高中數學競賽預賽試題

璧山中學

高中數學競賽班預賽試題

（選自各省預賽試題和模擬題改編）

高二年級數學組

全國高中數學聯賽預賽試題(一)

1.已知集合A={x|log2(x-l)<1},B=(x11x-a|<21?若Ac8H0,則實數a的取

值范圍為。

2.已知/(x)是定義在H上的奇函數，且函數y=/(x+l)為偶函數，當-IWXWO時，

fM=x\則嗎)=。

3.已知{an}為等比數列，且的犯7=1，若/(%)=三，則

1+x

/(?.)+/(?2)+〃%)+L+/(*)=。

4.將8個三好生名額分配給甲、乙、丙、丁4個班級，每班至少1個名額，則甲班恰好

分到2個名額的概率為。

5.三棱錐尸-/LBC中，△ABC是邊長為2百的等邊三角形，==，且二面角

P--A的大小為45。，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為。

22

6.已知P為雙曲線C：亍咤=1上一點，耳、鳥為雙曲線。的左、右焦點，M、I分

別為△。耳鳥的重心、內心，若尤軸，則△。后鳥內切圓的半徑為。

AA

7.在中，內角A、8、C所對的邊分別是a、〃、。，且sinCcos-=(2-cosC)sin—,

22

cosA=-,a=4,則△ABC的面積為_____________

5

8.若關于x的方程V+辦+匕一3=0(a,bwR)在區(qū)間［1,2］上有實根，則Y+g—4尸

的最小值為o

9.函數/*)=4-7+V12-x+J44-x的最大值為,

10.A、B、。為圓。上不同的三點，且NAOB=120。，點。在劣弧舛B內(點。與A、B

LILUlUUUL11

不重合)，若OC=4Q4+〃O3(4,則4+〃的取值范圍為。

二、解答題

11.若數列｛q｝中的相鄰兩項%、4+1是關于x的方程/-/ix+c“=()(〃=1,2,3,…)

的兩個實根，且％=1。

(1)求數列｛為｝的通項公式；

(2)設b“=C2“_|,求數列也｝的通項公式及也｝的前〃項的和7；。

(必要時，可以利用：『+22+32+L+〃2="(〃+1)(2"+1))

6

12-已知橢圓°：巨巨】(》＞。)過點P(21)，且離心率為今過點P作兩

條互相垂直的直線分別交橢圓于A、8兩點(A、8與點P不重合)。求證：直線AB過定點,

并求該定點的坐標。

13.如圖，PA,P8C分別是圓。的切線和割線，其中A為切點，M為切線帖的中點,

弦A。、BC相交于點E,弦AB延長線上的點尸，滿足NFBD=NFED。

求證：P、F、。三點共線的充分必要條件是M、B、。三點共線。

14.已知a〉0,/(x)=ln(2x+l)+2ox-4ae'+4。

(1)當1=1時,求/(x)的最大值；

(2)判斷函數/(x)零點的個數，并說明理由。

15.設q,%4，%，的是5個正實數（可以相等）。證明：一定存在4個互不相同的

1

下標i,j,k,I,使得a-"v-o

ajal2

全國高中數學聯賽預賽試題(二)

一、填空題

1.設集合A=1x|三|《O’xeZ卜從集合A中隨機抽取一個元素x,記J=則隨

機變量4的數學期望Eg=o

2.已知/(x)=x+g(x),其中g(x)是定義在火上，最小正周期為2的函數。若/(x)在區(qū)

間［2,4)上的最大值為1,則/(x)在區(qū)間［10,12)上的最大值為o

3.片、尸2為橢圓C：(。＞匕＞0)的左、右焦點，若橢圓。上存在一點P,

使得PF,1PF2,則橢圓離心率e的取值范圍為o

4.已知實數x,y,z滿足X2+2V+3Z2=24,貝Ix+2y+3z的最小值為

2

5.已知函數/(x)=xcos^,數列｛an｝中，an=/(〃)+/(n+1)(),則數列｛a“｝

的前100項之和5100=。

6.如圖，在四面體ABCD中，DA=DB=DC=2,DA±DB,DALDC,且D4與平面

ABC所成角的余弦值為逅。則該四面體外接球半徑八

7.在復平面內，復數z「Z2、z3的對應點分別為Z|、Z＞Zo2^7I7c

——23/K

UUUUUli

若I41=1Z2|=JLOZ/OZ2=0,|Z|+Z2—Z3|=1,則|Z31的取值范B

圍是o

8.已知函數/(x)=e*(x-ae“)恰有兩個極值點X1,x2(x,<x2),則a的取值范圍

為。

9.已知/(x)=m-2'+x?+nx,若卜|/(x)=0}={x|/(/(幻)=0}#。，則〃?+〃的取值范

圍為°

10.若sin工+sin@+L+sin"='tan加，則正整數〃的最小值為___________

99929

二、解答題

11.求函數y=2x+，4f-8x+3的最小值。

2

12.已知過點P(O,1)斜率為左的直線/交雙曲線C：無2一匕=1于4、6兩點。

(1)求Z的取值范圍；

(2)若"為雙曲線。的右焦點，且|Ag|+||=6,求女的值。

13.如圖，I、。分別為△ABC的內心、旁心，與圓/、圓。相切，切點分別為七、

F,G為AO與BC的交點。

AlGE

求證:

(1)~AD~GF

(2)若"為E尸中點，求證：AE//DM-

14.在坐標平面內，橫縱坐標都是整數的點稱為整點，三個頂點都是整點的三角形稱為

整點三角形。求以點“2015,7x2015)為內心且直角頂點在坐標原點。的整點直角三角形

QAB的個數。

15.若對任意的正整數加，集合｛m,m+\,m+2,L,m+99｝的任意”(?>3)元子集中,

總有3個元素兩兩互素，求〃的最小值。

全國高中數學聯賽預賽試題（三）

一、填空題

1.若對于任意實數X,|x+a|—|x+l區(qū)2。恒成立，則實數。的最小值為.

2.將5名大學生村官分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)的3個村就職，若每個村至少1名，則不同的分配方案種數

為.

356

3.若（X2一尢-2）3=。0+。］尢+。2工2+a3x+。4無4+a5x+tz6x,則q+Q3+。5=?

3,3

4.己知頂角為20P的等腰三角形的底邊長為n,腰長為h,則^~，一的值為________.

ab2

5.設%=2",/?“=5〃一S=。2015｝口的,》2,…,5皿,｝，則集合S中的元素的

個數為.

6.已知點P在內△ABC所在平面內，NB4C=90°,NC4P為銳角，|而|=2,APAC=2,

APAB=\.當|荏取得最小值時，tanNC4P=.

7.已知正三棱錐P-ABC的底面的邊長為6,側棱長為亞，則該三棱錐的內切球的半徑為

8.函數f（x）=（jm+j匚1+2）（7I-%2+1）的值域為.

9.已知耳，F2是橢圓彳+>2=1的兩個焦點,A8分別是該橢圓的左頂點和上頂點，點P在線段

AB上，則麗?麗的最小值為.

10.使得一和三產都是完全平方數的最大質數p為.

二'解答題(本大題共3小題，每小題20分，共60分.)

18,,

11.設平面點集A={(x,y)|(y—x)-(y—9)20},B={(x,y)|(x-1)2+(j-l)2<1}.若

25x

(x,y)eAAB,求2x-y的最小值.

12.設是數列｛為｝的前〃項之積，滿足，=1—

（1）求數列僅“｝的通項公式；

⑵設S”=7]2+以+…+瑤，求證：-g<S"<a〃+i

13.過直線x—2y+13=0上一動點A(A不在y軸上)作拋物線y2=8x的兩條切線，M,N為

切點，直線AM,AN分別與y軸交于點8,C.

(1)證明直線MN恒過一定點；

(2)證明△ABC的外接圓恒過一定點，并求該圓半徑的最小值.

全國高中數學聯賽預賽試題(四)

一、填空題

1.已知數列{叫滿足q=32,an+i-a?=2n則?的最小值為。

2.對于函數y=/(x),xeD,若對任意的玉e。，存在唯一的々e。，使得

7/(X,)/(X2)=M，則稱函數/(x)在。上的幾何平均.數為M。已知/(x)=d一/+1,%e[1,2],

則函數f(x)=V一/+1在0,2]上的幾何平均數M=。

3.若三個非零且互不相等的實數a、b、c滿足L+_L=2,則稱“、b、。是調和的；若

abc

滿足a+c=2Z?,則稱a、b、c是等差的。已知集合用={x11x|W2013,xeZ},集合尸是集

合”的三元子集，即。={。'"}<=知。若集合P中元素a、b、c既是調和的，又是等差

的，則稱集合P為“好集”。則不同的“好集”的個數為o

4.已知實數x,y滿足町+l=4x+y,且x>l,則(x+l)(y+2)的最小值為

5.如圖，在四面體ABCO中，AB_L平面BCD,△BCD是邊長為3的等邊三角形。若

AB=2,則四面體ABC。外接球的面積為。

6.在正十邊形的10個頂點中，任取4一個點，則以這4個點為頂點的四邊形為梯形的概

率為o

xx1

7.方程sinwc=-+-在區(qū)間[(),2句內的所有實根之和為o（符

2122

號[x]表示不超過X的最大整數)。

8.已知/(x)為R上增函數，且對任意xwR,都有/[/(x)_3*]=4,則/(2)=。

9.已知集合A的元素都是整數，其中最小的為1,最大的為200。且除1以外，A中每

一個數都等于A中某兩個數(可以相同)的和。則|4|的最小值為0(符號|A|

表示集合A中元素的個數)

'x,若x為無理數

10.已知函數/(x)=q+\會q甘出入廣k居,則函數/(x)在

-——，右*='，其中，且Rp、g互質，p>q

IPP

二、解答題

11.將各項均為正數的數列｛%｝排成如下所示的三角形數陣（第〃行有〃個數，同一行中，

下標小的數排在左邊）。4表示數陣中，第〃行、第1列的數。已知數列｛々｝為等比數列，且

從第3行開始，各行均構成公差為d的等差數列（第3行的3個數構成公差為d的等差數列；

第4行的4個數構成公差為4的等差數列，……），q=l,%=17，《8=34。

（1）求數陣中第加行、第〃列的數（用”、〃表示）。

（2）求%on的值;

（3）2013是否在該數陣中？并說明理由。

?i

a2

a4”6

%/%4。

12.已知A、3為拋物線C：V=以上的兩個動點，點A在第一象限，點