人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)第一章 空間向量與立體幾何（含解析） (一)

人教A版(2019)選擇性必修第一冊(cè)第一章空間向量與

立體幾何

一、單選題

1.己知｛〃,反。｝是空間的一個(gè)基底，則可以與向量p=a+b,q=構(gòu)成基底的向量

是()

A.aB.bC.a+2bD-a+2c

2.與向量a=。,-3,2)平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是()

A.B.(-1,-3,2)

C.D-(72,-3,-272)

3.已知空間向量a，b>c滿足a+6+c=0,忖=1，慟=2,卜|=甘，則a與〃的夾

角為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.平面。的一個(gè)法向量為(1,2,0),平面夕的一個(gè)法向量為(2,-1,0),則平面a與平面

P的位置關(guān)系是()

A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能確定

5.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-0,2),傾斜角是30。的直線的方程是()

A.y+72=^(x—2)B.y~\~2=6(x—拒)

C.y-2=g(x+應(yīng))D.y—2=6)

2

6.已知圓G：尤2+/+2x+4y+4=0,0|C2:x+-4x+2y+1=0,M,N分別為圓G

和圓C2上的動(dòng)點(diǎn)，尸為直線/：y=x+2上的動(dòng)點(diǎn)，則|MP|+|NP|的最小值為()

A.2A/10-3B.2A/W+3C.710-3D.V10+3

7.在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，平面a經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(l,0,2),8(0,1,0),C(-2,1,1),向量

77=(1,4,〃)是平面a的一個(gè)法向量，則2+〃=()

A.—7B.—5C.5D.7

8.如圖，在平行六面體ABCD—4與。1°1中，A4j=a,AB=b，A￡)=c，點(diǎn)尸在4。

上，且4尸：「。=2:3,則AP等于()

322

B.—Cld—bT—c

555555

223-3272

C.——a+—bZ+—cD.-a——b——c

555555

9.如圖，A5CD—EFGH是棱長(zhǎng)為1的正方體，若尸在正方體內(nèi)部且滿足

312

AP=-AB+-AD+-AE,則尸到A5的距離為()

423

10.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱K4的長(zhǎng)為

2,且PA與AB,AD的夾角都等于60°.若M是尸C的中點(diǎn)，貝俞|=()

「V6D,如

45

11.如圖在平行六面體A5CD-A用G2中，底面ABGD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱

e=2且NAAO=NAA5=60。，則AQ=()

Cl

C.20D.國(guó)

12.下列命題正確的是()

A.若.與b共線，b與c共線，貝必與c共線

B.三個(gè)向量共面，即它們所在的直線共面

C.若a//b，則存在唯一的實(shí)數(shù)4，使。=沖

D.零向量是模為0,方向任意的向量

二、填空題

13.如圖，在梯形A3C。中，AB//CD,AB=2C。，點(diǎn)。為空間任一點(diǎn)，設(shè)。4=a，

OB=b，OC=c，則向量。。用a,b,e表示為

14.已知a=(0,l,l),b=(1,1,0),C=(1,0,1)分別是平面a,夕，y的法向量,則a,夕，y三

個(gè)平面中互相垂直的有對(duì).

15.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y,z)滿足：x2+y2+z2=16,平面a過(guò)點(diǎn)

M(l,2,3),且平面a的一個(gè)法向量"=(1』/)，則點(diǎn)P在平面a上所圍成的封閉圖形的

面積等于.

16.已知空間四邊形0ABC,其對(duì)角線為08,AC,M,N分別是。4,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)

G在線段上，且MG=2GN，現(xiàn)用基底｛OA,OB,OC｝表示向量OG,有OG=xOA

+yOB+zoc，則X,y,Z的值分別為.

三、解答題

17.如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，0是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑,

AE=AD.ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn),PO=DO.

6

(1)證明：上4,平面P3C；

(2)求二面角5-PC-E的余弦值.

18.在三棱錐A—8C。中，已知CB=CD=#,BD=2,。為2。的中點(diǎn)，AO_L平面

BCD,A0=2,E為AC的中點(diǎn).

(1)求直線4?與QE所成角的余弦值；

(2)若點(diǎn)廠在2C上，滿足設(shè)二面角足-DE—C的大小為仇求sind的

4

值.

19.如圖，在三棱錐尸一ABC中，AC=2,BC=4,為正三角形，。為的

中點(diǎn)，ACrPD,ZPCB=90°.

(1)求證：3c，平面PAC；(2)求尸D與平面P3C所成角的正弦值.

20.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作，是“算經(jīng)十書(shū)”中最重要的一部，它對(duì)幾何學(xué)

的研究比西方要早1000多年.在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直

于底面的三棱柱稱為塹堵.如圖，在塹堵中，AB1.AC,

AAt=AB=AC=l,M,N分別是CG,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段4蜴上.

(1)若尸為A耳的中點(diǎn)，求證：/w〃平面A4CC.

(2)是否存在點(diǎn)P,使得平面RWN與平面ABC所成的二面角為45。？若存在，試確

定點(diǎn)尸的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.如圖所示，在平行六面體ABCD-A3'CZ>'中，AB=AD=AA'=1,ZA'AD=Z

A'AB^ZBAD^60°,求：

(1)AC'的長(zhǎng);

(2)的長(zhǎng).

參考答案:

1.D

由基底的定義求解即可

【詳解】

因?yàn)閜=a+b,q—a-b,為共面向量，所以不能構(gòu)成基底，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)閆?,p=a+b,q—a-b,為共面向量，所以不能構(gòu)成基底，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)镼+2〃，p=a+b,q—a-b,為共面向量，所以不能構(gòu)成基底，故C錯(cuò)誤;

因?yàn)閍+2c，p-a+b,q—a-b,為不共面向量，所以能構(gòu)成基底，故D正確;

故選：D

2.C

根據(jù)向量共線定理判定即可.

【詳解】

對(duì)于A,由于，=所以與向量°不共線，故A不正確.

對(duì)于B,由題意得向量(-1,-3,2)與向量°不共線，故B不正確.

對(duì)于C,由于[-；,|,-1]=-：(1,-3,2),所以與向量°共線，故C正確.

對(duì)于D,由題意得向量(四，-3,-20)與向量a不共線，故D不正確.

故選C.

判斷兩個(gè)向量3,6是否共線的方法是判斷兩個(gè)向量之間是否滿足。=勸(6*0),其中2為常

數(shù)，本題考查計(jì)算能力和變形能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

答案第1頁(yè)，共19頁(yè)

將“+6=-c，兩邊平方，利用空間向量的數(shù)量積即可得選項(xiàng).

【詳解】

設(shè);與6的夾角為/由a+6+c=0，得o+6=-c，兩邊平方，得J+2°必+片=c?,

所以l+2xlx2cos6+4=7,解得cosd=g,又，e[0,乃|,所以。=60，

故選：C.

4.C

根據(jù)兩個(gè)平面的法向量，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算，進(jìn)而得到答案.

【詳解】

由題意，平面。的一個(gè)法向量為。,2,0）,平面夕的一個(gè)法向量為（2,-1,0）,

PT^（1,2,0）-（2,-1,0）=1X2-2X1+0X0=0,

故兩個(gè)平面的法向量垂直，故平面a和平面口相互垂直.

故選：C.

5.C

根據(jù)上tan30。求出直線斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求解.

【詳解】

直線的斜率上tan30°=3，

3

由直線的點(diǎn)斜式方程可得y—2=g（x+應(yīng)），

故選：C.

6.A

分析圓G與圓C?的圓心和半徑，求出與圓C1關(guān)于直線/對(duì)稱的圓C',再設(shè)圓C'上的點(diǎn)AT

與圓G上點(diǎn)/對(duì)稱，分析可得原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為P到圓c和圓C2上的動(dòng)點(diǎn)距離之和最小

值問(wèn)題，據(jù)此分析可得答案.

【詳解】

答案第2頁(yè)，共19頁(yè)

圓￡:%2+>2+2x+4y+4=0,即（%+l）2+（y+2）2=1,圓心為（一1,一2）,半徑R=1,

2

mC2:x+/-4x+2y+l=0,即(％—2)2+(y+l)2=4,圓心為(2,—1),半徑尸=2,

設(shè)點(diǎn)(-1,-2)關(guān)于直線I：>=X+2對(duì)稱的點(diǎn)為(〃力)

一+2_]

?7-1-1[CL——4

則：+;.，解得：一，

D-2a-1?o=l

----=-----1-2'

I22

圓C1關(guān)于直線/:y=x+2對(duì)稱的圓為圓C',其圓心為(-4,1),半徑R=l,則其方程為

(x+4)2+(y-l)2=1,

設(shè)圓C'上的點(diǎn)AT與圓C|上點(diǎn)M對(duì)稱，則有歸河|=\PM'\,

原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為「到圓C'和圓C之上的動(dòng)點(diǎn)距離之和最小值問(wèn)題，

連接C。。，與直線/交于點(diǎn)P,此時(shí)點(diǎn)尸是滿足|尸時(shí)+|尸加[最小的點(diǎn)，

此時(shí)歸用+戶”|=|。。-3=2而-3,即|〃?|+|陽(yáng)的最小值為2歷-3,

故選：A.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓與圓關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題，解答本題

的關(guān)鍵是求出圓G直線/：y=x+2對(duì)稱的圓的方程(x+4y+(y_l)2=l,原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為

P到圓C和圓C之上的動(dòng)點(diǎn)距離之和最小值問(wèn)題.

7.D

答案第3頁(yè)，共19頁(yè)

求出AB=(T,1,-2),BC=(-2,0,1),利用與"=(L4M數(shù)量積為0,求解即可.

【詳解】

AB=(-l,l,-2),BC=(-2,0,1)

n,AB=—1+4—2//=0

n-BC=—2+〃=0

可得4=2,4=5,4+〃=7

故選：D

8.B

根據(jù)題意得到4—尸=：2—4。，結(jié)合空間向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

【詳解】

2

因?yàn)?尸：尸。=2：3,所以

根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得AP=A4,+AP=A4,+1(40-44,)=1441+147

=|A41+|(AB+BC)=|A4i+|(AB+Ar>)=|A4i+|AB+|A￡),

uu抑L322

又因?yàn)锳A]=a,AB=b，AD=c，所以人尸二,0十二人十二右.

故選：B.

9.C

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AE所在直線分別為％,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題

意，計(jì)算出和AP的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量法求點(diǎn)到直線的距離公式

(.、2

12APAB

d=即可求解.

1I網(wǎng)1

【詳解】

解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AE所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)

答案第4頁(yè)，共19頁(yè)

系,

ULUUuuu

則AB=（1,0,0）,A。=（0,1,0）,AE=（0,0,1）,

312

因?yàn)锳P=—A3+—AO+—AE,

423

\AP-AB\__3

所以AP=

144）網(wǎng)4

/、2

12APAB5

所以點(diǎn)P到AB的距離d=AP\-

1l網(wǎng)J6

故選：C.

10.A

設(shè)凝=＞根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出俞=g(-d+6+C)，平方后利

用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.

【詳解】

記藍(lán)=UAD=b'AP^c'

因?yàn)锳B=AD=1,PA=2,

所以|°|=|b|=1，|c|=2?

又因?yàn)锳B_L4),ZPAB-ZPAD=60°,

答案第5頁(yè)，共19頁(yè)

所以Q?A=O，d-c=b-C=2xlxcos60°=1.

易得句M=^(-a+b+c),

f]_1r__i

以|BM，=—(—a+Z?+c)2=—+Z?2+c2+2x(—4,b—a?c+b?C)

44L」

=^-X[12+12+22+2X(0-1+1)]=|,

所以|點(diǎn)f|=坐.

故選：A

本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算及性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔

題.

11.B

先求出A/,A。2,AA：,ABAD^ABAA,,ADA\,再計(jì)算即可.

【詳解】

解:因?yàn)榈酌鍭BC。是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱44,=2且/&W=NAAB=60。，

則,A/)、],AA,'=4,AB-AO=0>AB-A^=|AB|-|?L41|-COSZ>11AB=1,

AZJ-A4,=|AD|-|A41|-COSZ41AZ)=1,

貝

=\AB+AD+AA\

=^AB+AD+AA^

I222

={AB+AD+"+2AB-AA.+2AB-AD+2ADAAi

=71+1+4+2+0+2

=V10

故選：B.

本題考查向量的數(shù)量積，向量的模的計(jì)算公式，是中檔題.

答案第6頁(yè)，共19頁(yè)

12.D

假設(shè)》為零向量，即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)向量的特征，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)共線向量定

理，可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)零向量的定義，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】

A選項(xiàng)，若6=0,則根據(jù)零向量方向的任意性，可的°與〃共線，b與2共線；但a與c不

一定共線，故A錯(cuò)；

B選項(xiàng)，因?yàn)橄蛄渴强梢宰杂梢苿?dòng)的量，因此三個(gè)向量共面，其所在的直線不一定共面；

故B錯(cuò)；

C選項(xiàng)，根據(jù)共線向量定理，若a//6，其中方力力，則存在唯一的實(shí)數(shù)彳使。=b；故C

錯(cuò)；

D選項(xiàng)，根據(jù)零向量的定義可得，零向量是模為0,方向任意的向量；即D正確.

故選：D.

本題主要考查向量相關(guān)命題的判定，熟記向量的概念，向量的特征，以及共線向量定理即

可，屬于基礎(chǔ)題型.

13.OD=—a——b+c.

22

根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得答案.

【詳解】

解：因?yàn)椤?CD，OB—OA=-2^OD—OC>j,b—a=-2^OD—,

OD=—a—b.

22

故答案為：OD=^a-^b+c.

14.0

計(jì)算每?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積，判斷該兩個(gè)向量是否垂直，可得答案.

答案第7頁(yè)，共19頁(yè)

【詳解】

因?yàn)閍/=(0,1,1)-(1,1,0)=1w0,

a-c=(0,1,1)-(1,0,1)=1^0,

Z?-c=(1,1,0)(1,0,1)=1^0.

所以a,b,c中任意兩個(gè)向量都不垂直，即a,p,y中任意兩個(gè)平面都不垂直.

故答案為：0.

15.4萬(wàn)

由題意，點(diǎn)尸在球面上，所以點(diǎn)P在平面a上所圍成的封閉圖形即為平面a截球面所得的

截面圓，根據(jù)球的截面性質(zhì)求出截面圓的半徑「即可求解.

【詳解】

解:由題意，點(diǎn)尸在以(0,0,0)為球心，半徑為4的球面上，

所以點(diǎn)P在平面a上所圍成的封閉圖形即為平面。截球面所得的截面圓，

因?yàn)槠矫鎍的方程為lx(x—l)+lx(y—2)+lx(z—3)=0,BPx+y+z-6=0,

所以球心(0,0,0)到平面a的距離為d=,

所以截面圓的半徑rnjp-Q4'=2,截面圓的面積為5=萬(wàn)產(chǎn)=4%,

所以點(diǎn)P在平面a上所圍成的封閉圖形的面積等于4萬(wàn).

故答案為：4萬(wàn).

12

利用向量的加法公式得出OG=OM+MG=]OA+]MN,再用04,02,OC表示出MN，即

可求出x,y,z的值.

【詳解】

OG=OM+MG=~^OA+^MN=~0A+^(ON-OM^

答案第8頁(yè)，共19頁(yè)

=-OA+~-(OB+OC\--OA=-OA+-OB+-OC

23|_2'，2」633

17.(1)證明見(jiàn)解析；(2)手.

(1)要證明PA，平面P3C,只需證明上4LPC即可；

(2)方法一：過(guò)。作ON〃BC交于點(diǎn)N,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別算出平面PCB的一個(gè)法向量九，平面PCE的一個(gè)法向

量為優(yōu)，利用公式8$<相,〃>=三彳計(jì)算即可得到答案.

In||m|

【詳解】

(1)［方法一］:勾股運(yùn)算法證明

由題設(shè)，知△?!￡1為等邊三角形，設(shè)A￡=l,

則。0=也，CO=BO=^AE=}-,所以尸0=逅。0=交，

22264

PC=y/po2+oc2=^-=PB=PA

4

又，ABC為等邊三角形，則=/=2。4,所以2M=走，

sin602

3

P^c+PB2=-=AB2,則ZAP3=90,所以B4_LPB,

4

同理B4LPC,又PCPB=P,所以24,平面P3C；

［方法二］:空間直角坐標(biāo)系法

不妨設(shè)"=26，則==由圓錐性質(zhì)知。平面ABC,所以

sm60

DO=yjAD2-AO2=V42-22=2A/3>所以尸。=^￡>O=A/I.因?yàn)?。是，ABC的外心，

6

答案第9頁(yè)，共19頁(yè)

因止匕AE_LBC.

在底面過(guò)。作BC的平行線與A3的交點(diǎn)為W,以。為原點(diǎn)，0W方向?yàn)閤軸正方向，0E

方向?yàn)閥軸正方向，0。方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。-呼z,

則A(0,-2,0),B(V3,l,0),C(-V3,l,0),￡(0,2,0),p(0,0,。.

所以AP=(0,2,&),BP=(-?S，CP=(73,-1,A/2).

故尸=0—2+2=0，AP-CP=0-2+2=0.

所以APLCP.

又BPCP=P,故AP_L平面PBC.

［方法三］:

因?yàn)锳BC是底面圓。的內(nèi)接正三角形，且AE為底面直徑，所以AEL8c.

因?yàn)?。O(即尸。)垂直于底面，BC在底面內(nèi)，所以POLBC.

又因?yàn)槭琌u平面"E,AEu平面P4￡,POIAE^O,所以BC,平面E4E.

又因?yàn)镽4u平面B4E,所以R4J_3C.

設(shè)AEiBC=F,則尸為BC的中點(diǎn)，連結(jié)尸

設(shè)￡)0=0,且尸0=如。0,

6

貝(=PA=^~a,尸尸==a.

222

因此R42+Pp2=AR2,從而R4_LP尸.

又因?yàn)镻FBC=F,所以P4_L平面PBC.

答案第10頁(yè)，共19頁(yè)

D

［方法四］:空間基底向量法

如圖所示，圓錐底面圓O半徑為R,連結(jié)DE,AE=AD=DE,易得。。=6R,

因?yàn)椤浮?逅?！?,所以尸。=正R.

62

以04,03,。。為基底，0D_L平面A3C,則AP=A。+0尸=一。4+逅。。，

6

BP=B0+0P=-0B+—0D,S.OAOB=--R2,OAOD=OBOD=0

62

所以AP.BP=OA+船OD^-^-OB+4吁

OAOB-OA—OD-OB—OD+-OD2=O.

666

i^AP-BP=O.所以AP_LBP，即AP_LBP.

同理AP_LCP.又BPCP=P,所以AP_L平面P3C.

(2)［方法一］:空間直角坐標(biāo)系法

過(guò)。作QV〃BC交于點(diǎn)N,因?yàn)槭?,平面ABC,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為無(wú)軸，ON

為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

答案第11頁(yè)，共19頁(yè)

設(shè)平面PCB的一個(gè)法向量為n=（%,%，4）,

n?PC=O一玉—->/2zj=0

，得<令石=應(yīng)，得4=_1,弘=0,

n-PB=O-玉+y/3%-—0

所以九=(0,0,—1),

設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為m=（巧,y2,z2）

m?PC=0-%2-%一—0

，令％=1,Wz2=—y/2,y2=,

m?PE=0-2%2-=0

所以m=Q,與，-垃）

〃?m2A/22A/5

,,cos<m,n>=----------=---------T==----

故|n|-|m|5,

*詞

設(shè)二面角3-PC-E的大小為e,由圖可知二面角為銳二面角，所以coso=2叵.

5

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法

設(shè)BCAE=F,易知尸是2C的中點(diǎn)，過(guò)P作尸G〃AP交尸石于G,取PC的中點(diǎn)H,

聯(lián)結(jié)GH,則

由P4_L平面PBC,得尸G_L平面尸BC.

由（1）可得，BC2=PB2+PC2,得PB工PC.

所以可，尸C,根據(jù)三垂線定理，得GHLPC.

答案第12頁(yè)，共19頁(yè)

所以是二面角B-PC-E的平面角.

31FF1

設(shè)圓。的半徑為廠，則4/=4a皿60。二—>AE=2r,EF=-r,—所以

22AF3

FG=-PA

FG1

在RtGFH中，tan/GHF----——,

FH2

所以二面角B-PC-E的余弦值為寺.

［方法三］:射影面積法

如圖所示，在尸E上取點(diǎn)H,使HE=：PE,設(shè)BCAE=N,連結(jié)NH.

由（1）知NE=—AE,所以NW〃尸4.故NH_L平面PBC.

所以，點(diǎn)H在面P3C上的射影為N.

故由射影面積法可知二面角B-PC-E的余弦值為cos”當(dāng)空

在..尸CE中，令PC=PE=^,則CE=1,易知S『CE=@.所以Sps=aS/>cE=3^.

2班

所以二面角B-PC-E的余弦值為寺.

答案第13頁(yè)，共19頁(yè)

D

【整體點(diǎn)評(píng)】

本題以圓錐為載體，隱含條件是圓錐的軸垂直于底面，(1)方法一：利用勾股數(shù)進(jìn)行運(yùn)算

證明，是在給出數(shù)據(jù)去證明垂直時(shí)的常用方法；方法二：選擇建系利用空間向量法，給空

間立體感較弱的學(xué)生提供了可行的途徑；方法三：利用線面垂直，結(jié)合勾股定理可證出；

方法四：利用空間基底解決問(wèn)題，此解法在解答題中用的比較少；

(2)方法一：建系利用空間向量法求解二面角，屬于解答題中求角的常規(guī)方法；方法二:

利用幾何法，通過(guò)三垂線法作出二面角，求解三角形進(jìn)行求解二面角，適合立體感強(qiáng)的學(xué)

生；方法三：利用射影面積法求解二面角，提高解題速度.

18.(1)姮(2)名畫(huà)

1513

(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求直線向量夾角，即得結(jié)果；

(2)先求兩個(gè)平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)

系得結(jié)果.

【詳解】

(1)連COQBCuCmOnOD,COLBD

答案第14頁(yè)，共19頁(yè)

以O(shè)B,OC,OA為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則

A(0,0,2),B(1,O,O),C(0,2,0),￡>(-1,0,0)/.￡(0,1,1)

uunuumumuumi

:.AB=(1,0,-2),DE=(1,1,1)cos<AB,DE>==

A/5V315

從而直線AB與DE所成角的余弦值為姮

15

(2)設(shè)平面DEC一個(gè)法向量為4=(x,y,z),

々?。。=0Jx+2y=0

DC=(1,2,0),%?DE=01x+y+z=0

u

令y=1x=—2,z=1二.4=(—2,1,1)

uu

設(shè)平面DEF一個(gè)法向量為%=a，x，Z1),

171n?-DF=0

DF=DB+BF=DB+-BC=G),\-

442[n2-DE=0

xi+yi+zl=0

LU

令y=—7x,=2,Z]=5電=(2,—7,5)

ITw_61

COS<%%>=-7=~~------=—

V6V78A/13

日八V122回

因止匕sind=：==7—

岳13

本題考查利用向量求線線角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題.

19.(1)證明見(jiàn)解析；(2)尸。與平面PBC所成角的正弦值為叵.

14

(1)、取AC的中點(diǎn)0,連接?！?gt;,。尸，證明OP_LAC結(jié)合AC_LPD,先證明AC_L平面

POD,得到ACLOD,再證明AC_LBC,然后證明BC,平面PAC；

(2)、以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面PBC的法向量及尸。，利用向量法

求線面角.

【詳解】

(1)證明：作AC的中點(diǎn)0,連接。。,。尸，因?yàn)锳R4c是正三角形，所以O(shè)PLAC,

答案第15頁(yè)，共19頁(yè)

又ACLPD,PDOP=P,PROPu平面POD,所以AC_L平面POD,又OOu平面

POD,所以ACJ_OD,

因?yàn)镺D〃BC,所以ACLBC,又PCLBC,PCAC=C,PC,ACu平面PAC,所以

8C_L平面PAC；

(2)以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA.OD、OP所在直線分別為為x，y，z軸非負(fù)半軸，建立空間直角

坐標(biāo)系如圖示，

Az

則C（-l,0,0）,D（0,2,0）（B（-l,4,0）,P（0,0,^）,所以

CP=（l,0,^）,CB=（0,4,0）,PD=（0,2,-^）,

mCP=x+=0仃i-?,

設(shè)平面PBC的法向量為m=(x,y,z),則,取x=G，則

mCB=4y=0

\m-PD\k/3后

設(shè)PD與平面PBC所成角為夕，則sin0=?,=.1?=4-....PD與平面PBC

\m\-\PD\V4+3-V3+114

所成角的正弦值為變.

14

20.(1)證明見(jiàn)解析；(2)不存在，理由見(jiàn)解析.

(1)取AG的中點(diǎn)H,連接PH,HC.,利用中位線定理證明四邊形PHCN為平行四邊

形，從而得到PN//CH,由線面平行的判定定理證明即可；

(2)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)4尸=九44=(40,0),其中2e[0,1],求出所需點(diǎn)

答案第16頁(yè)，共19頁(yè)

的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量