2023年上海延安中學(xué)高二下期中數(shù)學(xué)試卷及答案

高中高中2023年延安中學(xué)高二年級(jí)下學(xué)期期中試卷一、填空題（每小題3分，共36分）1.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是__________.2.已知事件A發(fā)生的概率為0.3，則A的對(duì)立事件發(fā)生的概率為________．3.已知函數(shù)，則_______.4.同時(shí)拋擲5枚均勻的硬幣，恰有1枚反面朝上的概率為________．5.函數(shù)駐點(diǎn)為x＝_____________6.已知n正整數(shù)，且，則________．7.已知拋物線的AB弦過它的焦點(diǎn)，直線AB的斜率為1，則弦AB的長(zhǎng)為______.8.從0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為________．9.兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為__________．10.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則的圖象在處的切線方程為________．11.點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線的距離的最小值是，則實(shí)數(shù)a的值是__________.12.若P，Q分別是拋物線與圓上點(diǎn)，則的最小值為________．二、選擇題（每小題3分，共12分）13.若函數(shù)的定義域?yàn)镽且可導(dǎo)，則“在處的導(dǎo)數(shù)為0”是“當(dāng)時(shí)，取到極值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.15.設(shè)定義在上的函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B.C. D.16.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并且是構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.簡(jiǎn)單地講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).若函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.三、解答題（共52分）17.柜子里有2雙不同的鞋，記第1雙鞋左右腳編號(hào)為，，記第2雙鞋左右腳編號(hào)為，，如果從中隨機(jī)取出2只；（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）求事件D“取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋”的概率；18.班級(jí)迎新晚會(huì)有3個(gè)唱歌節(jié)目、2個(gè)相聲節(jié)目和1個(gè)魔術(shù)節(jié)目，要求排出一個(gè)節(jié)目單；（1）3個(gè)中唱歌節(jié)目要排一起，有多少種排法？（2）相聲節(jié)目不排在第一個(gè)節(jié)目，魔術(shù)節(jié)目不排在最后一個(gè)節(jié)目，有多少種排法？19.求函數(shù)，的單調(diào)區(qū)間和極值；20.某公園有一塊如圖所示的區(qū)域OACB，該場(chǎng)地由線段OA，OB，AC及曲線段BC圍成；經(jīng)測(cè)量，，米，曲線段BC是以O(shè)B為對(duì)稱軸的拋物線的一部分，點(diǎn)C到OA，OB的距離都是50米；現(xiàn)擬在該區(qū)域建設(shè)一個(gè)矩形游樂場(chǎng)OEDF，其中點(diǎn)D在線段AC或曲線段BC上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段OA，OB上，且該游樂場(chǎng)最短邊長(zhǎng)不低于25米；設(shè)米，游樂場(chǎng)的面積為S平方米；（1）以點(diǎn)O為原點(diǎn)，試建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線段BC方程；（2）求面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）試確定點(diǎn)D的位置，使得游樂場(chǎng)的面積S最大（結(jié)果精確到0.1米）；21.已知拋物線的焦點(diǎn)為F（2，0）；（1）求拋物線的方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上，線段PF的中點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程；（3）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，；直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，直線交拋物線于C，D兩點(diǎn)，且點(diǎn)M，N分別為線段AB，CD的中點(diǎn)，求△TMN的面積的最小值；

高中高中2023年延安中學(xué)高二年級(jí)下學(xué)期期中試卷一、填空題（每小題3分，共36分）1.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是__________.【答案】1.【解析】【分析】寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程即可得到答案.【詳解】由已知，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，故拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是1.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，注意焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，本題是一道基礎(chǔ)題.2.已知事件A發(fā)生的概率為0.3，則A的對(duì)立事件發(fā)生的概率為________．【答案】0.7##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，A的對(duì)立事件發(fā)生的概率為.故答案為：0.73.已知函數(shù)，則_______.【答案】##0.5【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式可得結(jié)果.【詳解】∵∴∴故答案為：.4.同時(shí)拋擲5枚均勻的硬幣，恰有1枚反面朝上的概率為________．【答案】##0.15625【解析】【分析】求出拋擲5枚均勻硬幣的試驗(yàn)的基本事件總數(shù)，再求出恰有1枚反面朝上的事件所含基本事件數(shù)，利用古典概率計(jì)算作答.【詳解】拋擲5枚均勻的硬幣的試驗(yàn)，有個(gè)基本事件，它們等可能，恰有1枚反面朝上的事件含有的基本事件數(shù)為5，所以恰有1枚反面朝上的概率.故答案為：5.函數(shù)的駐點(diǎn)為x＝_____________【答案】【解析】【分析】導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)為駐點(diǎn)，求導(dǎo)計(jì)算即可.【詳解】，令.故答案為：6.已知n為正整數(shù)，且，則________．【答案】8【解析】【分析】利用排列數(shù)公式，列式求解作答.【詳解】依題意，n為正整數(shù)，，因?yàn)?，則有，解得，所以.故答案為：87.已知拋物線的AB弦過它的焦點(diǎn)，直線AB的斜率為1，則弦AB的長(zhǎng)為______.【答案】8【解析】【分析】由拋物線以及直線的方程，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理結(jié)合拋物線的定義求解即可．【詳解】設(shè),，,，拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則直線AB方程為如圖：由方程組得：，則：；設(shè)，到準(zhǔn)線的距離分別為，；由拋物線定義可知；即弦的長(zhǎng)為8．故答案為：8．8.從0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為________．【答案】52【解析】【分析】分個(gè)位為0和個(gè)位為2或4，再由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】①個(gè)位為0，有種方法，②個(gè)位為2或4，則有種方法，百位不能排0有種方法，十位有種方法，故有種方法.一共有:種方法.故答案為：52.9.兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式以及互斥事件加法公式求概率.【詳解】?jī)蓚€(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件乘法公式以及互斥事件加法公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10.已知函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為，且，則的圖象在處的切線方程為________．【答案】【解析】【分析】對(duì)給定的函數(shù)求導(dǎo)，并求出參數(shù)值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，則，解得，因此，，則，所以所求切線方程為，即.故答案為：11.點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線的距離的最小值是，則實(shí)數(shù)a的值是__________.【答案】【解析】【分析】首先確定點(diǎn)線距離最小時(shí)點(diǎn)的位置，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求點(diǎn)坐標(biāo)，最后應(yīng)用點(diǎn)線距離公式表示出最小距離，列出方程即可求解.【詳解】由題設(shè)且，令，即；令，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，如圖所示，當(dāng)為平行于并與曲線相切直線的切點(diǎn)時(shí)，距離最近.令，可得（舍）或，所以，則曲線上切線斜率為1的切點(diǎn)為，所以，即（舍去）或，故答案為：.12.若P，Q分別是拋物線與圓上的點(diǎn)，則的最小值為________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，圓心，的最小值即為的最小值減去圓的半徑，求出的最小值即可得解．【詳解】依題可設(shè)，圓心，根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值求法可知，的最小值即為的最小值減去半徑．因?yàn)椋?，設(shè)，，由于恒成立，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，即，所以，即的最小值為．故答案為：．二、選擇題（每小題3分，共12分）13.若函數(shù)的定義域?yàn)镽且可導(dǎo)，則“在處的導(dǎo)數(shù)為0”是“當(dāng)時(shí)，取到極值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先驗(yàn)證充分性，不妨設(shè)，在處有，但為單調(diào)遞增函數(shù)，不是極值點(diǎn)；再驗(yàn)證必要性，即可得結(jié)果．【詳解】充分性：不妨設(shè)，則，在處有，但是，為單調(diào)遞增函數(shù)，故不是極值點(diǎn)，故充分性不成立；必要性：由當(dāng)時(shí)，取到極值，得，即在處的導(dǎo)數(shù)為0，故必要性成立．所以“在處的導(dǎo)數(shù)為0”是“當(dāng)時(shí)，取到極值”的必要不充分條件.故選：B14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把給定方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再利用圓的意義借助三角代換求解作答.【詳解】方程化為：，表示以為圓心，1為半徑的圓，設(shè)，，即，因此，其中銳角由確定，顯然，于是當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以的最小值是.故選：C15.設(shè)定義在上的函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解.【詳解】對(duì)于函數(shù)，，并且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，，是增函數(shù)，對(duì)于有：，由①得，由②得，由③得，，；故選：C.16.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并且是構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.簡(jiǎn)單地講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).若函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于和的等式，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn).【詳解】題意得若函數(shù)為不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)，則滿足，即，即設(shè)，令，解得當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的圖象為：要想成立，則與有交點(diǎn)，所以，對(duì)應(yīng)區(qū)間為故選：B.三、解答題（共52分）17.柜子里有2雙不同鞋，記第1雙鞋左右腳編號(hào)為，，記第2雙鞋左右腳編號(hào)為，，如果從中隨機(jī)取出2只；（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）求事件D“取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋”的概率；【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】1）利用列舉法求得正確答案.（2）根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求得事件的概率.【小問1詳解】記第雙鞋左右腳編號(hào)為，第雙鞋左右腳編號(hào)為，則樣本空間為【小問2詳解】事件D包括的基本事件為：，共種，所以.18.班級(jí)迎新晚會(huì)有3個(gè)唱歌節(jié)目、2個(gè)相聲節(jié)目和1個(gè)魔術(shù)節(jié)目，要求排出一個(gè)節(jié)目單；（1）3個(gè)中唱歌節(jié)目要排在一起，有多少種排法？（2）相聲節(jié)目不排在第一個(gè)節(jié)目，魔術(shù)節(jié)目不排在最后一個(gè)節(jié)目，有多少種排法？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用捆綁法可求解即可；（2）根據(jù)相聲節(jié)目不排在第一個(gè)節(jié)目、魔術(shù)節(jié)目不排在最后一個(gè)節(jié)目等價(jià)于用6個(gè)節(jié)目的全排列減去相聲節(jié)目排在第一個(gè)節(jié)目的排列數(shù)和魔術(shù)節(jié)目排在最后一個(gè)節(jié)目的排列數(shù)，再加上相聲節(jié)目排在第一個(gè)節(jié)目并且魔術(shù)節(jié)目排在最后一個(gè)節(jié)目的排列數(shù)即可求解．【小問1詳解】將3個(gè)唱歌節(jié)目捆綁在一起，看成1個(gè)節(jié)目有種，與其余3個(gè)節(jié)目一起排，則共有種不同排法．【小問2詳解】若相聲節(jié)目排在第一個(gè)節(jié)目，則有種不同排法，若魔術(shù)節(jié)目排在最后一個(gè)節(jié)目，則有種不同排法，若相聲節(jié)目排在第一個(gè)節(jié)目，并且魔術(shù)節(jié)目排在最后一個(gè)節(jié)目，則有種不同排法，則相聲節(jié)目不排在第一個(gè)節(jié)目、魔術(shù)節(jié)目不排在最后一個(gè)節(jié)目等價(jià)于用6個(gè)節(jié)目的全排列減去相聲節(jié)目排在第一個(gè)節(jié)目的排列數(shù)和魔術(shù)節(jié)目排在最后一個(gè)節(jié)目的排列數(shù)，再加上相聲節(jié)目排在第一個(gè)節(jié)目并且魔術(shù)節(jié)目排在最后一個(gè)節(jié)目的排列數(shù)，所以共有種不同排法．19.求函數(shù)，的單調(diào)區(qū)間和極值；【答案】單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義求極值即可.【詳解】由，得，由，得，令，得，即，令，得，即，所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以函數(shù)得極小值為，無極大值.20.某公園有一塊如圖所示的區(qū)域OACB，該場(chǎng)地由線段OA，OB，AC及曲線段BC圍成；經(jīng)測(cè)量，，米，曲線段BC是以O(shè)B為對(duì)稱軸的拋物線的一部分，點(diǎn)C到OA，OB的距離都是50米；現(xiàn)擬在該區(qū)域建設(shè)一個(gè)矩形游樂場(chǎng)OEDF，其中點(diǎn)D在線段AC或曲線段BC上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段OA，OB上，且該游樂場(chǎng)最短邊長(zhǎng)不低于25米；設(shè)米，游樂場(chǎng)的面積為S平方米；（1）以點(diǎn)O為原點(diǎn)，試建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線段BC的方程；（2）求面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）試確定點(diǎn)D的位置，使得游樂場(chǎng)的面積S最大（結(jié)果精確到0.1米）；【答案】（1）（2）（3）當(dāng)點(diǎn)在曲線段上且其到的距離約為米時(shí)，游樂場(chǎng)的面積最大.【解析】【分析】（1）先以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)題意求解析式即可；（2）分別求出在不同線段的解析式，然后計(jì)算面積；（3）在不同情況計(jì)算最大值，然后比較兩個(gè)最大值就可以得到面積最大值，然后確定的位置.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)曲線段所在拋物線的方程為，由題意可知，點(diǎn)和在此拋物線上，代入可得：，