2024屆貴州省六盤水市高三第一次診斷性監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1貴州省六盤水市2024屆高三第一次診斷性監(jiān)測數(shù)學試題一、選擇題1.設(shè)全集，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以，又，所以.故選：D.2.已知a，b都是正實數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由可得；當時，可得.則“”是“”的充要條件.故選：A.3.在復平面內(nèi)，對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因為，所以復數(shù)在復平面對應的點為，位于第一象限，故選：A.4.若為奇函數(shù)，則（）A.－1 B.0 C. D.1〖答案〗D〖解析〗的定義域為R，若為奇函數(shù)，則恒成立，整理得恒成立，所以，即.故選：D.5.已知O，P，N在所在平面內(nèi)，滿足，，且，則點O，P，N依次是的（）A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，內(nèi)心C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，內(nèi)心〖答案〗C〖解析〗因為，所以點O到三個頂點的距離相等，所以O(shè)為的外心；記BC的中點為D，因為，所以，所以P，A，D三點共線，故點P在中線AD上，同理，點P也在的另外兩條中線上，即點P為中線的交點，即為重心；如圖，作，因為，所以，所以，所以點N在BE上，同理，點N在的另外兩條高上，即為高的交點，所以N為的垂心.故選：C.6.已知是相互垂直的單位向量.若向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為是相互垂直的單位向量，所以.又，，所以，所以，又，所以向量在向量上的投影向量為.故選：B7.若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以；又因為，所以；綜上所述：.故選：C.8.盤興鐵路全長98.309公里，是貴州省“市市通高鐵”的最后一個項目，盤興鐵路全線橋隧長為89.13公里，是目前貴州高鐵中橋隧比最高的線路.如圖所示，施工隊為了估計盤興鐵路某隧道DE的長度，在山頂P點處測得三點A，B，C的俯角依次為，，，其中A，B，C，D，E為山腳兩側(cè)共線的五點.現(xiàn)預沿直線AC挖掘一條隧道，測得米，米，米，估計隧道DE的長度為（）A.米 B.300米 C.350米 D.400米〖答案〗C〖解析〗如圖，過點作，垂足為，由題意可知：，則均為等腰直角三角形，可得，且，可得，因為，則，解得，所以，即隧道DE的長度為350米.故選：C.二、選擇題9.下列說法正確的是（）A.若，，則B.若數(shù)列為等差數(shù)列，則C.若，，且，則的最小值為9D.命題“，”的否定為“，”〖答案〗BC〖解析〗A選項：取，顯然滿足，，但，故A錯誤；B選項：記數(shù)列的公差為d，則，，所以，B正確；C選項：因為，，且，所以，當且僅當，即時，等號成立，C正確；D選項：命題“，”的否定為“，”，D錯誤.故選：BC10.已知函數(shù)，將圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A.B.在區(qū)間上有6個零點C.直線是圖象一條對稱軸D.若對任意的恒成立，則〖答案〗ABD〖解析〗將圖象上所有的點向右平移個單位長度，得，故A錯誤；令，得，所以，又，所以，即在區(qū)間上有6個零點，故B正確；因為，所以直線不是圖象的一條對稱軸，故C錯誤；對任意的恒成立，即對任意的恒成立，由，得，所以，所以，故D正確.故選：ABD.11.設(shè)函數(shù)定義域為，其圖象關(guān)于直線對稱，且.當時，，則下列結(jié)論正確的是（）A.為偶函數(shù) B.C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減〖答案〗AC〖解析〗因為函數(shù)的定義域為，且，所以，所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，又因函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，又，所以，所以，所以為偶函數(shù)，故A正確；當時，，，故B錯誤；因為為偶函數(shù)且的圖象關(guān)于直線對稱，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；因為當時，，而函數(shù)在都是減函數(shù)，所以函數(shù)在是減函數(shù)，又因為偶函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D錯誤.故選：AC.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為e B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)有且只有一個零點 D.不等式存在唯一整數(shù)解〖答案〗BCD〖解析〗因為，所以，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以，當時，取得最小值，A錯誤；由上知，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，B正確；記，函數(shù)有且只有一個零點，等價于有且只有一個根，等價于與的圖象有且只有一個交點.因為當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以，當時，與的圖象有且只有一個交點.因為，當時，易知，，所以，此時與的圖象沒有交點.綜上，與的圖象有且只有一個交點，C正確；記，因為，，，所以函數(shù)與的圖象在區(qū)間和都存在零點，分別記為，如圖，在區(qū)間上不等式存在唯一整數(shù)解0.易知，當時，，不等式無實數(shù)解.當時，記，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，不等式無實數(shù)解.綜上，不等式存在唯一整數(shù)解0，D正確.故選：BCD三、填空題13.已知向量，.若，則______.〖答案〗1〖解析〗因為，所以，解得.故〖答案〗為：1.14.已知，，且，，則______．〖答案〗〖解析〗因為，，且，，則，，可得，即.故〖答案〗為：.15.已知圓M圓心在曲線上，且圓M與直線相切，則圓M面積的最小值為______.〖答案〗〖解析〗由圓M圓心在曲線上，可設(shè)，又圓M與直線相切，則圓M的的半徑，當且僅當，即時取等號，所以圓M的的半徑，所以圓M面積的最小值為.故〖答案〗為：.16.在正方體中，以點A為球心，棱AB為半徑的球?qū)⒄襟w截為P（含球心的部分）和Q兩部分，則四邊形被球A截得的區(qū)域面積與P的表面積之比為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)正方體的棱長為1，由題可知為球的，故P的表面積為，設(shè)交于點，則，⊥，又⊥平面，平面，故⊥，因為平面，，所以⊥平面，因為，故以為圓心，半徑為的半圓即為四邊形被球A截得的區(qū)域，如圖所示，故面積為，故四邊形被球A截得的區(qū)域面積與P的表面積之比為.故〖答案〗為：四、解答題17.已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示.（1）求的〖解析〗式；（2）當時，求使成立的x的取值集合.解：（1）由圖可知，，所以，又函數(shù)圖象過點，所以，即，得，又，所以，所以.（2）由（1）知，由，得，解得，所以使成立的x的取值集合為18.已知等差數(shù)列的前n項和為，等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且滿足，，.（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和.解：（1）記等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，則由題可得，，解得，又等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以，所以，所以，.（2）由（1）可得，，所以19.中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).水城春茶因富含有機茶硒和十余種人體必需的微量元素而享譽貴州省內(nèi)外.經(jīng)驗表明，水城春茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至時，飲用口感最佳.為方便控制水溫，某研究小組采用了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體的初始溫度是，室溫是，則經(jīng)過時間t（單位：分鐘）后物體的溫度（單位：）滿足，其中k為正常數(shù).該研究小組在的室溫下，通過多次測量取平均值的方法，測得200mL初始溫度為的水的溫度降至相應溫度所需時間如下表所示：從降至所需時間3.4分鐘從降至所需時間5.0分鐘（1）從上表中選取一組數(shù)據(jù)求出k的值（精確到0.01），并根據(jù)上述冷卻模型寫出冷卻時間t關(guān)于冷卻后水溫的函數(shù)〖解析〗式；（2）在（1）的條件下，現(xiàn)用200mL水在的室溫下泡制水城春茶，從泡制到獲得最佳飲用口感約需要多少分鐘？（精確到0.1分鐘）（參考數(shù)據(jù)：，，，）解：（1）由題可知，有，若取第一組數(shù)據(jù)，則有，得，此時〖解析〗式為；若取第二組數(shù)據(jù)，則有，解得，此時〖解析〗式為.綜上，所求〖解析〗式為（2）由（1）知，，令，則，解得.所以，從泡制到獲得最佳飲用口感約需要分鐘.20.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求B；（2）若的中線BD長為，求的最大值.解：（1）因為，所以，又，所以，所以，整理得，因為，所以，即，因為，所以，所以，得.（2）因為D為AC中點，所以，因為，所以，整理得，所以，得，即，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為8.21.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知N）.（1）求數(shù)列通項公式；（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.解：（1）由N*）得N*，），兩式相減得：，即N*，），∵是等比數(shù)列，所以；又則，∴，∴（2）由（1）知，則∵，∴∵…①-②得∴22.已知函數(shù).（1）若，求的最值；（2）若有兩個零點，求a的取值范圍.解：（1）當時，，則，令，解得，易知，在R上單調(diào)遞增，所以，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以，當時，有最小值，無最大值.（2）令，得.記，則，記，因為，所以在R上單調(diào)遞減，又，所以，當時，，即，單調(diào)遞增；當時，，即，單調(diào)遞減.所以當時，有最大值.而，又當時，恒成立，所以可得函數(shù)的草圖如圖所示，由圖可知，當時，函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，所以有兩個零點時，a的取值范圍為.貴州省六盤水市2024屆高三第一次診斷性監(jiān)測數(shù)學試題一、選擇題1.設(shè)全集，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以，又，所以.故選：D.2.已知a，b都是正實數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由可得；當時，可得.則“”是“”的充要條件.故選：A.3.在復平面內(nèi)，對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因為，所以復數(shù)在復平面對應的點為，位于第一象限，故選：A.4.若為奇函數(shù)，則（）A.－1 B.0 C. D.1〖答案〗D〖解析〗的定義域為R，若為奇函數(shù)，則恒成立，整理得恒成立，所以，即.故選：D.5.已知O，P，N在所在平面內(nèi)，滿足，，且，則點O，P，N依次是的（）A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，內(nèi)心C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，內(nèi)心〖答案〗C〖解析〗因為，所以點O到三個頂點的距離相等，所以O(shè)為的外心；記BC的中點為D，因為，所以，所以P，A，D三點共線，故點P在中線AD上，同理，點P也在的另外兩條中線上，即點P為中線的交點，即為重心；如圖，作，因為，所以，所以，所以點N在BE上，同理，點N在的另外兩條高上，即為高的交點，所以N為的垂心.故選：C.6.已知是相互垂直的單位向量.若向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為是相互垂直的單位向量，所以.又，，所以，所以，又，所以向量在向量上的投影向量為.故選：B7.若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以；又因為，所以；綜上所述：.故選：C.8.盤興鐵路全長98.309公里，是貴州省“市市通高鐵”的最后一個項目，盤興鐵路全線橋隧長為89.13公里，是目前貴州高鐵中橋隧比最高的線路.如圖所示，施工隊為了估計盤興鐵路某隧道DE的長度，在山頂P點處測得三點A，B，C的俯角依次為，，，其中A，B，C，D，E為山腳兩側(cè)共線的五點.現(xiàn)預沿直線AC挖掘一條隧道，測得米，米，米，估計隧道DE的長度為（）A.米 B.300米 C.350米 D.400米〖答案〗C〖解析〗如圖，過點作，垂足為，由題意可知：，則均為等腰直角三角形，可得，且，可得，因為，則，解得，所以，即隧道DE的長度為350米.故選：C.二、選擇題9.下列說法正確的是（）A.若，，則B.若數(shù)列為等差數(shù)列，則C.若，，且，則的最小值為9D.命題“，”的否定為“，”〖答案〗BC〖解析〗A選項：取，顯然滿足，，但，故A錯誤；B選項：記數(shù)列的公差為d，則，，所以，B正確；C選項：因為，，且，所以，當且僅當，即時，等號成立，C正確；D選項：命題“，”的否定為“，”，D錯誤.故選：BC10.已知函數(shù)，將圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A.B.在區(qū)間上有6個零點C.直線是圖象一條對稱軸D.若對任意的恒成立，則〖答案〗ABD〖解析〗將圖象上所有的點向右平移個單位長度，得，故A錯誤；令，得，所以，又，所以，即在區(qū)間上有6個零點，故B正確；因為，所以直線不是圖象的一條對稱軸，故C錯誤；對任意的恒成立，即對任意的恒成立，由，得，所以，所以，故D正確.故選：ABD.11.設(shè)函數(shù)定義域為，其圖象關(guān)于直線對稱，且.當時，，則下列結(jié)論正確的是（）A.為偶函數(shù) B.C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減〖答案〗AC〖解析〗因為函數(shù)的定義域為，且，所以，所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，又因函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，又，所以，所以，所以為偶函數(shù)，故A正確；當時，，，故B錯誤；因為為偶函數(shù)且的圖象關(guān)于直線對稱，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；因為當時，，而函數(shù)在都是減函數(shù)，所以函數(shù)在是減函數(shù)，又因為偶函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D錯誤.故選：AC.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為e B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)有且只有一個零點 D.不等式存在唯一整數(shù)解〖答案〗BCD〖解析〗因為，所以，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以，當時，取得最小值，A錯誤；由上知，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，B正確；記，函數(shù)有且只有一個零點，等價于有且只有一個根，等價于與的圖象有且只有一個交點.因為當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以，當時，與的圖象有且只有一個交點.因為，當時，易知，，所以，此時與的圖象沒有交點.綜上，與的圖象有且只有一個交點，C正確；記，因為，，，所以函數(shù)與的圖象在區(qū)間和都存在零點，分別記為，如圖，在區(qū)間上不等式存在唯一整數(shù)解0.易知，當時，，不等式無實數(shù)解.當時，記，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，不等式無實數(shù)解.綜上，不等式存在唯一整數(shù)解0，D正確.故選：BCD三、填空題13.已知向量，.若，則______.〖答案〗1〖解析〗因為，所以，解得.故〖答案〗為：1.14.已知，，且，，則______．〖答案〗〖解析〗因為，，且，，則，，可得，即.故〖答案〗為：.15.已知圓M圓心在曲線上，且圓M與直線相切，則圓M面積的最小值為______.〖答案〗〖解析〗由圓M圓心在曲線上，可設(shè)，又圓M與直線相切，則圓M的的半徑，當且僅當，即時取等號，所以圓M的的半徑，所以圓M面積的最小值為.故〖答案〗為：.16.在正方體中，以點A為球心，棱AB為半徑的球?qū)⒄襟w截為P（含球心的部分）和Q兩部分，則四邊形被球A截得的區(qū)域面積與P的表面積之比為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)正方體的棱長為1，由題可知為球的，故P的表面積為，設(shè)交于點，則，⊥，又⊥平面，平面，故⊥，因為平面，，所以⊥平面，因為，故以為圓心，半徑為的半圓即為四邊形被球A截得的區(qū)域，如圖所示，故面積為，故四邊形被球A截得的區(qū)域面積與P的表面積之比為.故〖答案〗為：四、解答題17.已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示.（1）求的〖解析〗式；（2）當時，求使成立的x的取值集合.解：（1）由圖可知，，所以，又函數(shù)圖象過點，所以，即，得，又，所以，所以.（2）由（1）知，由，得，解得，所以使成立的x的取值集合為18.已知等差數(shù)列的前n項和為，等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且滿足，，.（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和.解：（1）記等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，則由題可得，，解得，又等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以，所以，所以，.（2）由（1）可得，，所以19.中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).水城春茶因富含有機茶硒和十余種人體必需的微量元素而享譽貴州省內(nèi)外.經(jīng)驗表明，水城春茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至時，飲用口感最佳.為方便控制水溫，某研究小組采用了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體的初始溫度是，室溫是，則經(jīng)過時間t（單位：分鐘）后物體的溫度（單位：）滿足，其中k為正常數(shù).該研究小組在的室溫下，通過多次測量取平均值的方法，測得200mL初始溫度為的水的溫度降至相應溫度所需時間如下表所示：從降