新教材2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)分冊(cè)一專題二三角函數(shù)解三角形第一講三角函數(shù)的概念三角恒等變換-小題備考微專題2三角恒等變換

微專題2三角恒等變換?？汲Ｓ媒Y(jié)論1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝.3．常用公式(1)降冪公式：cos2α＝，sin2α＝.(2)升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(3)公式變形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanα·tanβ)．(4)幫助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.1.[2024·河南許昌二模]已知α為銳角，且sinα＝，則tan(＋α)＝()A．－2B．2C．－3D．32．[2024·江西九江三模]已知0<α<<β<π，且sinα＝，cosβ＝－，則cos(α－β)＝()A．－B．－C．－D．3．[2024·江西南昌二模]設(shè)a＝(sin56°－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c＝2cos240°－1，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．a(chǎn)>c>b4．[2024·山東濰坊一模]已知角α在第四象限內(nèi)，sin(2α＋)＝，則sinα＝()A．－B．C．D．－2. (1)[2024·安徽安慶二模]已知其次象限角α滿意sin(π＋α)＝－，則sin2β－2sin(α＋β)cos(α－β)的值為()A．－B．－C．D．(2)[2024·山西晉中三模]已知α，β為銳角，且tanα＝2，sin(α＋β)＝，則cosβ＝()A．－B．C．－D．(3)[2024·山東德州三模]若α，β為銳角，且α＋β＝，則(1＋tanα)(1＋tanβ)＝________．技法領(lǐng)悟1．解決給角求值問(wèn)題的關(guān)鍵是兩種變換：一是角的變換，留意各角之間是否具有和差關(guān)系、互補(bǔ)(余)關(guān)系、倍半關(guān)系，從而選擇相應(yīng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把非特別角的三角函數(shù)相約或相消，從而轉(zhuǎn)化為特別角的三角函數(shù)；二是結(jié)構(gòu)變換，在熟識(shí)各種公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、符號(hào)特征的基礎(chǔ)上，結(jié)合所求式子的特點(diǎn)合理地進(jìn)行變形．2．給值求值的關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異，一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外某些函數(shù)式的值，以備應(yīng)用．同時(shí)也要留意變換待求式，便于將已知求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的．3．實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時(shí)要壓縮角的取值范圍．[鞏固訓(xùn)練2](1)[2024·廣東深圳二模]已知tan＝2，則的值是()A．B．2C．D．(2)[2024·安徽宣城二模]已知sinα－sin(α＋)＝，則cos(－2α)＝()A．－B．C．D．(3)[2024·河南校聯(lián)考]已知α－β＝，tanα－tanβ＝3，則cos(α＋β)的值為()A．B．C．D．微專題2三角恒等變換保分題1．解析：因?yàn)閟inα＝，α為銳角，所以cosα＝，tanα＝3，所以tan(＋α)＝＝－2.故選A.答案：A2．解析：∵0<α<<β<π，sinα＝，cosβ＝－，∴cosα＝＝＝，sinβ＝＝＝，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝＝－.故選A.答案：A3．解析：因?yàn)閍＝(sin56°－cos56°)＝sin(56°－45°)＝sin11°，b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°＝－sin40°sin38°＋cos40°cos38°＝cos(40°＋38°)＝cos78°＝sin12°，c＝2cos240°－1＝cos80°＝sin10°，因?yàn)閟in12°>sin11°>sin10°，所以b>a>c.故選B.答案：B4．解析：由已知可得，sin(2α＋)＝cos(2α＋π)＝－cos2α＝，所以cos2α＝－，所以sin2α＝＝.又角α在第四象限內(nèi)，所以sinα＝－＝－.故選D.答案：D提分題[例2](1)解析：因?yàn)閟inα＝，且α為其次象限角，所以cosα＝－＝－，于是sin2β－2sin(α＋β)cos(α－β)＝sin[(α＋β)－(α－β)]－2sin(α＋β)cos(α－β)＝－[sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)]＝－sin2α＝－2sinαcosα＝－2×＝.故選D.(2)解析：因?yàn)閠anα＝2，所以sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，α為銳角，所以sinα＝，cosα＝，且α>.因?yàn)棣?，β為銳角，α>，所以<α＋β<π，又sin(α＋β)＝，所以α＋β＝，故cosβ＝cos(－α)＝coscosα＋sinsinα＝.故選D.(3)解析：因?yàn)閠an(α＋β)＝，所以(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＝1＋tan(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＝2.答案：D答案：D(3)2[鞏固訓(xùn)練2](1)解析：由tan＝2，則＝＝＝＝.故選D.(2)解析：由題意可知，sinα－sin(α＋)＝sinα－(sinα＋cosα)＝sinα－cosα＝sin(α－)＝，所以cos(－2α)＝cos(π＋－2α)＝－cos(－2α)＝－cos[2(α－)]＝－[1－2sin2(α－)]＝－[1－2×]＝.故選C.(3)解析：tanα