廣西欽州市第三中學2022-2023學年數(shù)學高三第一學期期末綜合測試模擬試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，四面體中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小為，若四面體的頂點都在球上，則球的表面積為（）A． B． C． D．2．已知為兩條不重合直線，為兩個不重合平面，下列條件中，的充分條件是（）A．∥ B．∥C．∥∥ D．3．設集合，則()A． B．C． D．4．下列命題中，真命題的個數(shù)為（）①命題“若，則”的否命題；②命題“若，則或”；③命題“若，則直線與直線平行”的逆命題.A．0 B．1 C．2 D．35．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，已知，則為()A． B． C．或 D．或6．根據(jù)散點圖，對兩個具有非線性關(guān)系的相關(guān)變量x，y進行回歸分析，設u=lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到線性回歸方程為=0.5v+2，則變量y的最大值的估計值是（）A．e B．e2 C．ln2 D．2ln27．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．在四邊形中，，，，，，點在線段的延長線上，且，點在邊所在直線上，則的最大值為（）A． B． C． D．9．某校為提高新入聘教師的教學水平，實行“老帶新”的師徒結(jié)對指導形式，要求每位老教師都有徒弟，每位新教師都有一位老教師指導，現(xiàn)選出3位老教師負責指導5位新入聘教師，則不同的師徒結(jié)對方式共有（）種.A．360 B．240 C．150 D．12010．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，設，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．11．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．4 C．2 D．12．以，為直徑的圓的方程是A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若滿足，且方向相同，則__________．14．拋物線的焦點到準線的距離為．15．曲線在處的切線的斜率為________.16．的展開式中的系數(shù)為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點、分別在軸、軸上運動，，．（1）求點的軌跡的方程；（2）過點且斜率存在的直線與曲線交于、兩點，，求的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)，.（1）證明：函數(shù)的極小值點為1；（2）若函數(shù)在有兩個零點，證明：.19．（12分）設拋物線的焦點為，準線為，為過焦點且垂直于軸的拋物線的弦，已知以為直徑的圓經(jīng)過點.（1）求的值及該圓的方程；（2）設為上任意一點，過點作的切線，切點為，證明：.20．（12分）已知，其中．（1）當時，設函數(shù)，求函數(shù)的極值．（2）若函數(shù)在區(qū)間上遞增，求的取值范圍；（3）證明：．21．（12分）如圖，三棱臺的底面是正三角形，平面平面，.（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)f(x)的極值點的個數(shù)；（2）若f(x)有兩個極值點證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

分別取、的中點、，連接、、，利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角的平面角為，然后分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，在中計算出，再利用勾股定理計算出，即可得出球的半徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案．【詳解】如下圖所示，分別取、的中點、，連接、、，由于是以為直角等腰直角三角形，為的中點，，，且、分別為、的中點，所以，，所以，，所以二面角的平面角為，，則，且，所以，，，是以為直角的等腰直角三角形，所以，的外心為點，同理可知，的外心為點，分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，則點在平面內(nèi)，如下圖所示，由圖形可知，，在中，，，所以，，所以，球的半徑為，因此，球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查球體的表面積，考查二面角的定義，解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置，同時考查了計算能力，屬于中等題．2、D【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理，對選項中的命題進行分析、判斷正誤即可.【詳解】對于A，當，，時，則平面與平面可能相交，，，故不能作為的充分條件，故A錯誤；對于B，當，，時，則，故不能作為的充分條件，故B錯誤；對于C，當，，時，則平面與平面相交，，，故不能作為的充分條件，故C錯誤；對于D，當，，，則一定能得到，故D正確.故選：D.【點睛】本題考查了面面垂直的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

直接進行集合的并集、交集的運算即可．【詳解】解：；∴．故選：B．【點睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運算，是基礎(chǔ)題.4、C【解析】

否命題與逆命題是等價命題，寫出①的逆命題，舉反例排除；原命題與逆否命題是等價命題，寫出②的逆否命題后，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性驗證正確；寫出③的逆命題判，利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.【詳解】①的逆命題為“若，則”，令，可知該命題為假命題，故否命題也為假命題；②的逆否命題為“若且，則”，該命題為真命題，故②為真命題；③的逆命題為“若直線與直線平行，則”，該命題為真命題.故選：C.【點睛】本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路：(1)判斷一個命題的真假時，首先要弄清命題的結(jié)構(gòu)，即它的條件和結(jié)論分別是什么，然后聯(lián)系其他相關(guān)的知識進行判斷．(2)當一個命題改寫成“若，則”的形式之后，判斷這個命題真假的方法：①若由“”經(jīng)過邏輯推理，得出“”，則可判定“若，則”是真命題；②判定“若，則”是假命題，只需舉一反例即可．5、D【解析】

由正弦定理可求得，再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故選：D.【點睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

將u=lny，v=(x-4)2代入線性回歸方程=-0.5v+2，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大估計值.【詳解】解：將u=lny，v=(x4)2代入線性回歸方程=0.5v+2得：，即，當時，取到最大值2，因為在上單調(diào)遞增，則取到最大值.故選：B.【點睛】本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問題，考查復合型指數(shù)函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題,.7、B【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像.結(jié)合圖像，分段討論函數(shù)的零點情況：易知為的一個零點；對于當時，由代入解析式解方程可求得零點，結(jié)合即可求得的范圍；對于當時，結(jié)合導函數(shù)，結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖像如下圖所示：函數(shù)的零點，即.由圖像可知，，所以是的一個零點，當時，，若，則，即，所以，解得；當時，，則，且若在時有一個零點，則，綜上可得，故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的畫法，函數(shù)零點定義及應用，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，導數(shù)的幾何意義應用，屬于中檔題.8、A【解析】

依題意，如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系，表示出點的坐標，根據(jù)求出的坐標，求出邊所在直線的方程，設，利用坐標表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】解：依題意，如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系，由，，，，，，，因為點在線段的延長線上，設，解得，所在直線的方程為因為點在邊所在直線上，故設當時故選：【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，關(guān)鍵是建立平面直角坐標系，屬于中檔題.9、C【解析】

可分成兩類，一類是3個新教師與一個老教師結(jié)對，其他一新一老結(jié)對，第二類兩個老教師各帶兩個新教師，一個老教師帶一個新教師，分別計算后相加即可．【詳解】分成兩類，一類是3個新教師與同一個老教師結(jié)對，有種結(jié)對結(jié)對方式，第二類兩個老教師各帶兩個新教師，有．∴共有結(jié)對方式60＋90＝150種．故選：C．【點睛】本題考查排列組合的綜合應用．解題關(guān)鍵確定怎樣完成新老教師結(jié)對這個事情，是先分類還是先分步，確定方法后再計數(shù)．本題中有一個平均分組問題．計數(shù)時容易出錯．兩組中每組中人數(shù)都是2，因此方法數(shù)為．10、A【解析】

根據(jù)圖象關(guān)于軸對稱可知關(guān)于對稱，從而得到在上單調(diào)遞增且；再根據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】為偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱圖象關(guān)于對稱時，單調(diào)遞減時，單調(diào)遞增又且，即本題正確選項：【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性、對稱性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數(shù)的單調(diào)性，通過自變量的大小關(guān)系求得結(jié)果.11、A【解析】

由已知得，，由已知比值得，再利用雙曲線的定義可用表示出，，用勾股定理得出的等式，從而得離心率．【詳解】.又，可令，則.設，得，即，解得，∴,,由得，，，該雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來，從而再由勾股定理建立的關(guān)系．12、A【解析】

設圓的標準方程，利用待定系數(shù)法一一求出，從而求出圓的方程.【詳解】設圓的標準方程為，由題意得圓心為，的中點，根據(jù)中點坐標公式可得，，又，所以圓的標準方程為：，化簡整理得，所以本題答案為A.【點睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的方程，解題的關(guān)鍵是假設圓的標準方程，建立方程組，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由向量平行坐標表示計算．注意驗證兩向量方向是否相同．【詳解】∵，∴，解得或，時，滿足題意，時，，方向相反，不合題意，舍去．∴．故答案為：1．【點睛】本題考查向量平行的坐標運算，解題時要注意驗證方向相同這個條件，否則會出錯．14、【解析】試題分析：由題意得，因為拋物線，即，即焦點到準線的距離為.考點：拋物線的性質(zhì)．15、【解析】

求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義令，即可求出切線斜率.【詳解】，，，即曲線在處的切線的斜率.故答案為：【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算法則以及基本初等函數(shù)的導數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.16、80.【解析】

只需找到展開式中的項的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項為，令，則，故的展開式中的系數(shù)為80.故答案為：80.【點睛】本題考查二項式定理的應用，涉及到展開式中的特殊項系數(shù)，考查學生的計算能力，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

(1)設坐標后根據(jù)向量的坐標運算即可得到軌跡方程.(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，用坐標表示出，得到，所以，代入韋達定理即可求解.【詳解】（1）設，，則，設，由得．又由于，化簡得的軌跡的方程為．（2）設直線的方程為，與的方程聯(lián)立，消去得，，設，，則，，由已知，，則，故直線．，令，則，由于，，．所以，的取值范圍為．【點睛】此題考查軌跡問題，橢圓和直線相交，注意坐標表示向量進行轉(zhuǎn)化的處理技巧，屬于較難題目.18、（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)利用導函數(shù)的正負確定函數(shù)的增減.(2)函數(shù)在有兩個零點，即方程在區(qū)間有兩解，令通過二次求導確定函數(shù)單調(diào)性證明參數(shù)范圍.【詳解】解：（1）證明：因為，當時，，，所以在區(qū)間遞減；當時，，所以，所以在區(qū)間遞增；且，所以函數(shù)的極小值點為1（2）函數(shù)在有兩個零點，即方程在區(qū)間有兩解，令，則令，則，所以在單調(diào)遞增，又，故存在唯一的，使得，即，所以在單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，且，又因為，所以，方程關(guān)于的方程在有兩個零點，由的圖象可知，，即.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,確定函數(shù)的極值,利用二次求導,零點存在性定理確定參數(shù)范圍,屬于難題.19、（1），圓的方程為：.（2）答案見解析【解析】

（1）根據(jù)題意，可知點的坐標為，即可求出的值，即可求出該圓的方程；（2）由題易知，直線的斜率存在且不為0，設的方程為，與拋物線聯(lián)立方程組，根據(jù)，求得，化簡解得，進而求得點的坐標為，分別求出，，利用向量的數(shù)量積為0，即可證出.【詳解】解：（1）易知點的坐標為，所以，解得.又圓的圓心為，所以圓的方程為.（2）證明易知，直線的斜率存在且不為0，設的方程為，代入的方程，得.令，得，所以，解得.將代入的方程，得，即點的坐標為.所以，，.故.【點睛】本題考查拋物線的標準方程和圓的方程，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，利用聯(lián)立方程組、求交點坐標以及向量的數(shù)量積，考查解題能力和計算能力.20、（1）極大值，無極小值；（2）．（3）見解析【解析】

（1）先求導，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出；（2）先求導，再函數(shù)在區(qū)間上遞增，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值，問題得以解決；（3）取得到，取，可得，累加和根據(jù)對數(shù)的運算性和放縮法即可證明.【詳解】解：（1）當時，設函數(shù)，則令，解得當時，，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以當時，函數(shù)取得極大值，即極大值為，無極小值；（2）因為，所以，因為在區(qū)間上遞增，所以在上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立．當時，在區(qū)間上恒成立，當時，，設，則在區(qū)間上恒成立．所以在單調(diào)遞增，則，所以，即綜上所述．（3）由（2）可知當時，函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以，即，取，則．所以所以【點睛】此題考查了參數(shù)的取值范圍以及恒成立的問題，以及不等式的證明，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，屬于較難題.21、（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取的中點為，連結(jié)，易證四邊形為平行四邊形，即，由于，為的中點，可得到，從而得到，即可證明平面，從而得到；（Ⅱ）易證，，兩兩垂直，以，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的一個法向量為，設與平面所成角為