高三高考數(shù)學(xué)一輪課時練習：求平面的法向量

2025屆高三高考數(shù)學(xué)一輪課時練習：求平面的法向量一、單選題1．已知平面α上的兩個向量，，則平面α的一個法向量為（

）A． B．C． D．2．已知點，則下列向量可作為平面的一個法向量的是（

）A． B． C． D．3．在空間直角坐標系中，，，，則平面的一個法向量為（

）A． B． C． D．4．已知正方體的棱長為2，E為棱的中點，以A為坐標原點建立空間直角坐標系（如圖）.則平面ABE的一個法向量為（

）

A． B．C． D．5．如圖所示，正三棱柱，各條棱長均為2，點，分別是棱，的中點，是的中點.以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則以下不是平面法向量的有（

）

①②③④A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④6．已知平面內(nèi)的兩個向量，，則該平面的一個法向量為（

）A． B．C． D．7．若是平面的一個法向量，則下列向量能作為平面的法向量的是（

）A． B．C． D．8．已知，則下列向量是平面法向量的是（）A． B．C． D．9．若，，則以下向量中，能成為平面的法向量的是（）A． B．C． D．10．《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，.若建立如圖所示的“空間直角坐標系，則平面的一個法向量為（

）

A． B． C． D．二、多選題11．類比平面解析幾何中直線的方程，我們可以得到在空間直角坐標系中的一個平面的方程，如果平面的一個法向量，已知平面上定點，對于平面上任意點，根據(jù)可得平面的方程為．則在空間直角坐標系中，下列說法正確的是（

）A．若平面過點，且法向量為，則平面的方程為B．若平面的方程為，則是平面的法向量C．方程表示經(jīng)過坐標原點且斜率為的一條直線D．關(guān)于x，y，z的任何一個三元一次方程都表示一個平面12．在如圖所示的空間直角坐標系中，是棱長為1的正方體，給出下列結(jié)論中，正確的是（

）A．直線的一個方向向量為 B．直線的一個方向向量為C．平面的一個法向量為 D．平面的一個法向量為13．已知平面內(nèi)的兩個向量的，則平面的一個法向量可以是（

）A． B． C． D．14．（多選）平面α經(jīng)過三點，則平面α的法向量可以是（

）A． B．C． D．三、填空題15．《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，.若建立如圖所示的“空間直角坐標系”，則平面的一個法向量為.

16．在中，．向量為平面的一個法向量，則的坐標為．17．已知四邊形是直角梯形，，平面，，，則平面的一個法向量為18．在直三棱柱中，，，平面的一個法向量為，則棱的長為．四、解答題19．如圖，在四棱錐中，平面⊥平面，是邊長為1的正三角形，是菱形，，E是的中點，F(xiàn)是的中點，試建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求平面的一個法向量.

20．在長方體中，，，.以D為原點，以為空間的一個單位正交基底，建立空間直角坐標系，求平面的法向量.21．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求平面ACE的一個法向量.22．如圖，已知正方體中，的坐標分別為，，，．分別求平面與平面的一個法向量．答案：1．C【分析】根據(jù)平面法向量的定義，列式計算得解.【詳解】顯然與不平行，設(shè)平面α的法向量為，則，所以，令，得，.所以．故選：C.2．D【分析】設(shè)平面的一個法向量為，利用列方程求解即可.【詳解】由知，設(shè)平面的一個法向量為，所以，取，解得，選項D符合，另外選項ABC中的向量與選項D中的向量不共線.故選：D3．A【分析】設(shè)平面的一個法向量為，利用列方程求解即可.【詳解】由已知，設(shè)平面的一個法向量為，取，解得，選項A符合，另外選項BCD中的向量與選項A中的向量不共線.故選：A.4．C【分析】設(shè)平面ABE的法向量為，然后由，可求出其法向量.【詳解】由題意可得，，，所以，設(shè)平面ABE的法向量為，由，得到，取，則，所以平面ABE的一個法向量為，所以是平面ABE的法向量.

故選：C.5．B【分析】利用平面向量的法向量的定義求解.【詳解】依題意，，所以，設(shè)平面的一個法向量為：，則，即，令，則，，所以，令，則，，所以，令，則，，所以，令，則，，所以，故選：B.6．C【分析】利用法向量的定義、求法進行計算.【詳解】顯然與不平行，設(shè)該平面的一個法向量為，則有，即，令，得，所以，故A,B錯誤，令，得，則此時法向量為，故D錯誤.故選：C.7．D【分析】根據(jù)平面法向量的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因為，所以，所以也為平面的法向量，其它選項中的向量都不合題意，故選：D．8．C【分析】利用平面法向量的求法求解即可.【詳解】因為，所以，設(shè)平面的一個單位法向量為，則，可得，經(jīng)檢驗，僅符合題意．故選：C．9．C【分析】設(shè)平面的法向量為，根據(jù)得到之間的等量關(guān)系，分別令與即可求解.【詳解】設(shè)平面的法向量為,則,令，可得，故為平面的一個法向量.令，可得，故為平面的一個法向量.故選:C.10．B【分析】根據(jù)題意，設(shè)，可得、、的坐標，由此可得向量、的坐標，由此可得關(guān)于、、的方程組，利用特殊值求出、、的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則有，令，可得，則.故選：B．11．ABD【分析】A：根據(jù)條件寫出平面的方程并化簡；B：先分析方程對應(yīng)的一個法向量，然后根據(jù)法向量與之間的關(guān)系作出判斷；C：與題設(shè)方程作對比，然后作出判斷即可；D：設(shè)出三元一次方程的一般形式，然后與題設(shè)方程對比并作出判斷.【詳解】對于A：根據(jù)題設(shè)可知平面的方程為，即為，故A正確；對于B：因為平面的方程為，由題設(shè)可知平面的一個法向量為，且即共線，所以是平面的法向量，故B正確；對于C：，該方程可表示：一個法向量為且過的平面，故C錯誤；對于D：設(shè)，其等價于，該方程可表示：一個法向量為且過的平面，故D正確；故選：ABD.12．AC【分析】根據(jù)已知可得出點的坐標，進而求出相關(guān)向量的坐標，求出平面的法向量，即可得出答案.【詳解】由題意，，，，，.對于A、B項，可知，∴向量為直線的一個方向向量，故A正確，B不正確；對于C項，設(shè)平面的法向量為，則.又，，所以有.令，可得，則C正確；對于D項，設(shè)平面的法向量為，則.又，，所以有.令，得，故D不正確.故選：AC.13．BC【分析】設(shè)平面的法向量為，根據(jù)向量垂直的坐標表示求解可得答案.【詳解】設(shè)平面的法向量為，因為向量，所以，取，得，取，得.故選：BC.14．AC【分析】根據(jù)平面的法向量求法計算即可.【詳解】由題意可得，設(shè)平面α的法向量，則，得，取，則，得是平面α的一個法向量，即A正確；C項的也是平面α的一個法向量，即C正確；B、D選項中，向量均與不共線，故可以作平面α的法向量的是A，C.故選：AC15．（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，設(shè)，可得,,的坐標，由此可得向量,的坐標，由此可得關(guān)于,,的方程組，利用特殊值求出,,的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則,,，則,，設(shè)平面的一個法向量為,,，則有，令，可得，則，故答案為：（答案不唯一）16．（答案不唯一）【分析】根據(jù)向量垂直求平面的法向量即可.【詳解】根據(jù)題意可得：，設(shè)，與平面垂直，則，可得，當時，則，的坐標為．故答案為：（答案不唯一）17．（答案不唯一）【分析】根據(jù)題設(shè)建空間直角坐標系，應(yīng)用向量法求平面的一個法向量即可.【詳解】由題設(shè)，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，則，設(shè)平面SCD的一個法向量為，則，令，故是平面SCD的一個法向量．

故答案為：（答案不唯一）18．2【分析】建立空間直角坐標系，設(shè)出，從而由結(jié)合得到答案.【詳解】以為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，由題意可知，，，所以，，因為，所以根據(jù)法向量的定義可得，，解得，且，所以.故答案為：.19．（答案不唯一）.【分析】首先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，進而結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可得，再建立空間直角坐標系，設(shè)平面的一個法向量為，從而利用，即可得到答案.【詳解】連接，因為是邊長為1的正三角形，，F(xiàn)為的中點，所以，又因為平面⊥平面，平面平面，平面，所以平面.連接AC，因為，，所以是等邊三角形，又F為的中點，所以.綜上可知，直線兩兩垂直，所以建立以為原點，分別為軸，軸，軸的空間直角坐標系，如圖所示：

由題意，在正和正中，，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，化簡得，令，則，即所以平面的一個法向量為（答案不唯一）.20．（答案不唯一）【分析】根據(jù)坐標系寫出點的坐標，然后寫出平面內(nèi)兩個不共線的向量坐標，根據(jù)法向量與平面內(nèi)向量數(shù)量積為0列方程組求解可得.【詳解】如圖，以為空間的一個單位正交基底，建立空間直角坐標系，則，得，設(shè)為平面的一個法向量，則，取，得，所以平面的一個法向量為.21．（不唯一）【分析】用垂直關(guān)系，可以以A為原點，以AB、AD、AP為坐標軸建立空間直角坐標系，再按照法向量的求法計算即可.【詳解】因為PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直.如圖所示，以A為坐標原點，AB