人教版數(shù)學九年級上冊23旋轉(zhuǎn)變換的應用

旋轉(zhuǎn)變換的應用

M@知識集結(jié)

知識元

線段、角、三角形的旋轉(zhuǎn)

避知識講解

1.1.圖形旋轉(zhuǎn)時，圖形中的每一個點都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，因此，可以以點帶

面研究圖形的旋轉(zhuǎn).

2.2.圖形的旋轉(zhuǎn)包括：

1.(1)線段的旋轉(zhuǎn)；

2.(2)三角形的旋轉(zhuǎn)；

3.(3)四邊形的旋轉(zhuǎn)等.

!例題精講

線段、角、三角形的旋轉(zhuǎn)

例L

如圖，O是正AABC內(nèi)一點，0A=3,0B=4,0C=5,將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋

轉(zhuǎn)60。得到線段BCX,下列結(jié)論：①ABCTA可以由ABOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到；②點0

與O'的距離為4；③NAOB=15()°；④S四妮AOBO，=6+36；⑤SAAOC+SAAOB=6+g百.其中

正確的結(jié)論是()

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③

【答案】A

【解析】

題干解析：

證明ABOAmABOC,又NOB(y=60。，所以ABOA可以由ABOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到，

故結(jié)論①正確；

由AOBO,是等邊三角形，可知結(jié)論②正確；

在△ACXY中，三邊長為3,4,5,這是一組勾股數(shù)，故小人。。，是直角三角形；進而求得

NAOB=150。，故結(jié)論③正確；

S西邊形AOBO=SAAOO，+SAOBO=6+4>/3,故結(jié)論④錯誤；

如圖②，將AAOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)6()。，使得AB與AC重合，點O旋轉(zhuǎn)至O"點.利用旋

轉(zhuǎn)變換構(gòu)造等邊三角形與直角三角形，將SAAOC+SAAOB轉(zhuǎn)化為SACOO”+SAAO?！保嬎憧傻媒Y(jié)論

⑤正確.

解：由題意可知，N1+N2=/3+42=60。，.?21=N3,

又???OB=OBAB=BC,

???△BO^ABOC,X---Z.OBO'=60°,

??.△BOA可以由ABOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到，

故結(jié)論①正確；

如圖①，連接00，，

???OB=OB,且NOBOFO。，

是等邊三角形，

??.00,=0B=4.

故結(jié)論②正確；

???△BO'A*BOC,；.O'A=5.

在△AOO,中，三邊長為3,4,5,這是一組勾股數(shù),

.?.△AOO,是直角三角形，4Ao(7=90。，

.?2AOB=NAOO'+NBOO'=900+60°=150°,

故結(jié)論③正確;

—X3X4+——X42=6+45/3,

S四邊形ACW=SAAOO，+SAOBO=

24

故結(jié)論④錯誤；

如圖②所示，將AAOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，使得AB與AC重合，點0旋轉(zhuǎn)至0"點.

易知4人。。"是邊長為3的等邊三角形，△C00"是邊長為3、4、5的直角三角形，

1上、29上

貝IISAAOC+SAAOB=SBSHIK；AOCO"=SACOO"+SAAOO"=-x3x4+----x3=6+-------,

244

故結(jié)論⑤正確.

綜上所述，正確的結(jié)論為：①②③⑤.故選：A.

例2.

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(3,0),B(0,4),記RtAOAB為三角形①，按圖

中所示的方法旋轉(zhuǎn)三角形，得到三角形②，則三角形②的直角頂點的坐標為.

【答案】

,r912、

(3H—,—)

55

【解析】

題干解析:先求出直角三角形斜邊上的高，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)觀察4OAB連續(xù)作

旋轉(zhuǎn)變換，得到AOAB每三次旋轉(zhuǎn)后回到原來的狀態(tài)，并且每三次向前移動了

3+4+5=12個單位，于是判斷三角形的狀態(tài)，然后可計算出它的直角頂點的橫坐標,

從而得到三角形②的直角頂點的坐標.解：過點D作DE_Lx軸于點E,

???點A(3,0),B(0,4),??.OB=4,

I------------17Q

OA=3,.-.AB=V32+42=5,.-.OD=y,AD=1,三角形①的直角頂點的坐標為

Q17

(0,0),三角形②的直角頂點的坐標為(3+1,y),故答案為:(3+(,

例3.

如圖，B,C,E三點在一條直線上，4ABC和ADCE均為等邊三角形，連接AE,DB.

(1)AE和DB有何大小關(guān)系，請說明理由；

(2)如果把ADCE繞點C順時針再旋轉(zhuǎn)一個角度，(1)中的結(jié)論還成立嗎？

【答案】

解：(1)AE=DB,???△ABC、ADCE均為等邊三角形，??.BC=AC,CD=CE,

ZBCA=ZDCE=6O°,.-.zBCA+zACD=zDCE+zACD,B|JzBCD=zACE,???在4ACE

AC=BC

和ABCD中，■ZACE=ZBCD,.-.AACESABCD(SAS),??.AE=BD.(2)成立,

CE=CD

D

成立AE=BD：理由如下：如圖,???△ABC、ZkDCE均為

等邊三角形，??.BC=AC,CD=CE,ZBCA=ZDCE=6O°,

??.zBCA+zACD=zDCE+zACD,即4BCD=NACE,???在4ACE和^BCD中，

AC^BC

<NACE=NBCD,.??△ACE三"CD(SAS),.?.AE=BD.

CE=CD

【解析】

題干解析：（1）根據(jù)等邊三角形邊長相等的性質(zhì)和各內(nèi)角為60。的性質(zhì)可求得

△BCD-AACE,根據(jù)全等三角形對應邊相等的性質(zhì)即可求得AE=BD.（2）根據(jù)

題意畫出圖形，證明方法與（1）相同.

四邊形、多邊形的旋轉(zhuǎn)

M@知識講解

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和四邊形、多邊形的性質(zhì)與判定解決問題.

例題精講

0

四邊形、多邊形的旋轉(zhuǎn)

例1.

如圖，將AABC沿BC翻折得到ADBC,再將ADBC繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AFEC,延長

BD交EF于H.己知/ABC=30。，ZBAC-9O°,AC=1,則四邊形CDHF的面積為（）

NCp

E

A百BC.立D.顯

12632

【答案】c

【解析】

題干解析：

利用解直角三角形得到BC=2AC=2,/\B=JL再利用翻折、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知AC=CD=CF=1,

NACB=NBCD=NFCE=60°,CE=CB=2,，EF=BD=AB=6，ZE=ZABC=3O°,則DE=1,接著計

算出DH=----DE=-----,然后利用S四邊形CDHF=S^CEF-SADEH進行計,算.

33

解：vzABC=30°,ZBAC=9O°,AC=1,

.，.BC=2AC=2,

.?.AB=dBC?-AC。=G，

由翻折、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知AC=CD=CF=1,ZACB=ZBCD=ZFCE=60°

.-.ZACF=18()°,即點A、C、F三點共線，CE=CB=2,EF=BD=AB=6Z.E=ZABC=3O°,

.??DE=2.1=1,

?上百百

在RSDEH中，DH=—DE=—,

33

S四邊賬CDH產(chǎn)SACEF-SADEH=yxlx-y3.—xlx-^-=.故選C-

例2.

如圖，正方形ABCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30。后得到正方形BEFG,EF與AD相交于點H,延長

DA交GF于點K.若正方形ABCD邊長為則AK=

KD

【答案】

2技3

【解析】

題干解析:連接BH,由正方形的性質(zhì)得出NBAH=4ABC=4BEH=4F=90°,由旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)得：AB=EB,ZCBE=3O°,得出NABE=60°,由HL證明RsABH三Rt/kEBH,

得出NABH=ZEBH=‘zABE=30。，AH=EH,由三角函數(shù)求出AH,得出EH、FH,

2

再求出KH=2FH,即可求出AK.解：連接BH,如圖所示：???四邊形ABCD和四

邊形BEFG是正方形，.-.ZBAH=ZABC=ZBEH=ZF=9O°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=EB,

*土?\BH=BH

ZCBE=3O°,.-.ZABE=60°,在Rt^ABH和Rt^EBH中，4，

AB=EB

???RtAABH=ARtAEBH(HL),.-.zABH=zEBH=-zABE=30°,AH=EH,

2

.-.AH=AB?tanzABH=>/3x—=1,.?.EH=1,.-.FH=V3-1,在RsFKH中，

3

ZFKH=3O°,.-.KH=2FH=2(V3-1),.-.AK=KH-AH=2(百/)-1=2x/3-3；故答案

例3.

如圖所示，兩個完全一樣的正方形ABOC和正方形DEMF,正方形DEMF的頂點E與正方形

ABOC的中心重合，將正方形DEMF繞點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點

P,射線EF與線段AB相交于點G,與射線CA相交于點Q.若AQ=12,BP=3,貝IPG=

2

【答案】

5

【解析】

題干解析:首先得出ABEPs^CQE,進而求出BE的長，再得出△BEGs^EPG,即

可得出些=處=受，求出PG的長即可.解：?.NQEC=180OzDEFzBEP=135。-

EPEGPG

乙BEP,ZBPE=18O°-ZPBE-ZBEP=135°-ZBEP,AZQEC=ZBPE,又

???ZPBE=ZEQC=45°,.--△BEP-ACQE,—=——，設(shè)EC=x,則BE=x,AC=血

QCEC

X

x,故---j--~,解得：X1=6V2,X2=-3V2（舍去），［AB=AC=6后x&

12+V2xx

=12,則AP=9,過點P作PN1BE于點N,???BP=3,ZB=45°,

??.BN=PN=^,故NE=^^,則PE=3石，??2EBG=NPEG,zBGE=zEGP,

22

???△BEG-AEPG,—=—=設(shè)PG=y,.?.華=過金=空，解得：

EPEGPG36EGy

y=5.故答案為：5.

手拉手

M@知識講解

”手拉手”模型：

當兩個等邊三角形、等腰直角三角形、等腰三角形共頂點時就會出現(xiàn)“手拉手”模型，有手拉手

就會有全等.

'例題精講

手拉手

例1.

如圖，^ABC與4ADE均是等腰直角三角形，連接BD、CE.

（1）探索BD與CE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；

（2）如果把4ADE繞點A旋轉(zhuǎn)一周，（1）中的結(jié)論是否還成立，直接寫出結(jié)論.

【答案】

(1)BD=CE,BDJ_CE.理由如下：與AADE均是等腰直角三角形，

/.AB=AC,AD-AE,ABAC=ZDAE=90°,AZBAD=ZCAE,AAABD^AACE,

；.BD=CE,ZABD=ZACE,VZABD+ZDBC+ZACB=90°,NACE

+ZDBC+ZACB=90°ABDICE

(2)依然成立.BD=CE,BD±CE

【解析】

題干解析：(1)根據(jù)SAS得到AABE三ZkCBD.從而AE=CD,zBAE=zBCD,再運用角

度計算得到NAFG=90。，從而得到垂直.(2)證明方法同上.

例2.

如圖1,在RtAABC中，4A=90。，AB=AC,點D,E分別在邊AB,AC±,AD=AE,連接

DC,點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點.

（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

（2）探究證明：把AADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN,BD,CE,判斷

△PMN的形狀，并說明理由；

（3）拓展延伸：把AADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4,AB=10,請直接寫出APMN

面積的最大值.

【答案】

解：（1）???點P,N是BC,CD的中點，iPNIIBD,PN=-BD,???點P,M是CD,

2

DE的中點，.-.PMHCE,PM=-CE,???AB=AC,AD=AE,；.BD=CE,..PM=PN,

2

???PNIIBD,.-.zDPN=zADC,「PMIICE,.-.zDPM=zDCA,?.zBAC=9（）。，

.-.zADC+zACD=90°,.?.zMPN=zDPM+zDPN=zDCA+zADC=90°,???PM_LPN,故

答案為：PM=PN,PM1PN,（2）由旋轉(zhuǎn)知，ZBAD=ZCAE,-.AB=AC,AD=AE,

.-.△ABD=AACE（SAS）,.-.ZABD=ZACE,BD=CE,同（1）的方法，利用三角

形的中位線得，PN=-BD,PM=1CE,.?.PM=PN,.?.△PMN是等腰三角形，同

22

（1）的方法得，PMHCE,.-.zDPM=zDCE,同（1）的方法得，PN||BD,

.-.zPNC=zDBC,vzDPN=zDCB+zPNC=zDCB+zDBC,

.-.zMPN=zDPM+zDPN=zDCE+zDCB+zDBC=zBCE+zDBC=zACB+zACE+zDB

C=zACB+z.ABD+zDBC=zACB+zABC,???zBAC=90°,.-.zACB+zABC=90°,

??ZMPN=9O。，??.△PMN是等腰直角三角形，（3）如圖2,同（2）的方法得，

△PMN是等腰直角三角形，.'MN最大時，^PNIN的面積最大，??.DEIIBC且DE在

頂點A上面，.'MN最大=AM+AN,連接AM,AN,在4ADE中，AD=AE=4,

ZDAE=9O°,???AM=2夜，在RsABC中，AB=AC=10,AN=5正，iMN城大=2

LLL1111廠49

v2+5v2=7v2,???S^PMN鼓大二-PM2=-x—MN2=—x（7A/2）2——.方法2、

22242

由（2）知，ZkPMN是等腰直角三角形，PM=PN=LBD,.??PM最大時，，ZkPMN面

2

積最大，二點D在AB的延長線上，??.BD=AB+AD=14,”1^=7,；.SAPMN加大=，

2

【解析】

題干解析：（1）利用三角形的中位線得出PM=，CE,PN=-BD,進而判斷出

22

BD=CE,即可得出結(jié)論，再利用三角形的中位線得出PMHCE得出4DPM=ZDCA,

最后用互余即可得出結(jié)論；（2）先判斷出4ABD三Z1ACE,得出BD=CE,同（1）

的方法得出PM=1BD,PN=-BD,即可得出PM=PN,同（1）的方法即可得出

22

結(jié)論；（3）方法1、先判斷出MN最大時，4PMN的面積最大，進而求出AN,

AM,即可得出MN最大=AM+AN,最后用面積公式即可得出結(jié)論.方法2、先判

斷出BD最大時，△PMN的面積最大，而BD最大是AB+AD=14,即可.

半角模型

遍知識講解

半角模型：

當題中出現(xiàn)一個角等于另一角的一半，且共端點的線段相等時就是半角模型，常采用旋轉(zhuǎn)將分

散的條件集中起來，為下一步的證明做好鋪墊.

'例題精講

半角模型

例i.

如圖，已知正方形ABCD的邊長為3,E、F分另I」是AB、BC邊上的點，且NEDF=45。，將

△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到ADCM.若AE=1,則FM的長為.

【答案】

解：???△DAE逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到ADCM,.?.zFCM=zFCD+zDCM=180o,.-.F>C、

M三點共線，??.DE=DM,ZEDM=9O°,.?.NEDF+乙FDM=90°,vzEDF=45°,

DE=DM

.-.zFDM=zEDF=45°,在ADEF和ADNIF中，,NEDF=NFDM,.-.ADEFSAOMF

DF=DF

(SAS),.-.EF=MF,設(shè)EF=MF=x,TAE=CM=1,且BC=3,

???BM=BC+CM=3+1=4,.?.BF=BM-MF=BM-EF=4-x,???EB=AB-AE=3-1=2,在

RtZkEBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EP,即2?+(4-x)2=x2,解得：x=-,.-.FM=

2

—.故答案為：—.

22

【解析】

題干解析:由旋轉(zhuǎn)可得DE=DM,4EDM為直角，可得出4EDF+4MDF=90°,由

ZEDF=45°,得到NMDF為45°,可得出NEDFzMDF,再由DF=DF,利用SAS可

得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應邊相等可得出EF=MF；

則可得至UAE=CM=1,正方形的邊長為3,用AB-AE求出EB的長，再由BC+CM

求出BM的長，設(shè)EF=MF=x,可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x,在直角三角形

BEF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為FM的

長.

例2.如圖，在AABC中，AB=AC,NBAC=12()。.點D、E是BC邊上兩點，且

NDAE=60°.若BD=5,CE=8.求DE的長度.

BDE

【答案】

■■AB=AC,可把△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)

120。得至：.BE'=EC=^AE'=AE,Z-E'AB=/.EAC,???zBAC=120°,zDAE=60°,

.?,ZBAD+ZE4C=60o,.■./.E'AD=Z.E'AB+Z.BAD=^,在AEA。和△EAO中

AE'=AE,^E'AD=^EAD,AD=AD.-.^E'AD=^EAD(SAS),：.E'D=ED,過￡作EF1BD于

點F,vAB=AC,ZBAC=120°,.-.zABC=zC=zFBA=3()o,."'BF=60。,:/BE'F=3。。,

1

：.BF=?BE'=4,E'F=4,：BD=5,；.FD=BD-BF=1,在RsE'FO中,由勾股定理可

得￡0=（4西>+12=7,:.DE=7.

【解析】

題干解析:把AAEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120。得到AAEB,再結(jié)合條件可證明

△AET）三AAED,可得DE，=DE,過E，作EFLBD于點F,可求得DF和E，F(xiàn)的長，

在RtAETD中可求得DES則可求得DE.

例3.

正方形ABCD中，ZEAF=45°.求證：EF=BF+DE.

【答案】

證明：?.?四邊形ABCD為正方形，??.AB=AD,2BAD=zD=4ABC=90°,.??把4AED

繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到4ABG,如圖，叢6=人￡,BG=DE,zEAG=90°,

zABG=zD=90°,.?.點G在CB的延長線上，??.BF+BG=GF,??2EAF=45°,

AF^AF

.?zGAF=45°,在^AEF和^AGF中，■ZEAF=ZGAF,.-.AAEFSAAGF,.-.EF=FG,

AE^AG

???EF=BF+BG=BF+DE.

【解析】

題干解析:先由正方形的性質(zhì)得AB=AD,ZBAD=ZD=ZABC=9O°,則可把4AED繞

點A順時針旋轉(zhuǎn)9()。得到4ABG,如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AG=AE,BG=DE,

ZEAG=9O°,ZABG=ZD=9O°,于是可判斷點G在CB的延長線上，得到

BF+BG=GF,然后證明4AEF三ZkAGF得至UEF=FG,于是有EF=BF+BG=BF+DE.

1對角互補

知識講解

四邊形對角互補模型:

在四邊形中，如果出現(xiàn)一個角的兩邊相等且另兩個對角互補，就是對角互補模型.對角互補的

原形是角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，可以通過旋轉(zhuǎn)將互補的角變?yōu)橄嗟冉菑亩玫?/p>

全等.

例1.如圖，在aABC中，點D為BC邊的任意一點，以點D為頂點的NEDF的兩

邊分別與邊AB,AC交于點E、F,且NEDF與NA互補.

若AB=AC,D為BC的中點時，線段DE—DF（填“或，’）

【答案】

【解析】

題干解析：如圖，因為AB=AC且點D是BC邊的中點，根據(jù)等腰三角形三線合一可知,

AD平分NBAC.當圖中出現(xiàn)角平分線時，向角的兩邊作垂線是常見的輔助線；同時，

題中還存在對角互補四邊形，且題中沒有明顯的共端點相等線段，所以旋轉(zhuǎn)不予考

慮.從以上分析得，可通過點D作DM1AB,DN±AC.可證ADME會ADNE,所以DE=DF.

例2.已知，在Rt^ABC,ZABC=90°,AB=5,以斜邊AC為邊向外做正方形

ACDE,連接AD、CE交于點M,連接BM,若BM=6正，則BC=

【答案】

7

【解析】

題干解析:由正方形的性質(zhì)可知，2AMC=90。.所以NABC+NAMC=180。.滿足對角互

補.根據(jù)對角互補作垂線，過點M作MPLAB,MQLBC垂足分別為點P,Q.如下圖:

E<

y易證4MPA三△MQC,因此MP=MQ,由此可得，四邊形

BQMP是正方形.所以MQ=BQ.又因為BM=6應，根據(jù)勾股定理可得，BP=6.由此

可得，AP=1=CQ.所以，BC=7.

例3.

如圖，在AABC中，ZBAC=120°,以BC為邊作等邊三角形ABCD,把AABD繞著點D按順

時針方向旋轉(zhuǎn)60。后得到AECD,若AB=5,AC=2.

求：(l)NBAD的度數(shù)；

(2)AE的長.

【答案】

解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)得AABD三ZkECD,.ZABD=4ECD,AD

=DE,ZADE=6O°,又???在四邊形ABDC中，zBAC+zCDB+zABD+zACD=

360°,A120°+zABD+zACD+60°=360°,.-.zABD+zACD=180°,.-.zACD+

ZECD=18O°,.--A,C,E三點在一條直線上，??.△ADE為等邊三角形，二28人口=

zE=60°.（2）由（1）知CE=AB=5,??.AE=AC+CE=7.

【解析】

題干解析：（1）由旋轉(zhuǎn)得到4ABD三AECD,從而得到4ADE為等邊三角形，于是

可得NBAD=4E=60°.（2）由（1）知CE=AB=5,??.AE=AC+CE=7.

'利用旋轉(zhuǎn)求最值

遍知識講解

利用旋轉(zhuǎn)求最值的依據(jù)是兩點之間，線段最短。已知線段AB=a,AC=b（a>b），可以看成是點C

繞著點A旋轉(zhuǎn)（圖1）,

B-

圖人

當點C在線段AB上時，線段BC取得最小值為a-b,（圖2）

kx

ae

圖2?

當點C在BA的延長線上時，線段BC取得最大值為a+b（圖3）.

例題精講

Z利用旋轉(zhuǎn)求最值

例L

如圖，在RtZkABC中，Z.ACB=90°,將AABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到AABC,M是BC的中

點，P是AB的中點，連接PM.若BC=2,NBAC=30。，則線段PM的最大值是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

題干解析：

如圖連接PC.思想求出PC=2,根據(jù)PMSPC+CM,可得PMW3,由此即可解決問題.

解：如圖連接PC.

在Rt^ABC中，??2A=30°,BC=2,

.，?AB=4,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可知，AB』AB=4,

???A'P=PB',

；.PC=」AB=2,

2

?；CM=BM=1,

XvPM<PC+CM,即PM<3,

；.PM的最大值為3（此時P、C、M共線）.

故選B.

例2.

如圖，在RfAABC中，ZACB=9O°,zA=30。，AC=4,BC的中點為點D,將AABC繞點C

順時針旋轉(zhuǎn)任意一個角度得到AFEC,EF的中點為點G,連接DG,在旋轉(zhuǎn)過程中，DG的最

大值是（）

A.4B.6C.2+273D.8

【答案】B

【解析】

題干解析：

解：???ZACB=9O°,ZA=3O°,

r~5/3

??.AB=AC+cos300=4,3+2—=8,

2

BC=AC?tan30°=4>/3x—M,

3

???BC的中點為D,BC='x4=2,

22

連接CG,

???△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意一個角度得到AFEC,EF的中點為G,

111

.??CG=—EF=—AB=—x8=4,

222

由三角形的三邊關(guān)系得，CD+CODG,

???D、C、G三點共線時DG有最大值,此時DG=CD+CG=2+4=6.故選：B.

構(gòu)造基本模型

知識講解

當現(xiàn)有的條件不能充分利用或得不到結(jié)論時，能夠及時發(fā)現(xiàn)基本模型的潛在條件，選擇合適的

方法添加輔助線，從而使問題得以解決.

例題精講

構(gòu)造基本模型

例1.

如圖，點E是正方形ABCD內(nèi)一點，連結(jié)AE、BE、DE.若AE=2,BE=/，zAED=135°,

則正方形ABCD的面積為.

【答案】

11+2V14

【解析】

題干解析:解：如圖，把ZkADE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。得到ZkABE，則E，B=DE,

AE=AE：?旋轉(zhuǎn)角是90°,??.NEAE，=90°,.?.△EAE，是等腰直角三角形，??.EE，=0

?AE=2V2,ZAE，E=45。，vzAED=135°,--.ZAE,B=ZAED=135O,--.zEE,B=135°.

45°=90°,在Rt^EEB中，由勾股定理得，BE'=DE=dBE。-EE。=布,過點A

作垂線垂直于BE，，交BE的延長線于點G,可求出RT三角形AGB的AG和BG

的長，分別為0和&+萬在2kABG中，由勾股定理可知AB?=2+0+行2...正方

形ABCD的面積=AB2=ll+2故答案為：.

“氣將分散的條件集中

避知識講解

當現(xiàn)有的條件不能充分利用或得不到結(jié)論時，能夠及時發(fā)現(xiàn)基本模型的潛在條件，選擇合適的

方法添加輔助線，從而使問題得以解決.

例題精講

---------1將分散的條件集中

例1.

如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點，且PA：PB：PC=1：2：3,求NAPB的度數(shù).

【答案】

解：PA：PB：PC=1：2：3,設(shè)PA=k,PB=2k,PC=3k,把ABCP繞B點順時針方

向旋轉(zhuǎn)90°得至ibBAE.?.?BP=BE,zPBE=90°,

花=(2k)2+(2k)2,PE=k又在AAPE中，

AE=CP=3k.快+干=NAPE=90。.即

ZAPB=90°+45o=135o.AZAPB=135°.

【解析】

題干解析:ABCP繞B點順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到ABAE可得RsAPE和等腰

RtAPBE,得到90。、45°,最后求得4APB的度數(shù).

例2.

如圖，在RSABC中，ZBAC=9O°,AB=AC,E、F分別是BC上兩點，滿足NEAF=45。，若

AB=屈，BE=3,求EF和CF的長.

B

【答案】

解：?.2BAC=9()°,AB=AC,??.將4ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得^ACG,連FG,

如圖，??.AG=AE,CG=BE,Zl=zB,zEAG=90°,

.-.zFCG=zACB+Z1