高中數(shù)學(xué)必修二 期中模擬試題（三）（含答案）

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中

模擬試題（三）

選擇題

1.已知A(-2,l),8(3,—2)兩點，且A戶=4/喑，則點尸的坐標為

A.(2,1)B.((2)C.(2,-1)D.(-(2)

【答案】C

【解析】設(shè)P(x,y)，則A戶=(x+2,y-l),PB=(3-x,-2-y),

A戶=4/勿，

(x+2,y-l)=4(-3-x,-2-y),即(x+2,y-l)=(12-4x,-8-4y),

[x+2=12-4x

故"！，

[y-l=-8-4y

7

解得x=2>y=—，

5

7

所以尸(2,-g).

故選C.

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1—i)z=l+i,則z等于

A.-iB.iC.-2/D.2i

【答案】B

1+Z(1+0(14-0l+2i+/2i.

【解析】由（l—i）z=l+i,得Z=----=-----------------——=i,

l-z(1-0(1+/)12+122

故選B.

3.若復(fù)數(shù)Z滿足Z(l—i)=l+i,i為虛數(shù)單位，則Z239=

A.-2zB.iC.-iD.2i

【答案】C

【解析】由z(l-i)=l+i,得2=^^=―——=i,

l-z(l-i)(l+i)

.,.Z-2019=I?2019=I*4x504+3=-I?.

故選c.

1+嚴21

4.設(shè)復(fù)數(shù)2=------,則Z的虛部是

2-z

3.

A.-B.c.-D.-

5555

【答案】A

1./2O211+i(l+i)(2+i)13.

【解析】復(fù)數(shù)z=*-：=---=----------=—1—i>

2-i2-i(2-0(2+/)55

5

故選A.

5.若單位向量a,B滿足|22+B|=2加，則向量4，5夾角的余弦值為

3333

A.-B.-C.--D.--

4545

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，設(shè)向量a,5夾角為0,

若單位向量a,B滿足I2d+6h=2近，

則有.(21+5)2=+￡+44?6=5+4cos<9=8,

則有cos，=3,

4

故選A.

6.已知矩形ABCD中，AB=3,AD=4,￡為AB上的點，且看2=2麗，/為BC的中點，則不戶

A.—2B.—5C.—6D.—8

【答案】B

【解析】以點5為坐標原點，8C所在直線為x軸，R4所在直線為y軸，距離如圖所示的直角坐標系,

則8(0,0),A(0,3),0(4,3).E(0,2),F(2,0),4尸=(2,-3),DE=(-4,-1),

則AF-DE=2x(-4)+(-3)x(-1)=-5.

故選B.

A.若a//a,blip,allb則a///?B.若a_L/?,則a///7

C.若a_L〃，aLyfZ?Q/=?，則a_LaD.若a///?,alia,則a//￡

【答案】C

【解析】A.若a//a,blip,a//。，則a//夕，不正確,可能相交;

B.若a_L〃，a_La,則。///?或au/7,因此不正確；

C.若a_L/?,a_Ly,/7p]/=a,則〃_La,正確：

證明：設(shè)二「|尸=匕，crQ/=c,取尸￡a,過點尸分別作znU),〃_Lc,

貝,/.mLaynJLa,又〃2n"二尸，:.aLa.

D.若a///?,alia,則〃//〃或au〃.

8.在四面體PABC中，PA±PB,PA=PB=3,AC=2Ji,BC=底,則該四面體外接球的表面積

為

A.12幾B.14萬C.16萬D.18萬

【答案】D

【解析】由R4_LPB,PA=PB=3,可知A8=3夜.

因為AC=2>/5,BC=R,所以AB2=AC2+BC2,即AC_LBC.

設(shè)A3的中點為O,則。4=OB=OC=OP=逑，

2

即四面體的外接球半徑為逆，外接球表面積為18萬.

2

故選D.

二.多選題

9.已知向量2=(2,1),4=(-3,1),則

A.(a+b)//a

B.向量a在向量5上的投影向量為

2

c.I與(1-5)的夾角余弦值為乎

D.若；=(1,-半)，則

【答案】BCD

【解析】對于A,向量々=(2,1),6=(-3,1),所以1+方=(-1,2),且一1x1—2x2=—5x0,所以汗+5與1

不平行，A錯誤；

對于B>向量1在向量5上的投影向量為|&|cos。?二~=二二二■5=b=—b,所以3正確；

\b\|M2102

d

對于C,因為1-石=(5,0),所以cos<G,a-b>==_J2-=3ji,所以c正確；

\d\x\d-b|V5x55

對于C,因為e=(4，-乎)，所以H=2x冬4憐S所以互_|_^,選項。正確.

故選BCD.

3

10.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若QcosA=bcos8,且c=2,sinC=-,

5

則AABC的面積為

A.3B.-C.-D.6

33

【答案】AC

【解析】由acosA=bcosB,利用正弦定理可得sinAcosA=sin4cos4，

即sin2A=sin2B，

,：A,BG(0,7T),

-rr

..A=3或A+3=—,

2

3

又sinC=2,:.A=B,

5

a

當C為銳角時，???sinC=2,

5

4

cosC=—，

5

,cVlo

??sin—=---,

210

cc

由s嗚或幕,b=a=VlO，

.?.AA8C中43邊上的高為3,

S=—x2x3=3；

2

當C為鈍角時,

34,C3A/10

,/sinC=-?cosC=-sin-=----

55210

cc

1^sinf4=i：.b=aW

3

AABC中AB邊上的高為1,

3

S=-x2x-=-

233

故選AC.

11.如圖，在長方體ABC。-ABCR中，AA,=AB=4,BC=2,M,N分別為棱GR,cc,的中點,

則下列說法正確的是（）

A.A、M、N、3四點共面B.直線5N與所成角的為60。

C.BN〃平面ADMD.平面4W_L平面C￡）￡>C

【答案】

【解析】對于A，A、B、M在平面4BG。內(nèi)，N在平面ABGA外，故A錯誤;

對于3，如圖，取8中點E，連接應(yīng);，NE,可得BE//BM,NEBN為直線BN與B】M所成角,

由題意可得&處為邊長為2a的等邊三角形，則NEBN=60。，故5正確：

對于C,若BN//平面ADW，又BC//平面4DM，則平面BCC4〃平面4W,

而平面8CGBJ/平面AOQA，矛盾，故C錯誤；

對于。，在長方體A8CD-A4CQ中，4。_1平面。。.。|，ADu平面ADM，.?.平面4WL平面CORC「

故。正確.

故選：BD.

12.在棱長為2的正方體ABCO-A4CQi中，E,產(chǎn)分別為AB,AA的中點，則

A.BDLB.C

B.E尸//平面￡>48

C.AG_L平面片QC

D.過直線所且與直線8A平行的平面截該正方體所得截面面積為72

【答案】BC

【解析】對于A,,.?4C//A。，是即與所成角（或所成角）的補角，

???4。=80=48,..幺。8=60。，..瓦）與8c不垂直，故A錯誤；

對于3,取A。中點G,連接FG,EG,則EG//BD,FG//BB,,

?.EGQFG=G,8力0|8月=8,二平面EFG//平面。烏8,

?jEFu平面瓦G,；.EF//平面￡）8出,故5正確；

對于C,A,C,18,0,,A4,JLg"，4Gp|AA,=A，

AG、AAtu平面AAG,

B、D\_L平面AC,u平面4AG,/.AC,LBtDt,

同理AG，4C,

旦口口^^=B[,B]0、B、Cu平面BRC)

.??AGL平面與RC，故c正確；

對于D,取A4中點H,連接F"、EH,

則切//8Q,GF!IBB,,

■.■FH^\GF=F,用20|84=月，平面E”尸G//平面BBQ。，

BD、u平面BBRD,EFu平面EHFG，

：.過直線EF且與直線8。1平行的平面截該正方體所得截面為矩形EHFG,

.GF=2,GE=-BD=-V4+4=J2,

22

過直線EF且與直線平行的平面截該正方體所得截面面積為5=20,故。錯誤.

故選BC.

三.填空題

13.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)2=言今3€/?)為純虛數(shù)，則a

【答案】一2

[解析]z_a_i_(a_/)(1+2z)_(a+2)+(2a—l)z

h1Z-l-2z-*(l-20(14-2f)~5-

因為z為純虛數(shù)，所以a+2=0,得a=-2

故答案為：-2.

14.已知向量G=(2,-1),6=(-3,〃。，若G/歷，則|萬+2刈=.

【答案】2非

□□

【解析1Va//h,.-.2m-3=o,解得切=士，則X=(-3:)，

22

u+2.=(—4,2)f

|a+2^|=7M)2+22=26.

故答案為：2也.

15.已知單位向量1、5的夾角為120。，姐+5與24-5垂直，則％=

【答案】-

5

【解析】根據(jù)題意，單位向量1、5的夾角為120。，則無6=-1,

2

若fai+5與21-6垂直，則(%+6).(24-E)=2k-I+g-l=0,

解可得：k=-,

5

故答案為：—.

5

16.直三棱柱的各頂點都在球O的球面上，且AB=AC=1,=6,若球。的表面積為207,

則這個三棱柱的體積為一.

【答案】G

【解析】設(shè)A4BC和△A4G的外心分別為。1、02,連接002,

可得外接球的球心O為。Q的中點，連接。4、。8、OC、O|A、O,C，

AB1+AC2-BC-1

AABC中，cos4=

2ABAC~2

,/AG(0,4),/.A=—，

3

根據(jù)正弦定理，得AABC外接圓半徑?A==1

2sinA

?.?球。的表面積為20萬，4萬川=20萬，R=后,

川△OQA中，0、0=小0外一01瓜=2,可得GO?=200=4,

???直三棱柱ABC-A4G的底面積=-ABACsin—=—,

234

直三棱柱A8C-的體積為$43cX。。?=6?

17.已知復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，且/為實數(shù).

l+i

(1)求復(fù)數(shù)z；

(2)設(shè)帆eR,若復(fù)數(shù)(〃?+z)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，求，”的取值范圍.

【答案】(1)z=-2Z；(2)(2,”).

【解析】(1)設(shè)2=沅，〃w0,則2心=二1^=。-2+(2+頌

1+/1+z2

三為實數(shù)，.-.b=-2,即z=-27.

1+z

(2)(m+z)2=(m—2/)2=n?2—4-4/nz,

由題知機2—4>0且TmvO,

解得m>2.

二.m的取值范圍是(2,+oo).

18.已知z=(M-8m+15)+(〃，-5帆+6)i,其中i是虛數(shù)單位，加為實數(shù).

(1)當z為純虛數(shù)時，求tn的值;

(2)當復(fù)數(shù)z“在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限時，求團的取值范圍.

【答案】(1)tn=5；(2)(-00,2)kJ(5,-t-oo).

【解析】(1)?.?z為純虛數(shù),

38〃,+15=。，解得一=5；

m"-5m+6w0

(2),/=-(m2-5???+6)+(m2-Sm+15)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，

?一6＜。，解得祖＜2或加＞5.

[w2-8/n+15＞0

，加的取值范圍是(70,2)U(5,+00).

19.平面內(nèi)給定兩個向量d=(3,l),6=(-1,2)

(1)求|34+2b|；

(2)若3+防)//(2萬-5),求實數(shù)★的值.

【答案】(1)7應(yīng)；(2)k=-L

2

【解析】(1)由條件知：3商+2方=(7,7),

t^|3a+2^|=V72+72=772.

(2)a+kb=(3,1)+k(-i,2)=(3-k,l+2k),2a-b=(l,0).

v(a+kb)//(2a-b),

.?.(3—￡l*0—7(l+2Z)=0,

解得A=—L

2

20.如圖，在四邊形ABC。中，AB=2,PD=DC=BC=l,ABI/DC,NBCD=90。,尸為鉆上的點且

AF=~,若P3JL平面ABC￡＞,￡為PC的中點.

2

(1)求證：￡r//平面必。；

(2)求四棱錐P-ABCD的側(cè)面積.

【解析】（1）證明：取CZ）的中點為H，連結(jié)FH,

因為E為尸C的中點，所以EH//PD，

又因為PDu平面平面皿),所以EH//平面PAD,

乂因為C￡>=1,AB//DC，AF=~,所以。"http://A/7,DH=AF=L

22

所以四邊形47憶>是平行四邊形，所以F”//A￡>,

又因為4)u平面皿>,用,平面皿),所以FH〃平面B4Z),

又￡77「|尸”=”，EH,FHu平面EFH，所以平面R4￡>//平面,

乂因為EFu平面耳H,所以所//平面修￡>；

(2)解：因為N8CD=90。，所以CDJ-8C，

又因為PZ)_L平面458,所以叨_LBC,

又PDCCD=D,PD，C￡>u平面PDC，所以BC_L平面PDC，

又PCu平面PDC,所以PC_L3C,

所以APDC,^PDA,APCB為直角三角形，

因為AB=2,DC=BC=l,ABUDC，NBCD=90°,

所以PC=垃,AD=&,PA=6,PB=y{i,

所以S^PBC=~^~、S曠酸=,S"AB=V2，

所以四棱錐Q-ABCD的側(cè)面積為也+,+立+&=生旦里

2222

21.在AA8C中，內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的邊長分別為。、b、c,且滿足一"。?！?，一』」

4cos4+5sinAsinBcosC

(1)求cosA；

(2)若a=3,求匕+c的最大值.

4.—

【答案】(1)cosA=一；(2)VW.

5

［解析］(1)因為一5"cos-c

4cosJ5+5sinAsinBcosC

所以由正弦定理，可得:sinAcos'二4sin8=^￡

4cos8+5sinAsinBcosC

整理得5sinAcos(3+C)=4sin(3+C),

又A+3+C=;r,所以5sinAcos(九-A)=4sin(萬-A),

即一5sinAcosA=4sinA,

因為0vAv4,sinA>0,

4

所以cosA=——.

5

4

(2)因為a=3,cosA=——

5

+「2—2h2+仁2—94

由余弦定理，得cosA=g+c_±,所以一之士°J=

2bc2bc5

2

整理可得(b+C)-