黑龍江省綏化市2023年中考數(shù)學(xué)試卷

黑龍江省綏化市2023年中考數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題（本題共12個小題，每小題3分，共36分）

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

2.計算|一5|+20的結(jié)果是（）

4.納米是非常小的長度單位，Inm=0.000000001m,把0.000000001用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.lxIO"B.1x10-8C.lx108D.lx109

5.下列計算中，結(jié)果正確的是（）

A.(—pq)3=p3q3B.x-x3+x2-x2=x8

C.V25=+5D.(a2)3=a6

6.將一副三角板按下圖所示擺放在一組平行線內(nèi)，21=25。，22=30。，貝此3的度數(shù)為（)

D.75°

7.下列命題中敘述正確的是（）

A.若方差sj>s：,則甲組數(shù)據(jù)的波動較小B.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離

C.三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心D.角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上

8.綏化市舉辦了2023年半程馬拉松比賽，賽后隨機(jī)抽取了部分參賽者的成績（單位：分鐘），并制作了

如下的參賽者成績組別表、扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖.則下列說法正確的是（）

組別參賽者成績

A70<x<80

B80<x<90

C90<x<100

1

D100<x<110

0708090100110120工（分鐘）

A.該組數(shù)據(jù)的樣本容量是50人

B.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在90?100這一組

C.90?10（）這組數(shù)據(jù)的組中值是96

D.110-120這組數(shù)據(jù)對應(yīng)的扇形統(tǒng)計圖的圓心角度數(shù)為51。

9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，AC平行于x軸，點(diǎn)B,C的橫坐標(biāo)都是3,BC=2,點(diǎn)

D在47上，且其橫坐標(biāo)為1,若反比例函數(shù)y=[（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B,D,則k的值是（）

10.某運(yùn)輸公司，運(yùn)送一批貨物，甲車每天運(yùn)送貨物總量的上.在甲車運(yùn)送1天貨物后，公司增派乙車運(yùn)送貨

物，兩車又共同運(yùn)送貨物天，運(yùn)完全部貨物.求乙車單獨(dú)運(yùn)送這批貨物需多少天？設(shè)乙車單獨(dú)運(yùn)送這批貨物

需x天，由題意列方程，正確的是（）

A.1+B.1++=1

C依+辦+h1D.|++

11.如圖，在菱形ABCD中，LA=60°,AB=4,動點(diǎn)M,N同時從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)M以每秒2個單位長

度沿折線A-B-C向終點(diǎn)C運(yùn)動；點(diǎn)N以每秒1個單位長度沿線段AD向終點(diǎn)D運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)運(yùn)動至終

點(diǎn)時，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為x秒，A/MN的面積為y個平方單位，則下列正確表示y與x函

數(shù)關(guān)系的圖象是（）

2

12.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)B作BF_L4E于點(diǎn)F,連接BD交4E

于點(diǎn)G,PH平分ZBFG交于點(diǎn)H.則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）

222

@AB=BF-AE②SABGF：5AB4F=2：3③當(dāng)/B=a時，BD-BD-HDa

A.0個B.1個C.2個D.3個

二、填空題（本題共10個小題，每小題3分，共30分）

13.因式分解：x2+xy—xz—yz=.

14.若式子因有意義，則x的取值范圍是.

X

15.在4張完全相同的卡片上，分別標(biāo)出1,2,3,4,從中隨機(jī)抽取1張后，放回再混合在一起.再隨機(jī)抽

取一張，那么第二次抽取卡片上的數(shù)字能夠整除第一次抽取卡片上的數(shù)字的概率是.

11

16.已知一元二次方程%2+%=5%+6的兩根為%1與%則十+十的值為______.

X1x2

z%+2x-1、.x-4

17.化筒：（三不\2_以+4）,不^=--------

18.如圖，。。的半徑為2cm,AB為。0的弦，點(diǎn)C為法上的一點(diǎn)，將腦沿弦AB翻折，使點(diǎn)C與圓心

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△NBC與△AB'C'的相似比為1：2,點(diǎn)A是位似中心，已知點(diǎn)4（2,0）,

點(diǎn)C?,匕），NC=90。.則點(diǎn)C'的坐標(biāo)為.（結(jié)果用含a,b的式子表示）

3

20.如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)E為高BD上的動點(diǎn).連接CE,將CE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°

得到CF.連接4F,EF,DF,則△COP周長的最小值是.

第20題圖第21題圖

21.在求1+2+3+……+100的值時，發(fā)現(xiàn)：1+100=101,2+99=101……，從而得到1+2+3+…+

100=101x50=5050.按此方法可解決下面問題.圖（1）有1個三角形，記作的=1；分別連接這個三角

形三邊中點(diǎn)得到圖（2）,有5個三角形，記作。2=5；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點(diǎn)得到圖

（3）,有9個三角形，記作。3=9；按此方法繼續(xù)下去，則ai+a2+ci3++即=.（結(jié)果用

含n的代數(shù)式表示）

22.已知等腰△ABC,乙4=120。，AB=2.現(xiàn)將△ABC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)45。,得到△4BC',延長C'A

交直線BC于點(diǎn)D.則A'D的長度為.

三、解答題（本題共6個小題，共54分）

23.已知：點(diǎn)P是。。外一點(diǎn).

（1）尺規(guī)作圖：如圖，過點(diǎn)P作出。0的兩條切線PE,PF,切點(diǎn)分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F.（保留作圖痕跡，不

要求寫作法和證明）

（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)D在。。上（點(diǎn)D不與E,F兩點(diǎn)重合），且ZEPF=30。.求NEDF的度數(shù).

24.如圖，直線MN和EF為河的兩岸，且MNIIEF,為了測量河兩岸之間的距離，某同學(xué)在河岸FE的B

點(diǎn)測得“BE=30°,從B點(diǎn)沿河岸FE的方向走40米到達(dá)D點(diǎn)，測得“DE=45°.

（1）求河兩岸之間的距離是多少米？（結(jié)果保留根號）

EPDB

4

(2)若從D點(diǎn)繼續(xù)沿DE的方向走(12次+12)米到達(dá)P點(diǎn).求tan/CPE的直

25.某校組織師生參加夏令營活動，現(xiàn)準(zhǔn)備租用A、B兩型客車(每種型號的客車至少租用一輛).A型車

每輛租金500元，B型車每輛租金600元.若5輛A型和2輛B型車坐滿后共載客310人；3輛A型和4輛

B型車坐滿后共載客340人.

(1)每輛A型車、B型車坐滿后各載客多少人？

(2)若該校計劃租用A型和B型兩種客車共10輛，總租金不高于5500元，并將全校420人載至目的地.

該校有幾種租車方案？哪種租車方案最省錢？

(3)在這次活動中，學(xué)校除租用A、B兩型客車外，又派出甲、乙兩輛器材運(yùn)輸車.已知從學(xué)校到夏令營目

的地的路程為300千米，甲車從學(xué)校出發(fā)0.5小時后，乙車才從學(xué)校出發(fā)，卻比甲車早0.5小時到達(dá)目的地.

下圖是兩車離開學(xué)校的路程s(千米)與甲車行駛的時間t(小時)之間的函數(shù)圖象.根據(jù)圖象信息，求甲乙

兩車第一次相遇后，t為何值時兩車相距25千米.

S（千米）,

300

00.53.5t（小時）

26.已知：四邊形48CD為矩形，48=4,AD=3,點(diǎn)F是BC延長線上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合）.

連接/F交CD于點(diǎn)G.

圖一圖二圖三

（1）如圖一，當(dāng)點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)時，求證：△ADG三AFCG.

（2）如圖二，過點(diǎn)C作CEJ.AF,垂足為E.連接BE,設(shè)BP=x,CE=y.求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

（3）如圖三，在（2）的條件下，過點(diǎn)B作交心的延長線于點(diǎn)M.當(dāng)CP=1時，求線段

的長.

6

27.如圖，MN為。。的直徑，且MN=15,MC與ND為圓內(nèi)的一組平行弦，弦ZB交MC于點(diǎn)H.點(diǎn)A

在砒上，點(diǎn)B在訛上，AOND+￡.AHM=90°.

(1)求證：MH-CH=AH-BH.

(2)求證：AC=BC.

(3)在。。中，沿弦ND所在的直線作劣弧正的軸對稱圖形，使其交直徑MN于點(diǎn)G.若sinzCM/V=|,

求NG的長.

28.如圖，拋物線yi=a/+b%+c的圖象經(jīng)過做一6,0),6(-2,0),C(0,6)三點(diǎn)，且一次函數(shù)y=kx+6

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式.

7

（2）點(diǎn)E,F為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以E、F、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè).這樣的E,

F兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)：如果不存在，請說明理由.

（3）將拋物線月=以2+版+。的圖象向右平移8個單位長度得到拋物線丫2,此拋物線的圖象與x軸交于

M,N兩點(diǎn)（M點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)）.點(diǎn)P是拋物線丫2上的一個動點(diǎn)且在直線NC下方.已知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

過點(diǎn)P作PD1NC于點(diǎn)D.求m為何值時，CD+：PD有最大值，最大值是多少？

8

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：A、屬于軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；

B、屬于軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；

C、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故符合題意；

D、屬于中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故不符合題意.

故答案為：C.

【分析】軸對稱圖形：平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形.

中心對稱圖形：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那

么這個圖形叫做中心對稱圖形.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：原式=5+1=6.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)以及0指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)可得原式=5+1,然后根據(jù)有理數(shù)的加法法則進(jìn)行計算.

3.【答案】B

故答案為：B.

【分析】左視圖是從幾何體左面觀察所得到的平面圖形.注意：看不見的棱用虛線表示.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：0.000000001=1X109.

故答案為：A.

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中W|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變

成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時，n是正數(shù)；

當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，n是負(fù)數(shù).

5.【答案】D

【解析】【解答】解：A、(-pq)3=p3q3,故錯誤；

B、x-x3+x2-x2=x4+x4=2x4,故錯誤；

C、V25=5,故錯誤；

9

D、(a2)3=a6,故正確.

故答案為：D.

【分析】積的乘方，先對每一項分別乘方，然后將結(jié)果相乘，據(jù)此判斷A；根據(jù)同底數(shù)塞的乘法法則以及

合并同類項法則即可判斷B；根據(jù)算術(shù)平方根的概念即可判斷C；幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，據(jù)此判

斷D.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：對圖形進(jìn)行點(diǎn)標(biāo)注：

BA

：AB〃CD,ZBAC=Z1+9O°=115°,

二ZACD=180°-ZBAC=65°,

Z3=l80°-ZACF-ZACD=180o-45°-65o=70°.

故答案為：C.

【分析】對圖形進(jìn)行點(diǎn)標(biāo)注，貝!|/BAC=/l+90o=115。，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NACD=180O-/BAC=65。,

然后根據(jù)/3=180"/ACF-/ACD進(jìn)行計算.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：A、若方差SJ>SJ,則乙組數(shù)據(jù)的波動較小，故錯誤；

B、直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離，故錯誤；

C、三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，故錯誤；

D、角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，故正確.

故答案為：D.

【分析】方差越小，波動越小，據(jù)此判斷A；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的概念可判斷B；根據(jù)重心的概念即可

判斷C；根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可判斷D.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：樣本容量為12+24%=50,樣本容量沒有單位，故A錯誤；

80?90分的人數(shù)為50-4-7-12x2=15(人)，故中位數(shù)落在90?100這一組，B正確；

90?100這組數(shù)據(jù)的組中值是95,故C錯誤；

110-120這組數(shù)據(jù)對應(yīng)的扇形統(tǒng)計圖的圓心角度數(shù)為7+50x3600=504。，故D錯誤.

故答案為：B.

10

【分析】利用C組的人數(shù)除以所占的比例可得樣本容量，樣本容量沒有單位，據(jù)此判斷A；根據(jù)總?cè)藬?shù)求

出80?90分的人數(shù)，找出低25、26個數(shù)據(jù)所在的組，進(jìn)而判斷B；根據(jù)組中值的計算方法可判斷C；利用

E組的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，然后乘以360?？傻盟忌刃螆A心角的度數(shù)，據(jù)此判斷D.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：...點(diǎn)A在y軸的正半軸上，人(2〃*軸，點(diǎn)8,C的橫坐標(biāo)都是3,BC=2,點(diǎn)D在AC

上，且其橫坐標(biāo)為1,

...可設(shè)B(3,a),則D(1,a+2).

V反比例函數(shù)月的圖象經(jīng)過點(diǎn)B,D,

，3a=a+2,

a=l,

AB(3,1),

Ak=3xl=3.

故答案為：c.

【分析】由題意可設(shè)B(3,a),則D(1,a+2),根據(jù)反比例函數(shù)月的圖象經(jīng)過點(diǎn)B,D可得3a=a+2,

求出a的值，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出k的值.

10.【答案】B

【解析】【解答】解：由題意可得：甲車1天的運(yùn)貨量為《，甲、乙義天的運(yùn)貨量為%%3，

二弼招尸L

故答案為：B.

【分析】由題意表示出甲車1天的運(yùn)貨量，甲、乙④天的運(yùn)貨量，然后根據(jù)總量為單位“1”就可列出方程.

11.【答案】A

【解析】【解答】解：連接BD,過B作BEJ_AD于點(diǎn)E,當(dāng)0<t<4時，點(diǎn)M在AB上，

?.?菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4,

；.AB=AD,

.,.△ABD為等邊三角形，

.,.AE=DE^AD=2,BE=V5AE=2次.

VAM=2x,AN=x,

11

,AM_AB_

?,麗=而二0

VZA=ZA,

JAAMN^AABN,

JZANM=ZAEB=90°,

/.MN=V71M2-AN2=y/3x,

.,.y=1xxV3x=2^x2.

當(dāng)4Wt<8時，點(diǎn)M在BC上,

/.y=^AN-BE=1x-2V3=V3x.

故答案為：A.

【分析】連接BD,過B作BE_LAD于點(diǎn)E,當(dāng)0<t<4時，點(diǎn)M在AB上，由菱形的性質(zhì)可得AB=AD,

則4ABD為等邊三角形，AE=DE=1AD=2,BE=gAE=2遮，根據(jù)對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩個三角形相

似可得△AMNs^ABN,由相似三角形的性質(zhì)可得/ANM=/AEB=90。，利用勾股定理表示出MN,然后

根據(jù)三角形的面積公式可得y與x的關(guān)系式；當(dāng)40<8時，點(diǎn)M在BC上，根據(jù)三角形的面積公式可得y

與x的關(guān)系式，據(jù)此判斷.

12.【答案】D

【解析】【解答】解：?.?四邊形ABCD為正方形，

二/BAD=/ADE=90。，AB=AD.

；BF_LAE,

二ZABF=90°-ZBAF=ZDAE,

/.cosZABF=cosZEAD,

.BF_AD

9，AB~AE,

VAB=AD,

.,.AB2=BFAE,故①正確；

設(shè)正方形的邊長為a,

為CD的中點(diǎn)，

.?.DE*,

12

1

tanZABF=tanZEAD^.

AB=7>1F2+BF2=V5AF=a,

.,.AF=2^a.

?.,AE=JA￡)2+DE2啰a,

Z.EF=AE-AF=^q=^a.

VAB/7DE,

AGAB^AGED,

?AG_AB_D

,?而=庫~

.\GE=JAE=2，

J6

FG=AE-AF-GE哼李a吟=^a,

?4尸_翎_3

,,FG-27^,

F

*e?SABGF：SAABF=2：3,故②正確；

過H分別作BF、AE的垂線，垂足分別為M、N,則四邊形FMHN為矩形.

???FH為NBFG的平分線，

AHM=HN,

???四邊形FMHN為正方形，

???FN=HM=HN,

.,.BF=2AF=^§a,FG=^i,

515

.MH_FG_1

?.前一所一號

設(shè)MH=b,則BF=BM+FM=BM+MH=3b+b=4b,BH=VBM2+MH2=VTOb.

VBF=^§a,

13

.*.2^a=4b,

,育

BH=VIUx^=爭，

.,.BD2-BDHD=2a2-V2ax2^a=a',故④正確.

故答案為：D.

【分析】由正方形的性質(zhì)可得NBAD=NADE=90。，AB=AD,根據(jù)同角的余角相等可得NABF=NDAE,

結(jié)合三角函數(shù)的概念以及AB=AD即可判斷①；設(shè)正方形的邊長為a,則DE^a,tanNABF=tanNEAD=%

由勾股定理可得AB=V5AF=a,則AF=1a,然后表示出AE、EF,根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩

邊所構(gòu)成的三角形與原三角形相似可得△GABS/XGED,由相似三角形的性質(zhì)可得GE=|AE嗎，然后表

5O

示出FG,得到需的值，利用三角形的面積公式即可判斷②；過H分別作BF、AE的垂線，垂足分別為M、

N,則四邊形FMHN為正方形，F(xiàn)N=HM=HN,需=黑=鼻,設(shè)MH=b,貝ijBF=4b,BH=V10b,據(jù)此不難

求出b與a的關(guān)系，然后表示出BH,據(jù)此判斷④.

13.【答案】(％+y)(%—z)

【解析】【解答］解:原式=(x2+xy)-(xz+yz)=x(x+y)?z(x+y)=(x+y)(x-z).

故答案為：(x+y)(x?z).

【分析】原式可變形為(x2+xy)?(xz+yz),對括號中的式子提取公因式，然后分解即可.

14.【答案】》》一5且工。0

【解析】【解答】解：?.?式子區(qū)有意義，

X

x+5>0且X#),

解得x>-5且X#).

故答案為：X2-5且x/).

【分析】根據(jù)二次根式以及分式有意義的條件可得：x+5K)且x和，求解即可.

15.【答案人

【解析】【解答】解：畫出樹狀圖如下：

共有16種情況，其中第二次抽取卡片上的數(shù)字能夠整除第一次抽取卡片上的數(shù)字的情況數(shù)為8,

14

第二次抽取卡片上的數(shù)字能夠整除第一次抽取卡片上的數(shù)字的概率為相.

1OZ

故答案為：

【分析】畫出樹狀圖，找出總情況數(shù)以及第二次抽取卡片上的數(shù)字能夠整除第一次抽取卡片上的數(shù)字的情

況數(shù)，然后利用概率公式進(jìn)行計算.

16.【答案】-飛

2

【解析】【解答】解：???一元二次方程x?+x=5x+6,即x-4x-6=0的兩根為X1與X2,

?".X|+X2=4,XlX2=-6,

.11_xr+x2_4_2

"X1x2xlx2-63-

故答案為：4

【分析】將方程化為一般形式x2-4x-6=0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得XI+X2=4,X,X2=-6,對待求式進(jìn)行通分

可得;+；=子口，然后代入計算即可?

X1x2xlx2

17.【答案】七

【解析】【解答】解：原式=(病/一爛條)?當(dāng)空

_(x+2)(x_2)_x(x_l)x(x—2)

x(x-2)2x-4

_Ix(x_2)

-x(x-2)2x-4

1

故答案為：

【分析】對括號中、外分式的分母進(jìn)行分解，然后通分，再將除法化為乘法，約分即可對原式進(jìn)行化簡.

18.【答案】(|'兀一遍)cm?

【解析】【解答】解：連接OA、OC,0C交AB于點(diǎn)M,

由折疊可得OA=AC,AB1OC,

OA=0C=AC=2cm,

15

.,.0M=CM-10C=lcm,ZAOC=60°.

丁ZAMO=90°,

/.AM=7OX2-OM2=V3cm,

??S嬲=S扇形AOC-S"OC=￡2^^—gx2x禽=(金?J5)cm2.

DOU乙J

故答案為：(■|兀-回即2.

【分析】連接OA、OC,OC交AB于點(diǎn)M,由折疊可得OA=AC,AB1OC,則△AOC為等

邊三角形，OA=OC=AC=2cm,0M=CM=10C=lcm,ZAOC=60°,由勾股定理可得AM的值，然后根據(jù)S

=

?1IKS“脛AOC-SAAOC進(jìn)仃計算.

19.【答案】(6-2a,-2b)

【解析】【解答】解：過C作CMLAB于點(diǎn)M,過C作CN1_AB，于點(diǎn)N,則/ANC=NAMC=90。.

''AC"2-

'：NNAC=NCAM,

...△ACMSAACN

.AM_CM_AC

,?麗—而一稱

VA(2,0),C(a,b),

；.OA=2,OM=a,CM=b,

AM=a-2,

.a—2_b_1

??麗=西=2'

；.AN=2a-4,CTM=2b,

.,.ON=AN-OA=2a-6,

：.C(6-2a,-2b).

故答案為：(6-2a,-2b).

【分析】過C作CM±AB于點(diǎn)M,過C作UNJ_AB，于點(diǎn)N,則NANC=NAMC=90。,根據(jù)題意可得第=分

16

由兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得△ACMs^ACN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AN、

CN,然后表示出ON,據(jù)此可得點(diǎn)C的坐標(biāo).

20.【答案】3+3V3

【解析】【解答】解：??.△ABC為等邊三角形，

：.AC=BC=6,ZABC=ZBCA=60°.

ZECF=60°,

，ZBCE=ZACF.

VCE=CF,

/.△BCE^AACF(SAS)，

，ZCAF=ZCBE.

「△ABC是等邊三角形，BD是高，

ZCBE=|ZABC=3O°,CD4AC=3.

過C作CGJ_AF,交AF的延長線于點(diǎn)G,延長CG到H,使得GH=CG,連接DH、AH,DH與AG交于

點(diǎn)I,連接FH、CI,則NACG=60。,CG=GH=1AC=3,

/.CH=AC=6,

/.AACH為等邊三角形，

.,.DH=CDtan600=3V3,AG垂直平分CH,

.,.CI=HLCF=FH,

CI+DI=HI+DI=DH=3技CF+DF=HF+DF>DH,

...當(dāng)F與I重合，即D、F、H共線時，CF+DF取得最小值，最小值為CF+DF=DH=3百，

.?.△CDF周長的最小值為3+3V3.

故答案為：3+3V3.

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得NCBET/ABC=30。，CD=1AC=3,AC=BC=6,ZABC=ZBCA=60°,

根據(jù)角的和差關(guān)系可得NBCE=NACF,利用SAS證明4BCE之△ACF,得到NCAF=NCBE,過C作

CG1AF,交AF的延長線于點(diǎn)G,延長CG到H,使得GH=CG,連接DH、AH,DH與AG交于點(diǎn)I,連

接FH、CL易得AACH為等邊三角形,根據(jù)三角函數(shù)的概念可得DH,由垂直平分線的性質(zhì)可得CI=HI,

CF=FH,貝CI+D1=HI+DI=DH,CF+DF=HF+DF>DH,據(jù)止匕求解.

17

21.【答案】2n2-n

【解析】【解答】解：???圖(1)有1個三角形，記作ai=l；

圖(2)有5個三角形，記作a2=5=l+4xl；

圖(3)有9個三角形，記作a3=9=l+4x2；

...圖(n)中三角形的個數(shù)為an=l+4x(n-l)=4n-3,

2

.'.ai+a2+a3+.......+an=1+5+9+........(4n-3)=^n=2n-n.

故答案為：2n2-n.

【分析】根據(jù)ai、a2>a3的值可表示出a”，然后求和即可.

22.【答案】4+2百或4-2百

【解析】【解答】解：①當(dāng)AABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)45。得到△ABC,過B作BELAD于點(diǎn)E,作BD

的垂直平分線HF交DB于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)F,連接BF,

?..△ABC為等腰三角形，ZA=120°,AB=2,

/.ZBA,C,=ZA=120°,AB=AB=2,ZABC=30°,

，NDA，B=60。.

由旋轉(zhuǎn)可得NA，BA=45。，

二ZA,BC=ZA,BA+ZABC=75°.

?/ZA,BC=ZDA,B+ZD,

.*.60°+ND=75°,

二ZD=15°.

VZDA,B=60°,AB=2,

NA'BE=30°,

；.A，E§AB=1,

.?.BE=VAB2-％E2=VI

「HF為BD的垂直平分線，

；.DF=BF,

AZD=ZFBD=15°,

二ZEFB=ZD+ZFBD=30°,

18

.*.BF==2BE=2V3)

，DF=BF=2遍，

.*.EF=VBF2-5E2=3,

A,D=AE+EF+DF=4+2V3.

②當(dāng)4ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45。得到△ABC,過D作DMLAD于點(diǎn)。作AD的垂直平分線PQ交AB

于點(diǎn)Q1

由旋轉(zhuǎn)可得/ABA，=45。，ZBA,C,=ZA=120°,A，B=AB=2,

二ZA,BD=ZABA,-ZABC=15°,NBA'D=60°.

?.?DM_LAD,

，NA'DM=30°.

設(shè)/A'M=x,則A'D=2A'M=2x,DM=V3x.

；PQ為BD的垂直平分線，

；.BQ=DQ,

.".ZA,BD=ZQDB=15°,

，/DQM=/ABD+/QDB=30。，

二DQ=BQ=2DM=2V5X,

QM=y/QD2—DM2=3x.

?.?A'M+QM+BQ=A'B,

X+3X+2V3X=2,

x=2-V3,

.\A,D=2X=4-2V3.

綜上可得：A，D=4+2b或4-2百.

故答案為：4+2百或4-2b.

【分析】①當(dāng)AABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)45。得到△ABC,過B作BE±AfD于點(diǎn)E,作BD的垂直平分線

HF交DB于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)F,連接BF,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NBA，C=NA=120。,A，B=AB=2,ZA,BA=45°,

則NABC=NABA+/ABC=75。，然后求出ND的度數(shù)，根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得A，E,由勾

19

股定理求出BE,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得/D=NFBD=15。，貝lj/EFB=/D+/FBD=30。，BF==2BE=2V3.

由勾股定理求出EF,然后根據(jù)AD=AE+EF+DF進(jìn)行計算;②當(dāng)4ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45。得到△ABCT

過D作DM_LAD于點(diǎn)。作AD的垂直平分線PQ交AB于點(diǎn)Q,由旋轉(zhuǎn)可得NABA，=45。，ZBA(C,=ZA=120°,

AB=AB=2,設(shè)NA'M=x,則A,D=2A,M=2x,DM=gx,DQ=BQ=2DM=2bx,QM=3x,根據(jù)A,M+QM+BQ=A,B

可得x的值，進(jìn)而可得AD.

23.【答案】(1)作法：如圖所示

①連接P。，分別以點(diǎn)P，0為圓心，大于：0P長為半徑畫弧，兩弧交于M,N兩點(diǎn)作直線MN交0P于點(diǎn)

A.

②以點(diǎn)A為圓心，以/。為半徑畫弧(或畫圓)

與圓0交于E,F兩點(diǎn).作直線PE,

PE、PF即為所求.

(2)解：:PE、PF分別為切線，

/.ZPEO=ZPFO=90°,

/.ZEOF=360°-ZPEO-ZPFO-ZEPF=150°,

二NEDF§NEOF=75°或/EDF=180°-75°=105°.

【解析】【分析】(1)①連接PO,分別以點(diǎn)P,O為圓心，大于10P長為半徑畫弧，兩弧交于M,N兩

點(diǎn)，作直線MN交0P于點(diǎn)A；②以點(diǎn)A為圓心，以A0為半徑畫弧，與圓O交于E,F兩點(diǎn).作直線PE,

則PE、PF即為所求；

(2)由切線的性質(zhì)可得NPEO=NPFO=90。，結(jié)合四邊形內(nèi)角和為360。可得/EOF=150。，然后根據(jù)圓周角

定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計算.

24.【答案】(1)解：過C作CHLEF于點(diǎn)H,

MCN

EHPDBF

20

VtanZCBH=2^=kJ,

.,.HB=V3CH.

,/ZCDH=45°,

.*.CH=DH.

VBH-DH=BD=40,

/.V3CH-CH=40,

解得CH=20V3+20,

，河兩岸之間的距離是(20b+20)m.

(2)解：,,,HP=HD-PD=20V3+20-(1273+12)=873+8,

.?.tan/CPE〃=20"203

HP873+82

【解析】【分析】(1)過C作CHJ_EF于點(diǎn)H,根據(jù)三角函數(shù)的概念可得HB=6CH,CH=DH,然后根據(jù)

BH-DH=BD=40進(jìn)行計算；

(2)根據(jù)HP=HD-PD可得HP的值，然后根據(jù)三角函數(shù)的概念進(jìn)行計算.

25.【答案】(1)設(shè)每輛A型車、B型車坐滿后各載客x人、y人，由題意得

(5x+2y=310

(.3%+4y=340

?：55

答：每輛A型車、B型車坐滿后各載客40人、55人.

(2)設(shè)租用A型車m輛，則租用B型車(10-m)輛，由題意得

(40m+55(10-m)>420解得:5<m<83

???m取正整數(shù)，

/.m=5,6,7,8

???共有4種租車方案

設(shè)總租金為w元，則w=500m+600(10—m)=-100m+6000

V-100<0

Aw隨著m的增大而減小

，租=8時，W最小

.,?租8輛A型車，2輛B型車最省錢.

(3)設(shè)s*=h，5乙=攵"+瓦

由題意可知，甲車經(jīng)過(4,300);乙車經(jīng)過(0.5,0),(3.5,300)兩點(diǎn).

:.s甲=7\t,s乙=100t—50

21

S乙—S尹=25，艮|Jloot-50-75t=25

解得t=3

或300-75t=25

解得t=￥

所以，在甲乙兩車第一次相遇后，當(dāng)t=3小時或呈小時，兩車相距25千米.

【解析】【分析】(1)設(shè)每輛A型車、B型車坐滿后各載客x人、y人，根據(jù)5輛A型和2輛B型車坐滿

后共載客310人可得5x+2y=310；根據(jù)3輛A型和4輛B型車坐滿后共載客340人可得3x+4y=340,聯(lián)立

求解即可；

(2)設(shè)租用A型車m輛，則租用B型車(10-m)輛，根據(jù)A的租金x輛數(shù)+B的租金x輛數(shù)=總租金可得

500m+600(10-m)<5500；根據(jù)全校420人可得40m+55(10-m)為20,聯(lián)立求出m的范圍，結(jié)合m為整數(shù)可得

m的取值，進(jìn)而可得租車方案，設(shè)總租金為w元，根據(jù)A的租金x輛數(shù)+B的租金x輛數(shù)=總租金可得w與m

的關(guān)系式，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答；

(3)設(shè)S產(chǎn)kt,Sz.=kit+b,將(4,300)代入S單中求出k的值,將(0.5,0)、(3.5,300)代入y4中

求出由、b的值，據(jù)此可得對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后令y「y產(chǎn)25求出t的值即可.

26.【答案】(1)證明：二?四邊形4BCD為矩形

：.AD||BF

:,乙D=乙DCF

???G為CD中點(diǎn)

：.DG=CG

^AADG和△FCG中

乙D=cGCF

DG=CG

/-AGD=乙FGC

三△9CG(ASA)

(2)???四邊形ABC。為矩形

：.^ABC=90°

'/CELAF

22

：.2LCEF=90°=/.ABC

■:(F=Z-F

：.^CEF-^ABF

.CE_CF

^AB=AF

???AB=4,BF=x

???在RtZkABF中，z尸=1AB2+BF2=&+16

;CE=y

_4%—12

yVx2+i6

(3)過點(diǎn)E作EN_LBF于點(diǎn)N

：.AD=BC=3

9：AB=4,CF=1

：.AB=BF

：.LABF為等腰直角三角形

：.￡.CFE=4BA尸=45。

9：CELAF

???△CEF為等腰直角三角形

?"ECF=45。

?:ENA.CF

JEN平分CF

:?CN=NF=NE=3

在RSBNE中,

■:BE?=BN2+EN?

23

??.BE=J（3+分2+（獷=孚

VZ.ECF=^BAF=45°

:?乙BAM=々BCE=135°

?；BM1BE

???4MBA+4/BE=90。

???乙力8E+NEBC=90。

，乙MBA=乙EBC

:?ABAMFBCE

^~BE=JC=3

BM_4

???邁=3

~T7

?io-

??BDfMl/f=-—

【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形以及平行線的性質(zhì)可得ND=NDCF,根據(jù)中點(diǎn)的概念可得DG=CG,由對

頂角的性質(zhì)可得NAGD=NGFC,然后根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行證明；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得NABC=90。，利用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得△CEFs^ABF,由勾股

定理可得AF,然后由相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答；

（3）過點(diǎn)E作EN1BF于點(diǎn)N,由矩形的性質(zhì)可得AD=BC=3,易得aABF、ACEF均為等腰直角三角形,

則NCFE=NBAF=45。，NECF=45。，進(jìn)而推出EN平分CF,得至I」CN=NF=NE=1,由勾股定理可得BE,利

用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得△BAMsaBCE,然后由相似三角形的性質(zhì)計算即可.

27.【答案】（1）證明：?.?乙4BC和乙4MC是公所對的圓周角

：./.ABC=Z.AMC

=乙CHB

二△BCHMAH

.BH_CH

：.MH-CH=AH-BH

(2)連接OC,交AB于點(diǎn)F

D

24

VMC與ND為一組平行弦(也可寫成MC||ND)

，乙OND=乙OMC

9：OM=OC

；?乙OMC=LOCM

?;乙OND+乙AHM=90°

J/"CM+乙4HM=Z.OCM+乙CHB=90°

，乙HFC=90。

：.OC1AB

：.AC=BC

(3)解：連接DM、DG,過D作DELMN,垂足為E,設(shè)點(diǎn)G的對稱點(diǎn)連接GD、GN,

VDG=DG\ZGW=ZGND,DG，=DM,弧DM=MDGT

???DG=DM,

AADGM為等腰三角形.

VDE±MN,

???GE=ME.

VDN//CM,

，NCMN=NDNM.

VMN為直徑，

JZMDN=90°,

???ZMDE+ZEDN=90°.

VDE±MN,

JZDEN=90°,

JNDNM+NEDN=90。，

.,.sinZEDM=sinZDNM=sinZCMN=1.

VMN=15,

.\sinZDNM=^=1,

MN5

25

，MD=9.

〈sin/EDM春黑

5MD

.ME_3

?--9-=5，

：.ME等

71

NG=MN-MG=MN-2ME畤.

【解析】【分析】(1)由圓周角定理可得NABC=NAMC,由對頂角的性質(zhì)可得NAHM=NCHB,根據(jù)兩

角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得△BCHs/^MAH,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明；

(2)連接0C,交AB于點(diǎn)F,易得/OND=/OMC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得/OMC=NOCM,結(jié)合

NOND+/AHM=90?？傻?HFC=90。，據(jù)此證明；

(3)連接DM、DG,過D作DELMN,垂足為E,設(shè)點(diǎn)G的對稱點(diǎn)G-連接G，D、G，N,則ADGM為

等腰三角形，根據(jù)圓周角定理可得NMDN=90。，進(jìn)而推出NEDM=NDNM=NCMN,結(jié)合三角函數(shù)的概念

可得MD、ME,然后根據(jù)NG=MN-MG=MN-2ME進(jìn)行計算.

28.【答案】(1)解：把4(一6,0