人教A版高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)(必修1)學(xué)案6：5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象

5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象

『目標(biāo)』1.了解利用正弦線作正弦函數(shù)圖象的方法；2.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，知

道它們之間的關(guān)系；3.會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.

『重點(diǎn)』畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)圖.

『難點(diǎn)』用五點(diǎn)法畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.

『要點(diǎn)整合』

知識(shí)點(diǎn)一利用正弦線作正弦函數(shù)的圖象

『填一填』

利用正弦線可以畫出y=situ,xd『0,2%』的圖象，要想得到了=$加。611）的圖象，只需將

y=sinr,尤e『0,2?！坏膱D象即可，此時(shí)的圖象叫做.

『答一答』

1.為什么把＞=5]!?,XG『0,2?！坏膱D象向左、向右平移2兀的整數(shù)倍個(gè)單位長(zhǎng)度后圖象形

狀不變？

2.如何由正弦曲線得到余弦曲線？

"五點(diǎn)法"作y=sin%,%e［0,2TT］的

知識(shí)點(diǎn)二,簡(jiǎn)圖

［填一填］

在函數(shù)y=sim;,xe的圖象上，起關(guān)鍵作用的是

函數(shù)y=sin%,%e［0,2TT］的圖象與光軸的交點(diǎn)及最高點(diǎn)和最

低點(diǎn),它們依次為：.

事實(shí)上,只要這五個(gè)點(diǎn)確定了，函數(shù)y=sinx,xe［0,2F］的圖

象形狀就基本確定了.因此，在精確度要求不太高時(shí)，我們可以

先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑的曲線順次將它們連接起

來(lái)，就得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖，這種作圖的方法稱為“五點(diǎn)法”作圖.

『答一答』

3.用五點(diǎn)作圖法作函數(shù)圖象的三個(gè)步驟是什么？

4.畫》=（：05%,『0,2?！粫r(shí)的圖象，應(yīng)取的五個(gè)點(diǎn)分別是什么？

『典例講練』

類型一用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的圖象

『例1』用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=l+2siru,xe『0,2?！坏膱D象.

『通法提煉』

“五點(diǎn)法”是一種作圖思想或策略，它不僅限于畫正

弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，也可用于畫復(fù)合型正、余弦函

數(shù)的簡(jiǎn)圖(如本例).對(duì)形如y=4sin(/%+?)+3或y=

4cos(口％+3)+5的函數(shù)，都可以用“五點(diǎn)法”畫其簡(jiǎn)圖.

其中五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)應(yīng)由①％+3分別取0,女,TT,竽,2b來(lái)確

定，而不是*取這些值來(lái)確定.

工變式訓(xùn)練1」用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=2+cosx,xe『0,2肩的簡(jiǎn)圖.

類型二利用“圖象變換”作三角函數(shù)的圖象

『例2』畫出下列函數(shù)的圖象.

⑴尸"—cos2x；(2)y=sin|x|.

『通法提煉』

某些函數(shù)的圖象可通過(guò)圖象變換，如平移變換、對(duì)稱變換作出，如將y=siwt的圖象在y軸

右側(cè)的保留，在左側(cè)作右側(cè)關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形，便得到y(tǒng)=sin|x|的圖象，將＞=511?;圖象

在x軸上方的不動(dòng)，x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方，便得到y(tǒng)=|siiu|的圖象等.

『變式訓(xùn)練2』(1)函數(shù)y=l—cosx,『0,2?！坏拇笾聢D象是()

77

JLF3P27r2L3TT2ITx

2-22T

號(hào)TT要27r

(2)下列敘述：

①尸—COSX與y=C0S(—x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱;

②y=—cosx與y=cos(—x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;

③y=siivc與y=|sinx|的圖象在y軸右側(cè)相同.

其中正確的序號(hào)為.

類型三正、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用

『例3』求下列函數(shù)的定義域.

(l)j；=lg(—cosx)；

(2)y=42sinx一也.

『通法提煉』

利用三角函數(shù)圖象解sinX>〃(或cosx>〃)的三個(gè)步驟:

(1)作出直線y=〃，y=sinx(或y=cosx)的圖象；

(2)確定siax=Q(或cosx=〃)的x值；

(3)確定siiu>〃(或cosx>〃)的解集.

『變式訓(xùn)練3J設(shè)Of兀，且|cos%—sinx|=sinr—cosx,則x的取值范圍是.

『課堂達(dá)標(biāo)』

1.對(duì)于正弦函數(shù)y=siiw的圖象，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.向左右無(wú)限伸展

B.與〉=8林的圖象形狀相同，只是位置不同

C.與x軸有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)

D.關(guān)于y軸對(duì)稱

2.函數(shù)y=-sinx的大致圖象是（）

2m-]

4.要使8，了=罰有意義,則，，的取值范圍為.

5.在『0,2兀』內(nèi)用五點(diǎn)法作出y=—sinx—1的簡(jiǎn)圖.

『課堂小結(jié)』

一本課須掌握的三大問(wèn)題

1.五點(diǎn)法是畫三角函數(shù)圖象的基本方法，要熟練掌握，與五點(diǎn)法作圖有關(guān)的問(wèn)題是高考常

考知識(shí)點(diǎn)之一.

2.圖象的平移與對(duì)稱也是作三角函數(shù)圖象的常用方法.

3.正、余弦曲線在研究正、余弦函數(shù)的性質(zhì)中有著非常重要的應(yīng)用，是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

解決三角函數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ).

★參*考*答*案★

『要點(diǎn)整合』

知識(shí)點(diǎn)一利用正弦線作正弦函數(shù)的圖象

『填一填』

不斷向左、向右平行移動(dòng)（每次移動(dòng)2兀個(gè)單位長(zhǎng)度）

正弦曲線

『答一答』

1.提示：由公式sin（x+2E）=sinx,可得.

2.提示：由公式cosx=sinG+f）可知，要得到余弦曲線，只需把正弦曲線向左平移胃?jìng)€(gè)單位

長(zhǎng)度.

"五點(diǎn)法"作y=sin%,%e［0,2TT］的

知識(shí)點(diǎn)二\簡(jiǎn)圖

［填一填］

（0,0）,芻1）,（兀，0）,潦，—1）,（2兀，0）

『答一答』

3.提示：列表，描點(diǎn)，連線（注意光滑）.

4.提示:（0,1）,俘0）,（71,-1）,作，0）,（2兀，1）.

『典例講練』

類型一用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的圖象

r例1」

r解』列表

7T37r

X07127r

2T

sinx010-10

1+2sinx131-11

在直角坐標(biāo)系中描出五點(diǎn)（0』），俘3）,（兀，1）,修，一1）,（2K,1）,然后用光滑曲線順次

連接起來(lái)，就得至ijy=l+2sinx,『0,2%』的圖象，如圖.

『變式訓(xùn)練1J

解：列表：

713n

X0712兀

2~2

cosx10-101

2+cosx32123

描點(diǎn)連線，如圖.

類型二利用“圖象變換”作三角函數(shù)的圖象

［例2』

『解』(1)：y1一cos?—|sinx|,

sinx,

.??(止Z)

—sinx,Ikn+7i<x<2k7i+2K.

作出y=sinx,『0,7iJ和〉=一5加，2兀）的圖象，并將圖象左右平移即可.

其圖象如圖所示.

fsinx,x>0,

(2)y=sin|x|=J.其圖象如圖所示.

Lsinx,x<0,

『變式訓(xùn)練2」

耳答案」」(1)D(2)①

『『解析』』⑴設(shè)於)=y=l—cosx,貝1］的)=1-COSTT=2,

所以函數(shù)人x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(無(wú)，2),排除選項(xiàng)A,B,C.

(2)y=cos(—x)=cosx,其圖象與y=-cos尤的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，不關(guān)于y軸對(duì)稱，①正確;

②錯(cuò)誤；畫出圖象可得，③不正確.

類型三正、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用

『例3』

［解』(1)為使函數(shù)有意義，則需要滿足一cosQO,即cosx＜0.

由余弦函數(shù)圖象可知滿足條件的X為彳+2?＜了＜咨+2也，k^Z.

TT3IT

所以原函數(shù)定義域?yàn)閧%l］+2左兀＜x＜g+2kji,左￡Z}.

(2)為使函數(shù)有意義，則需要滿足2sinx—6三0,即sin%、乎.

由正弦函數(shù)圖象可知滿足條件的無(wú)為牛+2E,)teZ.

IT3IT

所以原函數(shù)定義域?yàn)閧x|］+2析CxW彳+2E,k￡Z}.

『變式訓(xùn)練3」

「『答案」J］，y

『『解析」」如圖，由題意得sinx2cosx,

根據(jù)『0,2?！粎^(qū)間上函數(shù)＞=5加與〉=3工的圖象得在5ITT

『課堂達(dá)標(biāo)』

L『