高中數(shù)學(xué)《生活中的概率》導(dǎo)學(xué)案

3.1.2生活中的概率

課前新知預(yù)習(xí)

［航向標(biāo).學(xué)習(xí)目標(biāo)］

1.正確理解概率的意義.

2.應(yīng)用概率知識解釋日常生活中的一些現(xiàn)象，會求一些事件的概率.

3.了解隨機數(shù)的意義.

［讀教材?自主學(xué)習(xí)］

1.概率的正確理解

隨機事件在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的，但是隨機性中含有回規(guī)律.認(rèn)

識了這種隨機性中的規(guī)律性，就能使我們比較準(zhǔn)確地預(yù)測隨機事件發(fā)生的里概

率.概率只是度量事件發(fā)生的可能性的叵［大小,不能確定是否發(fā)生.

2.游戲的公平性

盡管隨機事件發(fā)生具有隨機性，但是當(dāng)大量重復(fù)這一過程時，它又呈現(xiàn)出一

定的規(guī)律性，因此利用叵［概率知識可以解釋和判斷一些游戲規(guī)則的公平、合理

性.

3.決策中的概率思想

如果我們面臨的是從多個可選答案中挑選正確答案的決策任務(wù)，那么“使樣

本出現(xiàn)的可能性畫最大”可以作為決策的準(zhǔn)則，這種判斷問題的方法稱為極大

似然法，是決策中的概率思想.

4.天氣預(yù)報的概率解釋

天氣預(yù)報的“降水概率”是隨機事件的概率，是指明了“降水”這個隨機事

件發(fā)生的可能性的畫大小.

［看名師?疑難剖析］

本節(jié)主要學(xué)習(xí)概率的意義，通過學(xué)習(xí)，我們了解到概率在日常生活中方方面

面的用處，要正確理解概率，糾正錯誤認(rèn)識，運用概率知識正確識別游戲的公平

性，了解概率思想在決策中的應(yīng)用，理解天氣預(yù)報中的概率思想，也初步了解通

過試驗可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)概率.

本節(jié)的基本結(jié)構(gòu)如下圖所示：

〃概率的正確理解一澄清錯誤認(rèn)識

上、J游戲的公平性一公平競爭

概率的忠義］決策中的概率思想一作出正確決策

、天氣預(yù)報的概率解釋

課堂師生共研

考點一正確理解概率的意義

例1拋一枚硬幣(質(zhì)地均勻)，連續(xù)出現(xiàn)5次正面向上，有人認(rèn)為下次出現(xiàn)反

面向上的概率大于;，這種理解正確嗎？

［分析］由概率的意義直接求解.

［解］不正確.因為拋1次硬幣，其結(jié)果是隨機的，但通過做大量的試驗，

其結(jié)果呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，即“正面向上”、“反面向上”的可能性都為3.連

續(xù)5次正面向上這種結(jié)果是可能的，但對下一次試驗來說，其結(jié)果仍然是隨機的,

所以出現(xiàn)正面和反面的可能性還是今不會大于宗

類題通關(guān)

概率是對一事件是否發(fā)生而言的，是一種預(yù)測，不是一種結(jié)果.正確理解隨機

事件概率的意義，澄清日常生活中出現(xiàn)的一些錯誤認(rèn)識.

［變式訓(xùn)練1］解釋下列概率的含義.

(1)某廠生產(chǎn)產(chǎn)品合格的概率為0.9；

(2)一次抽獎活動中，中獎的概率為0.2.

解(1)說明該廠產(chǎn)品合格的可能性為90%,也就是說，100件該廠的產(chǎn)品中

大約有90件是合格品.

(2)說明參加抽獎的人中有20%的人可能中獎，也就是說，若有100人參加抽

獎，約有20人中獎.

考點二游戲的公平性

例2不少車站碼頭旅游點，常有這樣的游戲，規(guī)則如下：有一端涂黑、紅

各10支的筷子，涂色的一端朝下放在不透明的盒子里，在一邊的桌子上擺著一排

撲克牌，依次為；黑十、黑九紅一、黑八紅二、黑七紅三、黑六紅四、黑五紅五、

黑四紅六、黑三紅七、黑二紅八、黑一紅九、紅十.對應(yīng)每組牌都有一個禮物，

禮物的價值從兩端依次降低，對應(yīng)“黑五紅五”的禮物是一個小佛像，擺局的人

說：“從盒子里任意抽出10支筷子，對應(yīng)顏色的一組牌所對應(yīng)的禮物就屬于你,

當(dāng)你的禮物是小佛像時，請付五元錢把好運氣買走；若是其余的禮物，一律不付

錢就可以把禮物拿走”，試問，這種游戲?qū)φl有利？

［解］這種游戲?qū)φl有利呢？我們不妨從各組撲克牌所對應(yīng)的筷子出現(xiàn)的概

率進(jìn)行分析.

里八〉、十1黑九紅一黑八紅二黑七紅三黑六紅四黑五紅五

0.0000050.0005410.010960.0779410.2386930.34372

黑四紅六黑三紅七黑二紅八黑一紅九紅十

0.2386930.0779410.010960.0005410.000005

從以上對抽到各組牌的概率可知，最常抽到的恰是“黑五紅五”其次是其左、

右的黑六紅四、黑四紅六，再其次是黑七紅三、黑三紅七，而擺局人讓它們對應(yīng)

的禮物是很有講究的，因此，這種游戲?qū)[局人是明顯有利的.

類題通關(guān)

可計算每種情況出現(xiàn)的概率大小，即可能性大小.

［變式訓(xùn)練2］在生活中，我們有時要用抽簽的方法來決定一件事情，例如在

5張票中有1張獎票，5個人按照順序從中各抽1張以決定誰得到其中的獎票，那

么，先抽還是后抽（后抽人不知道先抽人抽出的結(jié)果），對各人來說公平嗎？也就

是說，各人抽到獎票的概率相等嗎？

解不妨把問題轉(zhuǎn)化為排序問題，即把5張票隨機地排列在位置123,4,5

上.對于這張獎票來說，由于是隨機的排列，因此它的位置有五種可能，故它排

在任一位置的概率都是*5個人按排定的順序去抽，比如甲排在第三位上，那么

他抽得獎票的概率，即獎票恰好排在第三個位置上的概率為今因此，不管排在第

幾位上去抽，在不知前面的人抽出結(jié)果的前提下，得到獎票的概率都是去所以對

每一個來說是公平的.

考點三決策中的概率思想

例3社會調(diào)查人員希望從人群的隨機抽樣調(diào)查中得到對他們所提出問題誠

實的回答，但是被采訪者常常不愿如實地作出回答.

請從概率知識的角度，分析如何得到敏感問題的誠實回答？

［解］1965年Stanley.L.Wamer發(fā)明了一種應(yīng)用概率的初等概念來消除不信任

情緒的方法.這種方法要求被采訪者隨機地選答兩個問題中的一個，而不必告訴

被采訪者回答的是哪一個問題，兩個問題中一個是敏感問題，一個是無關(guān)緊要的

問題.被采訪人愿意如實回答，因為只有他們自己知道回答的是哪一個問題.

例如在調(diào)查學(xué)生考試中是否作弊的問題時，無關(guān)緊要的問題是“你的學(xué)業(yè)水

平考試的準(zhǔn)考證號的尾數(shù)是偶數(shù)嗎”，敏感的問題是“考試中你作弊了嗎”，然

后要求被調(diào)查的學(xué)生擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個問題，否則就回

答第二個問題.

假如我們把這種方法用于200個被調(diào)查的學(xué)生，得到54個“是”的回答.因

為擲硬幣出現(xiàn)正面的概率為今我們期望大約有100人回答第一個問題.因為準(zhǔn)考

證號的尾數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)的可能性是相同的，因而在回答第一個問題的100人

中，大約有一半人，即50人回答了“是”.其余4個回答“是"的同學(xué)考試中作

過弊.由此我們估計這群人中大約有4%的人在考試中作弊.

類題通關(guān)

決策是概率思想在生產(chǎn)、生活實踐中應(yīng)用的典型例子.剛看到這個問題時，覺

得有點不可思議，因為這個問題對于學(xué)生有點犯忌.可是仔細(xì)想想也是很容易理解

的，我們只需要知道被采訪人中作弊者的總數(shù)，并不需要知道究竟誰在考試中作

弊（那是監(jiān)考教師的任務(wù)）.正是巧妙的數(shù)學(xué)工具使我們輕松地得到答案，而且調(diào)查

的精確度也可以控制.

［變式訓(xùn)練3］設(shè)有外形完全相同的甲和乙兩個箱子，里面均放置了形狀、大

小相同的若干黑球和白球.在甲箱中抽到白球的概率是99%,抽到黑球的概率是

1%；在乙箱中抽到黑球的概率是99%,抽到白球的概率是1%；今隨機地抽取一

箱，再從取出的一箱中抽取一球，結(jié)果取得白球.你估計這球是從哪一個箱子中

取出的？

解把抽取一箱再從中抽取一個白球看成一個隨機事件，那么從甲箱中抽取

出的概率99%比從乙箱中抽取出的概率1%大得多.由于是隨機地抽取一箱，再

從取出的一箱中抽取一球，結(jié)果取得白球，所以在甲箱中發(fā)生的可能性更大，因

此估計是從概率大的甲箱中抽取的.

考點四隨機事件概率的實際應(yīng)用

例4為了估計某自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量，可以使用以下方法：先從該保

護(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，例如200只，給每只天鵝做上記號，不影響其存活,

然后放回保護(hù)區(qū)，經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r間，讓其和保護(hù)區(qū)中其余的天鵝充分混合，再從

保護(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，例如150只，查看其中有記號的天鵝，設(shè)有20

只，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量.

［分析］由題目可獲取以下主要信息：

①已知樣本出現(xiàn)的概率；

②估計總體的數(shù)目，解答本題可利用概率的規(guī)律性.

［解］設(shè)保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量約為n,假定每只天鵝被捕到的可能性是相等

的，從保護(hù)區(qū)中任捕一只，設(shè)事件A=｛帶有記號的天鵝｝,則P(A)=等.①

第二次從保護(hù)區(qū)中捕出150只天鵝，其中有20只帶有記號，由概率的統(tǒng)計定

義可知。(4)=卷.②

由①②兩式，得2管00=盍20，解得〃=1500.

所以該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量約為1500只.

類題通關(guān)

由于概率體現(xiàn)了隨機事件發(fā)生的可能性，所以，可用樣本出現(xiàn)的頻率來近似

地估計總體中該結(jié)果出現(xiàn)的概率.

［變式訓(xùn)練4］山東三吉鋼木家具廠為2008年奧運會游泳比賽場館水立方生

產(chǎn)觀眾座椅.質(zhì)檢人員對該廠所產(chǎn)2500套座椅進(jìn)行抽檢，共抽檢了100套，發(fā)現(xiàn)

有5套次品，試問該廠所產(chǎn)2500套座椅中大約有多少套次品？

解設(shè)有〃套次品，由概率的統(tǒng)計定義可知焉=總，解得“=125.

乙J\JxjJL\J\J

所以該廠所產(chǎn)2500套座椅中大約有125套次品.

規(guī)范答題思維

------------------------

概率在生活中的應(yīng)用

［例］(12分)某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率是10%,那么，前9個病人都沒

有治愈，第10個病人就一定能治愈嗎？

(一)精妙思路點撥

（二）分層規(guī)范細(xì)解

如果把治療一個病人作為一次試驗，治愈率是10%,指隨著試驗次數(shù)的增加，

即治療病人的人數(shù)的增加，大約有10%的人能夠治愈①.6分

對于一次試驗來說，其結(jié)果是隨機的，因此，前9個病人都沒治愈是可能的，

對于第10個病人來說，其結(jié)果仍然是隨機的，即可能治愈，也可能不能治愈②.12

分

（三）來自一線的報告

通過閱卷后分析，對解答本題的失分警示和解題啟示總結(jié)如下：（注：此處的

①②見分層規(guī)范細(xì)解過程）

解答本題時，若①處錯誤地認(rèn)為，前9個病

人都沒有治愈，第10個病人就一定能治愈，

①

這是沒有正確理解概率的意義，沒有認(rèn)識到

治療一個病人事實上就是一個隨機事件.

失

分解答本題時，若②處認(rèn)為前9個病人都沒有

警

示治愈，第10個病人的治愈率會大大增力口.產(chǎn)

生這種錯誤認(rèn)識仍然是沒有真正理解隨機

事件概率的意義，混淆了頻率與概率的概

念，沒有認(rèn)識到概率是隨機事件的本質(zhì)屬

性，不會隨著具體試驗的不同或試驗次數(shù)的

變化而變化.

解解此類題目，要深刻理解隨機事件概率的含義，不

題

啟要把日常生活中一些人們的片面理解與概率是反

示

復(fù)試驗的穩(wěn)定值相混淆.

（四）類題練筆掌握

氣象臺的天氣預(yù)報說明天降雨的概率是95%,如果明天沒有下雨，我們是否

可以據(jù)此認(rèn)為氣象臺的天氣預(yù)報不準(zhǔn)確？

解不能因為明天不下雨就認(rèn)為氣象臺的天氣預(yù)報不準(zhǔn)確.

因為氣象臺天氣預(yù)報中所說的明天降雨的概率是95%,是指明天下雨的可能

性是95%,而明天下雨是一個隨機事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生.

明天降雨的概率是95%,只不過是說明下雨的概率比較大，但并不是一定會

下雨，概率再大的事件也可能不發(fā)生.明天下雨不是必然事件，只有必然事件才

會一定發(fā)生.

(五)解題設(shè)問

(1)明天下雨是一個什么類型的事件？.

(2)該事件有何特征？.

答案(1)隨機事件

(2)可能發(fā)生，也可能不發(fā)生

檢測學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)

1.2013年山東省高考數(shù)學(xué)試題中，共有12道選擇題，每道選擇題有4個選

項，其中只有1個選項是正確的，則隨機選擇其中一個選項正確的概率是(，某家

長說：“要是都不會做，每題都隨機選擇其一個選項，則一定有3道題答對.”

這句話()

A.正確B.錯誤

C.不一定D.無法解釋

答案B

解析把解答一個選擇題作為一次試驗，答對的概率是:說明了對的可能性大

小是由做12道選擇題，即進(jìn)行了12次試驗，每個結(jié)果都是隨機的，那么答對3

道題的可能性較大，但是并不一定答對3道題.也可能都選錯，或有2,3,4,…甚

至12個題都選擇正確.

2.下列正確的結(jié)論是()

A.事件A的概率P(A)的值滿足0<P(A)<I

B.若P(A)=0.999,則A為必然事件

C.燈泡的合格率是99%,從一批燈泡中任取一個，它是合格品的可能性為

99%

D.若P(A)=0.001,則A為不可能事件

答案C

3.根據(jù)教育研究機構(gòu)的統(tǒng)計資料，今在校中學(xué)生近視率約為37.4%,某配鏡

商要到一中學(xué)給學(xué)生配鏡，若已知該校學(xué)生總數(shù)為600人，則該眼鏡商應(yīng)帶眼鏡

的數(shù)目為()

A.374副B.224.4副

C.不少于225副D.不多于225副

答案C

解析根據(jù)概率，該校近視生人數(shù)應(yīng)為37.4%X600=224.4,結(jié)合實際情況,

眼鏡商應(yīng)帶眼鏡數(shù)不少于225副.

4.學(xué)?；@球隊的五名隊員三分球的命中率如下表：

隊員李揚易建王志曹丹姚月

命中率0.70.80.90.90.6

在與兄弟學(xué)校的一場對抗賽中，假如每名隊員都有10次投籃(三分球)機會，

則一共可得分.

答案117

解析(10X0.7+10X0.8+10X0.9+10X0.9+10X0.6)X3=(7+8+9+9+

6)><3=39X3=117(分).

5.在使用計算機輸入時,英語中某些字母出現(xiàn)的概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于另一些字母.進(jìn)

一步深入研究之后，人們還發(fā)現(xiàn)各字母被使用的頻率相當(dāng)穩(wěn)定，下面就是英文字

母使用頻率的一份統(tǒng)計表：

字母空格ETOANI

頻率0.20.1050.0710.06440.0630.0590.054

字母RSHDLCF

頻率0.0530.0520.0470.0350.0290.0230.0221

字母UMPyWGB

頻率0.02250.0210.01750.0120.0120.0110.0105

字母VKXJQz

頻率0.0080.0030.0020.0010.0010.001

請你用概率的知識解釋一下計算機鍵盤設(shè)計成現(xiàn)在形狀的原因.

解從表中可以看出，空格鍵的使用頻率最高，鑒于此，人們在設(shè)計鍵盤時,

空格不僅最大，而且放在了使用最方便的位置.同理，其他的字母鍵的排列也是

按其使用的頻率的大小來放置的.

I課后梯度測評I

一'選擇題

1.下列說法正確的是（）

A.由生物學(xué)知識知道生男或生女的概率約為最一對夫婦生兩個孩子，則一

定為一男一女

B.一次摸獎活動中，中獎概率為女則摸5張，一定有一張中獎

C.10張票中有1張獎票，10人去摸，誰先摸則誰摸到的可能性大

D.10張票中有1張獎票，10人去摸，無論誰先摸，摸到獎票的概率都是春

答案D

解析生男或生女的概率約為*是指在孩子沒出生前，所生孩子是男孩或女

孩的可能性約為看不一定所生兩個孩子一定是一男一女，可能是兩男，也可能是

兩女；中獎概率是小指每次中獎的機會為上并不是摸5張票一定有1張中獎，

可能多于1張，也可能沒有；抽獎是不分先后的，只要事先不知道中獎情況，那

么誰先摸也無妨，中獎機會對任何人（無論先摸還是后摸）都是公平的.

2.在給病人動手術(shù)之前，外科醫(yī)生會告知病人或家屬一些情況，其中有一項

是說這種手術(shù)的成功率大約是99%,下列解釋正確的是（）

A.100個手術(shù)有99個手術(shù)成功，有1個手術(shù)失敗

B.這個手術(shù)一定成功

C.99%的醫(yī)生能做這個手術(shù)，另外1%的醫(yī)生不能做這個手術(shù)

D.這個手術(shù)成功的可能性是99%

答案D

解析成功率大約是99%,說明手術(shù)成功的可能性是99%.

3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面上分別寫有123,4,5,6）,若前3

次連續(xù)拋到“6點朝上”，則對于第4次拋擲結(jié)果的預(yù)測，下列說法中正確的是

（）

A.一定出現(xiàn)“6點朝上”

B.出現(xiàn)“6點朝上”的概率大于:

C.出現(xiàn)“6點朝上”的概率等于'

D.無法預(yù)測“6點朝上”的概率

答案C

解析隨機事件具有不確定性，與前面的試驗結(jié)果無關(guān).由于正方體骰子的

質(zhì)地是均勻的，所以它出現(xiàn)哪一個面朝上的可能性都是相等的.

4.“今天北京的降雨概率是80%,上海的降雨概率是20%”，下列說法不

正確的是（）

A.北京今天一定降雨，而上海一定不降雨

B.上海今天可能降雨，而北京可能沒有降雨

C.北京和上海都可能沒降雨

D.北京降雨的可能性比上海大

答案A

解析北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%,說明北京降雨的可能

性比上海大，也可能都降雨，也可能都沒有降雨，但是不能確定北京今天一定降

雨，上海一定不降雨，所以B、C、D正確.

5.根據(jù)某醫(yī)療所的調(diào)查，某地區(qū)居民血型的分布為：。型50%,A型15%,

AB型5%,B型30%.現(xiàn)有一血型為O型的病人需要輸血，若在該地區(qū)任選一人,

那么能為病人輸血的概率為（）

A.50%B.15%

C.45%D.65%

答案A

解析僅有。型的人能為O型的人輸血.

6.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1000次，那么第999次出現(xiàn)正

面朝上的概率是（）

A-LB-L.

3.999D1000

9991

C-1000D2

答案D

解析因為是一枚質(zhì)地均勻的硬幣，所以不管哪一次試驗，正面向上的概率

都為行

二、填空題

7.如果袋中裝有數(shù)量差別很大而大小相同的白球和黑球（只是顏色不同），從

中任取一球，取了10次有9個白球，估計袋中數(shù)量最多的是.

答案白球

解析取了10次有9個白球，則取出白球的頻率是正9，估計其概率約是科9，

那么取出黑球的概率約是去，所以取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估

計袋中數(shù)量最多的是白球.

8.任取一個由50名同學(xué)組成的班級(稱為一個標(biāo)準(zhǔn)班)，至少有兩位同學(xué)生

日在同一天(記為事件A)的概率是0.97,據(jù)此下列說法正確的是.

(1)任取一個標(biāo)準(zhǔn)班，A發(fā)生的可能性是97%：

(2)任取一個標(biāo)準(zhǔn)班，A發(fā)生的概率大概是0.97；

(3)任意取定10000個標(biāo)準(zhǔn)班，其中有9700個班A發(fā)生；

(4)隨著抽取的班數(shù)〃不斷增大，A發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到0.97,且在它附近

擺動.

答案(1)(4)

解析由概率的定義即可知(1)(4)正確.

9.有以下說法：

①服治愈率為99%的藥物一定能把病治好；

②買彩票中獎的概率為0.001,那么買1000張彩票就一定能中獎；

③(1)班數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率是90%,(2)班數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率是50%,那么(1)

班的同學(xué)甲一定比⑵班的同學(xué)乙成績好；

④昨天下雨，則說明氣象局“預(yù)報降雨概率為10%”錯誤.

根據(jù)所學(xué)的概率知識，其中說法錯誤的序號是.

答案①②③④

解析治愈率為99%的藥物說明治愈的可能性比較大，但是不能說明一定治

好病，所以①錯誤；

彩票中獎的概率為0.001,買1000張彩票也可能一張也沒有中獎，所以②錯

誤；

(1)班數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率90%大于(2)班數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率50%,只是(1)班同

學(xué)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的可能性大于(2)班同學(xué)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的可能性，所以③錯誤；

降雨概率為10%是說明降雨的可能性是10%,降雨也是正常的，所以④錯誤.

三'解答題

10.試解釋在下列情況中概率的意義：

(1)一位工程師說：我們制造的燈泡能亮1000h以上的概率是0.85；

(2)一位氣象學(xué)工作者說：在今天的條件下，明天下雨的概率是0.80；

(3)按照法國著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯(1749?1827)的研究結(jié)果，一個嬰兒將是女

孩的概率是2急2

解(1)是指該廠制造的燈泡能亮1000h以上的可能性是85%.

(2)是指在今天的條件下，明天下雨的可能性是80%.

22

(3)是說一個嬰兒將是女孩的可能性是急.

11.某中學(xué)要在高一年級的二、三、四班中任選一個班參加社區(qū)服務(wù)活動，

有人提議用如下方法選班：擲兩枚硬幣，正面向上記作2點，反面向上記作1點,

兩