湘教版數(shù)學(xué)七年級下冊2. 2 乘法公式教案

2.2乘法公式

2.2.1平方差公式

【教學(xué)目標(biāo)】

1?使學(xué)生理解和掌握平方差公式.

2-會利用公式進(jìn)行計算，能夠掌握平方差公式的一些應(yīng)用.

【教學(xué)重難點】

重點：弄清平方差公式的來源及其結(jié)構(gòu)特點，能用自己的語言說明公式及其特點.

難點：準(zhǔn)確理解和掌握公式的結(jié)構(gòu)特征.

【教學(xué)過程】

【情景導(dǎo)入，初步認(rèn)識】

回顧整式乘法中多項式與多項式相乘

1?多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得

的積相加.符號表示：(m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba.

2?兩項式乘以兩項式，結(jié)果可能是兩項嗎？請你舉例說明.

教學(xué)說明

平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式，它的得出可以直接利用多項式乘以多

項式法則，設(shè)計這一環(huán)節(jié)的目的是在復(fù)習(xí)上節(jié)課知識的基礎(chǔ)上，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好知識準(zhǔn)

【思考探究，獲取新知】

1?計算下列各式：

(2),3+2)3—2)；

=,a1—a+a—I2=d-2。+2〃-22

=,〃2-1=,6/2—4

(3),(a+3)(a—3)；(4),(a+4)(a—4)；

22=,〃2—4〃+4。一42

=fa—3a+3a—3

=,n2-9=,足一16

2?觀察以上算式及其運算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你能計算(。+刀3—刀嗎？

歸納總結(jié)

平方差公式：m+b)3—6)=屏一/，兩數(shù)和與兩數(shù)差的積，等于它們的平方差.

教學(xué)說明

在上一環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，引入形式特殊的多項式乘以多項式，使學(xué)生在計算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)

律，體會規(guī)律的一般性，提出自己的猜想，并嘗試用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述.

3?應(yīng)用平方差公式時應(yīng)注意些什么呢？

(1)注意平方差公式的適用范圍；

(2)字母人b可以是數(shù)，也可以是整式；

(3)注意計算過程中的符號和括號.

4?如圖，將邊長為a的大正方形減去一個邊長為b的小正方形，并將剩

余的部分沿虛線剪開，得到兩個長方形，在將這兩個長方形拼成如圖2，你能用這兩個

圖形來解釋平方差公式嗎？

圖1

①請表示圖1中陰影部分的面積.

②小穎將陰影部分拼成了一個長方形(如圖2)，這個長方形的長和寬分別是多少？你能表

示出它的面積嗎？

③比較①，②的結(jié)果，你能驗證平方差公式嗎？

④敘述平方差公式的數(shù)學(xué)表達(dá)式及文字表達(dá)式;

⑤試比較公式的兩種表達(dá)式在應(yīng)用上的差異.

歸納結(jié)論

(a+〃)(a—份=*一分

教學(xué)說明

經(jīng)過對兩個圖形的面積的計算使學(xué)生明白可以通過幾何圖形對平方差公式進(jìn)行驗證.進(jìn)

一步加深對平方差公式的理解.

【運用新知，深化理解】

1?見教材P43例1、例2、例3.

2?填空題.

(x+6)(6—x)='

(―x+2)(—x—2)='

(-26z2-5/?)()=442—25笈

1

答案:36—N；x2—4：—2a2-\-5b.

3?下列式中能用平方差公式計算的有(D)

11

①(x—2y)(x+，y)

②(3a—hc){—he—3a)

③(3-x+y)(3+x+y)

@(100+1)(100-1)

A?1個B.2個C.3個D.4個

4?下列式中，運算正確的是(C)

①(22〃)2=4。2

②(一哀+1)(1+我)=1一雙2

③(〃2—1尸(1—m)3=(m—I)56

④2a義4"義8=20+2〃+3

A?①②B.②③C.②④D.③④

5?乘法等式中的字母心〃表示（D）

A?只能是數(shù)

B?只能是單項式

C?只能是多項式

D■單項式、多項式都可以

6?計算：

(1)(2?！?b)(2a+3b)；

解：原式=(2a)2-(36)2=4a2-?2

(2)(—p2+q)(—p2—g)；

解：原式=(一獷)2—(q)2=p4一爐

(3)(4〃-7份(44+7匕)；

解：原式=(4。)2—(7加2=16〃-49左

(4)(3?+2/?)(3?-2^)

1111

解：原式=(§4)2—(協(xié))2=訪2_揚

(5)-[(5+2x)(5-2x)]

解：原式=-[(5+2x)(5-2x)]

=-[52-(2x)2]=-25+4N

(6)403X397.

解：原式=(400+3)(400-3)

=40()2—32=159991

7?計算(。+1)(。-1)02+1)(44+

解:原式=(a2-i)(a2+])(d+D38+i)

=(a4-l)(a4+l)(?8+l)

=38—1)(48+])

=6716—1

教學(xué)說明

在深刻理解公式的基礎(chǔ)上，借助例題訓(xùn)練學(xué)生正確應(yīng)用公式計算，體會公式在簡化運算

中的作用，并通過鞏固練習(xí)，進(jìn)一步強化技能.

【師生互動，課堂小結(jié)】

1?平方差公式：(。+加(。一①=。2—匕2公式的結(jié)構(gòu)特點：左邊是兩個二項式的乘積，即

兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積；右邊是兩數(shù)的平方差.

2?應(yīng)用平方差公式的注意事項：

(1)注意平方差公式的適用范圍；

(2)字母°、?？梢允菙?shù)，也可以是整式；

(3)注意計算過程中的符號和括號.

【課后作業(yè)】

1?布置作業(yè)：教材第50頁“習(xí)題2.2”中第1題.

2?完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí).

2.2.2完全平方公式

第1課時完全平方公式

【教學(xué)目標(biāo)】

理解公式的本質(zhì)，從不同的層次上理解完全平方公式，并會運用公式進(jìn)行簡單的計算，

了解完全平方公式的幾何背景.

過程與方法

經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，并從推導(dǎo)過程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括、

猜想等探究創(chuàng)新能力，發(fā)展邏輯推理能力和有條理的表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識.

情感態(tài)度價值觀

在學(xué)習(xí)中使學(xué)生體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.

【教學(xué)重難點】

重點：1.弄清完全平方公式的來源及其結(jié)構(gòu)特點，用自己的語言說明公式及其特點

2?會用完全平方公式進(jìn)行運算.

難點：會用完全平方公式進(jìn)行運算.

【教學(xué)過程】

【情景導(dǎo)入，初步認(rèn)識】

同學(xué)們，前面我們學(xué)習(xí)了多項式乘多項式法則和合并同類項法則你會計算下列各題嗎？

(x+3)2—，(x—3)2—，

這些式子的左邊和右邊有什么規(guī)律？再做幾個試一試：(2,〃+3")2=>(2m—3n)2=.

教學(xué)說明

讓學(xué)生運用多項式乘以多項式的法則進(jìn)行計算，為本節(jié)課學(xué)習(xí)完全平方公式做準(zhǔn)備.

【思考探究，獲取新知】

1?計算下列式子，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

(D(“+l)2；

=3+1)3+1)

=。2+“+”+12

=a2+2Xa+12

=a2+2a+l2

(2)(a+2)2；

=(a+2)(a+2)

—6Z2+26t+2a+22

=*+2X24+22

=a2+4a+22

規(guī)律：(a+b)2—a2-\-lab+b2.

2?觀察上面的計算結(jié)果，回答下列問題：

(1)原式的特點？兩數(shù)和的平方.

(2)結(jié)果的項數(shù)特點？等于它們平方的和，加上它們乘積的兩倍.

(3)三項系數(shù)的特點？(特別是符號的特點).

(4)三項與原多項式中兩個單項式的關(guān)系.

3?再舉兩例驗證你的發(fā)現(xiàn).

4?你能用自己的語言敘述這一公式嗎？

歸納結(jié)論

兩數(shù)和的平方，等于它們平方的和，加上它們乘積的兩倍.BP：(a+b)2=c^+2ab+b2.

5?用一個邊長為的正方形按下圖分割成4塊，你能用這個圖形來解釋完全平方公

式嗎？

6.議一議：(。一份2=?你是怎樣做的？

7■你能自己設(shè)計一個圖形解釋這一公式嗎？并用自己的語言敘述這一公式.

歸納結(jié)論

兩數(shù)差的平方,等于它們平方的和，減去它們乘積的兩倍.即：(4一與2=。2—2時+按.

上面的兩個公式稱為完全平方公式.

8?分析完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點，并用語言來描述完全平方公式.

結(jié)構(gòu)特點：左邊是二項式(兩數(shù)和(差))的平方；右邊是兩數(shù)的平方和加上(減去)這兩數(shù)乘

積的兩倍.

語言描述：兩數(shù)和(或差)的平方，等于這兩數(shù)的平方和加上(或減去)這兩數(shù)積的兩倍.

教學(xué)說明

讓學(xué)生觀察、思考、總結(jié)，歸納，使之掌握基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，讓學(xué)生用文字語言表

示公式，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言的能力.

【運用新知，深化理解】

1?見教材P45例4.

2?填空題：

(x+3y)2=；(>=942—+16/；

=)2—y+4；(-x—y)=x2+2xy+y2.

1

答案：x2+6xy+9j2;3a~4b;24a/?;(y—2)2;(—x—y).

3?下列各式中哪些可以運用完全平方公式計算(C)

A?(a+b)(a+c)B.(x+y)(—y+x)

C,(ab—3x)(—3x+ah)D.(，“一”)(，"+")

4?計算：

1

反-2y尸；

11

解：原式=(云)2—2(云)(2y)+(2y)2

1

=*2-2xy+4y2.

(2xy+5x)2；

解：原式=(2r)，)2+2(2xy)(5^)+(5^)2

41

=4x2y1+5x1y+25x2.

(4x+0.5)2；

解：原式=(4X)2+2X4XX0.5+(0.5)2

=16x2+4x+0.25.

(2x2—3y2)2.

解：原式=(2x2)2-2(2x2)(3y2)+(3y2)2

=4/-12x2y2+9y9

5?利用完全平方公式計算：

(1)(—1—2x)2；

解：原式=(-1)2-2X(—1)X(2X)+(2X)2

=1+4x+4N.

(2)(-2r+l)2.

解：原式=(-2%產(chǎn)+2(-2x)Xl+M

=4/—4x+1.

教學(xué)說明

讓學(xué)生熟悉公式的特征，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納概括的能力；讓學(xué)生思考、得出

結(jié)論，可以使學(xué)生有效避免出現(xiàn)易錯的符號問題.

【師生互動，課堂小結(jié)】

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你在知識上有哪些收獲，哪些能力得到了提高？

引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)，組織學(xué)生互相交流各自的收獲與體會，成功與失敗.明確以下幾點：

I-完全平方公式是兩數(shù)和與兩數(shù)差的平方公式的統(tǒng)稱.

2?公式中的4、力可以是任意數(shù)或代數(shù)式.

3-公式的條件是：兩數(shù)和的平方或兩數(shù)差的平方.

【課后作業(yè)】

I?布置作業(yè)：教材第50頁“習(xí)題2.2”.中第2、3題.

2?完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí).

第2課時應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計算

【教學(xué)目標(biāo)】

1?熟記完全平方公式，能說出公式的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號感.

2?能夠運用完全平方公式進(jìn)行簡便運算，體會符號運算對解決問題的作用.

【教學(xué)重難點】

重點：運用完全平方公式進(jìn)行一些數(shù)的簡便運算.

難點：靈活運用完全平方公式進(jìn)行整式的簡便運算.

【教學(xué)過程】

【情景導(dǎo)入，初步認(rèn)識】

復(fù)習(xí)已學(xué)過的完全平方公式.

1?完全平方公式：

(a-\-h)2=a2+2ab+b2；

(a-b)2=a2—2ab+b2.

2-公式口訣：首平方，尾平方，兩倍乘積放中央，加減看前方，同加異減.

3,想一想：

(1)兩個公式中的字母都能表示什么？

數(shù)或代數(shù)式

(2)根據(jù)兩數(shù)和或差的完全平方公式，能夠計算多個數(shù)的和或差的平方嗎？

(3)完全平方公式在計算化簡中有些什么作用？

教學(xué)說明

本堂課的學(xué)習(xí)方向首先仍是對于完全平方公式的進(jìn)一步鞏固應(yīng)用，因而復(fù)習(xí)是很有必要

的，這為后面的學(xué)習(xí)奠定了一定的基礎(chǔ)，同時經(jīng)過本環(huán)節(jié)中的第三個問題的思考，也使學(xué)生

明確了本節(jié)課學(xué)習(xí)的初步目標(biāo)，起到了承上啟下的作用.

【思考探究，獲取新知】

1?運用完全平方公式計算：

(l)(-x+1)2；

解：(―x+l)2=(—x)2+2(—x)-l+l2=x2—2x+l.

(2)(-2x-3)2.

解：=[-(2x+3)]2

=(2x+3)2

=4x2+12x+9.

2?計算：

(l)(a+b)2—(a—b)2；

解:(a-kb)2—(a—b)2

=a2+2ab+b2—(a2-2ab+b2')

=a2+2?/7+/?2—a2+2a/7—fe2

=4ab.(2)(tz+Z>+1)2；

解：(a+，+l)2

=[(a+6)+I]2

=(a+b)2+2(a+b)+l

=6J2+2a/>+Z>2+24/+2Z>+1.

3?計算：

(l)1042；

解：1042=(100+4)2=1002+2義100X4+42=10000+800+16=10816.

(2)1982；

解：198?=(200—2)2=20()2-2X200X2+22=40000-800+4=39204.

教學(xué)說明

能夠運用完全平方公式進(jìn)行一些有關(guān)數(shù)的簡便運算，進(jìn)一步體會完全平方公式在實際當(dāng)

中的應(yīng)用，并通過練習(xí)加以鞏固.需要注意的是，本題的目的是進(jìn)一步鞏固完全平方公式，

體會符號運算對解決問題的作用，不要在簡便運算上做過多練習(xí).

【運用新知，深化理解】

I?若(尤一5)2=/+履+25，則無=(D)

A-5B.-5C.10D.-10

2?如果N+4x+N恰好是另一個整式的平方，那么常數(shù)k的值為(D)

A-4B.2C.-2D.±2

3?用完全平方差公式計算.

(1)9.8X10.2；

解：原式=(10—02)(10+0.2)

=102-0.22=100-0.04

=99.96.

(2)89.82；

解:原式=(90—0.2)2

=902-2X0.2X90+0.22

=8064.04.

(3)472—94X27+272；

解：原式=472-2X47X27+27?

=(47—27戶

=202

=400.

(4)(“+b+c)2；

解：原式=[(a+8)+c]2

=(a+Z>)2+2(a+&)-c+c2

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.

4?(1)已知a+b—35ah—2'求a2+b2.

角星：a2+h2=(a+b)2—2ah.

"."a+b=3>ab=2>

：.a2+b2=32~2X2=5.

(2)若已知a+b—\Q'a2-\-b2—4'ab的值呢？

解：Va+/>=10>

.?.3+6)2=102=100，

即“2+2燦+62=100，,2岫=100—0+兒).

又,.,。2+爐=4>/.2ab=100—4'ab=4S.

教學(xué)說明

使學(xué)生進(jìn)一步熟悉乘法公式的運用，同時進(jìn)一步體會完全平方公式中字母。力的含義是

很廣泛的，它可以是數(shù)，也可以是整式.

【師生互動，課堂小結(jié)】

1?完全平方公式的使用：

在做題過程中一定要注意符號問題和正確認(rèn)識4、6表示的意義，它們可以是數(shù)、也可以

是單項式，還可以是多項式，所以要記得添括號.

2?解題技巧：

在解題之前應(yīng)注意觀察思考，選擇不同的方法會有不同的效果，要學(xué)會優(yōu)化選擇.

【課后作業(yè)】

1?布置作業(yè)：教材第50頁“習(xí)題2.2”中第4題.

2?完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí).

2.2.3運用乘法公式進(jìn)行計算

【教學(xué)目標(biāo)】

1?熟練地運用乘法公式進(jìn)行計算.

2?能正確地根據(jù)題目的要求選擇不同的乘法公式進(jìn)行運算.

【教學(xué)重難點】

重點：正確選擇乘法公式進(jìn)行運算.

難點：綜合運用平方差和完全平方公式進(jìn)行多項式的計算.

【教學(xué)過程】

【情景導(dǎo)入，初步認(rèn)識】

1?什么是平方差公式？

2?什么是完全平方公式？

3?在應(yīng)用乘法公式時應(yīng)注意些什么？

教學(xué)說明

通過對乘法公式的復(fù)習(xí)，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備.

【思考探究，獲取新知】

1伺學(xué)們我們在學(xué)習(xí)的過程中會碰到很多的“難題”，其實我們只要經(jīng)過仔細(xì)的觀察、

認(rèn)真的思考，我們會發(fā)現(xiàn)大部分的難題是由簡單的因素構(gòu)成的，下面我們一起來處理兩個問

題.

(1)3+1)(++D3—1)；

=(〃+l)(a—1)(層+1)(乘法的交換律)

=(/—1)(次+J)

=(?2)2—1

—ai—i.

(2)(a+h+l)(a+fe—1).

=[(?+/?)+l][(a+Z?)-l]

=(a+b)2-1

—a2-V2ab+b2—1.

教學(xué)說明

老師和學(xué)生一起探討，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)過程存在的困難，可以引導(dǎo)學(xué)生討論解決.

2?運用乘法公式計算：

⑴K〃+3)(a—3汜

解：[3+3)(。-3)]2

=(“2—9)2

=(々2)2—2d?9+92

=〃-18〃2+81.

(2)(a-b+c)(a+b-c).

解：(a—b+c)(a+b—c)

=[a—(b-c)][a+(b-c)]

=〃-3-

=6f2—(Z?2—2/JC+C2)

=a2—按+2bc—c2.

3?運用乘法公式計算：(a+b+c)2.

解：(a+b+c)2

=[(a+b)+c]2

=(“+〃)2+2c(a+〃)+c2

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2

=a2+爐+c2+2ab+2ac+2bc.

教學(xué)說明

教師引導(dǎo)學(xué)生正確的選擇乘法運算公式.

歸納結(jié)論

遇到多項式的乘法時，我們要先觀察式子的特征，看能否運用乘法公式，以到達(dá)簡化運

算的目的.

【運用新知，深化理解】

1"見教材P49例9.

2?下列運算中，正確的是(C)

A-(a+3)(a—3)—a2—3

B?(3匕+2)(36—2)=3左一4

C?(3m-2〃)(一2"—3，〃)=4"2—9，層

D-(x+2)(x-3)=x2-6

3?下列多項式的乘法中，可以用平方差公式計算的是(B)

11

A?(x+l)(l+x)B.(2。+匕)(6—2〃)

C,(~a+b)(a—h)D.(JC2—yXx+y2)

4?解方程：

5x+6(3x+2)(—2+3x)—54(x-3)(x+3)=2.

1

解：5犬+6(9/—4)-54(/—§)=2

5x+54x2-24-54x2+6