初三數(shù)學(xué)廣角奧數(shù)題

數(shù)學(xué)廣角奧數(shù)題

有五袋零件，每帶五個。其中有一袋是次品，其余四袋合格。合格的零件每個重10克，次品

重9.5克。請你用稱只稱一次，就能找到那帶次品。

把五袋編好號1、2、3、4、5

從第1袋取1個零件

從第2袋取2個零件

從第3袋取3個零件

從第4袋取4個零件

從第5袋取5個零件

稱這15個零件的質(zhì)量為mg

(15*10g-mg)/(10g-9.5g)=該15個零件中次品的個數(shù)

對應(yīng)出哪袋是次品

最佳答案

1.分3份，選兩堆一起稱，哪頭輕次品就在哪堆里；如果一樣輕，次品就在剩下的那堆里。

2.再分3份，選兩堆一起稱，哪頭輕次品就在哪堆里；如果一樣輕，次品就在剩下的那堆里。

3.再再分3份選兩堆一起稱，哪頭輕次品就在哪堆里；如果一樣輕，次品就在剩下的那堆里。

4.再再再分3份，選兩堆一起稱，哪頭輕次品就在哪堆里；如果一樣輕，次品就在剩下的那

堆里。

算數(shù)字

a,b,c是1?9中的三個不同的數(shù)碼，用它們組成的六個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)之和是(a+b+c)

的多少倍？

解答：用a,b,c組成的六個不同數(shù)字是

abc,acb,bac,bca,cab,cba。,

abc+acb+bac+bca+cab+cba

=100X(a+a+b+b+c+c)=100X(a+a+b+b+c+c)

10X(b+c+a+c+a+b)+(c+b+c+a+b+a)

—200X(a+b+c)+20X(a+b+c)+2*(a+b+c)

=222X(a+b+c)?

這六個數(shù)的和等于將六個數(shù)的百位、十

位、個位分別相加，得到~

所以，六個數(shù)的和是(樨。的222倍…

解方程

求不定方程5x+3y=68的所有整數(shù)解。

解答：容易看出，當(dāng)y=l時，x=(68-3X1)4-5=13,即x=13,y=l是一個解。

因?yàn)閤=13,y=l是一個解，當(dāng)x減小3,y增大5時，5x減少15,3y增大15,方程仍然成立,

所以對于x=13,y=l,x每減小3,y每增大5,仍然是解。方程的所有整數(shù)解有5個：

x=13,x=10,jx=7,x=4,x=l,

《

'y=i；y=6；y=11；y=16；y=20°

只要找到不定方程的一個解，其余解可通過對這個解的加、減一定數(shù)值得到。限于我們學(xué)到

的知識，尋找第一個解的方法更多的要依賴〃拼湊〃

分房間

學(xué)校要安排66名新生住宿，小房間可以住4人，大房間可以住7人，需要多少間大、小

房間，才能正好將66名新生安排下？

解答：設(shè)需要大房間x間，小房間y間，則有7x+4y=66。

這個方程有兩個未知數(shù)，我們沒有學(xué)過它的解法，但由4y和66都是偶數(shù)，推知7x也是

偶數(shù)，從而x是偶數(shù)。

當(dāng)x=2時，由7X2+4y=66解得y=13,所以x=2,y=13是一個解。

因?yàn)楫?dāng)x增大4,y減小7時，7x增大28,4y減小28,所以對于方程的一個解x=2,y=13,

當(dāng)x增大4,y減小7時，仍然是方程的解，即x=2+4=6,y=13-7=6也是一個解。

所以本題安排2個大房間、13個小房間或6個大房間、6個小房間都可以。

自然數(shù)問題

在10000以內(nèi)，除以3余2,除以7余3,除以11余4的數(shù)有幾個？

解答:滿足”除以3余2”的數(shù)有5,8,11,14,17,20,23,…

再滿足“除以7余3”的數(shù)有17,38,59,80,101,???

再滿足”除以11余4〃的數(shù)有59o

因?yàn)殛朳3,7,11]=231,所以符合題意的數(shù)是以59為首項(xiàng)，公差是231的等差數(shù)列。

(10000-59)4-231=43……8,所以在10000以內(nèi)符合題意的數(shù)共有44個。

汽車進(jìn)站

A、B是公共汽車的兩個車站，從A站到B站是上坡路.每天上午8點(diǎn)到11點(diǎn)從A,B兩

站每隔30分同時相向發(fā)出一輛公共汽車.已知從A站到B站單程需105分，從B站到A站單

程需80分.問：⑴8:30、9:00從A站發(fā)車的司機(jī)分別能看到幾輛從B站開來的汽車？

⑵從A站發(fā)車的司機(jī)最少能看到幾輛從B站開來的汽車？

解答：方法一：⑴從A站發(fā)車的司機(jī)看到的車輛包括兩類，一類是他自己發(fā)車以前，已經(jīng)從

B站出發(fā)但還沒到達(dá)A站的所有車輛，也就是發(fā)車前80分鐘內(nèi)B站所發(fā)的所有車輛、第二類

是他發(fā)車以后到他抵達(dá)B站這段時間內(nèi)從B站發(fā)出的所有車輛，即發(fā)車后105分鐘內(nèi)從B站

開出的所有車輛.也就是說在A站車輛出發(fā)前80分鐘到出發(fā)后105分鐘之間185分鐘時間區(qū)

間，B站發(fā)出的車，該司機(jī)都能看到.實(shí)際上這185分鐘中，只有發(fā)車前60分、發(fā)車前30分、

發(fā)車當(dāng)時、發(fā)車后30分、發(fā)車后60分、發(fā)車后90分，有車輛從B站開出，所以8：30從A

站發(fā)車的司機(jī)能看到8：00到10：00從B站發(fā)出的5輛車，而9:00從A站發(fā)車的司機(jī)能看

到8：00到10：30從B站發(fā)出的6輛車.

（2）11點(diǎn)從A發(fā)車的司機(jī)只能看到11點(diǎn)前從B站開出但尚未到達(dá)A站的車，即10：00.10：3

0、11：00從B站開出的3輛車。

方法二:

⑴我們畫時間路線圖，通過看圖發(fā)現(xiàn)從8：30出發(fā)的車所走路線與從B站發(fā)車路線有5個交

點(diǎn)，所以8：30從A站發(fā)車的司機(jī)能看到8：00到10：00從B站發(fā)出的5輛車，同理9：00

從A站發(fā)車的司機(jī)能看到8：00到10：30從B站發(fā)出的6輛車.

⑵11點(diǎn)從A發(fā)車的司機(jī)只能看到11點(diǎn)前從B站開出但尚未到達(dá)A站的車，即10：00、10：3

0、11：00從B站開出的3輛車。

小結(jié)：時間路線圖是解決發(fā)車問題常用的方法，也是最直觀的方法。

牛吃草

如圖，一塊正方形的草地被分成完全相等的四塊和中間的陰影部分，已知草在各處都是同樣

速度均勻生長.牧民帶著一群牛先在①號草地上吃草，兩天之后把①號草地的草吃光（在這2

天內(nèi)其他草地的草正常生長）.之后他讓一半牛在②號草地吃草，一半牛在③號草地吃草，6

天后又將兩個草地的草吃光.然后牧民把1/3的牛放在陰影部分的草地中吃草，另外2/3的

牛放在④號草地吃草，結(jié)果發(fā)現(xiàn)它們同時把草場上的草吃完.那么如果一開始就讓這群牛在

整塊草地上吃草，吃完這些草需要多少時間？

解答：方法二；設(shè)這群牛1天的吃草量為

“1”，那么有：.

①號草地原有草量+①號草地2天新生長的

草量=2

②、③兩號草地原有草量+②、③兩號草地

8天新生長的草量=6……⑵”

（2）+2-①得：每號草地每天新生長的草量

=1；代入⑴得：每號草地原有草量=？.?

63

又因?yàn)?，［的牛放在陰影部分的草她中?/p>

草，另外金的牛放在④號草地吃草，它們同

時吃完.所以，陰哥部分面積=④號草地面

積X?.于是，整個正方形草地原有草量為

?x4?=曉，每天新生長的草量為

322

1x41=2.讓這群牛在整塊草地上吃草，

624

可以吃：孩+（1-習(xí)=30（天）.2

方法二：設(shè)牧民有6頭牛，1頭牛1周的吃

草量為“1”，①號草地生長速度為

（3x6-2x6）+6=l,原有草量為

2x（6-l）=10,因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e是①號

草地面積的4.5黃，所以正方形草地草的生

長速度是4.5,原有草量是45,所以所求時

液體之比

在編號為1、2、3的三個相同的杯子里，分別盛著半杯水.1號杯中溶有100克

糖，3號杯中溶有100克鹽.先將1號杯中液體的一半及3號杯中液體的1倒人2號

4

杯，然后攪勻.再從2號杯倒出所盛液體的2三到1號杯，接著倒出所余液體的12到3

77

號杯.間：這時每個杯中含鹽量與含糖量之比各是多少?。

解答：用分析法，從要求的問題入手，題目要求（1A2）*3的值，首先我們要計算1a2,

根據(jù)"△”的定義，［△2=k*l*2=2k,由于k的值不知道，所以首先要計算出k的值，k值求出

后，142的值也就計算出來了，我們設(shè)1Z\2.(1A2)*3★?,按“★”的定義：*3

=ma+3n,在只有求出m、n、時，我們才能計算*3的值.因此要計算(1A2)★3的值，我

們就要先求出k、m、n的值.通過1*2=5可以求出m、n、的值，通過(2TAT3)Z\4=64求出

的值.因?yàn)閘*2=m*l+n*2=m+2n,所以有m+2n=5.又因?yàn)閙、n、均為自然數(shù)，所以解出：

代「餐fl

1?=2l?=1

m=l,n=2時：(2^3)A4=(1*2+3)A4=8

A4=k*8*4=32k,有32k=64,解k=2"

當(dāng)m=3,n=l時：(2^3)A4=(3+2+1+3)A4=9

△4=k+9*4=36k,有36k=64,解出k=l(7/9)

這與k是自然數(shù)矛盾，因此

m=3,口=1,上=1(這組值應(yīng)該舍去，。

所以m=l,n=2,k=2.(1A2)★

3=(2x1x2)★3=4*3=(1x4+2x3)=10。

小結(jié)：在上面這一類定義新運(yùn)算的問題中，

關(guān)鍵的一條是：抓住定義這一點(diǎn)不放，在計

售時，嚴(yán)格澧照規(guī)定的法則代入數(shù)值.還有

一個值得注意的問題是：定義一個新運(yùn)算，

這個新運(yùn)算常常不滿足加法、乘法所滿足的

運(yùn)算定律，因此在沒有確定新運(yùn)算是否具有

這些性質(zhì)之前，不能運(yùn)用這些運(yùn)算律來解

題.。

成數(shù)問題

有兩個整數(shù)，它們的和恰好是兩個數(shù)字相同的兩位數(shù)，它們的乘積恰好是三個數(shù)字相同

的三位數(shù).求這兩個整數(shù)分別是多少？

解答：兩位數(shù)中，數(shù)字相同的兩位數(shù)有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九個，

它們中的每個數(shù)都可以表示成兩個整數(shù)相加的形式，例如33=1+32=2+31=3+30=……=16+17,

共有16種形式，如果把每個數(shù)都這樣分解，再相乘，看哪兩個數(shù)的乘積是三個數(shù)字相同的三

位數(shù)，顯然太繁瑣了.可以從乘積入手，因?yàn)槿齻€數(shù)字相同的三位數(shù)有、111、222、333、444、

555、666、777、888、999,每個數(shù)都是111的倍數(shù)，而111=37*3,因此把這九個數(shù)表示成

一個兩位數(shù)與一個一位數(shù)或兩個兩位數(shù)相乘時，必有一個因數(shù)是37或37的倍數(shù)，但只能是

37的2倍(想想為什么？)3倍就不是兩位數(shù)了.

把九個三位數(shù)分解：111=37*3、222=37*6=74*3、333=37*9、444=37*12=74*6、555=37*15、

666=37*18=74*9、777