年高三一輪總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)課時(shí)跟蹤檢測(cè)87拋物線

[課時(shí)跟蹤檢測(cè)][基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．拋物線y＝4ax2(a≠0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(0，a) B．(a,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16a))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16a)，0))解析：將y＝4ax2(a≠0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得x2＝eq\f(1,4a)y(a≠0)，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16a)))，所以選C.答案：C2．以x＝1為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．y2＝2x B．y2＝－2xC．y2＝4x D．y2＝－4x解析：由準(zhǔn)線x＝1知，拋物線方程為y2＝－2px(p>0)且eq\f(p,2)＝1，p＝2，∴拋物線的方程為y2＝－4x，故選D.答案：D3．已知點(diǎn)A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為()A．－eq\f(4,3) B．－1C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)解析：由已知，得準(zhǔn)線方程為x＝－2，所以F的坐標(biāo)為(2,0)．又A(－2,3)，所以直線AF的斜率為k＝eq\f(3－0,－2－2)＝－eq\f(3,4).答案：C4．設(shè)F為拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，A、B、C為拋物線上三點(diǎn)，若F為△ABC的重心，則|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|的值為()A．1 B．2C．3 D．4解析：依題意，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，x1＋x2＋x3＝3×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，則|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,2)))＝(x1＋x2＋x3)＋eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝3.答案：C5．已知P為拋物線y＝eq\f(1,2)x2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影為點(diǎn)M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(17,2)))，則|PA|＋|PM|的最小值是()A．8 B．eq\f(19,2)C．10 D．eq\f(21,2)解析：依題意可知焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,2)，延長(zhǎng)PM交準(zhǔn)線于點(diǎn)H(圖略)．則|PF|＝|PH|，|PM|＝|PF|－eq\f(1,2)，|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－eq\f(1,2)，即求|PF|＋|PA|的最小值．因?yàn)閨PF|＋|PA|≥|FA|，又|FA|＝eq\r(62＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,2)－\f(1,2)))2)＝10.所以|PM|＋|PA|≥10－eq\f(1,2)＝eq\f(19,2)，故選B.答案：B6．已知過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A，B兩點(diǎn)，則eq\f(|AF|,|BF|)的值為()A．5 B．4C．3 D．2解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知AB所在的直線方程為y＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，))得x2－eq\f(5p,3)x＋eq\f(p2,4)＝0，所以x1＝eq\f(3p,2)，x2＝eq\f(p,6)，所以eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(\f(3,2)p＋\f(p,2),\f(p,2)＋\f(p,6))＝3.答案：C7．(2018屆豫南九校聯(lián)考)已知點(diǎn)P是拋物線x2＝4y上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影是點(diǎn)Q，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(8,7)，則|PA|＋|PQ|的最小值為()A．7 B．8C．9 D．10解析：拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1，延長(zhǎng)PQ交準(zhǔn)線于M，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.所以|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝eq\r(82＋7－12)－1＝10－1＝9.答案：C8．已知拋物線y2＝4x，圓F：(x－1)2＋y2＝1，過(guò)點(diǎn)F作直線l，自上而下順次與上述兩曲線交于點(diǎn)A，B，C，D(如圖所示)，則下列關(guān)于|AB|·|CD|的值的說(shuō)法中，正確的是()A．等于1 B．等于4C．最小值是1 D．最大值是4解析：設(shè)直線l：x＝ty＋1，代入拋物線方程，得y2－4ty－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，根據(jù)拋物線的定義知，|AF|＝x1＋1，|DF|＝x2＋1，故|AB|＝x1，|CD|＝x2，所以|AB|·|CD|＝x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1),4)·eq\f(y\o\al(2,2),4)＝eq\f(y1y22,16).而y1y2＝－4，故|AB|·|CD|＝1.答案：A9．拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是________．解析：解法一：如圖，設(shè)與直線4x＋3y－8＝0平行且與拋物線y＝－x2相切的直線為4x＋3y＋b＝0，切線方程與拋物線方程聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x2，,4x＋3y＋b＝0，))消去y整理得3x2－4x－b＝0，則Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－eq\f(4,3)，所以切線方程為4x＋3y－eq\f(4,3)＝0，拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是這兩條平行線間的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(8－\f(4,3))),5)＝eq\f(4,3).解法二：由y＝－x2，得y′＝－2x.如圖，設(shè)與直線4x＋3y－8＝0平行且與拋物線y＝－x2相切的直線與拋物線的切點(diǎn)是T(m，－m2)，則切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝m＝－2m＝－eq\f(4,3)，所以m＝eq\f(2,3)，即切點(diǎn)Teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(4,9)))，點(diǎn)T到直線4x＋3y－8＝0的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)－\f(4,3)－8)),\r(16＋9))＝eq\f(4,3)，由圖知拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)10．若點(diǎn)P在拋物線y2＝x上，點(diǎn)Q在圓(x－3)2＋y2＝1上，則|PQ|的最小值為_(kāi)_______．解析：由題意得拋物線與圓不相交，且圓的圓心為A(3,0)，半徑為1，則|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q，A三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)|PA|取得最小值時(shí)，|PQ|最?。O(shè)P(x0，y0)，則yeq\o\al(2,0)＝x0，|PA|＝eq\r(x0－32＋y\o\al(2,0))＝eq\r(x\o\al(2,0)－6x0＋9＋x0)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(5,2)))2＋\f(11,4))，當(dāng)且僅當(dāng)x0＝eq\f(5,2)時(shí)，|PA|取得最小值eq\f(\r(11),2)，此時(shí)|PQ|取得最小值eq\f(\r(11),2)－1.答案：eq\f(\r(11),2)－111．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過(guò)A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線的方程；(2)若過(guò)M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．解：(1)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，于是4＋eq\f(p,2)＝5，所以p＝2.所以拋物線方程為y2＝4x.(2)因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,4)，由題意得B(0,4)，M(0,2)．又因?yàn)镕(1,0)，所以kFA＝eq\f(4,3)，因?yàn)镸N⊥FA，所以kMN＝－eq\f(3,4).所以FA的方程為y＝eq\f(4,3)(x－1)，①M(fèi)N的方程為y－2＝－eq\f(3,4)x，②聯(lián)立①②，解得x＝eq\f(8,5)，y＝eq\f(4,5)，所以N的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5))).12．已知過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2eq\r(2)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點(diǎn)，且|AB|＝9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，求λ的值．解：(1)由題意得直線AB的方程為y＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，與y2＝2px聯(lián)立，消去y有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4).由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(5p,4)＋p＝9，所以p＝4，從而該拋物線的方程為y2＝8x.(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，則x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，從而A(1，－2eq\r(2))，B(4,4eq\r(2))．設(shè)C(x3，y3)，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4,4eq\r(2))＝(4λ＋1，4eq\r(2)λ－2eq\r(2))．又yeq\o\al(2,3)＝8x3，所以[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.故λ的值為0或2.[能力提升]1．如圖，由部分拋物線：y2＝mx＋1(m>0，x≥0)和半圓x2＋y2＝r2(x≤0)所組成的曲線稱為“黃金拋物線C”，若“黃金拋物線C”經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,2)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).(1)求“黃金拋物線C”的方程；(2)設(shè)P(0,1)和Q(0，－1)，過(guò)點(diǎn)P作直線l與“黃金拋物線C”相交于A，P，B三點(diǎn)，問(wèn)是否存在這樣的直線l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．解：(1)∵“黃金拋物線C”過(guò)點(diǎn)(3,2)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝1,4＝3m＋1，∴m＝1.∴“黃金拋物線C”的方程為y2＝x＋1(x≥0)和x2＋y2＝1(x≤0)．(2)假設(shè)存在這樣的直線l，使得QP平分∠AQB，顯然直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l：y＝kx＋1(k≠0)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝x＋1，))消去y，得k2x2＋(2k－1)x＝0，∴xB＝eq\f(1－2k,k2)，yB＝eq\f(1－k,k)，即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－2k,k2)，\f(1－k,k)))，∴kBQ＝eq\f(k,1－2k).聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＋y2＝1，))消去y，得(k2＋1)x2＋2kx＝0，∴xA＝－eq\f(2k,k2＋1)，yA＝eq\f(1－k2,k2＋1)，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2k,k2＋1)，\f(1－k2,k2＋1)))，∴kAQ＝－eq\f(1,k).∵QP平分∠AQB，∴kAQ＋kBQ＝0，∴eq\f(k,1－2k)－eq\f(1,k)＝0，解得k＝－1±eq\r(2)，由圖形可得k＝－1－eq\r(2)應(yīng)舍去，∴k＝eq\r(2)－1，∴存在直線l：y＝(eq\r(2)－1)x＋1，使得QP平分∠AQB.2．(2017屆湖南六校聯(lián)考)已知拋物線的方程為x2＝2py(p>0)，其焦點(diǎn)為F，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F作斜率為k(k≠0)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線，設(shè)兩條切線交于點(diǎn)M.(1)求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))；(2)設(shè)直線MF與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，且四邊形ACBD的面積為eq\f(32,3)p2，求直線AB的斜率k.解：(1)設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋eq\f(p,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{