高中數(shù)學(xué)-類比推理教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

課標(biāo)分析

合情推理包括歸納推理與類比推理,是高考的創(chuàng)新體型的熱點(diǎn)，也符合課程的基本理念,

高考中以各種形式進(jìn)行考查，考查面廣，形式多樣化。

依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)：了解合情推理的含義，能進(jìn)行簡單的歸納推理與類比推理，體會合情推

理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。

解讀類比推理，首先符合“構(gòu)建共同基礎(chǔ)，提供發(fā)展平臺”的理念。高中教育屬于基礎(chǔ)

教育。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)具有基礎(chǔ)性，它包括兩方面的含義：第一，在義務(wù)教育階段之后，為

學(xué)生適應(yīng)現(xiàn)代生活和未來發(fā)展提供更高水平的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，使他們獲得更高的數(shù)學(xué)素養(yǎng);第二,

為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備。類比推理滿足學(xué)生的思維認(rèn)知的需求。

其次，類比推理符合體現(xiàn)“倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式”的理念。學(xué)生的數(shù)學(xué)

學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、

合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的

學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。同時，高中數(shù)學(xué)課程設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”、“數(shù)

學(xué)建模”等學(xué)習(xí)活動，為學(xué)生形成積極主動的、多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造有利的條件，以

激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣。類比

推理的教學(xué)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷

程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識。

再次，類比推理符合“注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”的要求。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注意提

高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問

題時，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想像、抽象概括、符號表示、運(yùn)算

求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程。這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，

有助于學(xué)生對客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷。數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思

維中發(fā)揮著獨(dú)特的作用。能力。

還有，類比推理符合“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”的理念。形式化是數(shù)學(xué)的基本特征

之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項基本要求，但是不能只限于形式化的表達(dá),

要強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，否則會將生動活潑的數(shù)學(xué)思維活動淹沒在形式化的海洋里。數(shù)學(xué)

的現(xiàn)代發(fā)展也表明，全盤形式化是不可能的。因此，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示

數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)。數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型

例子的分析和學(xué)生自主探索活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊(yùn)涵在

其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育

形態(tài)。

最后，類比推理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價值。數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。數(shù)學(xué)課程應(yīng)

適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢，數(shù)學(xué)對推動社會發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會需求，社

會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價值,數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神。

數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀。

學(xué)情分析

本節(jié)課的教學(xué)對象是高二藝術(shù)班學(xué)生。他們具有一定的基礎(chǔ)，但學(xué)習(xí)的愿望不是很強(qiáng)

烈，但同樣存在優(yōu)勢，比如知識基礎(chǔ)方面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)完了所有的必修模塊，即己經(jīng)學(xué)完了

高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的主要部分。初高中已將類比推理滲透到教材的很

多章節(jié)，有的學(xué)生已經(jīng)在自覺不自覺的應(yīng)用著。

但他們在學(xué)習(xí)中還存在著一定的不足。比如學(xué)習(xí)水平的方面，授課班級是高二年級的一

個藝術(shù)班，整體成績很差，優(yōu)生較少；而且用一年多的時間學(xué)完了高中階段的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識

和基本技能的主要部分，所以基礎(chǔ)掌握得不夠扎實，知識遺忘現(xiàn)象嚴(yán)重。

在學(xué)習(xí)態(tài)度方面，學(xué)生不是很喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，但是在課堂上基本上能做到認(rèn)真聽講，積

極思考。但是主動發(fā)言表達(dá)看法的同學(xué)不多。

類比推理小練習(xí)

1、類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列哪

些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?)

①各棱長相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等

②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等

③各個面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等

A.①B.①@C.①②③D.③

2、類比三角形中的性質(zhì)：

(1)兩邊之和大于第三邊

(2)中位線長等于底邊的一半

(3)三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)

可得四面體的對應(yīng)性質(zhì)：

(1)任意三個面的面積之和大于第四個面的面積

(2)過四面體的交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面面積等于第四個面面積的,

4

(3)四面體的六個二面角的平分面交于一點(diǎn)

其中類比推理方法正確的有()

A.(1)B.(1)(2)C.(1)(2)(3)D,都不對

3、在等差數(shù)列｛〃”｝中,若。10=0,則有等式6+生----F=q+%---k419f

成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列｛2｝中，若&=1,則有等式

___________________________________________成立。

r-2

4、在RtZ\4%7中，若/年90°,AOb,除a,則△胸的外接圓半徑為「=也二-.將此

2

結(jié)論類比到空間，得到相類似的結(jié)論為.

5、如圖2—1—2(1),若從點(diǎn)。所作的兩條射線。從QV上分別有點(diǎn)M、助與點(diǎn)兒、小，則

三角形面積之比也”=也?絲L.若從點(diǎn)。所作的不在同一平面內(nèi)的三條射線0P、

SAOW則。％0N2

制和利上分別有點(diǎn)V、月，點(diǎn)。、Q和點(diǎn)《、尼(如圖2—1—2(2)),則類似的結(jié)論為

6、在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個角，那么截下一個直角三角形，由勾

股定理有：。2=才+/.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成截面.這時從正方體上截下三

條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O-LMN,如果用S,$,S表示三個側(cè)面面積，S,表示截面面

積，那么你類比得到的結(jié)論是.

7、若三角形的內(nèi)切圓半徑是r,三邊長分別是a,b,c,則三角形的面積是,r(a+b+c).類

2

比此結(jié)論，若四面體的內(nèi)切球半徑是兄4個面的面積分別是S,S,￡,S,則四面體

的體積勺.

8、半徑為r的圓的面積S(r)="六，周長C(r)=2nr,若將r看作(0,+8)上的變量，

則("產(chǎn))'=2五KD，①式用語言可以敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函

數(shù).對于半徑為A的球，若將A看作(0,+8)上的變量，請寫出類比①的等式：

;上式用語言可以敘述為.

9、已知平面(2維)向量a=(小，yi),6=(及，㈤，那么a?b=xi*2+yi%；空間(3維)向

量a=(x"y\,zj,/>=(%,yz,勿)，那么a?6=小加+%%+23.由此推廣到〃維向

量：a—(ai,ai,…，a),b=(&,bi,???,b),那么a?6=.

10、已知｛&｝為等比數(shù)列，a$=2,那么有等式國?az....國=2'成立.類比上述性質(zhì)，相

應(yīng)的：若也,｝為等差數(shù)列，笈=2,則有()

(A)打+慶+…+4=2-(B)打?慶.....&=29

(C)&+&H----F&=2X9(D)bx?b,.....4=2X9

1k在公差為d的等差數(shù)列｛4｝中,我們可以得到a=a.+(〃一血d(卬,〃6N*).通過類比推

理，在公比為°的等比數(shù)列｛4｝中，我們可得()

a

(A)b?=b?+CT,*(B)b?=btt+(T"(C)b?=ba,(D)b?=bB,q~

12、已知扇形的弧長為1,半徑為r.類比三角形的面積公式：S=L底X高，可推知扇形

2

的面積公式S,彩等于()

產(chǎn)S也

(A)(D)7r

T嗎2

觀評記錄：

教師1:觀看了本節(jié)課，我認(rèn)為教師對本文的內(nèi)容做了大量的準(zhǔn)備，通過講故事，舉

例子的方式讓學(xué)生對類比推理有一個正確的認(rèn)識。本節(jié)課通過復(fù)習(xí)歸納推理，嘗試類比推理,

再通過舉例子，我國古代工匠魯班發(fā)明鋸子等生活例子，體會類比推理，得到類比推理的定

義，指出類比推理不同于歸納推理之處。自然導(dǎo)入新課。

教師通過兩個典型例子，講解類比推理，學(xué)生能夠達(dá)到大綱要求“了解類比推理”的目

的。注重與學(xué)生的互動與思考.學(xué)生在與教師互動中積極思考，獲得新知識。

因為面對的是藝術(shù)班的學(xué)生，學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)的積極性不是很高，教師采取講解的方

式，以提問的方式，一問一答的方式授課，學(xué)生接受問題降低了難度，易于接受。不足之處

是，整堂課都采用一種方式授課，學(xué)生容易產(chǎn)生疲勞感，新鮮感不強(qiáng)。

教師2：觀看了本節(jié)課，認(rèn)為本節(jié)課講解清晰，思路清楚，題目設(shè)計合理。學(xué)生總的來說,

比較積極，掌握了基本的思路與方法，目標(biāo)總體達(dá)成度比較高。針對藝術(shù)班而言，是比較成

功的一節(jié)課。建議是提出問題時，要明確，要讓學(xué)生想想，等一等，再回答，避免出現(xiàn)課堂

教師自問自答的情況。教師的語言還需要再簡練點(diǎn)。

教材分析

本節(jié)課選自人教A版普通高中數(shù)學(xué)選修1-2,是本書第二章推理與證明、第一節(jié)合情推

理與演繹推理的第2課時。

推理與證明貫穿于整個數(shù)學(xué)課程,但是作為一章的內(nèi)容卻是第一次出現(xiàn)在中學(xué)的教材中,

對之進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)是新課程的一個變化。推理與證明是數(shù)學(xué)的基本思維過程，是做數(shù)學(xué)的基

本功，也是人們在一般的學(xué)習(xí)和生活中常用的思維方式，是發(fā)展理性思維的重要方面。數(shù)學(xué)

與其它學(xué)科的區(qū)別除了研究對象的不同，最突出的就是數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律的正確性必須用演繹推

理的方式來證明，而在證明或?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，又經(jīng)常要用合情推理去猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，

探索和提供思路。兩者緊密聯(lián)系、相輔相成。因此，無論是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)，還是對于學(xué)

生理性思維的培養(yǎng)，都需要在基礎(chǔ)教育階段的高中數(shù)學(xué)中加強(qiáng)這方面的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練。

本節(jié)課是合情推理的第二課時，在前面己經(jīng)學(xué)習(xí)了歸納推理。學(xué)生已經(jīng)初步體會并認(rèn)識

到合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用。對于類比，學(xué)生其實并不陌生，它出現(xiàn)在各個章節(jié)中，但

實際上，學(xué)生對它的認(rèn)識是模糊的。通過本節(jié)課的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，學(xué)生會了解什么是類比、如何

進(jìn)行類比，會感受到數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程。

學(xué)生對于類比推理并不陌生，是學(xué)生原有認(rèn)知基礎(chǔ)的一個延伸。

類比推理是重要的推理，具有提供新結(jié)論、開拓新思路的功能，學(xué)習(xí)這部分知識對數(shù)

學(xué)日常學(xué)習(xí)和研究意義重大。

《類比推理》教學(xué)設(shè)計

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

類比推理概念、本質(zhì)的理解，以及如何進(jìn)行類比推理。這同時也是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。

教法與學(xué)法

本節(jié)課將以引導(dǎo)式教學(xué)方法為主，通過創(chuàng)設(shè)適宜的問題情境，來啟發(fā)學(xué)生思考，通過組

織學(xué)生自主探索、合作探究，來開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，促進(jìn)學(xué)生的多樣化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。同時為了

直觀清晰地展示材料，突出重點(diǎn)，提高課堂教學(xué)效率，本節(jié)課還采用多媒體進(jìn)行輔助教學(xué)。

教學(xué)過程設(shè)計

教

學(xué)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖

環(huán)

節(jié)

首先回憶前面學(xué)習(xí)的歸納推理，做了兩個問題1、通過練

問復(fù)習(xí)小練習(xí)，然后對照等式的性質(zhì)，得出不等習(xí)，你認(rèn)為什么類

題式的性質(zhì)，并引出類比推理。比推理？類比推從學(xué)生熟悉的

情其次，我將通過列舉小故事，魯班受茅草理的結(jié)論一定正生活、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

境啟發(fā)發(fā)明鋸子、魚類與潛水艇等確嗎？實例出發(fā)，引出

引三個實例，引出類比推理的定義，指出類問題2：這三個實類比推理，建構(gòu)

出比推理處處有?例的思維過程有舊知與新知的本

概再次，要求學(xué)生概括這三個實例的共性之什么共同點(diǎn)？你質(zhì)聯(lián)系。

念處，并由此初步的得到類比推理的概念。能否嘗試著為類

比推理下定義？

建首先，我和同學(xué)們一起研讀類比推理的概問題3：類比推理加深學(xué)生對類

構(gòu)念，體會類比推理的關(guān)鍵概念的關(guān)鍵你認(rèn)比推理的本質(zhì)理

概其次，我將引導(dǎo)學(xué)生思考，舉出數(shù)學(xué)中運(yùn)為是什么？解。

念用類比推理的例子：平面與空間的類比、相等

深不等的類比、等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比。問題4：你能舉出為下一環(huán)節(jié)進(jìn)行

化數(shù)學(xué)中進(jìn)行類比類比推理奠定基

本推理的例子嗎？礎(chǔ)。

質(zhì)

首先，通過例題1,例2要求學(xué)生寫出幾問題5：幾何中有

何中圓與球的性質(zhì)的類比。三角形與四面哪些常見的類比幫助學(xué)生明確幾

例體性質(zhì)的類比。對象？何中的常見的類

題在幾何中，我們往往將平面中的點(diǎn)類比到學(xué)生合作探究完比對象，體會類

精空間中的點(diǎn)或是直線，將平面直線類比到成并展示了兩個比推理在數(shù)學(xué)創(chuàng)

講空間的線或是平面，將平面邊長類比到平小組的研究成果，造、發(fā)明的重要

簡面面積，將平面面積類比到空間體積，將教師進(jìn)行總結(jié)。意義。

單平面的圓類比到空間中的球體，將圓的概問題6：怎樣對球通過第一個命題

應(yīng)念和性質(zhì)類比到球的概念與性質(zhì)；的性質(zhì)進(jìn)行類比的板演示范，幫

用首先，“圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)連線垂直呢？助學(xué)生學(xué)會如何

于弦.”推測得出“球心與截面圓(不經(jīng)過問題7：你能根據(jù)進(jìn)行類比推理。

球心的截面圓)圓心連線垂直于截面圓.”圓的性質(zhì)得出球為了使學(xué)生熟練

其次，“與圓心距離相等的兩弦相等;與圓的性質(zhì)嗎？的進(jìn)行類比推

心距離不等的兩弦不等,距圓心較近的弦問題8：如何從三理，我又精心設(shè)

較長.”推測出“與球心距離相等的兩截角形的兩個命題計了第二個命

面圓面積相等;與球心距離不等的兩截面出發(fā)，猜測四面體題。

圓面積不等,距球心較近的截面圓面積較的性質(zhì)？教師精幫助學(xué)生體會類

大.”講第一個例題，并比推理的結(jié)論未

最后，“以點(diǎn)P(xO,yO)為圓心,r為半徑的在黑板上書寫板必可靠。

圓的方程為(x-xO)2+(y-yO)2=r2.”推測書；要求學(xué)生自主

出“以點(diǎn)P(xO,yO,zO)為球心,r為半徑的完成第二個命題。幫助學(xué)生形成對

球的方程為等比數(shù)列的深刻

(x-xO)2+(y-yO)2+(z-z0)2=r2.問題9：類比推理認(rèn)識。

”其他的性質(zhì)，由學(xué)生說出，類比進(jìn)行練的一般步驟是？

習(xí)。學(xué)生分組討論，教

將平面三角形類比到空間四面體，從平面師最后總結(jié)。幫助學(xué)生明確如

四邊形類比到空間四棱柱。何進(jìn)行類比推

其次，要求學(xué)生將四面體與三角形進(jìn)行類理。

比推理，推測四面體可能具有的性質(zhì)。

第一個命題，由“三角形兩邊邊長之和大

于第三邊”推測“四面體任意三個面的面積之

和大于第四個面面積。

第二個命題，由“三角形三條角平分線交

于一點(diǎn)，這個點(diǎn)是內(nèi)切圓的圓心”推測“四面

體任意六個面的二面角平分面交于一點(diǎn)，這個

點(diǎn)是內(nèi)切球的球心”

再次，通過從等式到不等式的類比推理中

體會，類比推理的結(jié)論未必可靠。

通過練習(xí)，要求學(xué)生帶著類比的觀點(diǎn)復(fù)習(xí)

等差數(shù)列與等比數(shù)列的知識，并采用將等比數(shù)

列化為等差數(shù)列的方法，對等比數(shù)列進(jìn)行類比

推理。

最后，回顧推理過程，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)類比

推理法的一般步驟：

1、通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；

2、從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的

一般性命題（猜想）。

歸引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課的知識與思想方法進(jìn)

納行歸納總結(jié)。學(xué)生歸納總結(jié)，教幫助學(xué)生形成完

總從知識方面：類比推理是從特殊到特殊的師注意對知識、思整的知識體系，

結(jié)推理；總結(jié)類比推理的一般步驟與關(guān)鍵。想方法發(fā)進(jìn)行升體會類比推理的

思從思想方法方面：類比推理是進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)華。重要意義。

維造方面的重要工具；由于類比推理的結(jié)論未必注意面向全體學(xué)

提可靠，我們需要證明。生。

升

布課后作業(yè)：類比推理小練習(xí)

置

作課后的學(xué)習(xí)。

業(yè)滿足學(xué)生的多

樣化需求。

板書設(shè)計

2.1.1類比推理

一、定義

一類事物與另一類事物：某些性質(zhì)相似一一另一些性質(zhì)相似

關(guān)鍵：從特殊到特殊的推理

結(jié)論未必可靠

選擇合適的類比對象

空間多面體一一平面多邊形三角形兩邊邊長之和大于第三邊

II

四面體--------三格形四面體三個面面積和大于第四個面面積

效果分析

1、情境引入，通過復(fù)習(xí)練習(xí)，導(dǎo)入新課。復(fù)習(xí)舊知識，導(dǎo)入新知識。

2、有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動，不能單純地依靠模仿與記憶。要學(xué)生參與到教學(xué)活動中來。

本節(jié)課通過兩個具體的例子，圓與球的性質(zhì)類比，三角形與四面體的性質(zhì)類比，如果把問題

拋給學(xué)生，讓學(xué)生讓學(xué)生有充分的討論與交流，那么效果會更好些。

3、合作探索，遷移創(chuàng)造。本節(jié)課缺乏合作學(xué)習(xí)，合作學(xué)習(xí)是以學(xué)習(xí)小組為基本組織形

式，合作學(xué)習(xí)是以系統(tǒng)教學(xué)動態(tài)因素的互動合作為動力資源的一種教學(xué)活動，它