高二數(shù)學(xué)10 圓錐曲線的方程（多選題）（11月）（人教A版2019）（解析版）

專題10圓錐曲線的方程(多選題)

1.已知拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/,過戶的直線與E交于A，8兩點(diǎn)，C,

。分別為A，3在/上的射影，且|AE|=3|BF|,M為AB中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

()

A./CFD=9O。B.△CMO為等腰直角三角形

C.直線45的斜率為土百D.線段A3的長為號(hào)

【試題來源】重慶市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期10月月考

【答案】ACD

【分析】由題意寫出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，設(shè)直線AB的方程及A,8的坐標(biāo)，可得C,

力的坐標(biāo)，再由忸月=3|8月，求出直線A8的參數(shù)，進(jìn)而判斷出所給命題的真假.

【解析】由題意由拋物線的對稱性，焦點(diǎn)F(l,0),準(zhǔn)線方程為x=-l,

由題意可得直線AB的斜率不為0,由題意設(shè)直線AB的方程為工=，町41,

設(shè)A(xi,yi),B(X2,”)，由題意可知C(-1,yi),D(-l,”)，

將直線AB與拋物線聯(lián)立整理得：y2-4my-4=0,yi+yz=4m,yi”=-4,

A中，因?yàn)閒C.RD=(-2,yi)“-2,”)=(-2)(-2)+yi)，2=4-4=0,所以fCJ.尸￡),

即/CFO=90。，所以A正確；

B中，由A正確，不可能更不會(huì)/C或/。為直角，所以B不正確；

UUSlUU

C中，因?yàn)閨AF|=3|8F|,所以AEuBEB，即yi=-3)，2,yi+y2=4〃3yly2=-4,

-2y=4m]l

所以《c22“，解得加=上，，”=±?,所以直線A8的斜率為±6,所以C正確;

[一3%-=-433

D中，由題意可得弦長\AB\=>/1+nr+%)~一4yly2=Jl+m2+16-

=—.所以D正確，故選ACD.

3

2.泰戈?duì)栒f過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星，卻

沒有交會(huì)的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交會(huì)，卻在轉(zhuǎn)瞬

間無處尋覓.已知點(diǎn)“（1,0）,直線/：%=-2,若某直線上存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的

距離比到直線/的距離小1,則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)P的軌跡曲線是一條線段

B.點(diǎn)P的軌跡與直線/'：X=-l是沒有交會(huì)的軌跡（即兩個(gè)軌跡沒有交點(diǎn)）

C.y=2x+6不是“最遠(yuǎn)距離直線”

D.y=gx+l是“最遠(yuǎn)距離直線”

【試題來源】重慶市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期10月月考

【答案】BCD

【分析】先根據(jù)題意與拋物線的概念，可以得到點(diǎn)P的軌跡方程，再根據(jù)“最遠(yuǎn)距離直線”

逐一判斷即可.

【解析】由題意可得，點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線/的距離小1,即等價(jià)于“點(diǎn)P到點(diǎn)M的

距離等于到宜線/'：X=—l的距離”故P點(diǎn)軌跡是以加（1，0）為焦點(diǎn)，直線/'：X=—l為準(zhǔn)

線的拋物線，其方程是丁=4-故A錯(cuò)誤；

點(diǎn)P的軌跡方程是拋物線V=4x,它與直線/沒交點(diǎn)，即兩者是沒有交會(huì)的軌跡，故B

正確；要滿足“最遠(yuǎn)距離直線''則必須滿足與上述拋物線V=4x有交點(diǎn)，

把y=2x+6代入拋物線丁=4%，消去y并整理得f+5x+9=0,

因?yàn)锳=52-4x1x9=—11<0,無解，所以y=2x+6不是“最遠(yuǎn)距離直線”，故C正確；

把y=+l代入拋物線V=4x,消去y并整理得/_］2x+4=0，

因?yàn)锳=（—12）2—4xlx4=128>0，有解，所以y=gx+l是“最遠(yuǎn)距離直線”，故D正

確.故選BCD.

［名師點(diǎn)睛］本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的概念以及圓錐曲線的軌跡

問題，還考查了分析問題與解決問題的能力，屬于較難題.

3.己知耳，口2分別是雙曲線。：*2-丫2=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)/,是雙曲線上異于雙曲線頂點(diǎn)的

一點(diǎn)，且向量產(chǎn)耳?產(chǎn)6=（）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.雙曲線C的漸近線方程為y=±xB.以￡工為直徑的圓的方程為V+y2=1

C.大到雙曲線的一條漸近線的距離為1D.AP6息的面積為1

【試題來源】重慶市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期10月月考

【答案】ACD

【分析】求出雙曲線c漸近線方程，焦點(diǎn)耳，B，APEE的面積即可判斷.

【解析】4.代入雙曲線漸近線方程得y=±x，正確.B.由題意得￡（0,0）,6（一近,0）,

則以耳屈為直徑的圓的方程，不是f+>2=1,錯(cuò)誤c^（72,0）,漸近線方程為y=%,

距離為1,正確.D.由題意得耳（、/io），E（-Vio），設(shè)尸（%,%）,根據(jù)p耳44=0,

解得/=±乎，為=±孝，則△「久鳥的面積為L正確.故選ACD.

22

4.已知雙曲線與■一號(hào)=1僅>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上一點(diǎn)，且

ab~

\PF\=2\PF^,若sinN6P^=乎，則對雙曲線中。力,c,e的有關(guān)結(jié)論正確的是（）

A.e=5/6B.e—1

C.b=#>aD.h--J3a

【試題來源】山東省濟(jì)南外國語學(xué)校2020-2021學(xué)年高三10月月考

【答案】ABCD

【分析】根據(jù)余弦定理列方程得出a,c的關(guān)系，再計(jì)算離心率.

【解析】由雙曲線的定義知：|P￡|一|桃|=|P閭=2a,；.|P周=4a,

由sin/耳尸鳥=乎可得cos/耳尸入=±；,

在△PKK中，由余弦定理可得：4"+16"-4C2=±L解得￡.=4或1=6，

2x2ax4a4aa~

Q

，e=-=2或痛，c=2?；騝=46a，

>i.c2=a2+Z?2，可得〃=GQ或〃=石々，故選ABCD.

5.已知橢圓c：0+'=1（。>〃>0）的左、右端點(diǎn)分別為4,4，點(diǎn)P,。是橢圓c上

3

關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)（異于左右端點(diǎn)），且女I必c\?原"代A=-二4，則下列說法正確的有（）

A.橢圓C的離心率不確定B.橢圓C的離心率為彳

2

C.即4M0A的值受點(diǎn)R。的位置影響D.cos幺叫的最小值為一;

【試題來源】廣東省高研會(huì)高考測評(píng)研究院2021屆高三上學(xué)期第一次階段性調(diào)研

【答案】BD

b23

【分析】根據(jù)題中條件可求出二=2,繼而可求出離心率，由此可判斷AB；根據(jù)題意可

JA

3

得出?以。=以「山廿=-4為定值，可判斷C；由和的正切公式可建立關(guān)系判斷D.

【解析】設(shè)尸（x,y）,則/=/1—--,因?yàn)锳（-。,0）,4（。,0），

故yy

匕

x-\-ax-axr-ar-a

依題意有4T即與=1所以離心率e"學(xué)二，故A不正確，B正確;

因?yàn)辄c(diǎn)尸，。關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以四邊形4尸&。為平行四邊形，即有鼠。=32八代入題

3

干條件可得；"%=卜"%=_',不受點(diǎn)P,。的位置的影響，故C不正確；

3

設(shè)NP/44為a,N尸44為。，由題意可得tancrtan，=二，則有ZA]PA2-K-a-p,

4/八\/八'tana+tanB,“公

從而有tanZ4PA2=tan(^-?-/7)=-tan+/?)=-------------<一4,3,

1一tana?tan尸

當(dāng)a=/7,即當(dāng)點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)幺時(shí)最大，此時(shí)COS/AP4最小，計(jì)算得一；，故

D正確.故選BD.

6.如圖，過點(diǎn)尸（2,0）作兩條直線x=2和/?=陽+2（加＞0）分別交拋物線＞2=2》于A,B

和C,。（其中AC位于x軸上方），直線AC,8。交于點(diǎn)Q.則下列說法正確的是（）

A.C,。兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為T

B.點(diǎn)。在定直線％=-2上

C.點(diǎn)P與拋物線上各點(diǎn)的連線中，Q4最短

D.無論CO旋轉(zhuǎn)到什么位置，始終有NCQP=NBQP

【試題來源】湖南師大附中2021屆高三（上）月考（二）

【答案】AB

［解析】設(shè)點(diǎn)。（玉,y）,D（X2，必），將直線/的方程》=陽+2代入拋物線方程丁=2》得:

y2-2my-4=0.則乂%二-4.故A正確；

2

由題得4（2,2）,5（2,-2）,直線AC的方程為＞一2=--（x-2）,

必+2

直線BD的方程為y+2=-^―U—2）,消去）,得X=,

必-2凹-%+4

將%%=-4代入上式得x=-2,故點(diǎn)Q在直線％=-2上，故B正確；

計(jì)算尸A=■可知C錯(cuò)誤；因?yàn)?4=必，但Q4叩8,所以D錯(cuò)誤.故選AB.

2

7.設(shè)F是拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，直線/過點(diǎn)F,且與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.|AJ?|＞4

B.|QA|+|OB|〉8

C.若點(diǎn)尸(2⑵，貝IJ|PA|+1A用的最小值是3

D.QW的面積的最小值是2

【試題來源】湖南省湘潭市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬(理)

【答案】ACD

【解析】F(1,0),不妨設(shè)A在第一象限,

(1)若直線/無斜率，貝(1,2),B(1,-2),

則|AB|=4,|。4|+|08|=2|。4|=26，S=gx4xl=2,顯然B錯(cuò)誤;

(2)若直線/存在斜率，設(shè)直線/斜率為大，則直線/的方程為y=&(xT),顯然后0,

二尸，消元得：心」(2…U。,

聯(lián)立方程組

/、/\7k2+444

設(shè)A&,%）,B（X,%），則玉+々=——;—=2+—,所以|48|=%,+x2+2=4+—>4,

2kkk

原點(diǎn)o到直線/的距離d='■,

所以Sw=；x|AB|xd=gx(4+5)x悶-2

X-/-Z>2,

收+1

綜上，IABR4,SOAIi>2,故A正確，D正確,

過點(diǎn)A向準(zhǔn)線作垂線，垂足為M則|以|+依月=|以|+|4V|,

又P(2,2)在拋物線右側(cè)，故當(dāng)P,A,N三點(diǎn)共線時(shí)，|必|+|4月取得最小值3,故C正

確.故選ACD.

廣v29h2

8.已知6、B分別為雙曲線*■一方=1(。>0/>0)的左、右焦點(diǎn)，且舊用=J，點(diǎn)尸

為雙曲線右支一點(diǎn)，/為用的內(nèi)心，若5.明=5々咤+/S△班巴成立，則下列結(jié)論正

確的有()

A.當(dāng)P居，x軸時(shí)，NP6工=30。B.離心率e=

2

C.二！D.點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為定值“

2

【試題來源】湖南省長沙市雅禮中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（二）

【答案】BCD

A211

【解析】當(dāng)2鳥，無軸時(shí)，|P用=L=C=5RK|，此時(shí)tan/p/譙=/,所以A錯(cuò)誤;

因?yàn)樾镁觸=也，所以2c=也=2。2-2",整理得/—e—1=0（e為雙曲線的離心

~aaa

率），因?yàn)閑＞l，所以e=2］叵，所以3正確.

2

設(shè)△尸耳月的內(nèi)切圓半徑為〃由雙曲線的定義得歸周一|/岑|=2a,|耳巴|=2c,

S△呼=；|P聞?r，5寸乃=g|PK|"，Sw=；.2cr=cr，

因?yàn)?/際=S△2萬+，S△/乃,所以51P用"=耳|尸身卜r+2cr,

IwH尸用「二1舊八

故2cc1+752?所以C正確?

2

設(shè)內(nèi)切圓與尸庫、PF?、耳鳥的切點(diǎn)分別為M、N、T,

可得|9|=|印卜耳閘=忸刀，比可=色外?

由忸耳|一|尸閭=|KM—EM=I單1一用外=24,忸閭=1單1+1取1=2，

可得后T|=c—。，可得T的坐標(biāo)為（。,0）,即1的橫坐標(biāo)為a,故。正確；故選8CO.

【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義和簡單性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)的值，考查圓的

切線的性質(zhì)，化筒運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題.

y2

9.已知雙曲線=1（。＞0力＞0）的左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別是Ai,Az,左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別是

a

Fi,Fi,P是雙曲線上異于Ai,4的任意一點(diǎn)，給出下列命題，其中是真命題的有（）

A.\PF\-\PF^2aB.直線PA”PA?的斜率之積等于定值」

a'

C.使△2白鳥為等腰三角形的點(diǎn)P有且僅有4個(gè)D.焦點(diǎn)到漸近線的距離等于。

【試題來源】湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考

【答案】BD

【分析】A.由雙曲線的定義判斷；B.設(shè)尸(七,%),利用斜率公式求解判斷；C.利用雙

曲線的對稱性判斷；D.利用點(diǎn)到直線的距離公式求解判斷；

【解析】A.因?yàn)闅w周-忸周=2a,故錯(cuò)誤;

(2\

22段/_1

B.設(shè)2(如為),則-來~=1，所以"_y0y0_I4,_夕’

才b~尸人「%=不二?五金二年_.=/

故正確；

C.若點(diǎn)P在第一象限，若尸石=2c,尸乙=2c—2。，耳心為等腰三角形；若

PF2=2c,PFy=2c+2a,△2/=；月為等腰三角形，由雙曲線的對稱性知，點(diǎn)P有且僅有8

個(gè)，故錯(cuò)誤；

D.不妨設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為8(c,0),漸近線方程為笈-毆=0,則焦點(diǎn)到漸近線的距圈

,be,

d=/,,=匕,故正確；故選BD.

y/b2+a2

10.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為2,過點(diǎn)尸的直線與拋物線交于

P,。兩點(diǎn)，M為線段尸。的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則()

A.C的準(zhǔn)線方程為y=lB.線段PQ長度的最小值為4

C.M的坐標(biāo)可能為(3,2)D.OPOQ=~3

【試題來源】江蘇省徐州市市區(qū)部分學(xué)校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期9月學(xué)情調(diào)研考試

【答案】BCD

【分析】根據(jù)條件可得出P=2,易得4、3的正誤，設(shè)P3,〉1),0(X2,”)，直線PQ的

2

方程為x=my+1,聯(lián)立x=my+1,y=2px,算出玉+々,x,x2,X+%，X%即可得出?C、。的

正誤.

【解析】焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為p=2,所以拋物線C的焦點(diǎn)為(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-I,

則選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

當(dāng)PQ垂直于無軸時(shí)長度最小，此時(shí)尸(1,2),2(1,-2),所以伊。|=4,則選項(xiàng)B正確：

設(shè)P(xi,yi),。(12,”)，直線尸0的方程為尸ky+1,聯(lián)立x=my+l,y1=2px,

消去y可得x2—(4w2+2)x+1=0,消去x可得y2—4/ny—4=0,所以xi+x2=4/n2+2,yi+y2=4/n,

當(dāng)m=1時(shí)，可得M(3,2),則選項(xiàng)C正確；

又)叮2二—4,所以。P00=Aw+yi)，2=—3,則選項(xiàng)D正確；故選BCD

r22

11.已知P是雙曲線c：￡-方v=1右支上一點(diǎn)，6,B分別是C的左，右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)

原點(diǎn)，|0尸+。月|=9彳則()

54

A.C的離心率為IB.C的漸近線方程為丁=±§》

2345

C.點(diǎn)P到C的左焦點(diǎn)距離是二D.△PG居的面積為上

44

【試題來源】江蘇省南京市秦淮中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月月考

【答案】AD

【分析】對于AB,直接利用雙曲線的性質(zhì)判斷；對于C,取線段06的中點(diǎn)M，連接

利用中位線和雙曲線的定義計(jì)算判斷；對于D,在△「耳巴，利用余弦定理求

MO,PF2,

出COS/P6弱，進(jìn)而可得sinNPKU，再用三角形的面積公式計(jì)算.

c5

【解析】由已知a=4/=3,c=5,離心率e=-=—，故A正確；

a4

1Q

漸近線方程為y=±-x=±」x,故B錯(cuò)誤；

a4

如圖，取線段2片的中點(diǎn)M，連接MOFF2,則MO//P%旦2|MO|=|尸可

：.OP+OF,=2OM=gP，.?.怛4=|0尸+0用=(,則|尸用=2。+|尸閭=8+(=?,

40

故C錯(cuò)誤；在中，cosNP耳月

41

29

則sinNPFFi=^l-cosZPFtF2

41

I41Q45

則△「耳鳥的面積為一xlOx—x3=—，故D正確.故選AD

24414

12.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)

A、3的距離之比為定值幾（XH1）的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來，人們將這個(gè)圓以他的

名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，A（-2,0）、

DA1

8（4,0）,點(diǎn)尸滿足——=—,設(shè)點(diǎn)尸所構(gòu)成的曲線為C,下列結(jié)論正確的是（）

PB2

A.C的方程為（X+4）2+V=16

B.在C上存在點(diǎn)。，使得。到點(diǎn)（1,1）的距離為3

C.在C上存在點(diǎn)M，使得|MO|=2|M4|

D.在C上存在點(diǎn)N,使得|NO「+|N4「=4

【試題來源】重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考

【答案】ABD

DAI

【分析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用一=一，即可求出曲線C的軌跡方程，然后假設(shè)曲線C上

PB2

一點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)BCD選項(xiàng)逐一列出所滿足條件，然后與C的軌跡方程聯(lián)立，判斷是否有解,

即可得出答案.

【解析】設(shè)點(diǎn)P（x,y）,A（—Q）、B（4,0）,由/石二］，得|---1】

化簡得爐+爐+以=。，即：（x+4）2+、2=16,故A選項(xiàng)正確；

曲線C的方程表示圓心為（-4,0）,半徑為4的圓，圓心與點(diǎn)（1,1）的距離為

7（-4-1）2+1=>/26,與圓上的點(diǎn)的距離的最小值為而-4,最大值為而+4,而3￡

[V26-4,V26+4],故B正確；

對于C選項(xiàng)，設(shè)")，由|M0|=2|MA|,得收+為？=2及。+2.+,

乂(工+4)2+為2=16,聯(lián)立方程消去沖得回=2,解得yo無解，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

22

對于D選項(xiàng)，設(shè)N(xo,yo),由WO|2+|NA|2=4,得x0+y0+(x()+21+城=4,

乂(％+4)2+%2=[6,聯(lián)立方程消去)，0得找=0,解得和=0,故D選項(xiàng)正確.故選ABD.

22

13.已知曲線C的方程為「一+二一=1(AGR),則下列結(jié)論正確的是()

k-26-k

A.當(dāng)k=4時(shí)，曲線C為圓

B.當(dāng)；:=0時(shí);曲線。為雙曲線，其漸近線方程為y=±JIr

C.-k>4”是“曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的充分而不必要條件

D.存在實(shí)數(shù)%使得曲線。為雙曲線，其離心率為五

【試題來源】湖北省黃岡市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期9月調(diào)研考試

【答案】AB

【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法,

逐項(xiàng)判定，即可求解.

r22

【解析】由題意，曲線。的方程為「一+」v一=l(AeR),

k-26-k

對于A總，當(dāng)左=4時(shí)，曲線。的方程為爐+尸=2,此時(shí)曲線。表示圓心在原點(diǎn)，半徑

為正的圓，所以是正確的；

22

對于B中，當(dāng)左=0時(shí)，曲線。的方程為匕一二=1，可得。=指*=0,此時(shí)雙曲線C

62

漸近線方程為y=±6x,所以是正確的；

22

對于C中，當(dāng)曲線。的方程為-^+3^=l(keR)表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線時(shí)，則

k-26-k

代—2>0

滿足,八，解得女〉6,所以Y>4”是“曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的必要不充

6-k<Q

分條件，所以不正確;

對于D中，當(dāng)曲線。的方程為工+上一=1表示雙曲線，且離心率為正時(shí)，此時(shí)雙曲

k-26-k

線的實(shí)半軸長等于虛半軸長，此時(shí)|左一2|=|6-從，解得左=4,此時(shí)方程表示圓，所以不

正確.故選AB.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

程，以及雙曲線的幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與論證能力.

14.已知橢圓三+二=1（m〉0）的離心率6=萼，貝的值為（）

A.3B.—C.V5D.

33

【試題來源】江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期初

【答案】AB

【分析】分焦點(diǎn)在％、y軸上討論，分別求出加的值.

【解析】由題意知加>0，當(dāng)5〉加時(shí)，a=亞,b=y[m,c={5—m，

所以e=￡=正三=回

解得加=3；當(dāng)5c加時(shí)，a-yfm，b-舊,c-y/m-5，

aV55

所以e=￡=3^5=巫，解得加=竺；故選AB.

ciy/m53

15.已知雙曲線E：--21=1（^>0）的一條漸近線方程為x+3y=0,則下列說法正

m4

確的是（）.

4

A.E的焦點(diǎn)在x軸上B.m=一

9

D.E的離心率為典

C.￡的實(shí)軸長為6

3

【試題來源】河北省張家n市邢臺(tái)市衡水市2021屆高三上學(xué)期摸底聯(lián)考（新高考）

【答案】AD

【解析】由m>0,可知雙曲線E的焦點(diǎn)一定在X軸上，故A正確；

b2_1

根據(jù)題意得一所以加=36,故B錯(cuò)誤;

ayJm3

雙曲線E的實(shí)軸長為2詬=2，帝=12，故C錯(cuò)誤;

雙曲線E的離心率6=￡=近營=契=?，故D正確.故選AD.

ayJmJ363

16.方程f+2sin/y2=i所表示的曲線可能是().

A.雙曲線B.拋物線

C.橢圓D.圓

【試題來源】廣東省佛山市2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期統(tǒng)考模擬

【答案】ACD

【解析】6是任意實(shí)數(shù)，.??2sin0e[-2,2],

當(dāng)2sm0=1時(shí)，方程f+2sin。?丁=1所表示的曲線是圓；

當(dāng)2sin6>0且不等于1時(shí)，方程r+2sin夕V=1所表示的曲線是橢圓；

當(dāng)2sin6<0時(shí)，方程d+ZsinPy=i所表示的曲線是雙曲線；

當(dāng)2sin6=0時(shí)，方程V+2sin夕V=i所表示的曲線是兩條直線故選ACD.

【名師點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程，考查了圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思

想方法，屬于基礎(chǔ)題.

17.雙曲線犬-*=13>0)的一條漸近線方程為25:+y=(),雙曲線的離心率為e,

雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為4,則()

A.d=2垃B.d=42

or>3近

Cr.e=3D.e=----

4

【試題來源】湖北省黃岡市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末

【答案】AC

【分析】利用雙曲線的漸近線方程求出。，然后轉(zhuǎn)化求解離心率，求出雙曲線的焦點(diǎn)到漸近

線的距離為4,判斷選項(xiàng)即可.

2

【解析】雙曲線V一表■=1S>0)的一條漸近線方程為20+y=0,

可得。=2啦，a=\,所以《=￡=五±菱=3.雙曲線的右焦點(diǎn)(3,0),

aa

65

雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為d=-^==272.故選AC.

V8+1

22

18.已知雙曲線氏三—親?二耳?！?。1>0）的兩條漸近線分別為直線/1：y=2x,

l2-.y=-2x,則下列表述正確的有（）

A.a>b

B.a=2b

C.雙曲線E的離心率為石

D.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，雙曲線E的焦點(diǎn)在x軸上

【試題來源】遼寧省朝陽市凌源市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考

【答案】CD

【分析】由已知可得2=2,所以h=2a，由此可判斷AB選項(xiàng)，再由雙曲線的方程和雙曲

a

線的離心率公式可判斷CD選項(xiàng).

［解析】因?yàn)殡p曲線E的兩條漸近線方程分別為y=2x,y=-2x,所以2=2,所以。=助,

a

故AB不正確；所以雙曲線E的離心率6="廠+"=右;在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線

a

E的焦點(diǎn)在X軸上.故CD正確.故選CD.

2

19.已知雙曲線的方程為二一丁=1,則雙曲線的（）

4

A.離心率為當(dāng)B.漸近線方程為y=±（x

C.共輾雙曲線為《一元2=1D.焦點(diǎn)在曲線d-行N+）2=0。eR）上

【試題來源】湖北省仙桃市、天門市、潛江市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末

【答案】AD

【分析】由雙曲線的離心率的定義，可判定A正確；由雙曲線的漸近線方程，可判定B不

正確；由雙曲線的共軌雙曲線的定義，可判定C不正確；根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)為R（土行,（）），

代入驗(yàn)證，可判定D正確.

【解析】由雙曲線的方程為工—y2=i,可得。=2力=1,且0=行市=百，

所以雙曲線的離心率為e=￡=@，故A正確；

a2

雙曲線的漸近線方程為丁=±2*=±!*,所以B不正確;

a2

由雙曲線的方程為工-丁=1,則其共舸雙曲線為y2一三=1，所以C不正確;

由雙曲線的方程為千—=1的焦點(diǎn)為尸（土6,0）,代入曲線—石W+）2=0。eR）,

滿足方程，所以D正確.故選AD.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，以及共較雙曲線的定義的應(yīng)用,

其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

X2V21

20.若橢圓L+匕=1的離心率為二，則機(jī)的取值為（）

m4

【試題來源】江蘇省南京市第十四中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期學(xué)情調(diào)研測試

【答案】AC

【分析】分焦點(diǎn)在x軸或y軸上，即〃2>4,或〃z<4結(jié)合離心率討論求解.

—4116

【解析】當(dāng)%>4時(shí)，焦點(diǎn)在X軸上，此時(shí)離心Im率為解得根==，滿足m>4;

m2

當(dāng)冽<4時(shí),焦點(diǎn)在y軸上,此時(shí)離心率為解得加=3,滿足加<4;

2

綜上的值為一或3,故選AC.

3

21.己知F是拋物線C:>2=16元的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，R0的延長線交V軸于點(diǎn)N.若

M為FN的中點(diǎn)，則（）

A.C的準(zhǔn)線方程為X=Y

B.尸點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,4）

C.|皿=12

D.三角形的面積為16a（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）

【試題來源】金太陽2020-2021學(xué)年高三第?次檢測考試

【答案】ACD

【解析】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線/與x軸交于點(diǎn)尸，作兒松山

于點(diǎn)3，附上/于點(diǎn)4.由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為》=汽，

產(chǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,0）,則14Vl=4,|"'|=8,

在直角梯形4V尸產(chǎn)'中，中位線忸陷=網(wǎng)耳竺1=6，

由拋物線的定義有同=|M8|=6,結(jié)合題意，^\MN\^\MF\=6,

故|町=|fM|+|2W|=6+6=12,\ON\=yJ122-42=872.

S/XQNF=gx88x4=16公.故選ACD.

22.已知雙曲線E的中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，漸近線方程為y=±2x,則雙曲線￡的

離心率為（）

75

B.V5

2

、56口36

…~T~'~T~

【試題來源】廣東省珠海市2021屆高三上學(xué)期第一次摸底

【答案】AB

【分析】對雙曲線的焦點(diǎn)位置進(jìn)行討論，得凡〃關(guān)系，再計(jì)算離心率即可.

【解析】若雙曲線焦點(diǎn)在X軸上，因?yàn)闈u近線方程為y=±2x,故2=2,

a

；若雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，由漸近線方程為y=±2%,得q=2,

h

.故選AB.

a

23.設(shè)定點(diǎn)6(0,-3)、居(0,3),動(dòng)點(diǎn)尸滿足|尸制+忸6|=a+=(a>0),則點(diǎn)尸的軌跡

是()

A.圓B.線段

C.橢圓D.不存在

【試題來源】山東省濟(jì)南市商河縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考

【答案】BC

【分析】由基本不等式可得|尸耳|+|尸馬26,可得I尸H+I尸廬I/或

伊耳1+1尸閭>1耳閭,即可判斷軌跡.

【解析】4(0,-3)、居(0,3),耳聞=6,

9Ia

a>0，用+|P用=。+322業(yè)?二=6,當(dāng)且僅當(dāng)a=,，即a=3時(shí)等號(hào)成立，

當(dāng)a+，=6時(shí)，即歸國+歸國=|耳用，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是線段《招，

當(dāng)a+：>6時(shí)，即歸制+|"|>忻6|,此時(shí)點(diǎn)尸的軌跡是橢圓.故選BC.

24.已知方程mx2+ny2=1(m,ne7?),則()

A.當(dāng)〃2〃>0時(shí)，方程表示橢圓

B.當(dāng)〃“2<0時(shí)，方程表示雙曲線

C.當(dāng)機(jī)=0,〃>0時(shí)，方程表示兩條直線

D.方程表示的曲線不可能為拋物線

【試題來源】江蘇省南京師范大學(xué)附屬蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)

研(二)

【答案】BCD

【分析】根據(jù)橢圓，雙曲線，拋物線的定義依次判斷每個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.

【解析】A：取加=〃=1，此時(shí)表示圓，故A錯(cuò)誤；

B：當(dāng)〃加＜0時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在X軸或y軸上的雙曲線，故B正確；

C：當(dāng)加=0,y=±也，方程表示兩條直線，故C正確；

n

D.方程表示的曲線不含有一次項(xiàng)，故不可能為拋物線，故D正確；故選BCD.

2

25.已知雙曲線一2L=i,則（）

6

A.C的離心率為近B.C的虛軸長是實(shí)軸長的6倍

2

C.雙曲線2--犬=1與C的漸近線相同D.直線y=3x上存在一點(diǎn)在c上

6

【試題來源】金太陽聯(lián)考2020-2021學(xué)年新高考（廣東卷）

【答案】AC

【分析】根據(jù)雙曲線方程求得。，b，進(jìn)而可得c,即可判斷A與B；分別求兩雙曲線漸近

線方程可判斷C；根據(jù)漸近線可判斷D.

【解析】因?yàn)椤?=1，從=6,所以。2=1+6=7,則0=￡=近，一=瓜,所以A

a2a

正確，B錯(cuò)誤.雙曲《―％2=1與C的漸近線均為y=±aX,所以C正確，

因?yàn)镃的的漸近線的斜率小于的3,所以直線y=3x與c相離，所以D錯(cuò)誤.故選AC

r2V2

26.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線^--2-=1,則（）

412

A.實(shí)軸長為4

A

B.漸近線方程為y=±苧尤

C.離心率為2

D.一條漸近線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)到另一條漸近線的距離為3

【試題來源】江蘇省鎮(zhèn)江市大港中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期10月學(xué)情檢測

【答案】AC

【分析】由雙曲線的方程可得。，b的值，求出離心率、實(shí)軸長，以及準(zhǔn)線方程與漸近線的

方程可得正確答案.

【解析】由雙曲線的方程可得，/=4,82=12,02=。2+》2=16，所以。=2i=2右，

c=4.所以實(shí)軸長2a=4,離心率￡=2,漸近線方程為y=±氐，所以A，C

aa

正確，5錯(cuò)誤；因?yàn)闇?zhǔn)線方程為彳=幺=1,設(shè)漸近線曠=岳與漸近線的交點(diǎn)為A,兩個(gè)

C

方程聯(lián)立可得A（1,J3）,另一條漸近線的方程為JIr+y=O,所以A到它的距離為

曲1拽1=5所以。不正確.故選AC.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的方程，以及雙曲線的離心率、實(shí)軸長，以及準(zhǔn)線方程與

漸近線方程的求解，屬于基礎(chǔ)題.

27.若方程工+，二=1所表示的曲線為C,則下面四個(gè)說法中錯(cuò)誤的是（）

3-tt-\

A.若l<f<3,則C為橢圓

B.若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則2<1<3

C.曲線C可能是圓

D.若C為雙曲線，貝卜<1

【試題來源】河北省滄州市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考

【答案】AD

【分析】根據(jù)題意依次討論各選項(xiàng)即可得答案.

【解析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)，=2時(shí)，曲線為C表示圓，故不正確；

對于B選項(xiàng)，當(dāng)曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時(shí)，貝!If—1>3-1>0,解得2<r<3,故

正確：對于C選項(xiàng)，當(dāng)f=2時(shí)，曲線為C表示圓的方程，故正確；

對于D選項(xiàng)，當(dāng)曲線C為雙曲線時(shí)，則（3—解得r<l或f>3,故錯(cuò)誤；

綜上，錯(cuò)誤的是AD.故選AD.

22

28.設(shè)點(diǎn)F、直線/分別是橢圓G與+與=13>〃>0）的右焦點(diǎn)、右準(zhǔn)線，點(diǎn)P是橢圓C上

a2b2

一點(diǎn)，記點(diǎn)尸到直線/的距離為d,橢圓C的離心率為e