高中數(shù)學(xué)試題：第39講 圓的方程

第39講圓的方程

項目一知識概要

1.圓的定義

在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓.

2.確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑.

3.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(九一a)2+(y—匕)2=產(chǎn)(y>0),其中(小為圓心,為半徑.

4.圓的一般方程

了2+)2+6+?，+尸=0表示圓的充要條件是。2+￡2—4Q0,其中圓心為(一夕

半徑，=5+?4F

5.確定圓的方程的方法和步驟

確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為

(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；

(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a,Ar或3、E、尸的方程組；

(3)解出a、b、r或。、E、F代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.

6.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種.

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x—a)2+(y—6)2=戶，點(diǎn)A/(xo，州)

(1)點(diǎn)在圓上：(心一〃)2+(泗一份2=戶；

(2)點(diǎn)在圓夕卜：5)一”)2+(泗一。)2>產(chǎn)；

(3)點(diǎn)在圓內(nèi)：5)—〃)2+(如一切2〈產(chǎn).

項目二例題精講

任務(wù)一求圓的方程問題

【例1】根據(jù)下列條件，求圓的方程：

(1)經(jīng)過尸(一2,4)、Q(3,-1)兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的弦長等于6；

(2)圓心在直線y=-4x上，且與直線/：x+y—1=0相切于點(diǎn)P(3,—2).

分析(1)設(shè)圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求解.

(2)求圓心和半徑，確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解析(1)設(shè)圓的方程為好+爐+6+或+尸=0,

將P、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得

2D-4E-F=20,①

3D-E+F=-10.②

又令y=0,得/+￡>x+F=O.③

設(shè)XI,X2是方程③的兩根，

由比一刈=6有￡)2一4尸=36,④

由①、②、④解得￡>=-2,E=-4,尸=-8,或。=-6,E=-8,尸=0.

故所求圓的方程為

x2+y2—2x-4y—8=0,或爐+y2-6x-8y=0.

(2)方法一如圖，設(shè)圓心(xo,-4x0),依題意得竽一*~=1.

3—xo

...xo=l,即圓心坐標(biāo)為(1,-4),半徑r=2小,

故圓的方程為(工一1>+。+4)2=8.

方法二設(shè)所求方程為(x—沏)2+。一州)2=產(chǎn)，

〃yo=-4xo,

(3—xo)2+(—2—yo)2=r2

根據(jù)已知條件得，f

Wo+yo-1|

1?

解得，死=一4,

,r=2y[2.

因此所求圓的方程為(X—1>+。+4)2=8.

評注求圓的方程時，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程.一般來說，求圓的方程有兩種

方法:

(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量.確定圓的方程時，常用到的圓的三

個性質(zhì)：

①圓心在過切點(diǎn)且垂直切線的直線上；

②圓心在任一弦的中垂線上；

③兩圓內(nèi)切或外切時，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線.

(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.

任務(wù)二與圓有關(guān)的最值問題

【例2】已知實數(shù)x、y滿足方程/+丁一以+1=0.求：

(11的最大值和最小值;

(2)y—x的最小值；

(3田+)2的最大值和最小值.

分析顯然實數(shù)x,y所確定的點(diǎn)在圓/+)2—4犬+1=0上運(yùn)動，而:則可看成是圓上的

點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，y—x可以轉(zhuǎn)化為截距，爐+產(chǎn)可以看成是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平

方.

解析(1)如圖，方程/+產(chǎn)-4工+1=0表不以點(diǎn)(2,0)為圓心，以小為

半徑的圓.

設(shè)即y=kx,

則圓心(2,0)到直線y=fcv的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最

大、最小值.

.\2k—0|l.

由解得好=3,

y爐+1

??^max=,%min=—

(也可由平面幾何知識，得OC=2,CP=巾，NPOC=60。，直線OP的傾斜角為60。，

直線OP'的傾斜角為120。)

(2)設(shè)y—x=6,則y=x+6,僅當(dāng)直線y=x+6與圓切于第四象限時，截距b取最小值，

由點(diǎn)到直線的距離公式，

得《寺臼=立,即6=一2±^,

故(y_x)min=—2—yf6.

(3)/+)2是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，故連接OC,

與圓交于B點(diǎn)，并延長交圓于C',則

(3+V)1rax=|OC'F=(2+#)2=7+4小，

(f+y2)min=|OBF=(2一小)2=7-4小.

評注把有關(guān)式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化或利用所給式子的幾何意義解題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及

轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，其中以下幾類轉(zhuǎn)化極為常見，要注意熟記：⑴形如廣三的最值問

題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；(2)形如f=ar+6)，的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線

裁距的最值問題：(3)形如m—(x—a)2-\-(y—b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離的平方

的最值問題.

任務(wù)三與圓有關(guān)的軌跡問題

【例3】設(shè)定點(diǎn)M(—3,4),動點(diǎn)N在圓/+產(chǎn)=4上運(yùn)動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊

形M0NP,求點(diǎn)P的軌跡.

分析結(jié)合圖形尋求點(diǎn)P和點(diǎn)M坐標(biāo)的關(guān)系，用相關(guān)點(diǎn)法(代入法)解決.

解析如圖所示，設(shè)P（x,y），Mxo，y。）,則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為你夕，

線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為停展，空）由于平行四邊形的對角線互相

平分，

元（）-3yy（）+4

%=2，2=2,

沏=元+3

從而

yo=y-4

N（X+3,y—4）在圓上，故（x+3）2+（y—4）2=4.

因此所求軌跡為圓：（x+3）2+（y-4>=4,

但應(yīng)除去兩點(diǎn)（一,，5和（一芥高（點(diǎn)P在直線OM上的情況）.

評注求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：

①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.

②定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.

③幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程.

④代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.

任務(wù)四利用方程思想求解圓的方程問題

【例4】已知圓/+丫2+五一6丁+機(jī)=0和直線工+2），一3=0交于P,。兩點(diǎn)，且。P_LO。（。為

坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑.

分析（1）求圓心及半徑，關(guān)鍵是求利

（2）利用。P，。。，建立關(guān)于團(tuán)的方程求解.

（3）利用無］無2+8）；2=0和根與系數(shù)的關(guān)系或利用圓的幾何性質(zhì).

解析方法一將犬=3—2y,

2

代入方程x+）P+x—6y+m=09

得5）2—2Qy+12+m=0.

設(shè)P（xi,yi）,2（X2,竺），則〉】、以滿足條件：

12+/H

yi+>2=4,y\y2=-.

VOPA.OQ,.,?加］2+>?1>?2=0.而尤1=3—2》］,X2=3—2y2.

—27+4加

AX|X2=9—6（yi+丁2）+鈿”=-------,

,,—27+4/w,12+機(jī)“/口

故§+§-0,解傳〃/=3,

此時/>0,圓心坐標(biāo)為（一/3）,半徑r=|.

方法二如圖所示，設(shè)弦PQ中點(diǎn)為M,

'：OtM±PQ,:.kO\M=2.

.?.OiM的方程為y-3=2（x+；）,

即y=2x+4.

y=2x+4

由方程組,

x+2y—3=0

解得M的坐標(biāo)為（一1,2）.

則以PQ為直徑的圓可設(shè)為（x+1A+°，-2>=R

-JOPVOQ,...點(diǎn)。在以PQ為直徑的圓上.

...（0+1）2+（0—2）2=凡即戶=5,|MQ2=產(chǎn)

在RtAOiA/g中，|。|。|2=|。|用|2+|何。|2.

〃？一

1+（-64）2-4=（C一]1+,）+,（3-2）2+5.

.".m=3.

二半徑為|,圓心坐標(biāo)為（一；，3）

方法三設(shè)過尸、。的圓系方程為

/+,2+1—6y+/n+2(x+2y-3)=0.

由OP,OQ知，點(diǎn)0(0,0)在圓上.

Azn—32=0,即m=32.

.??圓系方程可化為

/+,2+工—6y+3A+xx+2xy—32=0.

即x2+(1+x)x+y2+2(A—3)y=0.

...圓心《一空中)，

又圓心在尸。上.

1+2

/.——2—+2(3—A)—3=0,

/?A=1,A??=3.

圓心坐標(biāo)為（一/3）,半徑為方

評注（1）在解決與圓有關(guān)的問題中，借助于圓的幾何性質(zhì)，往往會使得思路簡捷明了，

簡化思路，簡便運(yùn)算.

（2）本題中三種解法都是用方程思想求加值，即三種解法圍繞“列出〃?的方程”求〃,值.

（3）本題的易錯點(diǎn)：不能正確構(gòu)建關(guān)于根的方程，找不到解決問題的突破口，或計算錯誤.

項目三感悟提高

1.確定一個圓的方程，需要三個獨(dú)立條件.“選形式、定參數(shù)”是求圓的方程的基本方法，

是指根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇圓的方程的形式，進(jìn)而確定其中的三個參數(shù).

2.解答圓的問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，簡化運(yùn)算.

3.求圓的方程需要三個獨(dú)立條件，所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個獨(dú)立方

程.

4.過圓外一定點(diǎn)，求圓的切線，應(yīng)該有兩個結(jié)果，若只求出一個結(jié)果，應(yīng)該考慮切線斜率不

存在的情況.

項目四沖刺必練

A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練

(時間：40分鐘)

一、選擇題

1.設(shè)圓的方程是x2+y2+2ax+2y+(a—1產(chǎn)=0，若0<a<l,則原點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是()

A.原點(diǎn)在圓上B.原點(diǎn)在圓外

C.原點(diǎn)在圓內(nèi)D.不確定

答案B

解析將圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+a)2+&+l)2=2a,

因為所以(0+。)2+(0+1)2—2°=3—1)2>0,

即:(0+a)?+(0+1)2>V%,所以原點(diǎn)在圓外.

2.若圓廣+產(chǎn)一2"+3外=0的圓心位于第三象限，那么直線x+ay+b=0一定不經(jīng)過()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

則a<0,fr>0.直線y=—2=一［>0，一

直線不經(jīng)過第四象限.

3.圓心在y軸上，半徑為1,且過點(diǎn)(1,2)的圓的方程為()

A./+卬-2)2=1B.x2+(y+2)2=l

C.(x—l)2+(y—3)2=lD.r+。-3)2=1

答案A

解析設(shè)圓心坐標(biāo)為(0,h),則由題意知

^/(0-1)2+(6-2)2=1,解得6=2,

故圓的方程為N+(y—2)2=l.

4.點(diǎn)尸(4,一2)與圓/+>2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()

A.(x-2)2+(y+l)2=l

B.(x-2)2+G+1)2=4

C.(x+4)2+(j—2/=4

D.(x+2)2+(y-1尸=1

答案A

解析設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,yo),

x8+)6=4,連線中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),

(2x=xo+4fxo==4

則<n{,

[2y—yo-2[yo—2y+2

代入而+M=4中得。-2)2+。+1)2=1.

17

5.若直線ar+2by—2=0(a>0,比>0)始終平分圓N+y2—4x—2y—8=0的周長，則工+g的最

小值為)

A.1B.5C.472D.3+2也

答案D

解析由題意知圓心C(2,l)在直線公+2制-2=0上，

：.2a+2b-2=0,整理得a+6=l,

A~+l=(-+1)(a+&)=3+-+^

7

ab'ab八ab

當(dāng)且僅當(dāng)《=與，即匕=2—也，〃=也一1時，等號成立.

12

石的最小值為3+2也.

6.己知兩點(diǎn)A(-l,0),8(0,2),點(diǎn)P是圓?！?)2+^=1上任意一點(diǎn)，則△1RAB面積的最大值

與最小值分別是()

A.2,；(4-小)B、(4+小)，；(4一洞

C.&4一小D.；(小+2),；(小一2)

答案B

解析如圖，圓心(1,0)到直線AB：

4

2x-.y+2=0的距離為d=

44

故圓上的點(diǎn)P到直線4B的距離的最大值是+1,最小值是左一1,

又|AB|=小，

故面積的最大值和最小值分別是2+坐2一坐

二、填空題

7.如果直線/將圓C：。一2尸+。+3)2=13平分，那么坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線/的最大距離為

答案小

解析由題意，知直線/過圓心C(2,-3),

當(dāng)直線OCJJ時，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線/的距離最大，

|。.=山2+(_3)2=寸叵

8.若方程x2+y2—2x+2my+2m2—6/n+9=0表示圓，則團(tuán)的取值范圍是；當(dāng)半

徑最大時，圓的方程為.

答案2<加<4(x-l)2+^+3)2=l

解析?.?原方程可化為(X—1)2+。+"。2=—"72+6)〃—8,

；?r2=—in2+6m—8=—(m-2)(〃?-4)>0,/.2<m<4.

當(dāng)初=3時，r最大為1,圓的方程為(x—1)2+。+3)2=1.

9.已知圓x2+y2+2x-4y+a=0關(guān)于直線y=2x+b成軸對稱，則a-b的取值范圍是

答案(一8,1)

解析圓的方程可化為(x+l)2+(y—2)2=5—

，其圓心為(一1,2),且5—4>0,即〃<5.

又圓關(guān)于直線y=2x+b成軸對稱，

.*.2=-2+/?,.*./?=4.J.a—b—a—4<1.

10.與x軸相切，圓心在直線3x-y=o上，且被直線x—y=o截得的弦長為26的圓的方程

為.

答案。-1)2+。-3)2=9或(X+1>+0+3)2=9

解析設(shè)所求的圓的方程是。一。)2+。，一〃)2=凡

心一切

則圓心①，與到直線工一)，=0的距離為

.'市)2,即2r2=僅一份2+14,①

;所求的圓與X軸相切，，戶=房.②

又???所求圓心在直線3x—y=o上，：.3a-b=o,③

聯(lián)立①@③，解得。=1,h=3,r=9或〃=—1,b=-3,3=9.

故所求的圓的方程為(x—1)2+。-3>=9或(x+l)2+(y+3)2=9.

三、解答題

11.一圓經(jīng)過A(4,2),8(—1,3)兩點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個截距的和為2,求此圓的方程.

解設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=O.

令y=0,得x^~\~Dx~\~F=Q,所以Xi+x2=-D.

令x=0,得V+Ey+F=O,所以％+>2=一E

由題意知一O-E=2,即。+E+2=0.①

又因為圓過點(diǎn)A、8,所以16+4+4O+2E+F=0.②

l+9-Z)+3E+F=0.(3)

解①②?組成的方程組得。=一2,E=0,F=-12.

故所求圓的方程為x2+y2-2r-12=0.

12.已知圓C和直線x-6y-10=0相切于點(diǎn)(4,-1),且經(jīng)過點(diǎn)(9,6),求圓C的方程.

解因為圓C和直線x-6y-10=0相切于點(diǎn)(4,-1),

所以過點(diǎn)(4,一1)的直徑所在直線的斜率為一；二一6,

6

其方程為y+1=—6。-4),即y=—6x+23.

又因為圓心在以(4,-1),(9,6)兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中垂線)一|=一，一馬,

即5x+7y—50=0上,

y=-6x+23,

由.解得圓心為(3,5),

〔5入+7），-50=0

所以半徑為叱9-3>+(6—5)2=病,

故所求圓的方程為(》-3)2+&-5)2=37.

B組專項能力提升

(時間：20分鐘)

1.過點(diǎn)尸(1,1)的直線，將圓形區(qū)域｛(x,y)*+y2W4)分為兩部分，使得這兩部分的面積之

差最大，則該直線的方程為()

A.x+y—2=0B.y—1=0

C.x-y=OD.x+3y—4=0

答案A

解析當(dāng)圓心與P的連線和過點(diǎn)P的直線垂直時，符合條件.

圓心。與P點(diǎn)連線的斜率無=1,

，過點(diǎn)P垂直于OP的直線方程為x+y-2=0.

2.光線從A(l,l)出發(fā)，經(jīng)y軸反射到圓C：/+y2—iox—1仃+70=0的最短路程為()

A.2一1=0B.672-2C.6^2D.672-4=0

答案B

解析圓心坐標(biāo)為C(5,7),半徑為2,A(l,l)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為

最短路程為HC|—2=6小一2.

3.設(shè)P為直線3x+4y+3=0上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：/+9一2苫一2》+1=0的兩條切線，

切點(diǎn)分別為A,B,則四邊形以CB的面積的最小值為.

答案V3

解析依題意，圓C：(》-1)2+代-1)2=1的圓心是點(diǎn)C(l,l),半徑是1,

易知|PC|的最小值等于圓心C(l,l)到直線3x+4y+3=0的距離，即日=2,

而四邊形以CB的面積等于

2s△出c=2X(；為卜兇。)

=|網(wǎng)?|AC|=|%|=N|PCF—C

因此四邊形PACB的面積的最小值是#22—1=小.

x—2y20,

4.已知。是由不等式組,'■所確定的平面區(qū)域，則圓/+V=4在區(qū)域O內(nèi)的弧

長為.

答案

解析作出可行域。及圓爐+尸=4,如圖所示，

圖中陰影部分所在圓心角6=a一4所對的瓠長即為所求.

易知圖中兩直線的斜率分別為表—得tana/,tan￡=一

1+1

2十3

tan0=tan(6t-0)=j1,

i--x-

123

得。=今IT得瓠長/=夕/