B．一銳角和斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 C．斜邊和始終角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 D．有兩邊相等的兩個直角三角形全等【分析】依據(jù)直角三角形全等的判定方法：SAS，AAS，HL，逐一推斷即可解答．【解答】解：A、兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，可依據(jù)SAS來推斷，故A不符合題意；B、一銳角和斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，可依據(jù)AAS來推斷，故B不符合題意；C、斜邊和始終角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，可依據(jù)HL來推斷，故C不符合題意；D、假如第一個直角三角形的兩條直角邊分別為3，4，其次個直角三角形一條直角邊為3，斜邊為4，那么這兩個直角三角形不全等，故D符合題意；故選：D．3．如圖，已知AB＝DC，BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F，有下列條件，其中，選擇一個就可以推斷Rt△ABE≌Rt△DCF的是（）①∠B＝∠C②AB∥CD③BE＝CF④AF＝DEA．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④【分析】依據(jù)BE⊥AD，CF⊥AD，可得∠AEB＝∠CFD，然后再利用全等三角形的判定定理分別進行分析即可．【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，AB＝DC，∴∠AEB＝∠CFD，選擇①可利用AAS定理證明Rt△ABE≌Rt△DCF；選擇②可得∠A＝∠D，可利用AAS定理證明Rt△ABE≌Rt△DCF；選擇③可利用HL定理證明Rt△ABE≌Rt△DCF；選擇④可得AE＝DF，可利用HL定理證明Rt△ABE≌Rt△DCF．故選：D．4．如圖，用紙板擋住部分直角三角形后，能畫出與此直角三角形全等的三角形，其全等的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL【分析】依據(jù)全等三角形的判定方法解決此題．【解答】解：由圖得：遮擋住的三角形中露出兩個角及其夾邊．∴依據(jù)三角形的判定方法ASA可解決此題．故選：C．5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，則下列各圖中的直角三角形與Rt△ABC全等的是（）A． B． C． D．【分析】依據(jù)判定直角三角形全等的條件：SSS，SAS，ASA，AAS，HL可篩選出答案．【解答】解：A、∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，AC＝2，此選項利用ASA能判定三角形全等，故此選項正確；B、只有一對邊與一對角相等不能判定三角形全等，故此選項錯誤；C、∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，∴AC＝2，是30°角所對的直角邊，而此選項中是60°角所對的直角邊是2，不能判定三角形全等，故此選項錯誤；D、此選項對應(yīng)邊不相等，不能判定三角形全等，故此選項錯誤．故選：A．6．如圖所示，P，Q分別是BC，AC上的點，作PR⊥AB于R點，作PS⊥AC于S點，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三個結(jié)論：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正確的是（）A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①，②和③【分析】依據(jù)角平分線的判定，先證AP是∠BAC的平分線，再證△APR≌△APS（HL），可證得AS＝AR，QP∥AR成立．【解答】解：連接AP，∵PR＝PS，∴AP是∠BAC的平分線，∴△APR≌△APS（HL）∴AS＝AR，①正確．∵AQ＝PQ∴∠BAP＝∠QAP＝∠QPA∴QP∥AR，②正確．BC只是過點P，并沒有固定，明顯△BRP≌△CSP③不成立．故選：C．7．如圖，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，則△AOD與△AOP全等的理由是（）A．SSS B．ASA C．SSA D．HL【分析】依據(jù)直角三角形全等的判別方法HL可證△AOD≌△AOP．【解答】解：∵OD⊥AB且OP⊥AC，∴△ADO和△OPO是直角三角形，又∵OD＝OP且AO＝AO∴△AOD≌△AOP（HL）．故選：D．8．已知如圖，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，則△ADE的面積為（）A．1 B．2 C．5 D．無法確定【分析】因為知道AD的長，所以只要求出AD邊上的高，就可以求出△ADE的面積．過D作BC的垂線交BC于G，過E作AD的垂線交AD的延長線于F，構(gòu)造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的長，即為EF的長，然后利用三角形的面積公式解答即可．【解答】解：過D作BC的垂線交BC于G，過E作AD的垂線交AD的延長線于F，∵∠EDF+∠FDC＝90°，∠GDC+∠FDC＝90°，∴∠EDF＝∠GDC，于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，，∴△DEF≌△DCG，∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．故選：A．9．如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于F，若BF＝AC，則∠ABC的大小是（）A．40° B．45° C．50° D．60°【分析】先利用AAS判定△BDF≌△ADC，從而得出BD＝DA，即△ABD為等腰直角三角形．所以得出∠ABC＝45°．【解答】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，∴∠BEA＝∠ADC＝90°．∵∠FBD+∠BFD＝90°，∠AFE+∠FAE＝90°，∠BFD＝∠AFE，∴∠FBD＝∠FAE，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴BD＝AD，∴∠ABC＝∠BAD＝45°，故選：B．10．如圖所示，三角形ABC的面積為1cm2．AP垂直∠B的平分線BP于P．則與三角形PBC的面積相等的長方形是（）A． B． C． D．【分析】延長AP交BC于E，依據(jù)AP垂直∠B的平分線BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以證明兩三角形面積相等，即可證明三角形PBC的面積．【解答】解：延長AP交BC于點E，∵AP垂直∠B的平分線BP于P，∠ABP＝∠EBP，又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，∴△ABP≌△BEP，∴AP＝PE，∵△APC和△CPE等底同高，∴S△APC＝S△PCE，∴三角形PBC的面積＝三角形ABC的面積＝cm2，選項中只有B的長方形面積為cm2，故選：B．11．如圖，ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為9平方厘米和13平方厘米，點G在線段AB上．則△CDE的面積是平方厘米．【分析】過E作EH⊥CD于H，依據(jù)正方形性質(zhì)求出DE＝DG，∠H＝∠A，求出∠HDE＝∠GAD，推出△DAG≌△DHE，推出HE＝AG，依據(jù)勾股定理求出AG，依據(jù)三角形面積公式求出即可．【解答】解：過E作EH⊥CD于H，∵四邊形ABCD和四邊形DGFE是正方形，面積分別為9平方厘米和13平方厘米∴DG＝DE＝（厘米），AD＝CD＝＝3（厘米），∠A＝∠DHE＝∠ADC＝∠GDE＝90°，∴∠HDE＝∠GDA＝90°﹣∠ADE，在Rt△DAG中，∠A＝90°，DG＝厘米，AD＝3厘米，由勾股定理得：AG＝2厘米，在△DAG和△DHE中∴△DAG≌△DHE（AAS），∴HE＝AG＝2厘米，∴△CDE的面積是CD×EH＝×3×2＝3（平方厘米），故答案為：3．12．如圖，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，點P和點Q從A點動身，分別在線段AC和射線AX上運動，且AB＝PQ，當(dāng)點P運動到AP＝，△ABC與△APQ全等．【分析】分兩種狀況：①當(dāng)AP＝BC＝5時；②當(dāng)AP＝CA＝10時；由HL證明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出結(jié)果．【解答】解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ＝90°，∴∠C＝∠PAQ＝90°，分兩種狀況：①當(dāng)AP＝BC＝5時，在Rt△ABC和Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②當(dāng)AP＝CA＝10時，在△ABC和△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；綜上所述：當(dāng)點P運動到AP＝5或10時，△ABC與△APQ全等；故答案為：5或10．13．如圖所示，∠C＝∠D＝90°，可運用“HL”判定Rt△ABC與Rt△ABD全等，則應(yīng)添加一個條件是．【分析】此題是一道開放型的題目，答案不唯一，還可以是BC＝BD．【解答】解：條件是AC＝AD，∵∠C＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△ABD中∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故答案為：AC＝AD．14．如圖，MN∥PQ，AB⊥PQ，點A、D、B、C分別在直線MN與PQ上，點E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，則AB＝．【分析】可判定△ADE≌△BCE，從而得出AE＝BC，則AB＝AD+BC．【解答】解：∵MN∥PQ，AB⊥PQ，∴AB⊥MN，∴∠DAE＝∠EBC＝90°，在Rt△ADE和Rt△BCE中，，∴△ADE≌△BEC（HL），∴AE＝BC，∵AD+BC＝7，∴AB＝AE+BE＝AD+BC＝7．故答案為7．15．如圖，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延長線交BC于F，則圖中全等的直角三角形有對．【分析】△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD，利用全等三角形的判定可證明，做題時，要結(jié)合已知條件與三角形全等的判定方法逐個驗證．【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵AC＝AB，∵∠CAE＝∠BAD，∴△AEC≌△ADB（AAS）；∴CE＝BD，∵AC＝AB，∴∠CBE＝∠BCD，∵∠BEC＝∠CDB＝90°，∴△BCE≌△CBD（AAS）；∴BE＝CD，∴AD＝AE，∵AO＝AO，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL）；∵∠DOC＝∠EOB，∴△COD≌△BOE（AAS）；∴OB＝OC，∵AB＝AC，∴CF＝BF，AF⊥BC，∴△ACF≌△ABF（SSS），△COF≌△BOF（SSS），綜上所述，共有6對全等的直角三角形．故答案是：6．16．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE，垂足為F，過B作BD⊥BC交CF的延長線于D．（1）求證：AE＝CD；（2）若AC＝12cm，求BD的長．【分析】（1）證兩條線段相等，通常用全等，本題中的AE和CD分別在三角形AEC和三角形CDB中，在這兩個三角形中，已經(jīng)有一組邊相等，一組角相等了，因此只需再找一組角即可利用角角邊進行解答．（2）由（1）得BD＝EC＝BC＝AC，且AC＝12，即可求出BD的長．【解答】（1）證明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D＝∠DCB+∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，在△DBC和△ECA中，∵∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE＝CD．（2）解：∵△CDB≌△AEC，∴BD＝CE，∵AE是BC邊上的中線，∴BD＝EC＝BC＝AC，且AC＝12cm．∴BD＝6cm．17．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分別過B、C向過A的直線作垂線，垂足分別為E、F．（1）如圖①過A的直線與斜邊BC不相交時，求證：EF＝BE+CF；（2）如圖②過A的直線與斜邊BC相交時，其他條件不變，若BE＝10，CF＝3，求：FE長．【分析】（1）此題依據(jù)已知條件簡潔證明△BEA≌△AFC，然后利用對應(yīng)邊相等就可以證明題目的結(jié)論；（2）依據(jù)（1）知道△BEA≌△AFC照舊成立，再依據(jù)對應(yīng)邊相等就可以求出EF了．【解答】（1）證明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠EBA+∠EAB＝90°，∴∠CAF＝∠EBA，在△ABE和△AFC中，∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC，∴△BEA≌△AFC（AAS）．∴EA＝FC，BE＝AF．∴EF＝EB+CF．（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°，∴∠CAF＝∠ABE，在△ABE和△AFC中，∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC，∴△BEA≌△AFC（AAS）．∴EA＝FC＝3，BE＝AF＝10．∴EF＝AF﹣CF＝10﹣3＝7．18．在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE＝OF．（1）如圖，當(dāng)點O在BC邊中點時，試說明AB＝AC；（2）如圖，當(dāng)點O在△ABC內(nèi)部時，且OB＝OC，試說明AB與AC的關(guān)系；（3）當(dāng)點O在△ABC外部時，且OB＝OC，試推斷AB與AC的關(guān)系．（畫出圖形，寫出結(jié)果即可，無需說明理由）【分析】（1）證△BOE≌△COF，可得∠B＝∠C，通過等角對等邊，得出AB＝AC；（2）與（1）類似，在證得△BOE≌△COF后，得∠OBE＝∠OCF，OB＝OC；則∠OBC＝∠OCB，可證得∠ABC＝∠ACB，依據(jù)等角對等邊得出AB＝AC；（3）由前兩問的解答過程可知，BC的垂直平分線與∠A的角平分線重合時，AB＝AC的結(jié)論才成立（等腰三角形三線合一）．【解答】（1）證明：∵OE＝OF，OB＝OC，∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）；∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．（2）解：AB＝AC．證明：同（1）可證得Rt△OBE≌Rt△OCF；∴∠OBE＝∠OCF；∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB；∴∠ABC＝∠ACB；∴AB＝AC．（3）解：①當(dāng)BC的垂直平分