井岡山大學第一屆“井岡杯”數(shù)學建模競賽試題

井岡山大學第一屆“井岡杯”數(shù)學建模競賽試題（本科組在A、B中選一題做，?？平M在C、D中選一題做）A題：最佳陣容問題

有一場由四個項目（高低杠、平衡木、跳馬、自由體操）組成的女子體操團體賽，賽程規(guī)定：每個隊至多允許10名運動員參賽，每一個項目可以有6名選手參加。每個選手參賽的成績評分從高到低依次為：10；9.9；9.8；…；0.1；0。每個代表隊的總分是參賽選手所得總分之和，總分最多的代表隊為優(yōu)勝者。此外，還規(guī)定每個運動員只能參加全能比賽（四項全參加）與單項比賽這兩類中的一類，參加單項比賽的每個運動員至多只能參加三項單項。每個隊應有4人參加全能比賽，其余運動員參加單項比賽。

現(xiàn)某代表隊的教練已經(jīng)對其所帶領的10名運動員參加各個項目的成績進行了大量測試，教練發(fā)現(xiàn)每個運動員在每個單項上的成績穩(wěn)定在4個得分上（見下表），她們得到這些成績的相應概率也由統(tǒng)計得出（見表中第二個數(shù)據(jù)。例如：8.4～0.15表示取得8.4分的概率為0.15）。試解答以下問題：

1、每個選手的各單項得分按最悲觀估算，在此前提下，請為該隊排出一個出場陣容，使該隊團體總分盡可能高；每個選手的各單項得分按均值估算，在此前提下，請為該隊排出一個出場陣容，使該隊團體總分盡可能高。2、若對以往的資料及近期各種信息進行分析得到：本次奪冠的團體總分估計為不少于236.2分，該隊為了奪冠應排出怎樣的陣容？以該陣容出戰(zhàn)，其奪冠前景如何？得分前景（即期望值）又如何？它有90％的把握戰(zhàn)勝怎樣水平的對手？附表：運動員各項目得分及概率分布表1（高低杠）2（平衡木）3（跳馬）4（自由體操）18.40.158.40.109.10.108.70.109.00.508.80.209.30.108.90.209.20.259.00.609.50.609.10.609.40.10100.109.80.209.90.1029.30.108.40.158.40.108.90.109.50.109.00.508.80.209.10.109.60.609.20.259.00.609.30.609.80.209.40.10100.109.60.2038.40.108.10.108.40.159.50.108.80.209.10.509.00.509.70.109.00.609.30.309.20.259.80.60100.109.50.109.40.10100.2048.10.108.70.109.00.108.40.109.10.508.90.209.40.108.80.209.30.309.10.609.50.509.00.609.50.109.90.109.70.30100.1058.40.159.00.108.30.109.40.109.00.509.20.108.70.109.60.109.20.259.40.608.90.609.70.609.40.109.70.209.30.209.90.2069.40.108.70.108.50.108.40.159.60.108.90.208.70.109.00.509.70.609.10.608.90.509.20.259.90.209.90.109.10.309.40.1079.50.108.40.108.30.108.40.109.70.108.80.208.70.108.80.109.80.609.00.608.90.609.20.60100.20100.109.30.209.80.2088.40.108.80.058.70.108.20.108.80.209.20.058.90.209.30.509.00.609.80.509.10.609.50.30100.10100.409.90.109.80.1098.40.158.40.108.40.109.30.109.00.508.80.108.80.209.50.109.20.259.20.609.00.609.70.509.40.109.80.20100.109.90.30109.00.108.10.108.20.109.10.109.20.109.10.509.20.509.30.109.40.609.30.309.40.309.50.609.70.209.50.109.60.109.80.20B題：垃圾坑的挖掘某市平均日產(chǎn)生活垃圾約為1000立方米（以壓縮后體積計），現(xiàn)欲建一垃圾填埋場，將垃圾挖坑后填埋，再在表面覆蓋一米厚的土層以恢復植被?，F(xiàn)需就建場預算中涉及購置設備及征用土地問題作出決策?？紤]挖坑及填埋設備的購置和土地征用中的經(jīng)濟問題，市政當局希望給出花錢最少的預算?，F(xiàn)已知下列情形：

1.挖出不用的土方可被建筑工程使用，無須處理，但須運上地面，并須留出填埋覆蓋用土。

2.每套挖掘及填埋機械需購置費用150萬元，使用壽命十年。

3.填埋場預計使用五十年。

4.壓縮后的垃圾由汽車直接拋入垃圾填坑中，無須作功。

5.現(xiàn)征地費用為20萬元/畝，根據(jù)統(tǒng)計資料知，此前三年地價漲幅為平均10%/年。

6.機械使用柴油，效率為30%。在平地作業(yè)時，將一立方土移動一米需作功100千瓦，但隨挖掘深度加大，每增加一米深度，其效率在原有基礎上下降10%。

7.當前銀行貸款年利率為5%，存款利率為3%。

8.填埋后的場地將用于公益(如建立公園、綠地等)。

問題：（1）試按市政當局要求，建立數(shù)學模型，為該項目計算出最佳的挖掘深度，評價模型優(yōu)缺點；

（2）作出征購土地，購買機械的方案及預算。C題：鉛球的投擲眾所周知，鉛球的投擲運動是運動員單手托住7.264kg(16磅)重的鉛球在直徑為2.135m的投擲圓內(nèi)將鉛球擲出并且使鉛球落入開角為45o的有效扇形區(qū)域內(nèi)。以鉛球的落地點與投擲圓間的距離度量鉛球投擲的遠度，并以鉛球投擲遠度的大小評定運動員的成績。在鉛球的訓練和比賽中，鉛球投擲距離的遠與近是人們最關心的問題。而對于教練和運動員最為關心的問題是如何使鉛球擲得最遠。影響鉛球投擲遠度的因素有哪些？哪些是影響遠度的主要因素？在平時訓練中，應該更注意哪些方面的訓練？試通過組建數(shù)學模型對上述問題進行分析，給教練和運動員以理論指導。參考數(shù)據(jù)資料如下：表1李素梅與斯盧皮亞內(nèi)克鉛球投擲成績姓名出手速度v(m/s)出手高度h(m)出手角度(o)實測成績(m)李梅素13.751.9037.6020.95李梅素13.522.0038.6920.30斯盧皮亞內(nèi)克13.772.0640.0021.41表2我國優(yōu)秀運動員的鉛球投擲數(shù)據(jù)姓名成績s(m)出手速度v(m/s)出手角度(o)出手高度h(m)李梅素19.4013.1640.272.02李梅素20.3013.5138.692.00黃志紅20.7613.5837.752.02隋新梅21.6613.9539.002.04李梅素21.7614.0835.131.95D題：火電站擴建問題某地區(qū)在制定十年電力發(fā)展規(guī)劃時遇到這樣一個問題：根據(jù)電力需求預測得知，該地區(qū)在十年后發(fā)電裝機容量需要增加180萬千瓦，那時的年發(fā)電量需要增加100億度。根據(jù)調(diào)查和討論，電力規(guī)劃的備選技術方案有三個：擴建原有的火電站，但最多只能再安裝五臺10萬千瓦的發(fā)電機組；新建水電站，但最多只能安裝四臺25萬千瓦的發(fā)電機組；或再新建一個火電站，最多只能安裝四臺30萬千瓦的發(fā)電機組。通過調(diào)研和計算，獲得有關的參數(shù)如表1所示。表中負荷因子為全年滿功率運行天數(shù)與全年總天數(shù)之比。根據(jù)該地實際調(diào)查原有火電站平均全年滿功率運行天數(shù)為241天，水電站和新建的火電站應分別為146天和255天，而全年365天，故折算得表中數(shù)據(jù)。表中資本回收因子是由如下數(shù)據(jù)所確定的，火電站的回收年限取15年，年利息率為0．06；水電站的回收年限取30年，年利息率為0．04，即得表中所列數(shù)值。請在滿足上述技術要求的前提下，選取經(jīng)濟效果最優(yōu)的建設方案。1．原來的火電站應如何擴建？2．新建的水電站應如何確定單機容量為25萬千瓦的發(fā)電機組的數(shù)量？3．新建的火力發(fā)電站應如何確定單機容量為30萬千瓦的發(fā)電機組的數(shù)量？

表1:備選技術方案參數(shù)表

工程投資單機容量

（萬千瓦）允許裝機臺數(shù)資本回收因子年運行成本（百萬元/億度）負荷因子備選方案工程特點前期工程投資（百萬元）單機設備投資（百萬元）1擴建舊火電站

211050．1034．110．662新建水電站504702540．05782．280．43新建火電站240653040．1033．650．7競賽論文格式要求論文（答卷）用白色A4紙，上下左右各留出2.5厘米的頁邊距。論文第一頁為封面，具體內(nèi)容和格式見本規(guī)范第二頁。摘要、關鍵詞寫在論文第二頁上，從第三頁開始是論文正文(若干頁)。論文從第二頁開始編寫頁碼，頁碼必須位于每頁頁腳中部，用阿拉伯數(shù)字從“1”開始連續(xù)編號。論文不能有頁眉，論文中不能有任何可能顯示答題人身份的標志。論文題目用3號黑體字、一級標題用4號黑體字，并居中。論文中其他漢字一律采用小4號黑色宋體字，行距用單倍行距。提請大家注意：摘要在整篇論文評閱中占有重要權重，請認真書寫摘要（注意篇幅不能超過一頁）。評閱時將首先根據(jù)摘要和論文整體結構及概貌對論文優(yōu)劣進行初步篩選。論文格式見答卷，小4號黑色宋體字引用別人的成果或其他公開的資料(包括網(wǎng)上查到的資料