新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)5 .4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.2.會(huì)用五點(diǎn)法畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖

象.3.能利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象解決簡(jiǎn)單問題.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

--------------------N--------------------

知識(shí)點(diǎn)一正弦函數(shù)的圖象

1.正弦曲線的定義

正弦函數(shù)》=$m尤，尤GR的圖象叫正弦曲線.

2.正弦函數(shù)圖象的畫法

⑴幾何法：

①利用單位圓上點(diǎn)T（xo,sinxo）畫出y=sinx,尤G［0,2兀］的圖象；

②將圖象向左、向右平行移動(dòng)（每次2兀個(gè)單位長(zhǎng)度）.

（2）五點(diǎn)法:

①畫出正弦曲線在［0,2兀］上的圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)包2，住1），（兀，0），卷—1），（2兀，0）,

用光滑的曲線連接；

②將所得圖象向左、向右平行移動(dòng)（每次2兀個(gè)單位長(zhǎng)度）.

思考為什么把》=$抽.［0,2兀］的圖象向左、向右平移2兀的整數(shù)倍個(gè)單位長(zhǎng)度后圖象形

狀不變？

答案由公式sin（x+2E）=sinx,%￡Z可得.

知識(shí)點(diǎn)二余弦函數(shù)的圖象

1.余弦曲線的定義

余弦函數(shù)〉=85%，x￡R的圖象叫余弦曲線.

1y=cosx,xER

-4TT-37T-27r_2L-1TT31T5P7TT

2W丁工

2.余弦函數(shù)圖象的畫法

（1）要得到y(tǒng)=cosx的圖象，只需把y=sinx的圖象向左平移微個(gè)單位長(zhǎng)度即可，這是由于

⑵用“五點(diǎn)法”：畫余弦曲線y=cosx在［0,2n］上的圖象時(shí)，所取的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別為近1）,

俘0）,fa,-1）,（苧，0）,（2K,1）,再用光滑的曲線連接.

■思考辨析判斷正誤

1.正弦函數(shù)的圖象向左右是無限伸展的.（V）

2.正弦函數(shù)y=sin%的圖象在［2攵兀，24兀+2兀］,（左￡Z）上的圖象形狀相同，只是位置不

同.（J）

IT

3.函數(shù)y=sinx的圖象向右平移/個(gè)單位得到函數(shù)y=cosx的圖象.（X）

4.函數(shù)y=cosx的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.（X）

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

-------------------------------------------------------------------\--------------------

一、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的初步認(rèn)識(shí)

例1（1）下列敘述正確的個(gè)數(shù)為（）

?y=sinx,［0,2兀］的圖象關(guān)于點(diǎn)P（兀，0）成中心對(duì)稱;

［0,2兀］的圖象關(guān)于直線x=n成軸對(duì)稱；

③正、余弦函數(shù)的圖象不超過直線y=l和y：—1所夾的范圍.

A.0B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

答案D

解析分別畫出函數(shù)y=sinx,尤e［0,2兀］和ycos尤，Xd［0,2兀］的圖象，由圖象（略）觀察可知

①②③均正確.

（2）函數(shù)y=sin|x|的圖象是（）

答案B

fsinx,

解析y=sin|x|=，結(jié)合選項(xiàng)可知選B.

[—sinx,尤＜0,

反思感悟解決正、余弦函數(shù)圖象的注意點(diǎn)

對(duì)于正、余弦函數(shù)的圖象問題，要畫出正確的正弦曲線、余弦曲線，掌握兩者的形狀相同,

只是在坐標(biāo)系中的位置不同，可以通過相互平移得到.

跟蹤訓(xùn)練1關(guān)于三角函數(shù)的圖象，有下列說法：

?y=sinx+l.l的圖象與x軸有無限多個(gè)公共點(diǎn)；

②y=cos(—了)與y=cos|x|的圖象相同；

③y=|sinx|與y=sin(一尤)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；

@y=cosx與y=cos(—x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

其中正確的序號(hào)是.

答案②④

解析對(duì)②，y=cos(—x)=cosx,y=cos|x|=cosx,故其圖象相同；

對(duì)④，y=cos(—x)=cosx,故其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；作圖(略)可知①③均不正確.

二、用“五點(diǎn)法”作簡(jiǎn)圖

例2用“五點(diǎn)法”作出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：

(l)y=sinx—1,尤6[0,2兀];

(2)y=2+cosx,尤e[0,2兀].

解⑴列表：

三3兀

X0712兀

2~2

sinx010-10

sinx—1-10-1-2-1

描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來，如圖.

(2)列表:

匹3兀

X0712兀

2~2

cosX10-101

2+cosx32123

描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來，如圖.

反思感悟作形如y=〃sinx+b(或y=〃cosx+b),［0,2兀］的圖象的三個(gè)步驟

I列表上在［O,2n］內(nèi)先分別找出確定所求函數(shù)圖象的五

個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)；在表中列出相應(yīng)的五點(diǎn)的坐標(biāo)

根據(jù)所列出的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描

|描點(diǎn)卜

出相應(yīng)的點(diǎn)

r—?—I用平滑的曲線將所描出的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)連接起來,

I連線L便得到所求函數(shù)的圖象

跟蹤訓(xùn)練2利用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=l—sinx(0W%W2兀)的簡(jiǎn)圖.

解(1)取值列表:

7C3兀

X0712兀

2~2

sinx010-10

1—sinx10121

⑵描點(diǎn)連線，如圖所示.

三、正弦(余弦)函數(shù)圖象的應(yīng)用

例3利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，求滿足下列條件的x的集合.

(l)sin%2；；(2)cos

解(1)作出正弦函數(shù)y=sinx,］￡［0,2兀］的圖象，如圖所示，由圖象可以得到滿足條件的x

71571

的集合為4+2%兀，d+2左兀，fcez.

y=sinx,xG[0,2TT]

(2)作出余弦函數(shù)y=cosx,xe［0,2兀］的圖象，如圖所示，由圖象可以得到滿足條件的x的集

兀5兀

合為g+2E,-y+2^71,女￡Z.

反思感悟用三角函數(shù)圖象解三角不等式的步驟

⑴作出相應(yīng)的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)在［0,2同上的圖象；

(2)寫出不等式在區(qū)間［0,2句上的解集；

(3)根據(jù)公式一寫出定義域內(nèi)的解集.

跟蹤訓(xùn)練3在［0,2兀］上，使cosxW一；成立的x的取值集合為

答案X

解析畫出y=cosx在［0,2兀］上的簡(jiǎn)圖，如圖所示.

由于COSX=-1時(shí),

I127r4

由圖象可知，在［0,2兀］上，使cosxW-］成立的角x的取值集合為同不忘尤?了

-核心素養(yǎng)之直觀想象?

根據(jù)函數(shù)圖象求范圍

典例函數(shù)兀r)=sinx+2|sinx|,xe［0,2兀］的圖象與直線>=上有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則上

的取值范圍是.

答案(1,3)

解析用數(shù)形結(jié)合法判斷k的取值范圍.

[3sinx,OWxW兀，

.I.圖象如下圖所示.

L-sinx,兀27t.

結(jié)合圖象可知l<k<3.

［素養(yǎng)提升］關(guān)于方程根的個(gè)數(shù)問題，往往運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象

交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題來解決.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

Jr37r

1.函數(shù)〉=一sinx,尤e［一耳］的簡(jiǎn)圖是（）

答案D

解析函數(shù)y=—sinx與y=sinx的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，故選D.

2.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y=sinx,xG［0,2兀］與y=sin尤，尤€［2%，4同的圖象（）

A.重合

B.形狀相同，位置不同

C.關(guān)于y軸對(duì)稱

D.形狀不同，位置不同

答案B

解析根據(jù)正弦曲線的作法可知函數(shù)>=$111尤，尤G［0,2兀］與y=sinx,尤02兀，4兀］的圖象只是

位置不同，形狀相同.

3.用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)y=2—3sinx的圖象時(shí)，首先應(yīng)描出五點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）

itit3nit3兀?

A.0，4，2，4，兀B.0，2，兀,2，2兀

7171712兀

C.0,7iJ2兀,3兀,47rD.0,$，3，2，3

答案B

解析所描出的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)與函數(shù)尸sinx的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，即0,I，兀，y,2兀，

故選B.

4.不等式cosx<0,［0,2兀］的解集為

解析由函數(shù)y=cosx的圖象可知，不等式cos*：。，xG[0,2同的解集為《，號(hào)).

5.函數(shù)y=cosx,XG[0,2TI]的圖象與直線y=一：的交點(diǎn)有個(gè).

答案2

解析作〉=35彳，xG[0,2無]的圖象及直線y=—[(圖略)，知兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

■課堂小結(jié)

1.知識(shí)清單：

(1)通過單位圓畫正弦函數(shù)圖象；

(2)通過平移得余弦函數(shù)的圖象；

(3)五點(diǎn)法作圖；

(4)函數(shù)圖象的應(yīng)用.

2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合.

3.常見誤區(qū)：五點(diǎn)的選?。黄揭频糜嘞液瘮?shù)的圖象.

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)

----------------------------------z-----------

X基礎(chǔ)鞏固

1.用五點(diǎn)法畫y=3sinx,xd[0,2兀]的圖象時(shí)，下列哪個(gè)點(diǎn)不是關(guān)鍵點(diǎn)()

答案A

解析五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次是0,I，兀，y,2兀.

2.函數(shù)y=sin(—x),尤6[0,2兀]的簡(jiǎn)圖是()

答案B

解析由y=sin(一九)=—sinx可知，其圖象和y=sinx的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.

3.函數(shù)y=l+sinx,。2兀］的圖象與直線y=2交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析由函數(shù)y=l+sinx,［0,2兀］的圖象（如圖所示），

可知其與直線y=2只有1個(gè)交點(diǎn).

4.在［0,2兀］內(nèi)，不等式sin%v—V的解集是（）

A.（0,兀）B.（j,yjC.gyjD.g2可

答案c

解析畫出y=sin%,元W［0,2兀］的草圖如下.

即在［0,2兀］內(nèi)，滿足sinx=一坐的％=與或中.

可知不等式sinx一坐的解集是俘箋）.故選C.

5.如圖中的曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是（）

答案C

解析排除法，可知C正確.

6.用“五點(diǎn)法”畫出y=2sinx在［0,2兀］內(nèi)的圖象時(shí)，應(yīng)取的五個(gè)點(diǎn)為

答案（0,0）,（冬2）,（兀，0）,（苧，-2）,（2兀，0）

解析可結(jié)合函數(shù)y=sinx的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)尋找，即把相應(yīng)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/p>

2倍即可.

7.函數(shù)y=cosx+4,XG[0,2TI]的圖象與直線y=4的交點(diǎn)的坐標(biāo)為.

答案便4俘S

[y=cosx+4,

解析由j得cosx=0,

當(dāng)兀￡[0,2兀]時(shí)，或竽，

,交點(diǎn)為《，4）,（苧，4）.

8.函數(shù)y=Jlog；sin犬的定義域是.

答案{x\2kn<x<2kji+7i,kGZ}

解析由logisinx20知0<sinxW1,

2

由正弦函數(shù)圖象（圖略）知2左兀<%<2航+兀，kRZ.

9.用“五點(diǎn)法”作下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖.

(l)y=3sin%(%￡[0,2兀])；

(2)y=sin^x-71部?

T

解⑴列表如下:

匹3兀

0兀2兀

X2~2

3sinx030-30

描點(diǎn)連線如圖:

-y

（2）列表如下:

匹3兀5兀

2兀

X271T~2

010-10

描點(diǎn)連線如圖:

10.根據(jù)y=cosx的圖象解不等式：一坐x￡［0,2兀］.

解函數(shù)y=cosx,［0,2兀］的圖象如圖所示：

根據(jù)圖象可得不等式的解集為卜,或普4W竽j.

口綜合運(yùn)用

11.如圖所示，函數(shù)y=cosx|tanx|（0Wx〈學(xué)且xW?的圖象是（

答案c

解析當(dāng)OWxv/時(shí)，y=cosx-1tanx\=sinx；

兀

當(dāng)］兀時(shí)，y=cosx?|tanx|=-sinx；

3兀

當(dāng)兀-時(shí)，y=cosx-|tanx|=sinx,

故其圖象為C.

12.方程sinx=云的根的個(gè)數(shù)是（）

A.7B.8C.9D.10

答案A

Y

解析在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出和y=sinx的圖象如圖所示.

根據(jù)圖象可知方程有7個(gè)根.

13.函數(shù)y=2cosx,[0,2兀]的圖象和直線y=2圍成的一個(gè)封閉的平面圖形的面積是.

答案4兀

解析如圖所示，將余弦函數(shù)的圖象在1軸下方的部分補(bǔ)到x