古典概型(第2課時)高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

10.1隨機(jī)事件與概率10.1.3

古典概型第2課時復(fù)習(xí)與回顧

2.什么是古典概型，古典概型的特征是怎樣的？2.古典概型的概率計(jì)算公式是怎樣的？如果一個隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和樣本空間具有以下兩個特征：(1)有限性：(2)等可能性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個;每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

我們將具有以上兩個特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個數(shù)。1.事件概率的意義是什么？表示事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值（但不等同于實(shí)際結(jié)果）.一般地，事件A

的概率用

P(A)

表示.3.計(jì)算古典概型問題概率的一般思路是怎樣的，要注意什么問題？

(1)明確試驗(yàn)的條件及要觀察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆?/p>

(字母、數(shù)字、數(shù)組等)表示試驗(yàn)的可能結(jié)果

(必要時可借助圖、表可以幫助我們不重不漏地列出所有的可能結(jié)果);

(2)根據(jù)實(shí)際問題情境判斷樣本點(diǎn)的等可能性，確定試驗(yàn)是古典概型;

(3)計(jì)算樣本點(diǎn)總個數(shù)及某事件包含的樣本點(diǎn)個數(shù)，求出事件的概率：

注意：

若涉及類似于投擲等問題，一般都應(yīng)首先對各個投擲物進(jìn)行標(biāo)記

(即便是問題中沒有明確提出)，以便對不同情況和先后進(jìn)行順序區(qū)分，從而保證每個樣本點(diǎn)的等可能性.接下來，我們繼續(xù)學(xué)習(xí)古典概型的概率問題.例析

例1.袋子中有5

個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2

個紅球、3個黃球，從中不放回地依次摸出2

個球，求下列事件的概率：

(1)A=“第一次摸到紅球”;(2)B=“第二次摸到紅球”；

(3)AB=“兩次都摸到紅球”．思考(1):

題目中同種顏色的球有編號嗎？

沒有

因此，為了對不同情況和先后進(jìn)行順序區(qū)分，首先對球進(jìn)行編號.如對兩個紅球分別編號為1、2，三個黃球分別編號為3、4、5.

思考(2):根據(jù)

題目中提供的信息，你認(rèn)為這個試驗(yàn)是古典概型試驗(yàn)嗎

是.理由如下(1)第一次摸球和第二次摸球時出現(xiàn)每種可能的結(jié)果都是等可能的，所以兩次摸球的每一個配對結(jié)果出現(xiàn)的可能性也是相同.(2)兩次摸球可能出現(xiàn)的配對結(jié)果個數(shù)是有限的：5×4=20

例1.袋子中有5

個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2

個紅球、3個黃球，從中不放回地依次摸出2

個球，求下列事件的概率：

(1)A=“第一次摸到紅球”;(2)B=“第二次摸到紅球”；

(3)AB=“兩次都摸到紅球”．解：

設(shè)兩個紅球編號為1、2，三個黃球編號為3、4、5.則

第一次摸球時有5種等可能的結(jié)果，第二次摸球時有4種等可能的結(jié)果.

將兩次摸球的結(jié)果搭配成有序數(shù)對，可得到下列結(jié)果：第一次第二次123451×(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)×(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)×(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)×(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)×∴n(?)=20

例1.袋子中有5

個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2

個紅球、3個黃球，從中不放回地依次摸出2

個球，求下列事件的概率：

(1)A=“第一次摸到紅球”;(2)B=“第二次摸到紅球”；

(3)AB=“兩次都摸到紅球”．解：(1)∵A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)}∴n(A)=8(2)∵B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(3,1),(4,2),(5,2)}∴n(B)=8(3)∵AB={(1,2),(2,1)}∴n(AB)=2

思考(3):

如果把此試驗(yàn)改為同時摸出2個球,那么事件AB的概率是多少?思考(3):

如果同時摸出2個球,那么事件AB的概率是多少?同時摸出2個球的可能結(jié)果為有：簡析：

即?={1-2,1-3,1-4,1-5,2-3,2-4,2-5,3-4,3-5,4-5,4-6,5-5}，

且每一個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相同的

∴n(?)=10

又∵AB={1-2}，即

n(AB)=112345234534545

依次摸出2個球跟順序有關(guān)，一次性摸出2個球與順序無關(guān)，但相同事件的概率相等.因?yàn)闃颖究臻g縮減了一半，事件所含的樣本點(diǎn)也縮減了一半。思考(4):

若是有放回地先后取出兩個球，結(jié)果又如何?與同時擲兩枚骰子或?qū)⒁幻恩蛔酉群髵亙纱蔚膯栴}類似

例2.從兩名男生(記為B1和B2)、兩名女生(記為G1和G2)中任意抽取兩人.

(1)分別寫出有放回簡單隨機(jī)抽樣，不放回簡單隨機(jī)抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間.

(2)在三種抽樣方式下,分別計(jì)算抽到的兩人都是男生的概率.

設(shè)第一次抽取的人記為x1，第二次抽取的人記為x2，則可用有序數(shù)組（x1，x2）表示樣本點(diǎn).則

有放回簡單隨機(jī)抽樣的樣本空間為

Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}

不放回簡單隨機(jī)抽樣的樣本空間

Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2)，(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}

按性別等比例分層抽樣時，

從男生和女生中各抽取一人，，其樣本空間為：

Ω3=｛

(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)｝解：(1)

例2.從兩名男生(記為B1和B2)、兩名女生(記為G1和G2)中任意抽取兩人.

(1)分別寫出有放回簡單隨機(jī)抽樣，不放回簡單隨機(jī)抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間.

(2)在三種抽樣方式下,分別計(jì)算抽到的兩人都是男生的概率.

設(shè)第一次抽取的人記為x1，第二次抽取的人記為x2，則可用數(shù)組（x1，x2）表示樣本點(diǎn).則

有放回簡單隨機(jī)抽樣的樣本空間為

Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}

不放回簡單隨機(jī)抽樣的樣本空間

Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2)，(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}

按性別等比例分層抽樣時，

從男生和女生中各抽取一人，，其樣本空間為：

Ω3=｛

(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)｝解：(2)(2)設(shè)事件A=“抽到兩名男生”，則

在有放回簡單隨機(jī)抽樣中,

A=

例2.從兩名男生(記為B1和B2)、兩名女生(記為G1和G2)中任意抽取兩人.

(1)分別寫出有放回簡單隨機(jī)抽樣，不放回簡單隨機(jī)抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間.

(2)在三種抽樣方式下,分別計(jì)算抽到的兩人都是男生的概率.{(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)},即n(A)=4在不放回簡單隨機(jī)抽樣中,

A={(B1,B2),(B2,B1)},即n(A)=2在比例分配分層抽樣中,

A=

思考:

本題的同一個事在不同抽樣方法中的概率不同，對此，你能得到什么啟示?

在本問題中，同一個事件A=“抽到兩名男生”發(fā)生的概率，在按性別等比例分層抽樣時最小，在不放回簡單隨機(jī)抽樣時次之，在有放回簡單隨機(jī)抽樣時最大.

因此，抽樣方法不同，則樣本空間不同，同一個事件發(fā)生的概率也可能不同.

由于抽樣的隨機(jī)性，有可能出現(xiàn)本題中的“全是是男生”的“極端”樣本，這就會極大地影響樣本的代表性，降低對總體的估計(jì)效果.

在本題中，相對于有放回簡單隨機(jī)抽樣，不放回簡單隨機(jī)抽樣進(jìn)行抽樣，有效地降低出現(xiàn)“極端”樣本的概率.而在按性別等比例分層抽樣中，全是男生樣本出現(xiàn)的概率為0，完全避免了這類極端樣本的出現(xiàn).

所以，在抽樣調(diào)查中，改進(jìn)抽樣方法對于提高樣本代表性很重要.練習(xí)

從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，樣本空間為：?={(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}能構(gòu)成一組勾股數(shù)的樣本點(diǎn)為(3,4,5)簡析：簡析：3.從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)的概率為_______

簡析：

設(shè)第一次和第二次抽取的數(shù)分別為

x和

y

，則樣本點(diǎn)可表示為有序（x，y）.共25個，如表：

∵每次都是

隨機(jī)抽取，

∴

各樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相同的.

∴這是一個古典概型.

又∵事件“第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)”所含的樣本點(diǎn)有：

例3.從1~20這20個整數(shù)中隨機(jī)的選擇一個數(shù)，設(shè)事件A表示選到的數(shù)能被2整除，事件B表示選到的數(shù)能被3整除.求下列事件的概率.

(1)選到的數(shù)既能被2整除，又能被3整除.

(2)選到的數(shù)能被2整除，或能被3整除.(3