高中數(shù)學(xué)講義

函數(shù)知識(shí)歸納

一、抽象函數(shù)問題

〈一〉、抽象函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷

1.對(duì)于抽象函數(shù)奇偶性的判斷，通常用定義法(方法)。要充分利用所給條件想

方設(shè)法尋找f(x)與f(-X)之間的關(guān)系。此類題目常用到f(0),可通過對(duì)式子中的

變量進(jìn)行特殊賦值(技巧)，構(gòu)造出0,把f(0)求出來。利用特殊法求解,取特殊值時(shí):

要注意取值的合理性,有時(shí)取一組值不能得到合適的答案,還需嘗試再取另一組。做

題時(shí)，注意體會(huì)領(lǐng)悟。

2.對(duì)于抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷,也是利用定義法,就是要注意f(xl)-f(x2)

=f[(xl-x2)+x2]-f(x2)或f(x2)-f(xl)=f[(x2-xl)+xl]-f

(xl)的變形應(yīng)用。

例1.已知函數(shù)y=f<x)不恒為0,對(duì)任意x,yGR都有f(x+y)=f(x)+f

(y),且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0.求證：(l)y=f(x)是奇函數(shù)；(2)y=f(x)是R上的

增函數(shù).

導(dǎo)析：(1)靈活運(yùn)用的x,y的任意性及關(guān)系式f(x+y)=f(x)+f(y)尋找

f(-x)與f(x)的關(guān)系

(2)根據(jù)單調(diào)性的定義,利用f(x+y)=f(x)+f(y)尋找f(xl)與f

(x2)的關(guān)系

解答：⑴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,?.?對(duì)任意x,yGR都有f(x+y)=f

(x)+f(y),令x=y=0得f(0)=f(0)+f(0),，f(0)=0,令y=-x得f(x-

X)=f(X)+f(-X),/.f(X)+f

1

(-x)=f(0)=0,Af(-x)=-f(x),函數(shù)f(x)是奇函數(shù)

(2)設(shè)xl,x2GR,且xl〈x2,則

f(xl)-f(x2)=f[(xl-x2)+x2]-f(x2)=f(xl-x2)+f(x2)-f(x2)

=f(xl-x2)Vx<0時(shí)，f(x)<0,且xl-x2<0,.*.f(xl-x2)<0.即

f(xl)<f(x2),Af(x)在R上是增函數(shù).

變式1.已知函數(shù)y=f(x)不恒為0,且對(duì)任意x1,x2WR都有f(xl+x2)

+f(xl-x2)=2f(xl)?f(x2).求證:f(x)是偶函數(shù).證明：令xl=0,x2=x，則

得

f(x)+f(-X)=2f(0)?f(x)①

又令xl=x,x2=0,得

f(x)+f(x)=2f(x)?f(0)②

由①、②得f(-x)=f(x),/.f(x)是偶函數(shù).

例2.函數(shù)y=f(x)對(duì)任意a,bGR都有f(a+b)=f(a)+f(b)T,且當(dāng)

x<0時(shí),f(x)>1

(D求證:f(x)是區(qū)上的增函數(shù).

⑵若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

(3)若關(guān)于x的不等式f(nx-2)+f(x-x2)<2恒成

立,求實(shí)數(shù)n的取值范圍.

思路點(diǎn)拔:要證f(X)是R上的增函數(shù)，要緊扣單調(diào)性的定義進(jìn)行，解不等式f

(3m2-m-2)<3的關(guān)鍵是先給3“穿上f"，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)值大小關(guān)系,再根據(jù)函數(shù)

單調(diào)性“脫掉f”，將其轉(zhuǎn)化為

一般不等式求解.

規(guī)范解答：

(1)設(shè)xl〈x2,則x2-xl〉0,

f(x2-xl)>1,

Af(x2)=f(x2-xl+xl)=f(xl)+f(x2-xl)-1>f(xl)

，f(x)在R上是增函數(shù).

(2)f(4)=f(2+2)=2f(2)-1=5,Af(2)=3,>.f(3m2-m-2)<3=f

(2),.,.3m2-m-2<2,即3m2-m-4<0,.\-1<01<4/3

(3)令a=b=O,(0)=2f(0)-1,：.f(0)=1

f(nx-2)+f(x-x2)<2

f(nx-2)+f(x-x2)-KI

/.f(nx-2+x-x2)<f(0)

由(1)知nx-2+x-x2<0恒成立

：.x2~(n+1)x+2〉0恒成立

；.△=(n+1)2-4X2<0-2?2?-l<n<2?2?-l,即-2?2?<n<2?2?

拓展提升：(1)單調(diào)性的定義實(shí)質(zhì)上給出自變量與函數(shù)值大小關(guān)系的轉(zhuǎn)化.如果

f(x)在D上為增函數(shù)，則xl,x2sD,xl<x2<=>f(xl)<f(x2).如果f(x)

在D上為減函數(shù),貝!Jxl,x2GD,xl<x2<=>f(xl)>f(x2).以上也是脫去符號(hào)

“f”的重要手段.

(2)解含有抽象符號(hào)“f”的不等式時(shí)，關(guān)鍵是符號(hào)“f”的“穿”和“脫”.

變式2:函數(shù)f(x)對(duì)于x>0有意義且滿足:①f(2)=l;②f(x?y)=f

(x)+f(y);(3)x>y<=>f(x)2f(y);

(1)求證:f(1)=0;

(2)f(x/y)=f(x)-f(y);

(3)求f(4)的值；

(4)如果f(x)+f(x-3)W2,求x的取值范圍.

解析：(1)由②,令x=y=l,得f(1)=f(1)+f(1),...f(1)=0

(2)x=(x/y)?y,由②得f(x)=f(x/y)+f(y)；.f(x/y)=f(x)

-f(y)

(3)由②，令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2.

(4)由③和f(4)=2及x>0得

f(x)+f(x-3)Wf(4)

得f(x?(x-3))Wf(4)

<=>x>0,,x-3>0,x,(x-3)<4

解得3<xW4,故xe(3,4].

例3.已知函數(shù)y=f(x)的定義域是(0,+8),當(dāng)X>1時(shí),f(x)>0,且f

(x?y)=f(x)+f(y).⑴求:f(1);(2)求證:f(1/x)=-f(x);⑶證明f

(x)在定義域上為增函數(shù)；(4)如果f(1/3)=-1,求滿足不等式f(x)-f(1/

(x-2))22的

x的取值范圍.

解析：(1)令x=y=l,可得

⑵令y=l/x

(3)

例4.設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在R上,對(duì)任意m,nWR都有f(m+n)=f

(m),f(n),且當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1.(1)求證:f(0)=1,且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)

>1;(2)證明f(x)在R上單調(diào)遞減；

⑶設(shè)集合A={(x,y)If(x2),f(y2)>f(1)},集合B={(x,y)

|f(ax-y+2)=l,aCR},若AnB=<D，求a的取值范圍.

例5.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù)m,n總有f(m+n)=f

(m)?f(n),且當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1.⑴試求f(0)的值；⑵判斷f(x)的單

調(diào)性并證明你的結(jié)論；(3)設(shè)人={(x,y)if(x2)?f(y2)>f(1)},B=

{(x,y)If(ax-y+2?)=l,aGR)，若AAB=①，試確定a的取值范圍；(4)試舉

出一個(gè)滿足條件的函數(shù)f(x).

答案：(1)f(1)=0;

(2)函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減;

(3)-IWaWl;

(4)如f(x)=(1/2)x.

例6.若f(x)是定義在(0,+8)上的增函數(shù),且對(duì)一切x,y>0,滿足f

(x/y)=f(x)-f(y).⑴求f(1)的值；⑵若f(6)=1,解不等式f(x+3)-

f(1/3)<2.

解答：⑴在f(x/y)=f(x)-f(y)中，令x=y=l,則有f(1)=f(1)-f

(1),Af(1)=0.

(2)Vf(6)=1,：.f(x+3)-f(1/3)<2=f(6)+f(6),：.f(3x+9)-f

(6)(6),即f((x+3)/2)<f(6),

(x)是(0,+8)上的增函數(shù)，...①x+3>0②(x+3)/2<6,解得-3<x<9.

即原不等式的解集為(-3,9).

函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合運(yùn)用

<一>、利用奇偶性求函數(shù)解析式

1、此類問題的一般做法是：(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式,x就

設(shè)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi).(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入.(3)利用奇偶性寫出-f

(x)或f(-x),從而解出f(x).

2、已知(奇)偶函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的解析式,通常利用對(duì)稱性可求出這個(gè)區(qū)間

的對(duì)稱區(qū)間上的解析式.要注意“求誰設(shè)誰”.

3、這類問題的一般情形是：

已知x￡(a,b)時(shí),f(x)=巾(x),求xe(-b,-a)時(shí)f(x)的解析式.

例.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-x?(1+x)，求f

(x).

導(dǎo)析:只需求x20的解析式,可把x>0的解析式轉(zhuǎn)到x<0上求解

〈二〉、奇偶性與單調(diào)性的綜合運(yùn)用

1、對(duì)于含“f”的不等式,求解時(shí)首先根據(jù)奇偶性把不等式轉(zhuǎn)化為f(xl)>f

(x2)或f(xl)<f(x2),然后根據(jù)單調(diào)性及定義域列出不等式或不等式組

求解，一定要注意不能漏掉函數(shù)定義域?qū)?shù)的限制(定義域優(yōu)先原則).

2、解含“f”的不等式，應(yīng)具備兩個(gè)方面:一是能轉(zhuǎn)化為f(xl)>f(x2)或f

(xl)<f(x2)的形式,二是f(x)的單調(diào)性已知.特別是f(x)為偶函數(shù)時(shí),應(yīng)把

不等式f(xl)<f(x2)(或f(xl)>f(x2))轉(zhuǎn)化為f(|xl)(|x21)(或f

<|xl)>f(x2|)的形式,利用xe[0,+8)的單調(diào)性求解.

例.已知f(x)=(ax+b)/(l+x2)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),且f

(1/2)=2/5,

(1)確定函數(shù)f(x)的解析式；

(2)用定義證明在上是增函數(shù)；

⑶解不等式f(t-1)+f(t)<0.

導(dǎo)析:①求a,b②確定f(x)的解析式③證明單調(diào)性④解不等式

解答：⑴(x)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù).(-x