人教版高中數(shù)學必修五學案1：不等式 章末復習與測試

章末復習與測試

知識結構

學習過程：

要點回放

1.不等式的基本性質

⑴比較兩個實數(shù)的大小

兩個實數(shù)的大小是用實數(shù)的運算性質來定義的，有〃一?；a-b=O^a=b；

〃一/?<0=〃</?.另外，若b>0,貝哈>1=4>Z?；*=l=a=b；余10。</?.

⑵不等式的性質

①對稱性：a>bob<a；

②傳遞性：a>b,b>cna>c；

③加法法則：a>b^a-\~c>b~\-c；

④移項法則：a+b>c^a>c—b；

⑤同向可加性：a>b,c>d=>a+c>b+d；

⑥乘法法貝！J：a>b,c>O^ac>bca>b,c<O=>ac<bc；

⑦同向正數(shù)不等式可乘性：

a>b>0,c>d>a=ac>bd；

⑧乘方法則：a>b>0,

⑨開方法則：a>b>0,的.

2.不等式的解法

⑴一元一次不等式的解法

一元一次不等式cix+b>Q((#0)的解集為

①當a>0時，卜|x>一那；

②當a<0時，卜|x<一胃.

⑵一元二次不等式的一般形式為

cix2+bx+c>0,或ax1+bx+c<0(o#0).

一元二次不等式、一元二次方程及二次函數(shù)間的關系

判別式

A>0A=0A<0

一

有兩不等實根修，

方程ax1-\-bx-\-c=0有兩相等實根Xi=X2無實根

X2(X1<X2)

□□

二次函數(shù)y=ax-\~bx

+C(Q>0)的圖象

不等式“d+bx+c〉。b

{x\x<Xi,或兀>必}｛尤沖一五｝R

3>0)的解集

不等式?x2+/?x+c<0

{x\X\<X<X2]00

3>0）的解集

3.二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題

(1)二兀一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=O某一側的平

面區(qū)域(半平面)且不含邊界直線；不等式Ax+By+C>0所表示的平面區(qū)域(半平面)包含邊界

直線.

⑵對于直線及+8y+C=0同一側的所有點(x,y),使得質+By+C的值的符號相同，也就

是位于同一半平面內(nèi)的點，其坐標適合同一個不等式Ax+2y+C>0(或Ax+2y+C<0),而位

于另一個半平面內(nèi)的點，其坐標適合另一個不等式Ax+2y+C<0(或Ar+By+C>0).

(3)判斷不等式Ar+By+C>0所表示的平面區(qū)域，可在直線Ax+By+C=0的某一側的半平

面內(nèi)選取一個特殊點，如選原點或坐標軸上的點來驗證Ax+By+C的符號的正負.當C#)

時，常選用原點(0,0);當C=0時，選用點(1,0)或(0,1).這種方法概括為“直線定邊界，特殊

點定區(qū)域

4.基本不等式及常用變形

⑴對于任意實數(shù)a、b,都有/+/之2浦，當且僅當a=b時，等號成立.

⑵如果〃K),Z?>0,那么，耳當且僅當〃=Z?時，等號成立.

⑶設小匕為正實數(shù)，則有:

2/—〃+/?7+P

min{〃，。}與~~j<后一y:2__<max{tz,b}.

a

(4)若ab>09則孑+芻2.

...(〃+/7)2"2+/

(5)〃，Z?eR,都有他會4成立?

(6)〃，b,c￡R,都有a2+b2+cI>ab-\-bc-\-ca.

例題講解：

一、分類討論思想在解含參數(shù)不等式中的應用

例1：解關于x的不等式ax—{a~\-l)x+1<0.

二、數(shù)形結合思想在線性規(guī)劃中的應用

x+y-3>0,

例2：已知實數(shù)x,y滿足<X—y+1>0,

、立2,

(1)若z=2x+y,求z的最大值和最小值;

(2)若z=d+y2,求z的最大值和最小值;

(3)若z=?求z的最大值和最小值.

三、分離參數(shù)在恒成立問題中的應用

1+2X+3X~\----\~(n-lY+rf-a

例3：設函數(shù)人x)=lg------------------—------------------，其中aGR,wGN*且論2,如果當x

d(—8,1］時，有意義，求。的取值范圍.

例4：若關于龍的方程4,+。2工+。+1=0有實數(shù)解，求實數(shù)。的取值范圍.

四、函數(shù)單調(diào)性在求最值中的應用

例5：已知a,b為正實數(shù)，且a+b=l,求尸(。+為+力的最小值.

例6：某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200m2的三級污水處理池(平面圖如圖所示).如

果池四周圍墻建造單價為400元/m,中間兩道隔墻建造單價為248元/m,池底建造單價為

80元/n?,水池所有墻的厚度忽略不計.

(1)試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；

(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16m,試設計污水池的長和寬，使總造價最

低，并求出最低總造價.

五、放縮法在證明不等式中的應用

例7：已知0<a<l,f+y=0,求證：loga(/+/)Wlog“2+/.

六、比較法在證明不等式中的應用

例8：如果42+62+02=1,0,b,c是實數(shù)，試證：—^ab-\-bc-\-ca<l.

課堂檢測:

/+5

1.求函數(shù),==九2+4的最小值，

卡F135991

2.求證：2*?6-W10-

3.設同<1,|Z?|<L|c|<L求證：ab-\-bc-\-ca~\-1>0.

參考答案

例題講解：

例1：解：原不等式可化為（X—1）（亦-1）<0.

（1）當。=0時，原不等式化為一x+l<0,

所以原不等式的解集為｛x|x>l｝；

（2）當。<0時，原不等式化為（x—1）Q—：）>0,

又,<0,；.苫工或工>1,

所以原不等式的解集為尤或x>l］；

（3）當a>0時，原不等式化為（無一1）口一!）<0,

對應方程（無一1）口一：）=0的兩根為1和、

①當0<。<1時，］>1,1<%<十；

②當。=1時，原不等式可化為（X—1）2<0,無解；

③當4>1時，［<1,

綜上所述，當時0時，原不等式的解集為，小<5或尤>11；

當〃=0時，原不等式的解集為｛x|x>l｝；

當0<4<1時，原不等式的解集為*|14噂；

當〃=1時，原不等式的解集為0;

當a>l時，原不等式的解集為，出令<“

x+y-3>0

例2：解：不等式組上一y+GO表示的平面區(qū)域如圖所示.

、后2

圖中陰影部分即為可行域.

由產(chǎn)廠3=0,

〔%—y+l=0,

\x=\,

得c，A(1,2);

3=2,

[x=2,[x=2,

由得."(2,1)；

〔x+y—3=0,卜=1,

%=2,x—2,

由,得

X—y+l=0,)=3,

(l)：z=2x+??'?y——2x+z,

當直線y=—2x+z經(jīng)過可行域內(nèi)點M(2,3)時，直線在y軸上的截距最大，此時z也最大,

Zmax=2x2+3=7.

當直線y=~2x+z經(jīng)過可行域內(nèi)點A(l,2)時，

直線在y軸上的截距最小，此時Z也最小，Zmin=2xl+2=4.

所以z的最大值為7,最小值為4.

⑵過原點(0,0)作直線I垂直直線尤+廠3=0,垂足為N,

則直線/的方程為y=尤，

+尸'

〔x+y—3=0,

點在線段A3上，也在可行域內(nèi).

此時可行域內(nèi)點”到原點的距離最大，點N到原點的距離最小.

又OM=打,ON

即

9

所以，z的最大值為13,最小值為索

(3):MQA=2,koB=2f

所以z的最大值為2,最小值為;.

例3：解：由題意知，當工￡（—8,1］時，1+2*+3*+...+（〃-恒成立（〃￡N*且n>2）.

所以公一［（款+（金+…+（曰］

令ga尸—［《>+（!}+…+（一■）］,

因為函數(shù)y=—（；/（lW盡1）在（一co,1］上遞增，所以g（無）在（-8,1］上遞增，

所以g（x）<g（l）=-Q+|+...+^-^=-1（n-l）,所以心一米一1）即為所求.

例4：解：令2工=?0,換元后轉化為一元二次方程在（0,+oo）上有實數(shù)解.求。的范圍，另

外若將參數(shù)。分離出來，則問題轉化為求函數(shù)值域問題，用基本不等式很容易求解.

令2"=/>0,原方程化為*+〃+〃+1=0

?+1_(?~1)+22

(LD+7TT

\~\~tt~\~1

~2-|

=—0+1)+所—2卜—2也+2=2—2也.

的取值范圍是a<—2\f2.

例5：解：尸G+RG+3

=ab+-j-+~+T

abab

1a+b*2

=ab+^b+^T

1(a+b)?—2ab

="+茄+標

2

=ab+~r—2.

ab

..(a+bf1

令ab=t,?.?〃+/?=1,ab<——=不

<in22

.,?/￡((),a，'?'y=ab+-^—2=t+~—2

在(o,1上單調(diào)遞減，???ymin=2+8—2=當

當且僅當ab=9,即時取“=”.

例6：解：設污水處理池的長為無m,則寬為瞪m,再設總造價為y元，則有

(1)y=2尤x400+平><2'400+248x2><拶+80x200

259200/259200

=800x+----------+16000>2A/800x-----------+16000=2x800x18+16000=44800,

當且僅當800尤=25會92產(chǎn)00，即無=18m時，y取得最小值.

...當污水池的長為18m,寬為*m時總造價最低，為44800元.

⑵：0小16,0<弓*16,

；.12.526,環(huán)18,

；?不能用基本不等式，但我們可用函數(shù)單調(diào)性定義證明上述目標函數(shù)在區(qū)間［12.5,16］上是減

函數(shù)，從而利用單調(diào)性求得最小值.

由(1)知，y=9(x)=80()G+W)+16000(12.5W爛16).

對任意即、X2e［12.5,16］,設

則夕(尤1)—9(X2)=800(X「X2)+324(U］

800(彳］一尤2)(々尤2-324)

—尤1尤2'

：.(P(X1)><P(X2),

故>=磯勸在口2.5,16］上為減函數(shù).

從而有貝尤)20(16)=45000,

，當污水池的長度為16m,寬為12.5m時有最低總造價，最低總造價為45000元.

例7：證明：

左邊nOgad+aBWlogaQgE)

2

=logfl2+logfltz=logfl2+2（x+j）

]r\

=loga2+^X—X）

勺08。2+豆=右邊

Xy

/.log?（6Z+a）＜loga2+g.

例8：證明：先證：ab+bc+ca<\

1—{ab-\-bc-\-ca）

=(a-\-b+c)—{ab-\~beared)

=][(〃2+/一2ab)+(Z?2+c2—2bc)+(c2+/—2ca)]

=%(a-bf+(b—c)2+(c-a)2]>0

X>ab-\-bc-\~caBPab-\-bc-\-ca<\.

再證：ab+bc+cd>~2-

a'+b^+c1

=ab~\~bc~\~ca-[2

—2(^2+/+d+2ab+2bc~\-2ca)=/a+Z?+c)2>0.

ab+bc+ca>BP——聲〃Z?-\-bc-\-ca

綜上所述，~^ab+bc+ca<1.

課堂檢測：

y2_|_4-____1

L解：產(chǎn)后1=W^十了=

:衍+啟尹W=4.

當且僅當\欠2+4=[=^^,即x=o時，取到最小值4.

3—3

因為一后