定量投資分析（第2版）

定量投資分析（第2版）目錄\h第1章貨幣的時間價值\h1.1引言\h1.2利率：經(jīng)濟(jì)學(xué)的解釋\h1.3單筆現(xiàn)金流的將來值\h1.3.1復(fù)利的頻數(shù)\h1.3.2連續(xù)復(fù)利\h1.3.3報價利率和有效利率\h1.4現(xiàn)金流序列的將來值\h1.4.1等額現(xiàn)金流序列——普通年金\h1.4.2不等額現(xiàn)金流序列\(zhòng)h1.5單筆現(xiàn)金流的現(xiàn)值\h1.5.1求解單筆現(xiàn)金流的現(xiàn)值\h1.5.2復(fù)利的頻數(shù)\h1.6現(xiàn)金流序列的現(xiàn)值\h1.6.1等額現(xiàn)金流序列的現(xiàn)值\h1.6.2無限期等額現(xiàn)金流序列的現(xiàn)值——永續(xù)年金\h1.6.3始點(diǎn)不在零時刻的現(xiàn)金流序列的現(xiàn)值\h1.6.4不等額現(xiàn)金流序列的現(xiàn)值\h1.7求解利率、期數(shù)或年金支付額\h1.7.1求解利率和增長率\h1.7.2求解期數(shù)\h1.7.3求解年金支付額\h1.7.5現(xiàn)金流可加性原理\h第2章貼現(xiàn)現(xiàn)金流的應(yīng)用\h2.1引言\h2.2凈現(xiàn)值和內(nèi)部收益率\h2.2.1凈現(xiàn)值和凈現(xiàn)值準(zhǔn)則\h2.2.2內(nèi)部收益率和內(nèi)部收益率準(zhǔn)則\h2.2.3與內(nèi)部收益率準(zhǔn)則相關(guān)的問題\h2.3投資組合收益的度量\h2.3.1貨幣加權(quán)收益率\h2.3.2時間加權(quán)收益率\h2.4貨幣市場收益率\h第3章統(tǒng)計學(xué)概念和市場收益率\h3.1引言\h3.2一些基本概念\h3.2.1統(tǒng)計學(xué)的本質(zhì)\h3.2.2總體和樣本\h3.2.3度量尺度\h3.3用頻數(shù)分布匯總數(shù)據(jù)\h3.4數(shù)據(jù)的圖形表示\h3.4.1直方圖\h3.4.2頻數(shù)多邊形和累積頻數(shù)分布圖\h3.5集中趨勢的度量\h3.5.1算術(shù)平均數(shù)\h3.5.2中位數(shù)\h3.5.3眾數(shù)\h3.5.4有關(guān)均值的其他概念\h3.6位置的度量：分位數(shù)\h3.6.1四分位數(shù)、五分位數(shù)、十分位數(shù)、百分位數(shù)\h3.6.2分位數(shù)在投資中的應(yīng)用\h3.7離散度的度量\h3.7.1極差\h3.7.2平均絕對偏差\h3.7.3總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差\h3.7.4樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差\h3.7.5半方差、半離差及其相關(guān)概念\h3.7.6切比雪夫不等式\h3.7.7變異系數(shù)\h3.7.8夏普比率\h3.8收益率分布的對稱性和偏度\h3.9收益率分布的峰度\h3.10使用幾何平均和算術(shù)平均\h第4章概率論中的一些概念\h4.1引言\h4.2概率、期望值和方差\h4.3投資組合的期望收益和收益的方差\h4.4概率論的一些議題\h4.4.1貝葉斯公式\h4.4.2計數(shù)原理\h第5章常用概率分布\h5.1引言\h5.2離散型隨機(jī)變量\h5.2.1離散均勻分布\h5.2.2二項(xiàng)分布\h5.3連續(xù)型隨機(jī)變量\h5.3.1連續(xù)均勻分布\h5.3.2正態(tài)分布\h5.3.3正態(tài)分布的應(yīng)用\h5.3.4對數(shù)正態(tài)分布\h5.4蒙特卡羅模擬\h第6章抽樣和估計\h6.1引言\h6.2抽樣\h6.2.1簡單隨機(jī)抽樣\h6.2.2分層隨機(jī)抽樣\h6.2.3時間序列數(shù)據(jù)和橫截面數(shù)據(jù)\h6.3樣本均值的分布\h6.4總體均值的點(diǎn)估計和區(qū)間估計\h6.4.1點(diǎn)估計量\h6.4.2總體均值的置信區(qū)間\h6.4.3樣本量的選擇\h6.5抽樣中的若干問題\h6.5.1數(shù)據(jù)挖掘的偏差\h6.5.2樣本選擇的偏差\h6.5.3前視偏差\h6.5.4時期偏差\h第7章假設(shè)檢驗(yàn)\h7.1引言\h7.2假設(shè)檢驗(yàn)\h7.3關(guān)于均值的假設(shè)檢驗(yàn)\h7.3.1對單個均值的檢驗(yàn)\h7.3.2對均值間差異的檢驗(yàn)\h7.3.3對（配對樣本）均值差的檢驗(yàn)\h7.4關(guān)于方差的假設(shè)檢驗(yàn)\h7.4.1對單個方差的檢驗(yàn)\h7.4.2對兩個方差是否相等的檢驗(yàn)\h7.5其他議題：非參數(shù)推斷\h7.5.1相關(guān)性檢驗(yàn)：斯皮爾曼（Spearman）秩相關(guān)系數(shù)\h7.5.2非參數(shù)推斷：總結(jié)\h第8章相關(guān)性和回歸\h8.1引言\h8.2相關(guān)性分析\h8.2.1散點(diǎn)圖\h8.2.2相關(guān)性分析\h8.2.3計算和解釋相關(guān)系數(shù)\h8.2.4相關(guān)性分析的局限\h8.2.5相關(guān)性分析的應(yīng)用\h8.2.6相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)\h8.3線性回歸\h8.3.1單變量的線性回歸\h8.3.2線性回歸模型的前提假設(shè)\h8.3.3估計量的標(biāo)準(zhǔn)誤差\h8.3.4決定系數(shù)\h8.3.5假設(shè)檢驗(yàn)\h8.3.6單變量回歸中的方差分析\h8.3.7預(yù)測區(qū)間\h8.3.8回歸分析的局限\h第9章多元回歸和回歸分析中的問題\h9.1引言\h9.2多元線性回歸\h9.2.1多元線性回歸模型的前提假設(shè)\h9.2.2預(yù)測多元線性回歸模型中的因變量\h9.2.3檢驗(yàn)是否所有回歸系數(shù)為零\h9.2.4調(diào)整后的R平方\h9.3虛擬變量在回歸中的使用\h9.4回歸假設(shè)的違背\h9.4.1異方差\h9.4.2序列相關(guān)\h9.4.3多重共線性\h9.4.4異方差、序列相關(guān)、多重共線性：問題的總結(jié)\h9.5模型設(shè)定和設(shè)定中的錯誤\h9.5.1模型設(shè)定的原則\h9.5.2函數(shù)形式誤設(shè)定\h9.5.3時間序列誤設(shè)定（自變量與誤差相關(guān)）\h9.5.4其他類型時間序列誤設(shè)定\h9.6因變量是定性變量的模型\h第10章時間序列分析\h10.1引言\h10.2處理時間序列數(shù)據(jù)所面臨的挑戰(zhàn)\h10.3趨勢模型\h10.3.1線性趨勢模型\h10.3.2對數(shù)線性趨勢模型\h10.3.3趨勢模型和誤差項(xiàng)相關(guān)性檢驗(yàn)\h10.4自回歸時間序列模型\h10.4.1協(xié)方差平穩(wěn)序列\(zhòng)h10.4.2檢測自回歸模型中的序列相關(guān)誤差\h10.4.3均值回復(fù)\h10.4.4多期預(yù)測和預(yù)測的鏈?zhǔn)椒▌t\h10.4.5比較預(yù)測模型的表現(xiàn)\h10.4.6回歸系數(shù)的不穩(wěn)定性\h10.5隨機(jī)游走和單位根\h10.5.1隨機(jī)游走\(yùn)h10.5.2非平穩(wěn)數(shù)據(jù)的單位根檢驗(yàn)\h10.6移動平均時間序列模型\h10.6.1用n期移動平均平滑歷史數(shù)據(jù)\h10.6.2用移動平均時間序列模型來進(jìn)行預(yù)測\h10.7時間序列模型中的季節(jié)性\h10.8自回歸移動平均模型\h10.9自回歸條件異方差模型\h10.10兩個以上時間序列的回歸\h10.11時間序列的其他議題\h10.12時間序列預(yù)測建議采取的步驟\h第11章投資組合的概念\h11.1引言\h11.2均值方差分析\h11.2.1最小方差前沿及其相關(guān)概念\h11.2.2擴(kuò)展到3種資產(chǎn)的情況\h11.2.3多個資產(chǎn)最小方差前沿的確定\h11.2.4分散化和投資組合的規(guī)模\h11.2.5存在無風(fēng)險資產(chǎn)條件下的投資組合選擇\h11.2.6資本資產(chǎn)定價模型\h11.2.7均值方差投資組合選擇規(guī)則：一個介紹\h11.3均值方差分析在應(yīng)用中的問題\h11.3.1估計均值方差優(yōu)化問題中的輸入?yún)?shù)\h11.3.2最小方差前沿的不穩(wěn)定性\h11.4多因素模型\h11.4.1因素和多因素模型的類型\h11.4.2宏觀經(jīng)濟(jì)因素模型的結(jié)構(gòu)\h11.4.4基本面因素模型的結(jié)構(gòu)\h11.4.5多因素模型在當(dāng)前實(shí)踐中的運(yùn)用\h11.4.6應(yīng)用\h11.4.7總結(jié)\h附錄\h術(shù)語表注：原文檔電子版（非掃描），需要的請下載本文檔后留言謝謝。第1章貨幣的時間價值1.1引言作為個人，我們經(jīng)常會面臨為未來之需存款，或者為當(dāng)前消費(fèi)借款的決策問題。這時，如果是進(jìn)行存款，我們需要決定存款的金額，而如果是為購物而申請貸款，那么我們就需要決定借款的金額。作為投資分析師，我們的許多工作要涉及對各類交易進(jìn)行評估，這些交易往往具有當(dāng)前與未來的現(xiàn)金流。例如，當(dāng)我們給一個證券定價時，我們就是在試圖確定一系列未來現(xiàn)金流的價值。要想使得上述所有的工作都能夠正確地完成，我們就必須理解貨幣時間價值問題中的數(shù)量關(guān)系。貨幣具有時間價值的原因在于，對于給定數(shù)量的一筆錢，人們認(rèn)為越早收到，其價值越高。因此，當(dāng)前數(shù)額較小的一筆資金可能與未來獲得的一筆數(shù)額較大的資金具有相同的價值。貨幣的時間價值（timevalueofmoney）作為量化投資分析中的一個議題，討論的就是不同時點(diǎn)現(xiàn)金流之間的等價轉(zhuǎn)換關(guān)系。掌握貨幣時間價值的概念和計算方法對于投資分析師是最基本的要求。本章的內(nèi)容安排如下：第2節(jié)介紹一些在本章中將會用到的術(shù)語，并為我們將要討論的變量提供一些經(jīng)濟(jì)學(xué)上的直觀解釋；第3節(jié)著手解決當(dāng)前的一筆投資在未來時點(diǎn)上的價值的確定問題；第4節(jié)闡述現(xiàn)金流序列將來值的確定問題。上述兩節(jié)提供將單筆現(xiàn)金流或現(xiàn)金流序列換算成在未來時點(diǎn)上的對等價值的一些方法；第5節(jié)和第6節(jié)分別討論單筆未來現(xiàn)金流和未來現(xiàn)金流序列在當(dāng)前時點(diǎn)的換算值；在第7節(jié)中，我們探討如何確定貨幣時間價值問題中其他相關(guān)的變量。1.2利率：經(jīng)濟(jì)學(xué)的解釋在本章中，我們將頻繁地提到利率。在一些例子中，我們會假定利率是一個特定的數(shù)值；而在另一些例子中，利率將會是我們需要去求解的未知變量。在討論貨幣時間價值問題的原理之前，我們必須闡述一些基本的經(jīng)濟(jì)學(xué)概念。在本節(jié)中，我們簡要地給出利率的含義及解釋。貨幣的時間價值考慮的是發(fā)生在不同日期的現(xiàn)金流之間的換算關(guān)系。換算關(guān)系的想法相對比較簡單?？紤]如下交易：今天你支付10000美元，同時作為回報收到9500美元。你會愿意接受這樣的安排嗎？不大可能。但是如果你在今天收到9500美元，而在1年之后才支付10000美元，你會接受這個交易嗎？這兩筆錢能夠認(rèn)為是等價的嗎？有可能的，因?yàn)?年后支付的10000美元的價值對你來講可能低于今天支付的10000美元的價值。因此，對在1年后收到的10000美元進(jìn)行貼現(xiàn)（discount）是公平的；也就是說，根據(jù)付款前所要經(jīng)過的時間長短來削減貨幣的價值。利率（interestrate），記為r，是一種收益率，它反映了不同日期發(fā)生的現(xiàn)金流之間的關(guān)系。如果今天的9500美元和1年之后的10000美元在價值上是相等的，那么$10000-$9500=$500就是對于1年后而不是現(xiàn)在收到10000美元所要求的補(bǔ)償。利率表示為以收益率形式表示的補(bǔ)償要求，為$500/$9500=0.0526或者為5.26%。我們可以從三個角度來認(rèn)識利率。首先，利率可以被認(rèn)為是所要求的收益率，即投資者接受某項(xiàng)投資所要求獲得的最低收益率。其次，利率可以視為貼現(xiàn)率。在上面的例子中，5.26%就是我們用來貼現(xiàn)未來的10000美元以求得其當(dāng)前價值的一個比率。因此，我們幾乎總是交替使用著“利率”和“貼現(xiàn)率”這兩個術(shù)語。再次，利率可以看做是機(jī)會成本。機(jī)會成本（opportunitycost）是指投資者由于采取某項(xiàng)特定的行動而放棄的價值。在上面的例子中，如果提供9500美元的這一方選擇直接在今天消費(fèi)這筆錢而不是借給另一方，那么他就放棄了獲得5.26%收益的機(jī)會，所以我們可將5.26%視為當(dāng)前消費(fèi)的機(jī)會成本。經(jīng)濟(jì)學(xué)告訴我們，利率是由市場中的供給和需求的力量所決定的，投資者是資金的供給方，而借款者是資金的需求方。如果從投資者的角度來分析由市場決定的利率，我們可以將利率r看做由實(shí)際無風(fēng)險利率和4種風(fēng)險溢價所組成的。所謂風(fēng)險溢價就是指由于承擔(dān)不同的風(fēng)險所需要獲得的額外報酬或補(bǔ)償?！?shí)際無風(fēng)險利率（realrisk-freeinterestrate）是指在沒有通貨膨脹預(yù)期條件下，完全無風(fēng)險證券的單期利率。在經(jīng)濟(jì)理論中，實(shí)際無風(fēng)險利率反映的是人們選擇在當(dāng)前或未來進(jìn)行實(shí)際消費(fèi)的時間偏好。·通貨膨脹風(fēng)險溢價（inflationpremium）是對投資者所面臨的預(yù)期通脹的補(bǔ)償，它反映了從當(dāng)前到債務(wù)到期期間預(yù)期的平均通貨膨脹率。通貨膨脹降低了單位貨幣的購買力，即單位貨幣可以購買的商品或服務(wù)的數(shù)量。實(shí)際無風(fēng)險利率與通貨膨脹風(fēng)險溢價之和稱為名義無風(fēng)險利率（nominalrisk-freeinterestrate）\h[1]。許多國家有政府短期債券，其利率可被認(rèn)為代表了該國家的名義無風(fēng)險利率。例如，美國90天的國庫券利率代表了那個時間段美國的名義無風(fēng)險利率\h[2]。美國國庫券可以以很低的交易成本大量地進(jìn)行買賣，并且得到美國政府的履約承諾和信用的支持?！み`約風(fēng)險溢價（defaultriskpremium）是由于存在借款人未按照合同約定的時間和數(shù)額履行所承諾的支付的可能性而給予投資者的補(bǔ)償。·流動性風(fēng)險溢價（liquiditypremium）是由于在投資需要迅速變現(xiàn)的情況下，存在相對于投資公允價值而言的損失風(fēng)險，而給予投資者的補(bǔ)償。例如，美國國庫券不具有流動性風(fēng)險溢價，因?yàn)槿藗兛梢栽谑袌錾洗罅康刭I賣而不影響其市場價格。相反，許多小公司發(fā)行的債券在發(fā)行后交易不頻繁，因此，這些債券的利率中就包含有流動性風(fēng)險溢價，以彌補(bǔ)投資者在出售時所面臨的較高成本（包括對于價格的沖擊）?！さ狡谌诊L(fēng)險溢價（maturitypremium）是指通常（在其他條件相同的情況下）隨著到期日的延長，債券的市場價值對于市場利率變動的敏感性增加，為此而給予投資者的補(bǔ)償。較長期限、流動性好的國債和短期國債之間的利差反映了長期債務(wù)具有正的到期日風(fēng)險溢價（以及可能的不同的通貨膨脹風(fēng)險溢價）。利用以上關(guān)于利率經(jīng)濟(jì)含義的認(rèn)識，我們現(xiàn)在可著手討論解決貨幣時間價值的問題。我們首先從單筆現(xiàn)金流的將來值問題開始討論。\h[1]理論上來說，1加上名義利率等于1加上實(shí)際利率和1加上通貨膨脹率的乘積。然而，作為一種簡便的近似，名義利率就等于實(shí)際無風(fēng)險利率和通貨膨脹風(fēng)險溢價之和。在此處的討論中我們利用這一近似可加關(guān)系來重點(diǎn)闡述基本概念。\h[2]其他發(fā)達(dá)國家發(fā)行與美國國庫券類似的證券。法國政府發(fā)行期限為3個月、6個月和12個月的BTFs或者可轉(zhuǎn)讓固定利率貼現(xiàn)國庫券；日本政府發(fā)行期限為6個月和12個月的短期國庫券；德國政府以貼現(xiàn)價格發(fā)行期限長達(dá)24個月的財政融資票據(jù)和財政貼現(xiàn)票據(jù)；英國政府發(fā)行期限從1天到364天的金邊國庫券；而加拿大的政府債券市場與美國市場密切相關(guān)，發(fā)行期限為3個月、6個月和12個月的加拿大國庫券。1.3單筆現(xiàn)金流的將來值在本節(jié)中，我們介紹與單筆現(xiàn)金流或者一次性投資相關(guān)的時間價值問題。我們將闡述初始投資或者現(xiàn)值（presentvalue，PV）與其將來值之間的關(guān)系，初始投資獲得的收益率（每期的利率）表示為r，其將來值（futurevalue，F(xiàn)V）將于N年或N期后收到。下面的例子說明了這個概念。假設(shè)你將100美元（PV=$100）投資到一個每年支付5%利息的銀行賬戶中。在第1年年末，你將會獲得100美元加上所得的利息，0.05×$100=$5，一共是105美元。為將這個單期的例子用公式表示，我們定義以下這些符號：對于N=1（即單期），現(xiàn)值PV的將來值表達(dá)式為對于上述這個例子，我們將1年后的將來值計算為FV1=$100×（1.05）=$105?，F(xiàn)在假設(shè)你決定將最初的100美元投資兩年，且將每年所得利息存入賬戶（年復(fù)利）。在第1年年末（即第2年年初），你的賬戶將會擁有105美元，這105美元將會繼續(xù)在你的銀行賬戶中投資1年。于是，第2年年初的105美元（PV=$105）將會在第2年年末變?yōu)?105（1.05）=$110.25。注意，在第2年年末獲得的5.25美元是第2年年初金額的5%。我們也可以這樣來理解這個例子：第2年年初投資的金額是由最初的100美元與第1年獲得的利息5美元組成的，而在第2年中，最初的100美元本金再一次獲得利息，第1年獲得的利息也同樣獲得利息。你可以看到最初的投資是如何增長的：由100美元原始投資在每期獲得的5美元利息被稱為是單利（simpleinterest，利率乘以本金）。本金（principal）是最初投資的資金額。在兩年的期限中，你共獲得了10美元的單利。而在第2年年末你獲得的額外的0.25美元，是由你第1年獲得的5美元利息再投資而產(chǎn)生的。由利息再產(chǎn)生的利息讓我們對復(fù)利（compounding）現(xiàn)象有了初步的認(rèn)識。雖然初始投資所帶來的利息是重要的，但是在給定利率的情況下，這筆利息在每一期中都是固定不變的。由利息再投資而獲得的復(fù)利會產(chǎn)生一個強(qiáng)大得多的效果，因?yàn)?，對于給定的利率，它的規(guī)模每期都在增長，復(fù)利的重要性隨著利率量級的增長而增長。例如，假設(shè)以5%的年利率進(jìn)行復(fù)利計息，那么今天投資的100美元，將會在100年后變成13150美元；如果我們以13%的利率按年復(fù)利計息的話，在100年后將會超過2000萬美元。為了證實(shí)2000萬美元這個數(shù)字結(jié)果，我們需要一個一般性的公式來處理任何期數(shù)的復(fù)利。下面的一般性的公式將初始投資的現(xiàn)值與其N期后的將來值聯(lián)系起來：式中，r表示給定的每期利率；N表示復(fù)利的期數(shù)。在上述銀行賬戶投資的例子中，F(xiàn)V2=$100×（1+0.05）2=$110.25。在以13%利率投資的例子中，F(xiàn)V100=$100×（1.13）100=$20316287.42。使用將來值等式需要記住的最重要的一點(diǎn)是，等式中的利率r和復(fù)利期數(shù)N必須相互匹配。這兩個變量必須以相同的時間單位進(jìn)行定義。例如，如果N是以月作為單位的，那么r就必須是1個月的利率，而不是年利率。一根時間軸可以幫助我們了解時間單位與每期的利率是否相互匹配。在時間軸上，我們用時間指標(biāo)t代表距離今天指定期數(shù)的一個時點(diǎn)。這樣，現(xiàn)值就是當(dāng)前（標(biāo)注為t=0）可用于投資的金額。我們現(xiàn)在可以將距離當(dāng)前N期的時點(diǎn)標(biāo)注為t=N。圖1-1所示的時間軸反映了這一關(guān)系。圖1-1初始投資、現(xiàn)值PV及其將來值FV之間的關(guān)系在圖1-1上，我們在t=0時刻標(biāo)注了初始投資PV。使用式（1-2），我們將現(xiàn)值乘以因子（1+r）N使之向前移動到t=N時刻。該因子稱為將來值因子。我們把將來值在時間軸上表示為FV，并將其標(biāo)注在t=N時刻。假設(shè)將來值正好在10個期間后獲得（N=10），通過把現(xiàn)值PV乘以將來值因子（1+r）10，使現(xiàn)值PV和將來值FV處于時間軸的不同位置上?，F(xiàn)值和將來值在時間上不同，由此可得到如下重要的結(jié)論：·我們只能對標(biāo)注在同一時點(diǎn)上的貨幣金額進(jìn)行加總。·給定利率，將來值會隨著期間數(shù)的增加而增加?！そo定期數(shù)，將來值會隨著利率的增加而增加。為了更好地理解這些概念，可以考慮下面三個例子，它們說明了應(yīng)該如何應(yīng)用將來值公式。例1-1區(qū)間現(xiàn)金流按相同利率再投資的一次性投資的將來值假如你幸運(yùn)地成了州發(fā)行的稅后500萬美元彩票的中獎?wù)摺Ｄ銢Q定將獲得的獎金投資到當(dāng)?shù)亟鹑跈C(jī)構(gòu)的一個5年期的大額存單（CD）之中。該存單承諾每年支付7%的按年復(fù)利的利息。這家機(jī)構(gòu)還允許你在這個存單的存續(xù)期中將利息以相同的利率再投資。如果你的資金始終按7%的年復(fù)利投資于這個賬戶，期間從未取出，那么5年后，你將獲得多少資金？解：為了求解這個問題，我們使用式（1-2）來計算500萬美元投資的將來值：在第5年年末，如果你的資金始終投資于這個7%的賬戶中而沒有取出，你將擁有7012758.65美元。在本例以及本章大部分的例子中，我們要注意，雖然將來值因子的計算值只保留到小數(shù)點(diǎn)后6位，但是所進(jìn)行的計算實(shí)際上可能采用了更高的精度。例如，上面所顯示的1.402552是由1.40255173四舍五入而得（這一計算實(shí)際上是通過計算器或者電子表格采用至少小數(shù)點(diǎn)后8位數(shù)的精度完成的）。我們最終的結(jié)果是由計算器或者電子表格計算結(jié)果四舍五入而得到的。\h[1]例1-2沒有區(qū)間現(xiàn)金流的一次性投資的將來值一家機(jī)構(gòu)提供給你如下的合約條款：對于一項(xiàng)2500000美元的投資，該機(jī)構(gòu)承諾在6年后一次性以8%的年利率給予你支付。那么你預(yù)期在未來可以獲得多少金額？解：將如下數(shù)據(jù)代入式（1-2）中求解將來值：6年后你預(yù)期獲得3967186美元。我們的第三個例子是一個更加復(fù)雜的將來值問題，它闡明了了解實(shí)際日歷時間的重要性。例1-3未來一次性支付款項(xiàng)的將來值問題一位養(yǎng)老基金經(jīng)理估計他公司的出資人在5年后將會出資1000萬美元，而該計劃出資的資產(chǎn)收益率估計為每年9%。這個養(yǎng)老基金的經(jīng)理想要計算15年后該項(xiàng)投資的將來值，到那時該基金將把收益分配給退休投資者。這個將來值是多少呢？解：通過確定初始投資PV的時點(diǎn)位于t=5時刻，我們可以將下面的數(shù)據(jù)代入式（1-2）來計算該項(xiàng)投資的將來值：這個問題看上去很像前面的兩個問題，但是它在一個重要的方面與之前的例子不同：它的投資時間。從今天（t=0）的立場上來看，23673636.75美元的將來金額是在未來15年后獲得的。雖然將來值距離它的現(xiàn)值是10年，但是這1000萬美元的現(xiàn)值在未來的5年內(nèi)是無法獲得的。圖1-2一次性投資的將來值，初始投資不在t=0時刻如圖1-2所示，我們按照慣例將今天標(biāo)示為t=0時刻，而將之后的時間以1的間隔進(jìn)行標(biāo)注。這項(xiàng)1000萬美元的額外投資是在5年后收到的，所以它應(yīng)該標(biāo)示在t=5時刻，出現(xiàn)在圖1-2所示的位置上。于是，10年后該項(xiàng)投資的將來值就應(yīng)該標(biāo)示在t=15時刻；也就是在t=5時刻收到1000萬美元投資的10年后。當(dāng)我們處理更加復(fù)雜的問題時，像這種時間軸的標(biāo)注方法是非常有用的，尤其是當(dāng)問題涉及不止一筆現(xiàn)金流的時候。在本章后面的一節(jié)中，我們將會討論如何來計算5年之后獲得的1000萬美元的投資在今天的價值問題。此處，我們暫且使用式（1-2）略作計算。假設(shè)上面的例1-3中的養(yǎng)老基金經(jīng)理今天從公司出資人處收到6499313.86美元。那么在5年后這筆錢將值多少？在15年后又值多少呢？并且這些結(jié)果表明今天650萬美元左右的現(xiàn)值將在5年后變?yōu)?000萬美元，在15年后變?yōu)?367萬美元。1.3.1復(fù)利的頻數(shù)在本節(jié)中，我們考察在1年中不只付息一次的投資問題。例如，許多銀行提供在1年中復(fù)利12次的月度利率。在這樣的安排下，銀行每個月會支付利息的利息。金融機(jī)構(gòu)通常會以年利率報價，而不是以周期性的月度利率報價，這個年利率稱為報價（年）利率（statedannualinterestrateorquotedinterestrate）。我們將報價年利率記為rs。例如，你的銀行可能會為一個特定的大額存單報出支付8%按月復(fù)利的利率。這個報價年利率等于月度利率乘以12。在這個例子中，月度利率為0.08/12=0.0067或者是0.67%\h[2]。這個利率是一個嚴(yán)格的報價慣例，因?yàn)椋?+0.0067）12=1.083，不是1.08；當(dāng)復(fù)利次數(shù)比每年一次更加頻繁時，（1+rs）項(xiàng)并不意味著是一個將來值因子。對于每年不止復(fù)利一次的情況，將來值公式可以表述為：式中，rs為報價年利率；m為每年復(fù)利的次數(shù)；N為年數(shù)。請注意此處所使用的利率rs/m與復(fù)利期數(shù)mN之間的匹配性。復(fù)利周期利率rs/m是由報價年利率除以每年的復(fù)利期數(shù)得到的。復(fù)利期數(shù)mN是由一年中復(fù)利期數(shù)乘以年數(shù)得到的。復(fù)利周期利率rs/m與復(fù)利期數(shù)mN必須匹配。例1-4按季度復(fù)利的一次性投資的將來值接著前面的大額存單的例子，假設(shè)你的銀行提供你一份兩年到期的大額存單，其報價年利率為8%，按季度復(fù)利。另外，該投資的利息能夠以相同的利率進(jìn)行再投資。如果你決定投資10000美元，那么這份大額存單到期將值多少錢？解：利用式（1-3）計算將來值如下：到期時，這份大額存單將值11716.59美元。計算將來值的式（1-3）與式（1-2）并沒有本質(zhì)區(qū)別。我們只要簡單地記住所使用的利率是每個復(fù)利周期的利率，而所用的冪次是總的付息次數(shù)，或者說是復(fù)利期數(shù)。例1-5按月度復(fù)利的一次性投資的將來值一家澳大利亞的銀行提供你一份利息6%、按月度復(fù)利支付的投資產(chǎn)品。你決定用100萬澳元在該產(chǎn)品上投資1年。如果所有利息支付都能以6%的利率進(jìn)行再投資，那么你的這項(xiàng)投資的將來值會是多少？解：我們可以使用式（1-3）來求解這個1年期投資的將來值，具體計算如下：如果你按6%年度復(fù)利計算，那么該投資的將來值僅為A$1000000（1.06）=A$1060000，而不是按月度復(fù)利的1061677.81澳元。\h[1]我們也可以利用利率因子表來求解貨幣時間價值的問題。使用利率因子表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，其結(jié)果一般沒有計算器或電子表格所計算的結(jié)果精確。因此，金融從業(yè)者更喜歡用計算器或電子表格進(jìn)行計算。\h[2]當(dāng)使用金融計算器時，為了避免四舍五入帶來的誤差，在8除以12后按%i鍵，而不是簡單地輸入0.67及%i，由此我們得到（1+0.08/12）12=1.083000。1.3.2連續(xù)復(fù)利在此之前關(guān)于復(fù)利期數(shù)的討論給出了按離散時間間隔計算利息的離散復(fù)利的計算方法。如果每年復(fù)利期數(shù)變成無限多，那么這樣的計息方式就被稱為連續(xù)復(fù)利。如果我們想要對連續(xù)復(fù)利使用將來值公式，就需要求解式（1-3）中將來值因子在m→∞（每年復(fù)利期數(shù)無窮多）時的極限值。于是，N年以連續(xù)復(fù)利計息的一次性投資的將來值的數(shù)學(xué)表述為：ersN這項(xiàng)是指超越數(shù)e≈2.7182818的rsN次方。大部分金融計算器都含有函數(shù)ex。例1-6按連續(xù)復(fù)利計息的一次性投資的將來值假設(shè)一筆10000美元的兩年期投資將獲得8%的連續(xù)復(fù)利。我們可以利用式（1-4）計算其將來值如下：與例1-4中按季度計息的11716.59美元相比，這里雖然使用了相同的利率，但是它是以連續(xù)復(fù)利進(jìn)行計息的，這一變化使得10000美元的投資在兩年內(nèi)增長到了11735.11美元。表1-1列舉了以8%報價年利率的一項(xiàng)1美元的初始投資分別按年度、半年度、季度、月度、日和連續(xù)復(fù)利計息，在1年年末產(chǎn)生不同數(shù)量美元的情況。（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后6位）正如表1-1所示，所有6種情況都具有相同的8%的報價年利率，但是它們的期末美元數(shù)量卻因?yàn)椴煌膹?fù)利頻率而不同。按年度復(fù)利計息，其期末值為1.08美元。更加頻繁的復(fù)利會產(chǎn)生更大的期末數(shù)值。按連續(xù)復(fù)利計息的期末美元數(shù)量在所有報價年利率為8%的投資中所獲得的收益最大。表1-1同樣也顯示了按8.16%年度復(fù)利計息的1美元投資將會在1年年末增長到與按8%半年度復(fù)利計息的1美元投資相同的將來值水平。這一結(jié)果使得我們了解到報價年利率與有效年利率（effectiveannualrate，EAR）之間的區(qū)別。\h[1]對于按半年度復(fù)利的8%的報價年利率來說，其有效年利率為8.16%。\h[1]附息銀行存款的有效年收益，在美國用的術(shù)語是年百分比收益（annualpercentageyield，APY），而在英國用的是等價年利率（equivalentannualrate，EAR）。相反，年度百分比利率（annualpercentagerate，APR）度量的是以年利率表示的借款成本。在美國，年百分比利率是通過期間利率乘以每年付息次數(shù)的數(shù)目得到的。因此，一些作者常使用年百分比利率作為報價年利率通常的同義詞。然而，年百分比利率是一個具有法定含義的術(shù)語；它的計算遵從各國所各自規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)。因此，“報價年利率”是年利率（在一年中不進(jìn)行復(fù)利計息的）首選的最一般的術(shù)語表述。1.3.3報價利率和有效利率因?yàn)閳髢r年利率并不直接給出將來值，所以我們需要一個反映其有效年利率（EAR）的公式。對于按半年度復(fù)利計息的8%的年利率，我們將在計息期間（每半年）中以4%的利率計息。在1年的期間中，1美元的投資將增長到$1（1.04）2=$1.0816，如表1-1所示。該1美元的投資所獲得的利息為0.0816美元，它代表了8.16%的有效年利率。有效年利率可以按如下公式計算：期間利率是報價年利率除以m，其中m為1年中復(fù)利期間數(shù)。利用表1-1，我們可以求得有效年利率為：（1.04）2-1=8.16%。有效年利率的概念可以用到連續(xù)復(fù)利上。假設(shè)我們有一個8%的連續(xù)復(fù)利利率。我們可以用與上面相同的方式尋找適當(dāng)?shù)膶碇狄蜃?，來求得其有效年利率。在這個例子中，一個1美元的投資將會增長到$1e0.08（1）=$1.0833。在這一年中所獲得的利息代表有效年利率8.33%，它要比半年度復(fù)利計息的有效年利率8.16%大，因?yàn)槔⒌膹?fù)利更加頻繁了。在連續(xù)復(fù)利的情況下，我們可以求解得到如下有效年利率：我們可以逆向使用離散復(fù)利和連續(xù)復(fù)利的有效年利率公式，來得到與給定有效年利率相對應(yīng)的期間利率。假設(shè)我們想要知道給定半年度復(fù)利計息的8.16%的有效年利率所對應(yīng)的確切的期間利率是多少，那么我們可以利用式（1-5）來對期間利率進(jìn)行求解：要計算與有效年利率8.33%相對應(yīng)的連續(xù)復(fù)利利率（以連續(xù)復(fù)利計息的報價年利率），我們可以去尋找滿足式（1-6）的利率：要解這個方程，我們可以在兩邊同時取自然對數(shù)（回憶一下，ers的自然對數(shù)是lners=rs）。因此，ln1.0833=rs，最終求得rs=8%。于是，我們了解到以連續(xù)復(fù)利計息的8%的報價年利率與8.33%的有效年利率是等價的。1.4現(xiàn)金流序列的將來值在這一節(jié)中，我們考察現(xiàn)金流序列，包括等額的與不等額的兩種類型。我們將先介紹一組在對分布于多個時間期間的現(xiàn)金流進(jìn)行估值計算時常用的術(shù)語?！つ杲穑╝nnuity）是指一組有限的等額現(xiàn)金流序列?！て胀杲穑╫rdinaryannuity）是指首筆現(xiàn)金流發(fā)生在一個期間段之后（標(biāo)注為時點(diǎn)t=1）的年金?！ゎA(yù)付年金（annuitydue）是指首筆現(xiàn)金流在當(dāng)前即刻（標(biāo)注為時點(diǎn)t=0）發(fā)生的年金?！び览m(xù)年金（perpetuity）是指無限期的年金，或者一組永不終結(jié)的等額現(xiàn)金流序列，其首筆現(xiàn)金流發(fā)生在一個期間段之后。1.4.1等額現(xiàn)金流序列——普通年金考慮一個每年以5%利率支付的普通年金。假設(shè)我們先后有5筆等時間間隔（1年）發(fā)生的1000美元存款，其中首筆支付發(fā)生在t=1時刻。我們的目標(biāo)是求解這組普通年金在t=5時刻（最后一筆存款發(fā)生后）的將來值。這里，考慮的時間間隔是1年，因此最后一筆支付發(fā)生在5年之后。如圖1-3的時間軸上所示，我們可以利用式（1-2）[FVN=PV（1+r）N]來得到每筆1000美元存款在時點(diǎn)t=5上的將來值。圖1-3中的箭頭都是從支付時點(diǎn)指向t=5時點(diǎn)。例如，首筆在t=1時點(diǎn)發(fā)生的1000美元存款將在4個期間上復(fù)利。使用式（1-2），我們可以計算得到其在t=5時點(diǎn)的將來值為$1000（1.05）4=$1215.51。用類似的方法，我們可以計算得到所有其他支付的將來值。（注意，我們所要計算的是在t=5時點(diǎn)上的將來值，因此最后一筆支付不會獲得任何利息。）現(xiàn)在我們得到了所有支付在t=5時點(diǎn)上的將來值，然后可以將這些將來值加總，從而得到該年金的將來值，其值為5525.63美元。圖1-35年期普通年金的將來值如果我們將年金支付額記為A，支付期數(shù)記為N，每期利率記為r，那么我們就可以得到一般的年金計算公式。我們可以定義將來值為：該公式可以簡化為：在括號中的項(xiàng)是將來值年金因子。這個因子給出了每期支付1美元的普通年金的將來值。將年金支付額乘以將來值年金因子就可以得到該組普通年金的將來值。對于圖1-3中的普通年金來說，我們可以從式（1-7）中求得將來值年金因子為當(dāng)年金每期支付額A=$1000，該年金的將來值為$1000（5.525631）=$5525.63，與我們之前的計算結(jié)果是一致的。下面的例1-7說明了如何使用式（1-7）來計算普通年金的將來值。例1-7年金的將來值假設(shè)你公司的固定供款退休金計劃允許你每年投資20000歐元。你計劃在未來的30年，每年投資20000歐元于股票指數(shù)基金之中。從歷史上來看，該基金平均每年將帶來9%的收益。假設(shè)你每年確實(shí)能夠獲得9%的收益，那么在你最后一次付款后可獲得多少財富以備退休之需呢？解：利用式（1-7）來求解將來值：假設(shè)基金每年能夠持續(xù)地平均獲益9%，那么你將在退休時擁有2726150.77歐元的財富。1.4.2不等額現(xiàn)金流序列在許多情況下，現(xiàn)金流序列并不是等額的，這就使我們無法簡單地利用將來值年金因子來進(jìn)行計算。例如，某位個人投資者可能有一個儲蓄計劃，該計劃會根據(jù)年度中月份的不同進(jìn)行不等額的現(xiàn)金支付或者會在計劃的度假期間減少儲蓄額。我們總是可以通過每次計算其中一筆現(xiàn)金流的將來值來求得該不等額現(xiàn)金流序列的將來值。假設(shè)你有如表1-2所示的5筆現(xiàn)金流，所標(biāo)注的時點(diǎn)是相對于當(dāng)前（t=0）時點(diǎn)的。所有的支付如表1-2所示是不同的。因此，求解在t=5時點(diǎn)將來值的最直接的方法就是計算每筆支付在t=5時刻的將來值，然后將所有單個的將來值進(jìn)行加總。如表中第三列所示，在第5年年末總的將來值為19190.76美元。在本章的后面部分，你將會學(xué)到當(dāng)現(xiàn)金流接近等額時的快捷計算方法；這些快捷的計算方法會使你將年金計算與單期現(xiàn)金流計算相聯(lián)系。1.5單筆現(xiàn)金流的現(xiàn)值1.5.1求解單筆現(xiàn)金流的現(xiàn)值正如將來值因子把今天的現(xiàn)值與明天的將來值相聯(lián)系，現(xiàn)值因子使我們把將來值折現(xiàn)到現(xiàn)值。例如，如果已知5%的利率在1年后會產(chǎn)生105美元的收益，那么我們在當(dāng)前要投資多少資金才能于1年后以5%利率獲得105美元？這個答案是100美元；因此，100美元就是1年后獲得的105美元以5%利率進(jìn)行折現(xiàn)所獲得的現(xiàn)值。給定N期后所獲得的未來現(xiàn)金流和單個期間的利率r，我們可以利用將來值公式直接求解其現(xiàn)值如下：我們可以看到，式（1-8）中的現(xiàn)值因子1/（1+r）N就是將來值因子[（1+r）N]的倒數(shù)。例1-8一次性投資的現(xiàn)值一家保險公司發(fā)行了一個擔(dān)保投資合同（GuaranteedInvestmentContract，GIC），該合同承諾在6年后以8%的回報率支付100000美元。那么，投保者現(xiàn)在必須投資多少資金才能以8%的利率在6年后獲得該承諾的支付？解：我們利用下列數(shù)據(jù)和式（1-8）來求解其現(xiàn)值：我們可以認(rèn)為今天投資的63016.96美元，在8%的利率水平下，等價于在6年后收到的100000美元。當(dāng)對于貨幣時間價值進(jìn)行考慮時，未來的100000美元經(jīng)過貼現(xiàn)將與今天的63016.96美元等價。如圖1-4中的時間軸所示，100000美元被折現(xiàn)到6個完整期間之前的0時點(diǎn)。圖1-4在時點(diǎn)t=6收到的一次性支付的現(xiàn)值例1-9更遠(yuǎn)未來的一次性投資的投影現(xiàn)值\h[1]假設(shè)你擁有一份流動性的金融資產(chǎn)，它將在10年之后支付給你100000美元。由于你的女兒計劃在4年后上大學(xué)，因此，你想知道該資產(chǎn)在那個時候的現(xiàn)值是多少。給定8%的貼現(xiàn)率，該份資產(chǎn)在4年后的價值是多少？解：這份資產(chǎn)的價值是其承諾支付額的現(xiàn)值。在t=4時點(diǎn)上，其現(xiàn)金支付將在6年后收到。有了這些信息，你可以利用式（1-8）求解4年后的資產(chǎn)價值：圖1-5中的時間軸上標(biāo)出了在t=10時刻收到的未來支付100000美元。時間軸上同樣也標(biāo)出了其在t=4時刻和t=0時刻的價值。相對于t=10時刻的支付，在t=4時刻的金額是一個投影現(xiàn)值，而t=0時刻的值是現(xiàn)值（即今天的價值）。圖1-5現(xiàn)值與將來值之間的關(guān)系現(xiàn)值問題需要利用現(xiàn)值因子（1+r）-N對現(xiàn)金流進(jìn)行估值計算?，F(xiàn)值與貼現(xiàn)率和期數(shù)之間的關(guān)系表現(xiàn)為如下幾個方面：·對于一個給定的貼現(xiàn)率，未來金額收到的時間越晚，該金額的現(xiàn)值就越小?！そo定時間長度不變，貼現(xiàn)率越大，將來金額的現(xiàn)值就越小。\h[1]此處投影現(xiàn)值（projectedpresentvalue）指的是將10年后的100000美元折算為4年后的價值，而非折算為當(dāng)前的價值?！g者注1.5.2復(fù)利的頻數(shù)回憶一下，利息可以按半年度、季度、月度或者甚至按日支付。要處理在1年中不止支付一次利息的現(xiàn)值問題，我們需要調(diào)整現(xiàn)值公式（1-8）。rs是報價利率，等于期間利率乘以1年中復(fù)利次數(shù)。一般地，當(dāng)1年中復(fù)利次數(shù)大于一次時，我們可以將現(xiàn)值公式表示為：式中，m表示每年的復(fù)利次數(shù)；rs表示報價年利率；N表示年數(shù)。式（1-9）與式（1-8）十分相似。正如我們已經(jīng)注意到的，現(xiàn)值和將來值互為倒數(shù)。改變復(fù)利頻率并不改變這一關(guān)系。兩者唯一的區(qū)別在于期間利率和相應(yīng)的復(fù)利次數(shù)的使用上。下面舉例說明式（1-9）的用法。例1-10按月度復(fù)利計息的一次性支付的現(xiàn)值加拿大一家養(yǎng)老基金的基金經(jīng)理了解到該基金在10年后必須一次性支付500萬加元。于是，她想要在今天投資一個擔(dān)保投資合同，以使該基金到那時能增長到所需的金額。當(dāng)前擔(dān)保投資合同的利率為每年6%，按月度復(fù)利計息。那么，該基金經(jīng)理在今天應(yīng)該投資多少資金于該擔(dān)保投資合同？解：利用式（1-9）來求解所要求的現(xiàn)值：在運(yùn)用式（1-9）的過程中，我們使用了期間利率（在這個例子中是月利率）和適當(dāng)?shù)陌丛露葟?fù)利計息的期數(shù)（在這個例子中，是按月度復(fù)利計息10年，即120個期間）。1.6現(xiàn)金流序列的現(xiàn)值投資管理中的應(yīng)用問題所涉及的資產(chǎn)常常提供一系列分布在不同時點(diǎn)上的現(xiàn)金流?，F(xiàn)金流可能是差別極大的，也可能是相對等額的，或者是完全等額的。它們可能發(fā)生在較短的期間，也可能發(fā)生在較長的期間，甚至可能是延伸至無限期的。在這一節(jié)中，我們討論如何求解一系列現(xiàn)金流的現(xiàn)值。1.6.1等額現(xiàn)金流序列的現(xiàn)值首先，我們先從普通年金開始談起?；貞浺幌?，普通年金具有等額的年金支付，而且首筆支付發(fā)生在未來的第一期末。整個年金共有N期支付，首期發(fā)生在t=1時刻，最后一期發(fā)生在t=N時刻。我們可以將普通年金的現(xiàn)值表述為每個單筆年金支付的現(xiàn)值的總和，具體表示如下：式中，A表示（每期）年金支付額；r表示與年金支付頻率相關(guān)的每期利率（如按年、季或者月）；N表示年金支付期數(shù)。因?yàn)槟杲鹬Ц额~（A）在這個公式中是一個常數(shù)，它可以作為一個公因子提出，作為一個公共項(xiàng)。因此，利息因子的總和有一個簡潔的表述：與計算普通年金將來值的方式類似，我們可以將年金支付額乘以現(xiàn)值年金因子[式（1-11）括號中的項(xiàng)]來獲得現(xiàn)值。例1-11普通年金的現(xiàn)值假設(shè)你正考慮購買一項(xiàng)承諾在未來5年內(nèi)每年支付1000歐元的金融資產(chǎn)，其首筆支付是在一年后提供，所要求的回報率為每年12%。那么你應(yīng)該支付多少來購買這項(xiàng)資產(chǎn)？解：我們利用式（1-11）所給出的普通年金現(xiàn)值的計算公式和如下的數(shù)據(jù)來求解該金融資產(chǎn)的價值：在未來5年內(nèi)每年支付1000歐元的一系列現(xiàn)金流，以12%進(jìn)行貼現(xiàn)的當(dāng)前價值為3604.78歐元。現(xiàn)實(shí)中發(fā)生現(xiàn)金流的實(shí)際時間不同，我們考慮一種特定的等額年金：預(yù)付年金。預(yù)付年金的首筆支付發(fā)生在今天（t=0）?？傮w上，預(yù)付年金會有N次支付。圖1-6在時間軸上描述了一個只有4次支付，每次支付額為100美元的預(yù)付年金。如圖1-6所示，我們可以將4期的預(yù)付年金視為兩個部分的和：今天一次性支付的100美元和一個每期支付100美元共3期的普通年金。在12%的貼現(xiàn)率水平下，這個預(yù)付年金例子中的4個100美元的現(xiàn)金流將價值340.18美元。\h[1]圖1-6每期100美元的預(yù)付年金將未來現(xiàn)金流序列的價值表達(dá)成當(dāng)前美元的方法使得我們能夠方便地將不同的年金進(jìn)行比較。下面的例子就說明了這一方法。例1-12即刻支付的現(xiàn)金流加上普通年金的現(xiàn)值假如今天你要退休了，那么你必須選擇獲取你的退休金的方式，或者以一次性方式領(lǐng)取，或者以年金的方式領(lǐng)取。你所在公司的退休金管理人員提供你兩個可選方案：一份即刻支付200萬美元的支票；或者是一份每年支付20萬美元、共支付20年的年金，該年金的首筆支付在今天即刻支付。目前，銀行的利率為每年7%，按年度復(fù)利。那么哪一個可選方案會有更大的現(xiàn)值？（忽略任何對于這兩個選擇的稅收影響）解：要比較這兩個方案，我們就要求解每個方案在t=0時刻的現(xiàn)值，然后選擇其中具有較大現(xiàn)值的方案。第一個方案的現(xiàn)值是200萬美元，因?yàn)樗呀?jīng)用今天的美元數(shù)量表示了。第二個方案是一個預(yù)付年金。因?yàn)槭坠P支付發(fā)生在t=0時點(diǎn)，所以你可以將該年金收益分成兩個部分：一個今天即刻支付（在t=0時刻支付）的200000美元以及一個每年支付200000美元、共支付19期的普通年金。要計算該方案的價值，你需要用式（1-11）求出普通年金的現(xiàn)值，然后再加上200000美元。上述19期支付的200000美元的現(xiàn)值為2067119.05美元，加上初始支付的200000美元，我們可以得到該年金方案的現(xiàn)值合計為2267119.05美元。顯然該年金的現(xiàn)值大于一次性支付200萬美元的另一可選方案。我們再來看另一個關(guān)于現(xiàn)值和將來值等價性的例子。例1-13普通年金的投影現(xiàn)值一位德國養(yǎng)老金基金經(jīng)理預(yù)計每年要支付退休者100萬歐元的退休金。退休金將在10年后（t=10）開始支付。一旦退休金開始支付，它將一直持續(xù)到t=39時刻，共支付30期。那么，如果對于該養(yǎng)老金計劃適當(dāng)?shù)哪曩N現(xiàn)率為5%，按年度復(fù)利，則該養(yǎng)老金計劃的現(xiàn)值是多少？解：這個問題涉及首筆支付在t=10時刻的年金。如果站在t=9時刻的角度來看，我們會看到一個30期支付的普通年金。我們可以用式（1-11）來計算該年金的現(xiàn)值，然后在時間軸上來觀察它。在時間軸上，我們看到1000000歐元的養(yǎng)老金支付從t=10時刻一直延續(xù)到t=39時刻。大括號和箭頭表示求解年金的過程，即將年金貼現(xiàn)到t=9時點(diǎn)上。該養(yǎng)老金計劃在t=9時刻的現(xiàn)值為15372451.03歐元?，F(xiàn)在的問題是求解在今天的現(xiàn)值（在t=0時刻）。現(xiàn)在我們可以依賴現(xiàn)值和將來值的等價關(guān)系來進(jìn)行計算。如圖1-7所示，我們可以將t=9時點(diǎn)上的現(xiàn)值視為t=0時點(diǎn)上的將來值。我們可以用下面的方式計算t=9時點(diǎn)上金額的現(xiàn)值：故該養(yǎng)老金計劃的現(xiàn)值為9909219.00歐元。圖1-7首筆支付在t=10時刻的普通年金的現(xiàn)值（以100萬美元計）例1-13演示了本章所強(qiáng)調(diào)的關(guān)于現(xiàn)金流計算的三個步驟：·求解任一現(xiàn)金流序列的現(xiàn)值或者將來值；·識別出現(xiàn)值與適當(dāng)貼現(xiàn)后的將來值之間的等價性；·在貨幣時間價值計算中注意現(xiàn)金流發(fā)生的實(shí)際時間。1.6.2無限期等額現(xiàn)金流序列的現(xiàn)值——永續(xù)年金考慮延伸至無限期的普通年金的情況。這種普通年金被稱為永續(xù)年金。我們可以修改式（1-10），使其能夠反映無限期的現(xiàn)金流序列，從而得到永續(xù)年金現(xiàn)值的計算公式：只要利率始終為正，該現(xiàn)值因子之和總是收斂的，其值為：要了解上式是如何得到的，我們可以回顧一下式（1-11）中關(guān)于普通年金現(xiàn)值的表達(dá)。當(dāng)N（年金支付的期數(shù)）趨向無窮，1/（1+r）N這一項(xiàng)趨于0，于是式（1-11）就簡化為式（1-13）。這個公式將在對股票紅利流估值中再次出現(xiàn)，因?yàn)楣善笔菦]有事先確定的期限的。（一只支付固定紅利的股票與永續(xù)年金是類似的。）一個每年支付10美元、首筆支付在1年后的永續(xù)年金，在20%的要求回報率條件下，其現(xiàn)值為$10/0.2=$50。式（1-13）只有在永續(xù)年金每期等額支付的情況下才是有效的。在我們上面的例子中，首筆支付發(fā)生在t=1時點(diǎn)上；因此，我們所計算的現(xiàn)值是在t=0時點(diǎn)上的。其他資產(chǎn)同樣可近似滿足永續(xù)年金的假設(shè)。某些政府債券以及優(yōu)先股就是具有無限期等額支付金融資產(chǎn)的典型例子。例1-14永續(xù)年金的現(xiàn)值英國政府曾經(jīng)發(fā)行過一種叫做統(tǒng)一公債的證券，該證券承諾無限期地支付等額現(xiàn)金流。如果統(tǒng)一公債每年支付100英鎊，那么，如果要求的回報率為5%，則該證券在今天的價值為多少？解：要回答該問題，我們可以利用式（1-13）和下列數(shù)據(jù)：故該債券將價值2000英鎊。1.6.3始點(diǎn)不在零時刻的現(xiàn)金流序列的現(xiàn)值在實(shí)際的投資實(shí)務(wù)中，分析師經(jīng)常需要求解始點(diǎn)不在t=0時刻的現(xiàn)值。通過改變現(xiàn)值公式中時點(diǎn)的下標(biāo)并評估從第2年開始支付的每年100美元的永續(xù)年金的價值，我們可以得到PV1=$100/0.05=$2000（以5%貼現(xiàn)率折現(xiàn)）。進(jìn)一步，我們可以計算今天的現(xiàn)值為PV0=$2000/1.05=$1904.76?？紤]一個類似的情況，現(xiàn)金流序列從第4年年末開始，每年發(fā)生6美元的現(xiàn)金支付，直到第10年年末為止。從第3年年末的角度來看，我們所面對的是一個典型的7年期的普通年金。我們可以站在第3年年末的角度，求得該年金的現(xiàn)值，并將該現(xiàn)值貼現(xiàn)到當(dāng)前的時刻。在5%利率水平下，該始于第4年年末、每年支付6美元的現(xiàn)金流序列在第3年年末將價值34.72美元（t=3），而在今天將價值29.99美元（t=0）。下面的例子將說明一個重要的概念，即一個開始于未來某時刻的年金或永續(xù)年金可以表示成在其首筆支付時點(diǎn)的前一個時點(diǎn)上的現(xiàn)值。然后，該現(xiàn)值可以再被貼現(xiàn)到今天的現(xiàn)值。例1-15投影永續(xù)年金的現(xiàn)值考慮一個等額永續(xù)年金，其每年支付100英鎊，首筆支付發(fā)生于t=5時刻。給定5%的貼現(xiàn)率，該永續(xù)年金在今天（t=0）的現(xiàn)值為多少？解：首先，我們求解永續(xù)年金在t=4時刻的現(xiàn)值，然后將其貼現(xiàn)到t=0時刻。（回憶一下，一個永續(xù)年金或者普通年金的首筆支付是發(fā)生在一期之后，所以我們在現(xiàn)值計算中選擇時點(diǎn)為t=4。）1.求解在t=4時刻的永續(xù)年金的現(xiàn)值：2.求解在t=4時刻一筆未來金額的現(xiàn)值。從t=0時點(diǎn)的角度來看，之前計算的現(xiàn)值￡2000可以被看做是一個將來值?，F(xiàn)在我們需要求解該一次性支付的現(xiàn)值：該永續(xù)年金在今天的現(xiàn)值為1645.40英鎊。正如之前所討論的，一個年金是給定期數(shù)的一系列固定金額的支付。假設(shè)我們已經(jīng)擁有了一個永續(xù)年金；同時，我們再發(fā)行一個由我們承擔(dān)支付義務(wù)的永續(xù)年金，該永續(xù)年金的支付額與我們所持有的永續(xù)年金的支付額相同，但其支付是從t=5時刻開始，并一直持續(xù)到永遠(yuǎn)的。那么，第二個永續(xù)年金的支付完全抵消了t=5時刻以及在此之后所有的由我們所持有的永續(xù)年金所給予的支付。于是，我們只剩下了t=1、2、3和4時點(diǎn)上的非零等額現(xiàn)金流。這一結(jié)果與4期年金的定義完全一致。因此，我們可以通過將兩個支付相等但是具有不同起始點(diǎn)的永續(xù)年金作差來構(gòu)造一個普通年金。下面的例子就說明了這一結(jié)果。例1-16普通年金的現(xiàn)值等于當(dāng)前開始支付的永續(xù)年金與未來某時點(diǎn)開始支付的投影永續(xù)年金之差的現(xiàn)值給定5%的貼現(xiàn)率，求解一個4年期普通年金的現(xiàn)值，該年金每年支付100英鎊，起始支付在第1年年末。該年金可以視為下面兩個等額永續(xù)年金之差：永續(xù)年金1從第1年年末開始，每年支付100英鎊（首筆支付在t=1時刻）永續(xù)年金2從第5年年末開始，每年支付100英鎊（首筆支付在t=5時刻）解：如果將第一個永續(xù)年金減去第二個永續(xù)年金，我們將得到每期支付100英鎊的4年期普通年金（支付發(fā)生在t=1，2，3，4時刻）。通過將第一個永續(xù)年金的現(xiàn)值減去第二個永續(xù)年金的現(xiàn)值，我們可以得到4年期普通年金的現(xiàn)值：1.PV0（永續(xù)年金1）=￡100/0.05=￡20002.PV4（永續(xù)年金2）=￡100/0.05=￡20003.PV0（永續(xù)年金2）=￡2000/（1.05）4=￡1645.404.PV0（年金）=PV0（永續(xù)年金1）-PV0（永續(xù)年金2）=￡2000-￡1645.40=￡354.60故4年期普通年金的現(xiàn)值等于￡2000-￡1645.40=￡354.60。1.6.4不等額現(xiàn)金流序列的現(xiàn)值當(dāng)我們遇到非等額的現(xiàn)金流序列時，我們必須首先求得每筆現(xiàn)金流的現(xiàn)值，然后將各個現(xiàn)值進(jìn)行加總。對于一個具有許多筆現(xiàn)金流的序列，我們通常會使用電子表格來進(jìn)行現(xiàn)值計算。表1-3列出了一個現(xiàn)金流序列，其中的第一列是現(xiàn)金流發(fā)生的時間點(diǎn)，第二列是現(xiàn)金流發(fā)生的金額，每筆現(xiàn)金流的現(xiàn)值位于第三列。表1-3最后一行反映的是這5筆現(xiàn)金流現(xiàn)值的總和。我們可以通過利用單筆支付的將來值公式來逐一計算這些現(xiàn)金流的將來值。由于我們已經(jīng)知道該序列的現(xiàn)值，所以我們可以方便地應(yīng)用時間價值等價關(guān)系。表1-2中的這組現(xiàn)金流的將來值為19190.76美元，這等價于當(dāng)前單筆15036.46美元的支付復(fù)利計息到t=5時刻的價值：1.7求解利率、期數(shù)或年金支付額在之前的例子中，相關(guān)的信息是已知的。例如，所有的問題都給定利率r、期數(shù)N、年金（每期）支付額A以及現(xiàn)值PV或者將來值FV。然而在現(xiàn)實(shí)世界的應(yīng)用中，雖然現(xiàn)值和將來值可能是已知的，但是你可能不得不去求解利率、期數(shù)或者年金支付額。在下面的小節(jié)中，我們將討論這類問題。1.7.1求解利率和增長率假設(shè)我們已知一份100歐元的銀行存款在1年后將會獲得111歐元的支付。在這個信息下，我們可以利用式（1-2），F(xiàn)VN=PV（1+r）N，式中N=1，推斷出將現(xiàn)值100歐元從將來值111歐元中分解出來的利率。在PV、FV和N已知的情況下，我們可以直接求解r：故使得t=0時刻的100歐元與t=1時刻的111歐元等價的利率為11%。因此，我們可以認(rèn)為100歐元在11%的增長率下會增長到111歐元。正如這個例子所反映的，利率可以被認(rèn)為是增長率。對于具體的應(yīng)用，我們會決定采用術(shù)語“利率”或“增長率”。利用式（1-2）來求解r，并將利率r用增長率g來代替，于是就有了用來確定增長率的如下表述：下面的兩個例子將會用到上述增長率的概念。例1-17增長率的計算（1）布蘭茲（Brands）有限公司在1998年的凈銷售額為8436000000美元。而在2002年的凈銷售額為8445000000美元，只稍稍高于1998年。在從1998年年末至2002年年末的4年間，布蘭茲有限公司凈銷售額的增長率為多少？解：要解決這個問題，我們可以利用式（1-14），g=（FVN/PV）1/N-1。我們記1998年的凈銷售額為PV，2002年的凈銷售額為PV4。于是，我們可以求解增長率如下：所計算得出的增長率約為每年0.03%，僅僅比零高出一點(diǎn)點(diǎn)。這和我們最初對于布蘭茲有限公司凈銷售額在1998～2002年間基本平穩(wěn)的直觀印象是一致的。例1-18增長率的計算（2）在例1-17中，我們發(fā)現(xiàn)布蘭茲有限公司在1998～2002年期間的凈銷售額復(fù)利增長率接近于零。作為一個零售商，布蘭茲有限公司的銷售不僅依賴于其門店數(shù)量（或銷售門店面積（平方英尺或平方米）），還依賴于其每個門店的銷售額（或平均每單位銷售門店面積（平方英尺或平方米）的銷售額）。事實(shí)上，布蘭茲有限公司在1998～2002年期間減少了其門店數(shù)量。在1998年，其門店數(shù)量為5382家，而在2002年為4036家。在這個例子中，我們會談及一個正的復(fù)利的減少率或者說是一個負(fù)的復(fù)利增長率。那么，運(yùn)營門店數(shù)量的增長率到底是多少呢？解：使用式（1-14），我們可以求得：故在1998～2002年期間運(yùn)營門店的增長率約為-6.9%。需要注意的是，我們同樣可以將-6.9%看做是復(fù)利年度增長率，因?yàn)樵摂?shù)字反映了門店數(shù)量從1998～2002年的復(fù)利增長情況。表1-4列出了1998～2002年期間布蘭茲有限公司運(yùn)營門店數(shù)量的變化情況。表1-4給出了各年度的（1+門店數(shù)量年增長率）的數(shù)值。將歷年的（1+門店數(shù)量年增長率）的數(shù)值相乘即可得到1998～2002年期間的（1+門店數(shù)量4年累積增長率）的值。（1+門店數(shù)量4年累積增長率）的值也可以由最終門店數(shù)量4036除以最初門店數(shù)量5382得到，兩種計算方法得到的結(jié)果是相同的，即等式的右邊是歷年（1+門店數(shù)量年增長率）的連乘積?；貞浺幌拢檬剑?-14），我們對求了4次方根。實(shí)際上，我們所做的是在求解g的值，該g值經(jīng)過4次復(fù)利后（即（1+g）4）等于歷年（1+門店數(shù)量年增長率）的連乘積。\h[1]總之，我們不必像表1-4那樣通過計算出所有期間的增長率來求得復(fù)利增長率g。然而有時，期間增長率更有趣或者能夠提供給我們更多的信息。例如，在2000年的1年中，布蘭茲有限公司增加了其門店數(shù)量。通過表1-4的計算，我們還可以分析其增長率的變動情況。那么，布蘭茲有限公司是如何在此期間，在不增加運(yùn)營門店的情況下，保持其銷售收入基本不變的呢？布蘭茲有限公司在信息披露中提及在此期間內(nèi)公司每平方英尺的銷售額上升了。復(fù)利增長率是一個極好的度量多期增長情況的匯總指標(biāo)。在布蘭茲有限公司的例子中，復(fù)利增長率-6.9%是一個簡單增長率。當(dāng)它與1相加，復(fù)利4年，再乘以1998年運(yùn)營門店的數(shù)量，我們就可以得到2002年運(yùn)營門店的數(shù)量。\h[1]我們在這里所計算的復(fù)利增長率實(shí)際上是計算幾何平均值的一個例子，具體來講它是增長率的幾何平均值。我們將在介紹統(tǒng)計概念的章節(jié)中給出幾何平均的定義。1.7.2求解期數(shù)在這一節(jié)中，我們將向你展示如何在給定現(xiàn)值、將來值和利率或增長率的情況下，來對于期數(shù)進(jìn)行求解。例1-19一項(xiàng)投資達(dá)到某個特定值所需的復(fù)利期數(shù)你想要確定一項(xiàng)10000000歐元的投資要多久才能價值翻倍。當(dāng)前的利率為7%，按年度復(fù)利。那么要多久才能使得10000000歐元翻倍成20000000歐元？解：我們利用式（1-2），F(xiàn)VN=PV（1+r）N，來求解期數(shù)N。具體過程如下：故在7%的利率水平下，要經(jīng)過大約10年才能使得最初的10000000歐元投資增長到20000000歐元。在求解N的表達(dá)式（1.07）N=2.0時需要對等式兩邊取自然對數(shù)，并利用對數(shù)性質(zhì)ln（xN）=Nln（x）。一般地，我們可以求得N=[ln（FV/PV）]/ln（1+r）。這里，N=[ln（€20000000/€10000000）]/ln（1.07）=ln（2）/ln（1.07）=10.24。\h[1]\h[1]為了能快速地估計期數(shù)，實(shí)務(wù)工作者有時會使用一種特別的規(guī)則，稱為72規(guī)則：即用72去除以報價利率來得到近似的使初始投資翻倍所需的年數(shù)。在這個例子中，所估計的年數(shù)為72/7=10.3年。72規(guī)則是基于人們粗略的日常觀察而得到的。人們發(fā)現(xiàn)在6%的利率水平下，投資額翻倍一般需要12年，于是就有了6×12=72。而在3%的利率水平下，我們會猜測它將經(jīng)過兩倍的年數(shù)使投資翻倍，即有3×24=72。1.7.3求解年金支付額在這一節(jié)中，我們將討論如何來求解年金支付額。抵押貸款、汽車消費(fèi)貸款和退休儲蓄計劃都是年金公式應(yīng)用的經(jīng)典例子。例1-20月度復(fù)利計息時達(dá)到將來值所需的年金支付額你正計劃購買一套價值120000美元的住房。你會首付20000美元，其余部分將通過一份按月度復(fù)利計息的30年的固定利率抵押貸款來分期償還。首筆支付將在t=1時刻發(fā)生。當(dāng)前抵押貸款的利率報價為8%，按月度復(fù)利。那么，你每月應(yīng)償還的抵押貸款額為多少？解：銀行將會確定抵押貸款的支付額，以使得在期間報價利率的水平下，所有支付額的現(xiàn)值等于貸款額（在這個例子中為100000美元）。在記住這一事實(shí)之后，我們可以利用式（1-11），，來求解年金支付額A，即通過將現(xiàn)值除以現(xiàn)值年金因子：100000美元的貸款數(shù)額等價于一個360個月每月支付733.76美元并以8%報價年利率計息的年金。抵押貸款問題是求解年金支付額的一個相對直接的應(yīng)用。下面我們將轉(zhuǎn)向退休金計劃問題。這個問題描述了這樣一個復(fù)雜的情況，即一個人想要在退休時獲得一筆特定的退休金收入。在整個生命周期中，這個人可能只能在早期存入較小數(shù)額的存款，但是在之后的人生中，他可能會擁有一定的金融資源以存入更多的金額。儲蓄計劃常常涉及不等額的現(xiàn)金流，我們會在本章的最后部分討論這個問題。當(dāng)處理不等額現(xiàn)金流時，我們會最大限度地利用現(xiàn)金流可加性原理（cashflowadditivityprinciple），即在相同時點(diǎn)上的美元金額是可加的。例1-21未來年金流入所需籌集的投影年金金額吉爾·格蘭特（JillGrant）今年22歲（在t=0時刻），她現(xiàn)在正在為她63歲的退休進(jìn)行打算（在t=41時刻）。她計劃在接下來的15年每年存入2000美元（t=1時刻至t=15時刻）。她想要有20期的每年100000美元的退休金收入，其首筆退休金支付始于t=41時刻。那么，在t=16時刻至t=40時刻之間，每年格蘭特要儲蓄多少金額才能達(dá)到她所制定的退休金目標(biāo)？假設(shè)她計劃投資于平均年回報率8%的充分分散化的股票與債券型共同基金之中。解：為了幫助解決該問題，我們將信息標(biāo)注在一條時間軸上。如圖1-8所示，格蘭特將在第1～15年間每年存入2000美元（現(xiàn)金流出）。從第41年開始，格蘭特將開始在接下去的20年內(nèi)每年提取退休金收入100000美元。在時間軸上，年儲蓄額用括號中的數(shù)值（2美元）來表示這是一筆現(xiàn)金流出。我們的問題是求解從第16～40年的儲蓄額，我們將其記為X。圖1-8求解缺失的年金支付額（以千計）該問題的求解需要利用如下的關(guān)系：儲蓄的現(xiàn)值（流出）等于退休金收入的現(xiàn)值（流入）。我們可以將所有的美元數(shù)額換算到t=40時刻或者t=15時刻，并由此求解X。我們不妨在t=15時刻對所有的美元金額進(jìn)行估值計算（我們鼓勵讀者在t=40時刻估值的基礎(chǔ)上重新將該問題再做一遍）。在t=15時刻，首筆儲蓄額X將在1期之后支付（在t=16時刻）。因此，我們可以使用普通年金的現(xiàn)值公式對一個大小為X的現(xiàn)金流序列進(jìn)行換算。這個問題涉及三個等額現(xiàn)金流序列。我們基本的想法是退休金收入的現(xiàn)值必須與格蘭特之前的儲蓄額的現(xiàn)值相等。于是，我們的求解步驟如下：1.求解每年2000美元儲蓄在t=15時刻的將來值。該值告訴我們格蘭特在t=15時刻將已經(jīng)存儲了多少金額。2.求解退休金收入在t=15時刻的現(xiàn)值。該值告訴我們格蘭特所要求的退休金目標(biāo)金額是多少（同樣是在t=15時刻）。這里需要兩個子步驟。首先，在t=40時刻計算每年支付100000美元年金的現(xiàn)值。這里我們利用了年金的現(xiàn)值公式。（注意到這里的現(xiàn)值是在t=40時刻的，因?yàn)槭灼谥Ц妒窃趖=41時刻發(fā)生的。）其次，將該現(xiàn)值折現(xiàn)到t=15時刻（一共是25個期間）。3.現(xiàn)在我們可以計算格蘭特的儲蓄額（第一步所得的結(jié)果）和她所要求的退休金目標(biāo)金額（第二步所得的結(jié)果）之差。她在t=16時刻至t=40時刻間的儲蓄額的現(xiàn)值必須與其儲蓄將來值與退休金收入的現(xiàn)值之差相等。我們的目標(biāo)是確定格蘭特在t=16時刻至t=40時刻的25年間每年的儲蓄額。我們從計算每年2000美元的儲蓄在t=15時刻的將來值開始，具體計算如下：在t=15時刻，格蘭特最初的儲蓄將增長到54304.23美元?，F(xiàn)在我們需要知道格蘭特所需的退休金收入在t=15時刻的價值。正如之前所述，計算退休金的現(xiàn)值需要兩個子步驟。首先，利用式（1-11）求解在t=40時刻的現(xiàn)值；其次，將該現(xiàn)值折現(xiàn)到t=15時刻?，F(xiàn)在我們求解t=40時刻退休金收入的現(xiàn)值：由于這是在t=40時刻的現(xiàn)值，因此我們現(xiàn)在必須將其一次性折現(xiàn)到t=15時刻：現(xiàn)在回憶一下，之前我們算得格蘭特在t=15時刻將已經(jīng)儲蓄54304.23美元。因此，從現(xiàn)值的角度來看，t=16時刻至t=40時刻的年金必須與已經(jīng)儲蓄的金額（54304.23美元）和所需要的退休金數(shù)量（143362.53美元）之間的差額相等。該值等于$143362.53-$54304.23=$89058.30。因此，我們現(xiàn)在必須求解從t=16時刻至t=40時刻的現(xiàn)值為89058.30美元的年金的每期支付額A。我們計算該年金支付額的過程如下：格蘭特需要在t=16時刻至t=40時刻間將每年的儲蓄額增加到8342.87美元，以達(dá)到她退休的目標(biāo)，即在t=40時刻最后一筆儲蓄支付之后她將獲得一筆價值981814.74美元的資金。1.7.4現(xiàn)值和將來值換算關(guān)系的回顧正如我們已經(jīng)討論的，求解現(xiàn)值和將來值涉及將貨幣金額在時間軸上不同時間點(diǎn)間的移動。該操作之所以是可能的，是因?yàn)楝F(xiàn)值和將來值是在時間上分離的等價度量指標(biāo)。表1-5舉例說明了這一等價性；它列示了5筆現(xiàn)金流發(fā)生的時間，它們的現(xiàn)值是在t=0時刻計算的，而它們的將來值是在t=5時刻計算的。要解釋表1-5，我們首先從第三列開始，該列的數(shù)字代表現(xiàn)值。注意到每筆1000美元的現(xiàn)金支付被以適當(dāng)?shù)钠跀?shù)折現(xiàn)為t=0時刻的現(xiàn)值?，F(xiàn)值4329.48美元正好等價于這一現(xiàn)金流序列。這一信息揭示了一個重要的觀點(diǎn)：一次性支付的現(xiàn)金流可以產(chǎn)生一個年金。如果我們將這個一次性支付放在一個賬戶之中，并讓其在整個期間中以報價利率計息，那么我們將得到一個與之相等價的年金。分期貸款如抵押貸款和汽車消費(fèi)貸款，都是應(yīng)用這一原理的例子。為了了解一筆一次性支付現(xiàn)金流如何產(chǎn)生一個年金，假設(shè)在今天我們以5%利率在銀行中存入4329.48美元。我們可以通過式（1-11）計算出年金支付額的大小。通過求解A，我們得到：表1-6向我們顯示最初的4329.48美元投資是如何在接下來的5年內(nèi)實(shí)際產(chǎn)生5個1000美元的提款額的。要解釋表1-6，我們先從t=0時刻最初的現(xiàn)值4329.48美元開始。從t=0時刻到t=1時刻，初始投資獲得了5%的利息，產(chǎn)生將來值$4329.48（1.05）=$4545.95。然后我們從賬戶中取出1000美元，剩下$4545.95-$1000=$3545.95（該數(shù)字在表中第一個期間的最后一列中給出）。在下一個期間，我們同樣獲得了1年的利息并從中提款1000美元。在第4次提款之后，賬戶余額為952.38美元，它將繼續(xù)獲得5%的利息。于是，這一金額將在這一年中增長到1000美元，而這正好滿足我們最后一次的提款額度。因此最初的現(xiàn)值，在以5%的利率投資5年后，將產(chǎn)生每年1000美元的5年期普通年金。該初始投資的現(xiàn)值正好等價于這個年金。現(xiàn)在我們可以來看一下，將來值是如何與年金相關(guān)的。在表1-5中，我們所報告的年金將來值為5525.64美元。我們通過將最初的1000美元支付向前復(fù)利4期，將第二期的1000美元支付向前復(fù)利3期，以此類推。我們可以將所得到的5個在t=5時刻的將來值加總。于是，年金與t=5時刻的5525.64美元和t=0時刻的4329.48美元等價。因此，這兩個美元數(shù)值是等價的。我們可以通過求解將來值5525.64美元的現(xiàn)值（$5525.64（1.05-5）=$4329.48），來證明這兩者間的等價性。在我們揭示一次性支付可以產(chǎn)生一個年金的同時，我們發(fā)現(xiàn)了如上的結(jié)果?？偨Y(jié)一下至今我們所學(xué)到的內(nèi)容：一次性支付額可以視為等價于一個年金，而年金可以認(rèn)為等價于其將來值。因此，只要標(biāo)記在同一時點(diǎn)上，現(xiàn)值、將來值和現(xiàn)金流序列都可以被認(rèn)為是相互等價的。1.7.5現(xiàn)金流可加性原理現(xiàn)金流可加性原理（指標(biāo)記于相同時點(diǎn)的貨幣數(shù)量可以相加的原理）是有關(guān)貨幣時間價值的數(shù)學(xué)計算中最為重要的概念之一。我們在之前的討論中已經(jīng)提及并使用了該原理，本節(jié)將提供一個關(guān)于該原理的例子作為參考?？紤]兩個現(xiàn)金流序列，它們分別標(biāo)示在圖1-9中的時間軸上。這兩個現(xiàn)金流序列分別記為A和B。如果我們假設(shè)年利率是2%，我們可以求得每個現(xiàn)金流序列的將來值?，F(xiàn)金流序列A的將來值為$100（1.02）+$100=$202，現(xiàn)金流序列B的將來值為$200（1.02）+$200=$404。通過使用我們到目前為止所學(xué)到的方法，現(xiàn)金流序列（A+B）的將來值為$202+$404=$606。另外一種計算該將來值的方法是將這兩個現(xiàn)金流序列A和B中的每個時點(diǎn)的現(xiàn)金流分別加總（稱為A+B），然后去求解這樣一個合并現(xiàn)金流序列的將來值，如圖1-9所示。圖1-9兩個現(xiàn)金流序列的可加性圖1-9中的第3條時間軸反映的就是合并的現(xiàn)金流序