初中數學競賽教程

初中數學競賽教程

篇一：初中數學競賽教程19、全等三角形

2013年暑期初一數學競賽第十九講：全等三角形

【知識要點】

全等三角形是平面幾何內容的基礎，這是因為全等三角形

是研究特殊三角形、四邊形等圖形性質的有力工具，是解決

與線段、角相關問題的一個出發(fā)點，運用全等三角形，可以

證明線段相等、線段的和差倍分關系、角相等、兩直線位置

關系等常見的幾何問題.

全等三角形的判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS,直

角三角形全等另有：HL.全等三角形的性質：全等三角形

的對應邊相等，對應角相等.利用全等三角形證明問題，

關鍵在于從復雜的圖形中找到一對基礎的三角形，這對基礎

的三角形從實質上來說，是由三角形全等判定定理中的一對

三角形變位而來，也可能是由幾對三角形組成，其間的關系

互相傳遞，應熟悉涉及有公共邊、公共角的以下兩類基本圖

形：

【例題解析】

例1、如圖，AD、ATT分別是銳角AABC和△ArB，C中

BC、B，C邊上的高，且AB=A，B。AD=AD,若使4ABC

烏△A，B，C,請你補充條件（只需要填寫一個你認為適

AA'

當的條件）.C'D'BDCB'1>如圖，

ZE=ZF=90°,ZB=ZC,AE=AF,給出下列結論：①N

1=Z2；?BE=CF；?AACN^AABM；?CD=DN,其中正

確的結論是（把你認為所有正確結論的序號填上）.

F

A

E

C

M

B

2、如圖，在4ABD和4ACE中，有下列4個論斷：①

AB=AC；②AD=AC；③NB=NC；@BD=CE,請以其中

三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出一個真命

題（用序號。。。一。的形式寫出），并給予證明.

B

A

CE

例2、在aABC中，AC=5,中線AD=4,則邊AB的

取值范圍是（）A.l<AB<9B.3<AB<13

C.5<AB<13D.9<AB<13

1、已知三角形的兩邊長分別為5和7,你們第三邊上的中

線長x的取值范圍是

2、如圖，^ABC中，D是BC的中點，DE±DF,試判

斷BE+CF與EF的大小關系，并證明你的結論.

A

D

C

例3、如圖，BD、CE分別是AABC的邊AC和AB上的

高，點P在BD的延長線上，BP=AC,

點Q在CE上，CQ=ABo求證：(1)AP=AQ；(2)AP

±AQ.

AP

B

C

1、在aABC中，高AD和BE交于H點，且BH=AC,

求NABC的度數。

2、如圖，已知N1=N2,EF_LAD于P,交BC延長線于

M,求證：ZM=

(ZACB-ZB).2

A

2

EB

D

P

FM

3、如圖，在4ABC中，已知AB=AC,ZBAC=90°,D

是BC上一點，EC±BC,EC=BD,

A

DF=EF,求證：AF±DEo

E

F

B

D

C

例4、如圖，已知AE平分NBAC,BE±AE于E,ED

〃AC,ZBAE=36°,求NBED。

E

BD

1、如圖，在aABC中，AD是NA的外角平分線，P是

AD上異于A的任意一點，設PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,

試比較m+n與b+c的大小關系，并說明理由。

求證：AC=AE+CD.

c

A

P

C2、如圖，在aABC中，ZABC=60°,AD、CE分別平

分NBAC、ZACB,

A

E

D

C

3、如圖，在四邊形ABCD中，AC平分NBAD,過C作

CE±AB于E,且AE=^ZABC+ZADC的度數.

1

(AB+AD),2

D

C

A

E

B

例5、如圖已知AB=CD=AE=BC+DE=2,ZABC=Z

AED=90°,求五邊形ABCDC的面積.

C

BA

D

E

【鞏固拓展】

1.如圖，OA=OC,OB=OD,則圖中全等三角形共有

對.2.如圖，AD〃BC,Z1=Z2,Z3=Z4,

AD=4,BC=2,那么AB=.

3.如圖，D是AABC的邊AB上一點，DF交AC于點F,

給出3個論斷：?DE=FE；?AE=CE；③FC〃AB,以其

中一個論斷為結論，其余兩個論斷為條件，可作出3個

A

命題，其中正確命題的個數是.

ADE

CFE

DD13

BBACBC

（第2題）（第3題）（第4題）

4.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分NBAD,

ABAD,下列結論中正確的是（）A.AB-ADCB-CD

B.AB-AD=CB—CD

C.AB—AD<CB—CDD.AB-AD與CB—CD的大

小關系不確定.5.考查下列命題：

（1）全等三角形的對應邊上的中線、高、角平分線對應

相等;

（2）兩邊和其中一邊上的中線（或第三邊上的中線）對應

相等的兩個三角形全等；（3）兩角和其中一角的角平分線

（或第三角的角平分線）對應相等的兩個三角形全等；（4）

兩邊和其中一邊上的高（或第三邊上的高）對應相等的兩個三

角形全等.其中正確命題的個數有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個6.如圖，AABC^

△ABD,ZC=100°,ZABC=30°,則N。.

7.如圖，已知OA=OB,OC=OD,下列結論中：①NA=

ZB；②DE=CE；③連OE,則OE平分NO,正確的是0

A.①②B.②③C.①③D.①②③

8.如圖，DA_LAB,EA±AC,AB=AD,AC=AE,BE

和CD相交于O,則NDOE的度數是

D

O

EAE

DACD

A

C

B

9.如圖，A在DE上，F在AB上，且AC=CE,Z1=Z

2=Z3,貝！|DE的長等于（）A.DCB.BCC.ABD.AE+AC

10.如圖，已知AD平分NBAE,ZB=ZD,AB=AD,說

出下列結論成立的理由：（l）4ABC/ZkADE；（2）DE=BC.

篇二：初一數學競賽教程含例題練習及答案⑼

初一數學競賽講座

第9講應用問題選講

我們知道，數學是一門基礎學科。我們在學校中學習數學

的目的，一方面是為學習其它學科和學習更深的數學知識打

下一個基礎，更重要的是為了現在和將來運用所學的數學知

識去解決一些日常生活、科學實驗、工農業(yè)生產以及經濟活

動中所遇到的實際問題。

運用數學知識解決實際問題的基本思路是:先將這個實際

問題轉化為一個數學問題（我們稱之為建立數學模型），然

后解答這個數學問題，從而解決這個實際問題。即：

這里，建立數學模型是關鍵的一步。也就是說，要通過審

題，將實際問題與自己學過的數學知識、數學方法聯系起來,

將其歸結到某一類型的數學問題，然后解答這個數學問題。

下面介紹一些典型的數學模型。

一、兩個量變化時，和一定的問題

兩個變化著的量，如果在變化的過程中，它們的和始終保

持不變，那么它們的差與積之間有什么關系呢？

觀察下面的表：

我們不難得出如下的規(guī)律:

兩個變化著的量,如果在變化的過程中，和始終保持不變,

那么它們的差越小，積就越大。若它們能夠相等，則當它們

相等時，積最大。

這個規(guī)律對于三個和三個以上的變量都是成立的。

例1農民叔叔阿根想用20塊長2米、寬1.2米的金屬網

建一個靠墻的長方形雞窩。為了防止雞飛出，所建雞窩的高

度不得低于2米，要使雞窩面積最大，長方形的長和寬分別

應是多少？

解：如上圖，設長方形的長和寬分別為x米和y米，則有

x+2y=1.2x20=24o

長方形的面積為

因為x和2y的和等于24是一個定值,故它們的乘積當它

們相等時最大，此時長方形面積S也最大。于是有

=

x129y—6o

例2如果將進貨單價為40元的商品按50元售出，那么

每個的利潤是10元，但只能賣出500個。當這種商品每個

漲價1元時，其銷售量就減少10個。為了賺得最多的利潤,

售價應定為多少？

解：設每個商品售價為(50+x)元，則銷量為(500-10X)

個?？偣部梢垣@利：

(50+x-40)x(500-lOx)

=10x(10+X)x(50-X)(元)。

因(10+x)+(50-x)=60為一定值，故當10+X=50—X

即X=20時，它們的積最大。

此時，每個的銷售價為50+20=70(元)。

例3若一個長方體的表面積為54厘米2,為了使長方體

的體積最大，長方體的長、寬、高各應為多少厘米？

解：設長、寬、高分別為x,y,z厘米，體積為V厘米3。

2(xy+yz+zx)=54,xy+yz+zx=27。

因為V2=(xyz)2=(xy)(yz)(zx),

故當xy=yz=zx即x=y=z=3時，V2有最大值，從而V也

有最大值。

例4有一塊長24厘米的正方形厚紙片，在它的四個角各

剪去一個小正方形，就可以做成一個無蓋的紙盒，現在要使

做成的紙盒容積最大，剪去的小正方形的邊長應為幾厘米？

解：如上圖，設剪去的小正方形的邊長為x厘米，則紙盒

的容積為V=x(24-2x)(24-2x)

=2x2x(12-x)(12-x)o

因為2x+(12-x)+(12-x)=24

是一個定值，故當

2x=12-x=12-x,

即x=4時，其乘積最大，從而紙盒的容積也最大。

二、兩個量變化時，積一定的問題

兩個變化著的量，如果在變化的過程中，它們的乘積始終

保持不變，那么它們的差與和之間有什么關系呢?

觀察下面的表：

我們不難得出如下的規(guī)律：

兩個變化著的量，如果在變化的過程中，乘積始終保持不

變，那么它們的差越小，和就越小。若它們能夠相等，則當

它們相等時，和最小。

例5長方形的面積為144cm2,當它的長和寬分別為多

少時，它的周長最短？解：設長方形的長和寬分別為xcm

和ycm,則有

xy=1440

故當x=y=12時，x+y有最小值，從而長方形周長2(x+

y)也有最小值。例6用鐵絲扎一個空心的長方體，為了使

長方體的體積恰好是216cm3,長方體的長、寬、高各是多

少厘米時，所用的鐵絲長度最短？

解：設長方體的長、寬、高分別為xcm,ycm,zcm,則

有xyz=216。鐵絲長度的和為4(x+y+z),故當x=y=z

=6時，所用鐵絲最短。

例7農場計劃挖一個面積為432m2的長方形養(yǎng)魚池，魚

池周圍兩側分別有3m和4m的堤堰如下圖所示，要想占地

總面積最小，水池的長和寬應為多少？

解：如圖所示，設水池的長和寬分別為xm和ym,則有

xy=432o

占地總面積為S=（x+6）（y+8）cm2o于是

S=Xy+6y+8X+48=6y+8X+480。

我們知道6yX8X=48X432為一定值，故當6y=8X時，S

最小，此時有6y=8X=144,故y=24,x=18o

例8某游泳館出售冬季學生游泳卡，每張240元，使用

規(guī)定：不記名，每卡每次只限一人，每人只限一次。某班有

48名學生，老師打算組織學生集體去游泳，除需購買若干張

游泳卡外，每次游泳還需包一輛汽車，無論乘坐多少名學生,

每次的包車費均為40元。若要使每個同學游8次，每人最

少交多少錢？解：設一共買了X張卡，一共去游泳y次，則

共有

Xy=48x8=384（人次），

總用費為（240x+40y）元。

因為240xx40y=240x40x384是一定值，故當240x=40y,

即y=6x時，和最小。易求得x=8,y=48o此時總用費為

240x8+40x48=3840（元），

平均每人最少交3840?48=80（元）。

三、利用不等關系來解答的應用題

例9某公司在A,B兩地分別庫存有某機器16臺和12

臺，現要運往甲、乙兩家客戶的所在地，其中甲方15臺，

乙方13臺。已知從A地運一臺到甲方的運

費為500元，到乙方的運費為400元，從B地運一臺到

甲方的運費為300元，到乙方的運費為600元。已知運費由

公司承擔，公司應設計怎樣的調運方案，才能使這些機器的

總運費最省？

解：設由A地運往甲方x臺，則A地運往乙方(16-x)

臺，B地運往甲方(15-x)臺，B地運往乙方(x-3)臺。

于是總運價為：

S=500x+400(16-x)+300(15-x)+600(x-3)

=400x+9100o

顯然，x要滿足不等式3<x<15,于是當x=3時，總運價

最省，為400x3+9100=10300(元)。

調運方案為：由A地運往甲方3臺，A地運往乙方13臺,

B地運往甲方12臺，B地運往乙方0臺。

例10某校決定出版“作文集”,費用是30冊以內為80元,

超過30冊的每冊增加1.20元。當印刷多少冊以上時，每冊

費用在1.50元以內？

解：顯然印刷的冊數應該大于30。設印刷了(30+x)冊,

于是總用費為(80+1.2X)元。故有

80+1.2x01.5x(30+x),

以內。

例11現有三種合金：第一種含銅60%,含鎰40%；第

二種含鎰10%,含銀90%；第三種含銅20%,含鎰50%,

含銀30%o現各取適當數量的這三種合金，組成一塊含銀

45%的新合金，重量為1千克。

(1)求新合金中第二種合金的重量的范圍；

(2)求新合金中含鎰的重量的范圍。

解：設第一種合金用量為x千克，第二種合金用量為y

千克，第三種合金用量為z千克，依題意有

(1)如果不取第一種合金，即x=0,那么新合金中第二

種合金重量最小。解得y=0.25。

如果不取第三種合金，即z=0,那么新合金中第二種合金

重量最大。解得y=0.5。

新合金中第二種合金的重量范圍是0.25克到0.5克。

(2)由①②可得z=L5-3y,x=2y—0.5。故新合金中含鎰

的重量為S=40%x+10%y+50%z

=40%(2y-0.5)+10%y+50%(1.5-3y)

=0.55-0.6yo

因為O.250y0O.5,所以O.250SWO.4,即新合金中含鎰的重

量范圍是0.25克到0.4克。

例12某商店需要制作如下圖所示的工字形架100個，每

個由三根長為2.3米、1.7米、1.3米的鋁合金材料組裝而成。

市場上可購得該鋁合金材料的原料長為6.3米。問：至少要

買回多少根原材料，才能滿足要求(不計損耗)？

解：每根原材料的切割有下表的七種情況：

顯然，④⑤⑥三種方案損耗較小。④⑤⑥⑦方案依次切割

原材料42根、14根、29根、1根，可得2.3米、1.7米、1.3

米的材料各100根，共用原材料42+14+29+1=86（根）。

練習9

1.銷售某種西服，當每件售價為100元時可售出1000件。

如果定價每下降1%,那么銷售量將提高0.5%,又知道這批

西服是每件80元成本購進的。問：應如何定價才能使獲利

最大？

2.下圖是一個面積為4m2的窗戶，當a：b的值是多少

時，窗戶的框架所用的材料最省？

3.有一個長為80cm、寬為40cm的木板，要以它為原材

料做一個無蓋的木盒，應該如何制作才能使木盒的容積最

大？最大的容積是多少？

4.某廠要建造一個無蓋的露天水槽，其底為正方形，容

量為64000m3。在建造時，槽底的造價是四壁的2倍，這個

水槽的底面邊長和高的比例是多少時，造價最省？

5.A城有化肥200噸，B城有化肥300噸，現要將化肥

運往C,D兩村。已知從A城運往C,D兩村的運價分別是

每噸20元和25元，從B城運往C,D兩村的運價分別是每

噸15元和22元。某個體戶承包了這項運輸任務，請你幫他

算一算，如何調運才能使運費最?。?/p>

6.有兩個學生參加4次數學測驗，他們的平均分數不同,

但都是低于90分的整數。他們又參加了第5次測驗，這樣5

次的平均分數都提高到了90分，求第5次測驗二人的得分

(滿分為100分)。

7.某機械廠要把一批長7300毫米的鋼筋截成長290毫米、

210毫米和150毫米的鋼筋各一段組成一套鋼筋架子?，F在

做100套鋼筋架子，至少要用去長為7300毫米的鋼筋多少

根？

篇三：初中數學競賽教程及練習之因式分解附答案

因式分解

一、內容提要和例題

我們學過因式分解的四種基本方法：提公因式法，運用公

式法，十字相乘法，分組分解法。下面再介貂兩種方法

添項拆項。是.為了分組后，能運用公式(包括配方)或提

公因式

例1因式分解：①x4+x2+l②a3+b3+c3—3abc

①分析：x4+l若添上2x2可配成完全平方公式

解：x4+x2+l=x4+2x2+l-x2=(x2+l)2一

x2=(x2+l+x)(x2+l—x)

②分析：a3+b3要配成(a+b)3應添上兩項3a2b+3ab2

解：a3+b3+c3—3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3—3abc—

3a2b-3ab2

=(a+b)3+c3—3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[(a+b)2—(a+b)c+c2]—3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2—ab—ac—be)

例2因式分解：①x3—Ux+20②a5+a+l

分析：把中項一Ux拆成一16x+5x分別與x5,20組成兩

組，則有公因式可提。(注意這里16是完全平方數)

解：x3—llx+20=x3—16x+5x+20=x(x2—16)+5(x+4)

=x(x+4)(x—4)+5(x+4)=(x+4)(x2—4x+5)

分析：添上一a2和a2兩項，分別與a5和a+1組成兩組,

正好可以用立方差公式

解：a5+a+l=a5—a2+a2+a+l=a2(a3—1)+a2+a+l

=a2(a—1)(a2+a+l)+a2+a+l=(a2+a+l)(a3—a2+l)

運用因式定理和待定系數法

定理：⑴若x=a時，f(x)=O,[即f(a)=O],則多項式f(x)

有一次因式X—a

⑵若兩個多項式相等，則它們同類項的系數相等。

例3因式分解：①x3—5x2+9x—6②2x3—13x2+3

①分析：以x=±l,±2,±3,±6(常數6的約數)分別代入原

式，若值為0,則可找到一次

因式，然后用除法或待定系數法，求另一個因式。

解：??，x=2時，x3—5x2+9x—6=0,，原式有一次因式x

—2,

x3—5x2+9x—6=(x—2)(x2—3x+3,)

②分析：用最高次項的系數2的約數±1,±2分別去除常

數項3的約數.①②③.

±1,±3得商士1,±2,±

可知只有當x=

解：,?"=13,土,再分別以這些商代入原式求值，221時,

原式值為0。故可知有因式2x-121時,2x3-13x2+3=0,/.

原式有一次因式2x—L2

設2x3—13x2+3=(2x—1)(x2+ax—3),(a是待定系

數)

比較右邊和左邊x2的系數得2a-l=-13,a=-6

2x3—13x+3=(2x—1)(x2—6x—3)o

例4因式分解2x2+3xy—9y2+14x—3y+20

解：???2x2+3xy—9y2=(2x-3y)(x+3y),用待定系數法,

可設

2x2+3xy—9y2+14x—3y+20=(2x—3y+a)(x+3y+b),

a,b是待定的系數，

比較右邊和左邊的x和y兩項的系數，得

?a?4?a?2b?14解得b?5?3a?3b??3

2x2+3xy—9y2+l4x—3y+20=(2x—3y+4)(x+3y+5)

又解：原式=2x2+(3y+14)x—(9y2+3y—20)這是關于x

的二次三項式常數項可分解為一(3y—4)(3y+5),用待定

系數法，可設

2x2+(3y+14)x—(9y2+3y—20)=[mx—(3y—4)][nx+

(3y+5)]

比較左、右兩邊的x2和x項的系數，得m=2,n=l

/.2x2+