滬科版初中八年級數(shù)學下冊第十八章集體備課教案含教學反思

第18章勾股定理

18.1勾股定理

第1課時勾股定理

產(chǎn)教與目標

【知識與技能】

能說出勾股定理,并能應(yīng)用其進行簡單的計算和實際運用.

【過程與方法】

經(jīng)歷觀察一猜想一歸納一驗證的數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程，發(fā)展合情推理的能力,體會數(shù)

形結(jié)合和由特殊到一般的數(shù)學思想.

【情感態(tài)度】

通過對勾股定理歷史的了解和實例應(yīng)用，體會勾股定理的文化價值；通過獲

得成功的經(jīng)驗和克服困難的經(jīng)歷，增進數(shù)學學習的信心.

【教學重點】

探索勾股定理.

【教學難點】

利用數(shù)形結(jié)合的方法驗證勾股定理.

辛敦與可呈

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

1955年希臘發(fā)行的一枚紀念郵票，郵票上的圖案是根據(jù)一個著名的數(shù)學定

理設(shè)計的.觀察這枚郵票上的圖案和圖案中小方格的個數(shù)，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

【教學說明】

通過故事創(chuàng)設(shè)情境，再加上多媒體的配合，激發(fā)了學生的求知欲.

二、合作探究，探索新知

1.分別以圖中的直角三角形三邊為邊向外作正方形，求這三個正方形的面

積？

2.這三個面積之間是否存在什么未知關(guān)系，如果存在，那么它們的關(guān)系是什

么？

【教學說明】

讓學生通過觀察思考得出結(jié)論，教師適時點撥引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

3.是否所有的直角三角形都有這個性質(zhì)呢？請動手驗證.

【小組成員在方格紙上任意作出一個直角三角形NC=90°,將所得的數(shù)據(jù)

填入表格】

SBC

1

一2

3

4

5

6

7

勾股定理：

在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

【教學說明】

教師引導(dǎo)學生自主探究，發(fā)現(xiàn)結(jié)論.學生通過畫圖、觀察、思考、歸納，從

而得出勾股定理，教師及時予以總結(jié).

4.我國古代人民早在幾千萬年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)和運用勾股定理，在已有的文

獻記載中，最早給出證明的是三國時期的吳國數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》注中給

出了勾股定理的證明.指導(dǎo)學生利用手中4個全等的直角三角形進行拼圖.

趙爽”勾股圓方圖”

大正方形的面積可以表示為J,也可以表示為

4+(6—ct)2,于是可得:J=4x3ab+(6—

a)2

整理得:a2+b2=c2

得到勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

【教學說明】

教師對勾股定理的證明予以講解，使學生理解勾股定理的證明方法，這是一

個難點，需要配合相應(yīng)的實驗操作使學生理解.教師也可以介紹其它的證明方法,

以提高學生的探究興趣.

三、示例講解，掌握新知

例1現(xiàn)有一樓房發(fā)生火災(zāi)，消防隊員決定用消防車上的云梯求人，如圖，

已知云梯最多只能伸長到10m,消防車高3m,救人時云梯伸至最長.在完成從9m

高處救人后，還要從12m高處救人，這時消防車要從原處再向著火的樓房靠近

多少米？(精確到0.1m)

D

【分析】如圖，設(shè)A是云梯的下端點，AB是伸長后的云梯，B是第一次救

人的地點，D是第二次救人的地點，過點A的水平線與樓房ED的交點為0,則

OB=9-3=6(m),OD=12-3=9(m).根據(jù)勾股定理，得

AO2=AB2-OB2=102-62=64.

解方程，得A0=8(m).

設(shè)AC=x，則0C=8-x,于是根據(jù)勾股定理，得OC2+OD2=CD2

(8-X)2+92=102

從而可以解出X.

【教學說明】這是勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，教師要引導(dǎo)學生通過畫圖,

分析圖形的特征，通過勾股定理構(gòu)建方程，從而滲透數(shù)形結(jié)合與方程的數(shù)學思想.

例2已知：如圖所示，在Rt^ABC中，兩直角邊AC=5,BC=12,求斜邊上的

高CD的長.

解在Rt△一中，

AB2=AC2+BC2=52+122=169,

AB=V169=13.又；RtA.IBC的面積

S.BC=?BC=?CD

【教學說明】

這里要先應(yīng)用勾股定理求出斜邊的長，然后再利用面積法求出高.教師要及

時對學生進行點撥指導(dǎo).

四、練習反饋，鞏固提高

1.下列說法正確的是()

A.若a、b、c是4ABC的三邊，則a2+b2=c2

B.若a、b、c是RtAABC的三邊，則a?+b2=c2

C.若a、b>c是RtAABC的三邊，ZA=90°則a?+b2=c2

D.若a、b、c是RtaABC的三邊，ZC=90°則a2+b2=c2

2.斜邊的邊長為17cm,一條直角邊長為8cm的直角三角形的面積是.

3.若三角形的三個內(nèi)角的比是1：2：3,最短邊長為1cm,最長邊長為2cm,

則這個三角形三個角度數(shù)分別是，另外一邊的平方是.

4.如圖，一個高4m、寬3m的大門，需要在對角線的頂點間加固一個木條,

第5題

5.如圖，小李準備建一個蔬菜大棚，棚寬4m,高3m,長20m,棚的斜面用

塑料薄膜遮蓋，不計墻的厚度，請計算陽光透過的最大面積.

【答案】l.D2.60cm23.30°、60°、90°,34.5m

【解析】木條長的平方=門高長的平方+門寬長的平方.

5.在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜邊長為5m

【解析】透陽光最大面積是塑料薄膜的面積，需要求出它的另一邊的長是多

少，可以借助勾股定理求出.所以矩形塑料薄膜的面積是：5X20=100(m2)

【教學說明】學生獨立完成練習，重點是對勾股定理的應(yīng)用的熟練性的訓(xùn)練.

五、師生互動，課堂小結(jié)

什么叫勾股定理？怎樣證明？

【教學說明】教師讓學生自主回顧所學知識，加深理解和記憶.

.'課后作業(yè)

完成同步練習冊中本課時的練習.

「教學反思

本節(jié)課從實際問題引入，激發(fā)學生的學習興趣.勾股定理的發(fā)現(xiàn)之路也體現(xiàn)

了數(shù)學來源于生活，又服務(wù)于生活，激發(fā)學生的研究熱情.然后整個教學流程從

特殊的等腰直角三角形到一般的直角三角形，從最初的猜想到最后的證明，既體

現(xiàn)了數(shù)學的嚴謹，又符合學生的認知特點，便于學生接受和理解.其中勾股定理

的證明方法多樣化，利用數(shù)形結(jié)合，給出嚴密的證明.在給出證明方法的同時對

學生進行數(shù)學史教育，中外都有所涉及，特別是通過中國古代對勾股定理的證明

和利用，激發(fā)民族自豪感和愛國熱忱.

第18章勾股定理

18.1勾股定理

第2課時勾股定理的應(yīng)用

教學目標

【知識與技能】

掌握勾股定理在實際問題中的應(yīng)用

【過程與方法】

通過勾股定理在實際問題中的應(yīng)用，感受勾股定理的應(yīng)用方法

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)良好的思維意識，發(fā)展數(shù)學理念，體會勾股定理的應(yīng)用價值

【教學重點】

勾股定理的實際應(yīng)用

【教學難點】

勾股定理的靈活應(yīng)用

教與亙程

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

1.如圖，在學校有一塊長方形草坪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在草

坪內(nèi)走出了一條“路”，他們少走了多少路？

2.勾股定理在實際的生產(chǎn)生活當中有著廣泛的應(yīng)用.勾股定理的發(fā)現(xiàn)和使用

解決了許多生活中的問題，今天我們就來運用勾股定理解決一些問題，你可以

嗎？試一試.

【教學說明】

通過一個實際例子引入新課，激發(fā)學生的探究興趣.可以讓學生自主完成這

個問題，體會數(shù)學與實際生活的緊密聯(lián)系.

二、示例講解，掌握新知

例1如圖一圓柱體的底面周長為20cm,高AB為4cm,BC是上底面的直

徑.一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C,試求出爬行的最短路

程.

【分析】螞蟻實際上是在圓柱的半個側(cè)面內(nèi)爬行.大家用一張白紙卷折圓柱

成圓柱形狀，標出A、B、C、D各點，然后打開，螞蟻在圓柱上爬行的距離，

與在平面紙上的距離一樣.AC之間的最短距離是什么？根據(jù)是什么？（學生回

答）

根據(jù)“兩點之間，線段最短”，所求的最短路程就是側(cè)面展開圖矩形ABCD

對角線AC之長.我們可以利用勾股定理計算出AC的長

解：如圖，在RdABC中，BC=底面周長的一半=10cm,根據(jù)勾股定理得

（提示：勾股定理）

VAC=AB2+BC2=>/42+102=25/2910.77（cm）（勾股定理）.

答：最短路程約為10.77cm.

【教學說明】通過動手作模型，培養(yǎng)學生的動手、動腦能力，解決“學生空

間想像能力有限，想不到螞蟻爬行的路徑”的難題，從而突破難點.

例2一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如

圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門.

【分析】由于廠門寬度足夠，所以卡車能否通過，只要看當卡車位于廠門正

中間時其高度是否小于CH.如圖所示，點D在離廠門中線0.8米處，且CD1AB,

與地面交于H.

解：OC=1米（大門寬度一半），OD=0.8米（卡車寬度一半）

在RtAOCD中，由勾股定理得CD=yj0C2-0D2=Vl2-0.82=0.6米，

CH=0.6+2.3=2.9（米）>2.5（米）.

因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門.

【教學說明】利用多媒體設(shè)備演示卡車通過廠門正中間時的過程（在幾何畫

板上畫出廠門的形狀，用移動的矩形表示卡車，矩形的高低可調(diào)），讓學生通過

觀察，找到需要計算的線段CH、CD及CD所在的直角三角形OCD,將實際問

題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用勾股定理解直角三角形的數(shù)學問題.

三、練習反饋，鞏固提高

1.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形

都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2,3,則最大正方

2.圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三

角形圍成的.在RtZ\ABC中，若直角邊AC=6,BC=6,將四個直角三角形中邊

長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學風車”，則這個風車

3.如圖，等腰4ABC中，AB=AC,AD是底邊上的高，若AB=5cm,BC=6cm,

則AD=cm.

4.有一個高為1.5m,半徑是1m的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，

從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0.5m,問這根鐵棒有多長?

【答案】1.C2.763.4

1.r2=1.52+2’

4.解答：設(shè)伸入油桶中的長度為xm.則最長時：lv=2.5.

，最長是2.5+0.5=3(m).最短時:x=1.5.

，最短是1.5+0.5=2(m).

答:這根鐵棒的長應(yīng)在2?3m之間.

［教學說明］第2題學生理解起來有一定的困難，教師要提醒學生如何利用

勾股定理解決問題，第4題要提示學生什么時候最短，什么時候最長，從而求出

范圍.

四、師生互動，課堂小結(jié)

本節(jié)課我們學習了應(yīng)用勾股定理來解決實際問題.在實際當中，長度計算是

一個基本問題，而長度計算中應(yīng)用最多、最基本的就是解直角三角形，利用勾股

定理已知兩邊求第三邊，我們要掌握好這一有力工具.

【教學說明】

通過感悟與反思的環(huán)節(jié),使學生對勾股定理有更深刻的了解，讓學生感受到數(shù)

學來源于生活又應(yīng)用于生活.

：'課后作業(yè)

完成同步練習冊中本課時的練習.

曾教學反思

本節(jié)從生動有趣的問題情景出發(fā)，通過學生自主探究，運用勾股定理及其逆

定理解決簡單的實際問題，既鞏固了基本知識點，又在將實際問題轉(zhuǎn)化抽象成幾

何圖形的過程中，學會觀察，提高分析能力，滲透數(shù)學建模思想.在教學中教師

應(yīng)通過情景創(chuàng)設(shè)，激發(fā)興趣，鼓勵引導(dǎo)學生經(jīng)歷探索過程，得出結(jié)論，從而發(fā)展

學生的數(shù)學應(yīng)用能力，提高學生解決實際問題的能力.在教學過程中應(yīng)關(guān)注學生

的參與程度，關(guān)注活動中所反映出的思維水平，關(guān)注對實際問題的理解水平，關(guān)

注學生對基本知識的掌握情況和應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實際問題的意識和

能力.在教學過程中尊重學生的個體差異，對于學生的回答教師應(yīng)給予恰當?shù)脑u

價與鼓勵，并幫助學生樹立學習數(shù)學的自信，充分發(fā)揮教育的價值.

第18章勾股定理

18.2勾股定理的逆定理

；、敦與目標

【知識與技能】

L體會勾股定理的逆定理得出過程，掌握勾股定理的逆定理2探究勾股定理

的逆定理的證明方法.

【過程與方法】

1.通過對勾股定理的逆定理的探索，經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展和形成的過程；

2.通過用三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系來判斷三角形的形狀，體驗數(shù)形結(jié)合方法

的應(yīng)用.

【情感態(tài)度】

1.通過用三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系來判斷三角形的形狀，體驗數(shù)與形的內(nèi)在

聯(lián)系，感受定理與逆定理之間的和諧及辯證統(tǒng)一的關(guān)系；

2.通過對勾股定理的逆定理的探索，培養(yǎng)了學生的交流、合作的意識和嚴謹

的學習態(tài)度.同時感悟勾股定理和逆定理的應(yīng)用價值.

【教學重點】

證明勾股定理的逆定理；用勾股定理的逆定理解決具體的問題.

【教學難點】

理解勾股定理的逆定理的推導(dǎo).

學教與亙木呈

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

在古代，沒有直尺、圓規(guī)等作圖工具，人們是怎樣畫直角三角形的呢？

【實驗觀察】

用一根打了13個等距離結(jié)的細繩子，在小黑板上，用釘子釘在第一個結(jié)上,

再釘在第4個結(jié)上，再釘在第8個結(jié)上，最后將第十三個結(jié)與第一個結(jié)釘在一

起.然后用三角板量出最大角的度數(shù).可以發(fā)現(xiàn)這個三角形是直角三角形.（這

是古埃及人畫直角的方法）為什么這樣畫出來的三角形是直角三角形呢？

【教學說明】

通過實驗觀察，使學生對所要學習的內(nèi)容有一個直觀的了解，也使學生感受

數(shù)學與實際生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.

二、合作探究，探索新知

1.用圓規(guī)、刻度尺作△ABC,使AB=5cm,AC=4cm,BC=3cm,量一量/C.

再畫一個三角形，使它的三邊長分別是5cm、12cm、13cm,這個三角形有

什么特征？

2.為什么用上面的三條線段圍成的三角形，就一定是直角三角形呢？它們的

三邊有怎樣的關(guān)系？（學生分組討論，教師適當指導(dǎo)）

學生猜想：如果一個三角形的三邊長a、b、c滿足關(guān)系a2+b2=c2,那么這

個三角形是直角三角形.

【教學說明】學生畫圖還是有一定的困難，教師要讓學生先打草稿，確定畫

圖的方法和步驟，再按要求畫圖，然后通過測量得出結(jié)論，教師再及時予以總結(jié).

3.探究：在下圖中，AABC的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2.如果^ABC是

直角三角形，它應(yīng)該與直角邊是a、b的直角三角形全等.實際情況是這樣嗎？我

們畫一個直角三角形A'B'C,使NC'=90°,A'C'=b,B'C=a.把畫

好的4A'B'C'剪下，放到4ABC上，它們重合嗎？（學生分組動手操作，

教師巡視指導(dǎo)）

4.用三角形全等的方法證明這個命題.（由于難度較大，由教師示范證明過程）

已知：在AABC中，AB=c,BC=a,AC=b,并且a?+b2=c2,如上圖

（1）.求證：ZC=90°.

證明：作AA'B'C,使NC'=90°,A'C=b,B'C=a,如上圖

（2）,那么A'B'2=a2+b2（勾股定理）

又a2+b2=c2（已知）

:.NB'2=?2,A'BZ=C（AZB'>0）

在aABC和aA'B'C'中,

BC=a=B'C',CA=b=C'A',AB=c=A'Bz

.".△ABC^AAZB'C'(SSS)

：.ZC=ZC'=90°,

...△ABC是直角三角形.

5.小結(jié)：勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，

那么這個三角形是直角三角形.

【強調(diào)說明】

(1)勾股定理及其逆定理的區(qū)別.

(2)勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，逆定理是直角三角形的判定定理.

【教學說明】

這個證明有一定的難度，教師要先逐步進行講解，使學生能夠理解，然后教

師再進行強調(diào)，使學生能夠充分掌握勾股定理的逆定理.

三、示例講解，掌握新知

例1根據(jù)下列三角形的三邊a,b,c的值，判斷4ABC是不是直角三角形.如

果是，指出哪條邊所對的角是直角.

(1)a=7,b=24,c=25;

(2)a=7,b=8,c=l1.

解：(1)?..最大邊是c=25最=625,

a2+b2=72+242=625,.\a2+b2=c2.

.??△ABC是直角三角形，最大邊c所對的角是直角.

⑵..?最大邊是c=1102=12l,a2+b2=72+82=113.

Aa2+b2^c2/.AABC不是直角三角形.

【教學說明】這是對勾股定理逆定理的直接應(yīng)用，關(guān)鍵是要讓學生分清斜邊

和直角邊，也要讓學生理解斜邊所對的角是直角.

例2已知：在4ABC中，三條邊長分別為a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),求

證：AABC為直角三角形.

證明：a2+b2=(n2-l)2+(2n)2

=n4-2n2+l+4n2

=n4+2n2+l

=(n2+l)2=c2

/.△ABC為直角三角形.（勾股定理的逆定理）能夠成為直角三角形三條邊

長度的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

【教學說明】

這是一個證明題，要求學生有嚴格的證明和推理過程，同時體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的

思想.

四、練習反饋，鞏固提高

1.一根24米繩子，折成三邊為三個連續(xù)偶數(shù)的三角形，則三邊長分別為

，此三角形的形狀為.

2.一根12米的電線桿AB,用鐵絲AC、AD固定，現(xiàn)已知用去鐵絲AC=15

米，AD=13米，又測得地面上B、C兩點之間距離是9米，B、D兩點之間距離

是5米，那么電線桿和地面是否垂直，為什么？

3.如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小

明計算一下土地的面積，以便計算一下產(chǎn)量.小明找了一卷米尺，測得AB=4米,

BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知NB=90°.

【答案】1.6米，8米，10米，直角三角形

2.AABC>aABD是直角三角形，AB和地面垂直.

3.提示:連結(jié)AC.AC2=AB2+BC2=25,AC2+AD2=CD2,因此NCAB=90°,

S四邊形=SAADC+S^ABC=36平方米.

【教學說明】了解學生學習的效果，讓學生經(jīng)歷運用知識解決問題的過程,

體會勾股定理逆定理的妙用.

五、師生互動，課堂小結(jié)

通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲？還有什么困惑？這節(jié)課我們學習了：

1.勾股定理的逆定理.

2.如何證明勾股定理的逆定理.

3.利用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否為直角三角形.

【教學說明】

學生自主對本節(jié)課知識進行回顧，進一步加深理解和記憶.

;,課后作業(yè)

完成同步練習冊中本課時的練習.

教學反思

在本節(jié)課的教學設(shè)計中，要注意從學生的認知水平和親身感受出發(fā)，通過創(chuàng)

設(shè)認知和數(shù)學史的學習情境，提高學生學習數(shù)學的積極性、學習興趣以及人文意

識，設(shè)計系列活動讓學生經(jīng)歷不同的學習過程.在活動過程中讓學生動手畫圖、

測量、判斷、找規(guī)律，猜想出一般的結(jié)論，然后由學生想、畫、疊等驗證結(jié)論、

證明結(jié)論，使學生自始自終感悟、體驗、嘗試到了知識的生成與發(fā)展過程，品嘗

著成功后帶來的樂趣.這不僅使學生學到獲取知識的思維和方法，同時也體會在

解決問題的過程中與他人合作的重要性，而且為學生今后獲取知識以及探索、發(fā)

現(xiàn)和創(chuàng)造打下了良好的基礎(chǔ)，更增強了學生敢于實踐、勇于探索、不斷創(chuàng)新和努

力學習數(shù)學知識的信心和勇氣.

章末復(fù)習

尊教與目標

【知識與技能】

進一步理解勾股定理及其逆定理，弄清兩定理之間的關(guān)系.

【過程與方法】

復(fù)習直角三角形的有關(guān)知識，形成知識體系.

【情感態(tài)度】

運用勾股定理及其逆定理解決問題.

【教學重點】

復(fù)習直角三角形的有關(guān)知識，形成知識體系.

【教學難點】

運用勾股定理及其逆定理解決問題.

敢與亙睚

一、知識框圖，整體把握

定理：a2+b2=c2

勾直角三角形的性質(zhì)：勾股定理

股應(yīng)用：主要用于計算

定

理直角三角形的判別方法：若三角形的三邊滿足#+/="

則它是一個直角三角形

【教學說明】

教師引導(dǎo)學生回顧本章知識點，邊回顧邊畫出本章知識框圖，使學生對本章

知識有一個總體把握，了解各知識點之間的聯(lián)系，加深對知識點的理解，為后面

的運用奠定基礎(chǔ).

二、釋疑解惑，加深理解

1.勾股定理的應(yīng)用

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之

一，其主要應(yīng)用有：

(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊

(2)已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系.求直角三角形的另兩邊

(3)利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題

2.如何判定一個三角形是直角三角形

(1)先確定最大邊(如c)

(2)驗證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系

(3)若c2=a2+b2,則4ABC是以NC為直角的直角三角形；若cVa2+b2,

則AABC不是直角三角形.

3.勾股數(shù)滿足a?+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)

如(1)3,4,5；(2)5,12,13；(3)6,8,10；

(4)8,15,17;(5)7,24,25;(6)9,40,41

【教學說明】

教師引導(dǎo)學生對本章重點知識和需要注意的問題進行詳細的回顧，使學生對

本章知識進行進一步的理解，形成知識網(wǎng)絡(luò).

三、典例精析，復(fù)習新知

例1在直線1上依次擺放著七個正方形，已知斜放置的三個正方形的面積分

別是1,2,3,正放置的四個正方形的面積依次是5|、$2、$3、54,則S1+S2+S3+S4=—

Si+S2+S3+S4=b2+a2+c2+d2=1+3=4

例2如圖4ABC中，ZC=90°,Z1=Z2,CD=1.5,BD=2.5,求AC的長.

【分析】此題將勾股定理與全等三角形的知識結(jié)合起來

VZ1=Z2,ZC=9O°

.,.DE=CD=1.5

在aBDE中，VZBED=90°,BE=BD2-DE2=2

VRtAACD^RtAAED

，AC=AE在RtAABC中，ZC=90°

，AB2=AC2+BC2,(AE+EB)2=AC2+42/.AC=3

例3如果aABC的三邊分別為a、b、c,a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,

判斷△ABC的形狀.

【分析】要判斷AABC的形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有

條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有從該條件入手，解決問題.

解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,Wa2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

.\(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0.

V(a-3)2^0,(b-4)2^0,(c-5)2>0.，a=3,b=4,c=5.

32+42=52,a2+b2=c2.

由勾股定理的逆定理，得AABC是直角三角形.

總結(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的，在

證明中也常需要用到.

例4如圖，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點，F(xiàn)是AB上一點，且

FB=14AB那么4DEF是直角三角形嗎？為什么？

【分析】這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點摸不著頭腦.仔細讀題會

意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，由FB=-AB可以設(shè)

4

AB=4a,那么BE=CE=2a,AF=3a,BF=a,那么在RtAAFD.RtABEF和RtACDE

中，分別利用勾股定理求出DF,EF和DE的長，反過來再利用勾股定理逆定理去

判斷DEF是否是直角三角形.

解：設(shè)正方形ABCD的邊長為4a,則BE=CE=2a,AF=3a,BF=a

在RtACDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2a)2=20a2

同理EF2=5a2,DF2=25a2

在aDEF中，EF2+DE2=5a2+20a2=25a2=DF2

...△DEF是直角三角形，且NDEF=90°.

例5如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且NQPN=30°,點A處

有一所中學，AP=160m.假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，

那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明

理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h,那么學校受影響的時間為多

【分析】(1)要判斷拖拉機的噪音是否影響學校A,實質(zhì)上是看A到公路

的距離是否小于100m,小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線

段AB并計算其長度.

(2)要求出學校受影響的時間，實質(zhì)是要求拖拉機對學校A的影響所行駛

的路程.因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學校，行至哪一點后結(jié)束影響

學校.

解:作ABLMN,垂足為B.

在RtaABP中，ZABP=90°,ZAPB=30°,AP=160,

AAB=-AP=80.(在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半)

2

?.?點A到直線MN的距離小于100m,

???這所中學會受到噪聲的影響.

如圖，假設(shè)拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛到點C處學校開始受到影響，

那么AC=100(m),

由勾股定理得：BC2=1002-802=3600,二BC=60.

同理，拖拉機行駛到點D處學校開始脫離影響，那么，AD=100(m),BD

=60(m),

，CD=120(m).拖拉機行駛的速度為:18km/h=5m/st=120m4-5m/s=24s.

答：拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校會受到噪聲影響，學校受

影響的時間為24秒.

【總結(jié)升華】

勾股定理是求線段的長度的很重要的方法，若圖形缺少直角條件，則可以通過

作輔助垂線的方法，構(gòu)建直角三角形以便利用勾股定理.

【教學說明】

教師出示典型例題，讓學生先嘗試解答，教師予以講解，在講解的過程中，

應(yīng)著重于知識點的應(yīng)用和解題方法的滲透.

四、復(fù)習訓(xùn)練，鞏固提高

1.如圖（1）、（2）中，（1）正方形A的面積為.（2）斜邊x=,

（1）（2）

2.如圖，已知在Rt/XABC中，NACB=90°,AB=4,分別以AC,BC為直徑作

其中有個直角三角形.

4.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)直角邊

沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長為.

5.如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個

長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為4m的半圓,

其邊緣AB=CD=20m,點E在CD上，CE=2m,一滑行愛好者從A點到E點，

則他滑行的最短距離是多少？（邊緣部分的厚度可以忽略不計，結(jié)果取整數(shù)）

6.如圖，飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一男孩子頭頂上方4000

米處，過了20秒，飛機距離這個男孩頭頂50000米.飛機每小時飛行多少千米？

答案1.（1）36（2）132.2“3.14.3

5.約22米.根據(jù)半圓柱的展開圖可計算得：AE=卮石歹心22米.

6.如圖12,在Rt^ABC中，根據(jù)勾股定理可知,

BC=V50002-40002=3000（米）.

30004-20=150米/秒=540千米/小時.

所以飛機每小時飛行540千米.

【教學說明】

學生獨立完成練習，進一步熟練相關(guān)知識點的應(yīng)用和提高解題能力.

五、師生互動，課堂小結(jié)

通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？

【教學說明】

教師引導(dǎo)學生對本章所學知識進行回顧與反思，對學生提出的疑問進行解

答，幫助學生熟練掌握本章所學知識.

：'課后作業(yè)

完成同步練習冊中本課時的練習.

曾敦與反思

勾股定理是比較重要的知識點，它完美刻畫了直角三角形中三邊的關(guān)系，也

是數(shù)形結(jié)合的一種重要體現(xiàn)，雖然它的知識點很少，但在實際應(yīng)用中很廣泛.

在復(fù)習時給于學生不同題目的類型，使他們能夠充分了解勾股定理的重要性.

通過復(fù)習，讓學生對本單元所學知識系統(tǒng)化，加強前后各部分知識之間的聯(lián)系，

綜合運用所學知識分析解決問題，通過對這些問題的分析解答，達到梳理本章內(nèi)

容，建立一定知識體系的目的.關(guān)注學生運用例子說明自己對有關(guān)知識的理解，

而不是簡單復(fù)述教科書上的結(jié)論.

要讓學生自己繪制知識網(wǎng)絡(luò)圖，進一步體會本章所學知識之間的前后聯(lián)系，

并培養(yǎng)了學生這方面的能力.

設(shè)計的問題盡量與實際問題有聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學來源于實際，又應(yīng)用于生活實

際.

滬科版八年級數(shù)學下知識點總結(jié)

勾股定理知識總結(jié)：

一.基礎(chǔ)知識點：

1:勾股定理

直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a?+b2

=c2）

要點詮釋：

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重

要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：

（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在AABC中，NC=90。，則

c=\]a2+b',b=\]c2-a2,a=\lc2-b'）

（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另

兩邊

（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題

2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長：a、b、c,則有關(guān)系a2+b?=c2,那么這個三

角形是直角三角形。

要點詮釋：

勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重

要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來