專題3-1利用基本不等式求最值（6大題型）

利用基本不等式求最值一、基本不等式常用的結(jié)論1、如果，那么（當且僅當時取等號“=”）推論：（）2、如果，,則，（當且僅當時取等號“=”）.推論：（，）；3、二、利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：條件和問題間存在基本不等式的關系2、配湊法：湊出“和為定值”或“積為定值”，直接使用基本不等式。3、代換法：代換法適用于條件最值中，出現(xiàn)分式的情況類型1：分母為單項式，利用“1”的代換運算，也稱乘“1”法；類型2：分母為多項式時方法1：觀察法適合與簡單型，可以讓兩個分母相加看是否與給的分子型成倍數(shù)關系；方法2：待定系數(shù)法，適用于所有的形式，如分母為與，分子為，設∴，解得：4、消元法：當題目中的變元比較多的時候，可以考慮削減變元，轉(zhuǎn)化為雙變量或者單變量問題。5、構造不等式法：尋找條件和問題之間的關系，通過重新分配，使用基本不等式得到含有問題代數(shù)式的不等式，通過解不等式得出范圍，從而求得最值。題型一直接法求最值【例1】（2023秋·新疆昌吉·高一?？计谀┮阎?，且，則的最大值為（）A．B．25C．36D．49【答案】C【解析】因為，，即，當且僅當時取到等號，故的最大值為36.故選：C【變式11】（2023秋·四川綿陽·高三?？茧A段練習）若，，，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，，，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以，即的最小值為.故選：A.【變式12】（2022秋·陜西漢中·高一校聯(lián)考期末）若滿足，則的最大值是.【答案】2【解析】由均值不等式可得，當且僅當時等號成立，所以，所以，故的最大值是.【變式13】（2022秋·福建三明·高一?？茧A段練習）若，則的最大值為（）A．9B．16C．49D．64【答案】B【解析】因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號；故選：B【變式14】（2022秋·吉林長春·高一?？计谥校┮阎?，則的最大值為（）A．2B．4C．5D．6【答案】A【解析】因為，所以可得，則，當且僅當，即時，上式取得等號，的最大值為2．故選：A．【變式15】（2022秋·重慶·高一?？茧A段練習）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）A．16B．12C．8D．4【答案】D【解析】因為，所以.又.所以，當且僅當時，等號成立.故選：D題型二配湊法求最值【例2】（2023秋·廣東廣州·高一?？茧A段練習）若，則的最小值是（）A．B．1C．D．【答案】A【解析】若，則,所以，當且僅當，即時等號成立，則的最小值是1.故選：A【變式21】（2023秋·廣東廣州·高一?？茧A段練習）若，則的最大值是【答案】【解析】，∵，∴，，∴，當且僅當即時，等號成立.∴，∴的最大值為.【變式22】（2023秋·四川綿陽·高三?？茧A段練習）已知，，且，則xy的最大值為（）A．B．C．1D．2【答案】C【解析】，當且僅當時，取等號.即xy的最大值為1.故選：C【變式23】（2023·海南·高三模擬預測）設，則函數(shù)，的最小值為（）A．7B．8C．14D．15【答案】D【解析】因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以函數(shù)的最小值為15，故選:D．題型三消元法求最值【例3】（2023秋·遼寧·高一?？茧A段練習）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為正實數(shù)滿足，所以，因為，所以，即.設，所以，當且僅當，即時取等號.所以的最小值為.故選：C【變式31】（2023秋·浙江·高一?？茧A段練習）已知實數(shù)，滿足，且，則的最小值是（）A．33B．26C．25D．21【答案】C【解析】實數(shù)，滿足，且，可得，則，令，即有，則，當且僅當，即時，取得最小值，所以的最小值是，當且僅當、時取等號．故選：C．【變式32】（2023秋·四川瀘州·高一?？茧A段練習）若正數(shù)滿足，則的最小值是（）A．2B．C．4D．【答案】C【解析】因為正數(shù)滿足，所以，則，所以，當且僅當，即時，等號成立.故選：C.【變式33】（2023秋·山東棗莊·高一?？计谀┴搶崝?shù)，滿足，則的最小值為（）A．1B．0C．D．【答案】B【解析】根據(jù)題意有，故，當且僅當，時取等號．故選：【變式34】（2023·高一課時練習）已知正實數(shù)x，y滿足，則的最大值是.【答案】/【解析】由可得：，則.當且僅當，即時取等.題型四乘“1”法求最值【例4】（2023春·廣東汕頭·高一?？计谥校┮阎龑崝?shù)滿足，則的最小值為.【答案】【解析】因為正實數(shù)滿足，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.【變式41】（2023秋·江蘇·高三10月聯(lián)考）若滿足，則的最小值為（）A．B．C．12D．16【答案】D【解析】因為，，兩邊同除得，所以．當且僅當時等號成立，故選：D.【變式42】（2023秋·遼寧朝陽·高一統(tǒng)考階段練習）若，，且滿足，則的最小值是（）A．10B．12C．14D．16【答案】C【解析】，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是14．故選：C【變式43】（2023秋·廣東廣州·高一校考階段練習）已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值．【答案】【解析】因為，所以，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.題型五雙換元法求最值【例5】（2022秋·四川成都·高一校聯(lián)考期中）若實數(shù)、滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，，則，，且，所以，，當且僅當時，等號成立.因此，的最大值為.故選：C.【變式51】（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）若，，且，則的最小值為（）A．4B．C．D．【答案】C【解析】設，則，且，題目轉(zhuǎn)化為已知，求的最小值，即，而，當且僅當，即時等式成立.所以.故選：C.【變式52】（2023春·浙江衢州·高一?？茧A段練習）設x，y是正實數(shù)，且，則的最大值是.【答案】【解析】令，則，可得，即，且，∵，當且僅當，即時，等號成立，可得，∴，即的最大值是.【變式53】（2022秋·廣東惠州·高一?？茧A段練習）已知正數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】【解析】令，則，即，，當且僅當，即時，解得時等號成立，故的最小值為.【變式54】（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知，，則最小值為．【答案】16【解析】由，可知，，令，，所以，當且僅當“”時，兩個等號同時成立．則x=y=3時最小值為16.題型六構造不等式法求最值【例6】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考階段練習）若正數(shù)滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，，，，得，當且僅當即時，等號成立，所以，即的最大值為.故選：A.【變式61】（2022秋·廣東惠州·高一?？茧A段練習）已知，且，則的最大值為（）A．B．C．3D．4【答案】A【解析】，化簡得：，解得，當且僅當，即時取等號，故的最大值為.故選：A.【變式62】（2023秋·天津東麗·高一?？茧A段練習）已知，且，則的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，且，則有，得，當且僅當時等號成立，所以的最小值是4.故選：D【變式63】（2023