初三數(shù)學(xué)廣角奧數(shù)題

數(shù)學(xué)廣角奧數(shù)題

有五袋零件，每帶五個(gè)。其中有一袋是次品，其余四袋合格。合格的零件每個(gè)重10克，次品

重9.5克。請(qǐng)你用稱(chēng)只稱(chēng)一次，就能找到那帶次品。

把五袋編好號(hào)1、2、3、4、5

從第1袋取1個(gè)零件

從第2袋取2個(gè)零件

從第3袋取3個(gè)零件

從第4袋取4個(gè)零件

從第5袋取5個(gè)零件

稱(chēng)這15個(gè)零件的質(zhì)量為mg

(15*10g-mg)/(10g-9.5g)=該15個(gè)零件中次品的個(gè)數(shù)

對(duì)應(yīng)出哪袋是次品

最佳答案

1.分3份，選兩堆一起稱(chēng)，哪頭輕次品就在哪堆里；如果一樣輕，次品就在剩下的那堆里。

2.再分3份，選兩堆一起稱(chēng)，哪頭輕次品就在哪堆里；如果一樣輕，次品就在剩下的那堆里。

3.再再分3份選兩堆一起稱(chēng)，哪頭輕次品就在哪堆里；如果一樣輕，次品就在剩下的那堆里。

4.再再再分3份，選兩堆一起稱(chēng)，哪頭輕次品就在哪堆里；如果一樣輕，次品就在剩下的那

堆里。

算數(shù)字

a,b,c是1?9中的三個(gè)不同的數(shù)碼，用它們組成的六個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)之和是(a+b+c)

的多少倍？

解答：用a,b,c組成的六個(gè)不同數(shù)字是

abc,acb,bac,bca,cab,cba。,

abc+acb+bac+bca+cab+cba

=100X(a+a+b+b+c+c)=100X(a+a+b+b+c+c)

10X(b+c+a+c+a+b)+(c+b+c+a+b+a)

—200X(a+b+c)+20X(a+b+c)+2*(a+b+c)

=222X(a+b+c)?

這六個(gè)數(shù)的和等于將六個(gè)數(shù)的百位、十

位、個(gè)位分別相加，得到~

所以，六個(gè)數(shù)的和是(樨。的222倍…

解方程

求不定方程5x+3y=68的所有整數(shù)解。

解答：容易看出，當(dāng)y=l時(shí)，x=(68-3X1)4-5=13,即x=13,y=l是一個(gè)解。

因?yàn)閤=13,y=l是一個(gè)解，當(dāng)x減小3,y增大5時(shí)，5x減少15,3y增大15,方程仍然成立,

所以對(duì)于x=13,y=l,x每減小3,y每增大5,仍然是解。方程的所有整數(shù)解有5個(gè)：

x=13,x=10,jx=7,x=4,x=l,

《

'y=i；y=6；y=11；y=16；y=20°

只要找到不定方程的一個(gè)解，其余解可通過(guò)對(duì)這個(gè)解的加、減一定數(shù)值得到。限于我們學(xué)到

的知識(shí)，尋找第一個(gè)解的方法更多的要依賴(lài)〃拼湊〃

分房間

學(xué)校要安排66名新生住宿，小房間可以住4人，大房間可以住7人，需要多少間大、小

房間，才能正好將66名新生安排下？

解答：設(shè)需要大房間x間，小房間y間，則有7x+4y=66。

這個(gè)方程有兩個(gè)未知數(shù)，我們沒(méi)有學(xué)過(guò)它的解法，但由4y和66都是偶數(shù)，推知7x也是

偶數(shù)，從而x是偶數(shù)。

當(dāng)x=2時(shí)，由7X2+4y=66解得y=13,所以x=2,y=13是一個(gè)解。

因?yàn)楫?dāng)x增大4,y減小7時(shí)，7x增大28,4y減小28,所以對(duì)于方程的一個(gè)解x=2,y=13,

當(dāng)x增大4,y減小7時(shí)，仍然是方程的解，即x=2+4=6,y=13-7=6也是一個(gè)解。

所以本題安排2個(gè)大房間、13個(gè)小房間或6個(gè)大房間、6個(gè)小房間都可以。

自然數(shù)問(wèn)題

在10000以?xún)?nèi)，除以3余2,除以7余3,除以11余4的數(shù)有幾個(gè)？

解答:滿足”除以3余2”的數(shù)有5,8,11,14,17,20,23,…

再滿足“除以7余3”的數(shù)有17,38,59,80,101,???

再滿足”除以11余4〃的數(shù)有59o

因?yàn)殛?yáng)[3,7,11]=231,所以符合題意的數(shù)是以59為首項(xiàng)，公差是231的等差數(shù)列。

(10000-59)4-231=43……8,所以在10000以?xún)?nèi)符合題意的數(shù)共有44個(gè)。

汽車(chē)進(jìn)站

A、B是公共汽車(chē)的兩個(gè)車(chē)站，從A站到B站是上坡路.每天上午8點(diǎn)到11點(diǎn)從A,B兩

站每隔30分同時(shí)相向發(fā)出一輛公共汽車(chē).已知從A站到B站單程需105分，從B站到A站單

程需80分.問(wèn)：⑴8:30、9:00從A站發(fā)車(chē)的司機(jī)分別能看到幾輛從B站開(kāi)來(lái)的汽車(chē)？

⑵從A站發(fā)車(chē)的司機(jī)最少能看到幾輛從B站開(kāi)來(lái)的汽車(chē)？

解答：方法一：⑴從A站發(fā)車(chē)的司機(jī)看到的車(chē)輛包括兩類(lèi)，一類(lèi)是他自己發(fā)車(chē)以前，已經(jīng)從

B站出發(fā)但還沒(méi)到達(dá)A站的所有車(chē)輛，也就是發(fā)車(chē)前80分鐘內(nèi)B站所發(fā)的所有車(chē)輛、第二類(lèi)

是他發(fā)車(chē)以后到他抵達(dá)B站這段時(shí)間內(nèi)從B站發(fā)出的所有車(chē)輛，即發(fā)車(chē)后105分鐘內(nèi)從B站

開(kāi)出的所有車(chē)輛.也就是說(shuō)在A站車(chē)輛出發(fā)前80分鐘到出發(fā)后105分鐘之間185分鐘時(shí)間區(qū)

間，B站發(fā)出的車(chē)，該司機(jī)都能看到.實(shí)際上這185分鐘中，只有發(fā)車(chē)前60分、發(fā)車(chē)前30分、

發(fā)車(chē)當(dāng)時(shí)、發(fā)車(chē)后30分、發(fā)車(chē)后60分、發(fā)車(chē)后90分，有車(chē)輛從B站開(kāi)出，所以8：30從A

站發(fā)車(chē)的司機(jī)能看到8：00到10：00從B站發(fā)出的5輛車(chē)，而9:00從A站發(fā)車(chē)的司機(jī)能看

到8：00到10：30從B站發(fā)出的6輛車(chē).

（2）11點(diǎn)從A發(fā)車(chē)的司機(jī)只能看到11點(diǎn)前從B站開(kāi)出但尚未到達(dá)A站的車(chē)，即10：00.10：3

0、11：00從B站開(kāi)出的3輛車(chē)。

方法二:

⑴我們畫(huà)時(shí)間路線圖，通過(guò)看圖發(fā)現(xiàn)從8：30出發(fā)的車(chē)所走路線與從B站發(fā)車(chē)路線有5個(gè)交

點(diǎn)，所以8：30從A站發(fā)車(chē)的司機(jī)能看到8：00到10：00從B站發(fā)出的5輛車(chē)，同理9：00

從A站發(fā)車(chē)的司機(jī)能看到8：00到10：30從B站發(fā)出的6輛車(chē).

⑵11點(diǎn)從A發(fā)車(chē)的司機(jī)只能看到11點(diǎn)前從B站開(kāi)出但尚未到達(dá)A站的車(chē)，即10：00、10：3

0、11：00從B站開(kāi)出的3輛車(chē)。

小結(jié)：時(shí)間路線圖是解決發(fā)車(chē)問(wèn)題常用的方法，也是最直觀的方法。

牛吃草

如圖，一塊正方形的草地被分成完全相等的四塊和中間的陰影部分，已知草在各處都是同樣

速度均勻生長(zhǎng).牧民帶著一群牛先在①號(hào)草地上吃草，兩天之后把①號(hào)草地的草吃光（在這2

天內(nèi)其他草地的草正常生長(zhǎng)）.之后他讓一半牛在②號(hào)草地吃草，一半牛在③號(hào)草地吃草，6

天后又將兩個(gè)草地的草吃光.然后牧民把1/3的牛放在陰影部分的草地中吃草，另外2/3的

牛放在④號(hào)草地吃草，結(jié)果發(fā)現(xiàn)它們同時(shí)把草場(chǎng)上的草吃完.那么如果一開(kāi)始就讓這群牛在

整塊草地上吃草，吃完這些草需要多少時(shí)間？

解答：方法二；設(shè)這群牛1天的吃草量為

“1”，那么有：.

①號(hào)草地原有草量+①號(hào)草地2天新生長(zhǎng)的

草量=2

②、③兩號(hào)草地原有草量+②、③兩號(hào)草地

8天新生長(zhǎng)的草量=6……⑵”

（2）+2-①得：每號(hào)草地每天新生長(zhǎng)的草量

=1；代入⑴得：每號(hào)草地原有草量=？.?

63

又因?yàn)?，［的牛放在陰影部分的草她中?/p>

草，另外金的牛放在④號(hào)草地吃草，它們同

時(shí)吃完.所以，陰哥部分面積=④號(hào)草地面

積X?.于是，整個(gè)正方形草地原有草量為

?x4?=曉，每天新生長(zhǎng)的草量為

322

1x41=2.讓這群牛在整塊草地上吃草，

624

可以吃：孩+（1-習(xí)=30（天）.2

方法二：設(shè)牧民有6頭牛，1頭牛1周的吃

草量為“1”，①號(hào)草地生長(zhǎng)速度為

（3x6-2x6）+6=l,原有草量為

2x（6-l）=10,因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e是①號(hào)

草地面積的4.5黃，所以正方形草地草的生

長(zhǎng)速度是4.5,原有草量是45,所以所求時(shí)

液體之比

在編號(hào)為1、2、3的三個(gè)相同的杯子里，分別盛著半杯水.1號(hào)杯中溶有100克

糖，3號(hào)杯中溶有100克鹽.先將1號(hào)杯中液體的一半及3號(hào)杯中液體的1倒人2號(hào)

4

杯，然后攪勻.再?gòu)?號(hào)杯倒出所盛液體的2三到1號(hào)杯，接著倒出所余液體的12到3

77

號(hào)杯.間：這時(shí)每個(gè)杯中含鹽量與含糖量之比各是多少?。

解答：用分析法，從要求的問(wèn)題入手，題目要求（1A2）*3的值，首先我們要計(jì)算1a2,

根據(jù)"△”的定義，［△2=k*l*2=2k,由于k的值不知道，所以首先要計(jì)算出k的值，k值求出

后，142的值也就計(jì)算出來(lái)了，我們?cè)O(shè)1Z\2.(1A2)*3★?,按“★”的定義：*3

=ma+3n,在只有求出m、n、時(shí)，我們才能計(jì)算*3的值.因此要計(jì)算(1A2)★3的值，我

們就要先求出k、m、n的值.通過(guò)1*2=5可以求出m、n、的值，通過(guò)(2TAT3)Z\4=64求出

的值.因?yàn)閘*2=m*l+n*2=m+2n,所以有m+2n=5.又因?yàn)閙、n、均為自然數(shù)，所以解出：

代「餐fl

1?=2l?=1

m=l,n=2時(shí)：(2^3)A4=(1*2+3)A4=8

A4=k*8*4=32k,有32k=64,解k=2"

當(dāng)m=3,n=l時(shí)：(2^3)A4=(3+2+1+3)A4=9

△4=k+9*4=36k,有36k=64,解出k=l(7/9)

這與k是自然數(shù)矛盾，因此

m=3,口=1,上=1(這組值應(yīng)該舍去，。

所以m=l,n=2,k=2.(1A2)★

3=(2x1x2)★3=4*3=(1x4+2x3)=10。

小結(jié)：在上面這一類(lèi)定義新運(yùn)算的問(wèn)題中，

關(guān)鍵的一條是：抓住定義這一點(diǎn)不放，在計(jì)

售時(shí)，嚴(yán)格澧照規(guī)定的法則代入數(shù)值.還有

一個(gè)值得注意的問(wèn)題是：定義一個(gè)新運(yùn)算，

這個(gè)新運(yùn)算常常不滿足加法、乘法所滿足的

運(yùn)算定律，因此在沒(méi)有確定新運(yùn)算是否具有

這些性質(zhì)之前，不能運(yùn)用這些運(yùn)算律來(lái)解

題.。

成數(shù)問(wèn)題

有兩個(gè)整數(shù)，它們的和恰好是兩個(gè)數(shù)字相同的兩位數(shù)，它們的乘積恰好是三個(gè)數(shù)字相同

的三位數(shù).求這兩個(gè)整數(shù)分別是多少？

解答：兩位數(shù)中，數(shù)字相同的兩位數(shù)有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九個(gè)，

它們中的每個(gè)數(shù)都可以表示成兩個(gè)整數(shù)相加的形式，例如33=1+32=2+31=3+30=……=16+17,

共有16種形式，如果把每個(gè)數(shù)都這樣分解，再相乘，看哪兩個(gè)數(shù)的乘積是三個(gè)數(shù)字相同的三

位數(shù)，顯然太繁瑣了.可以從乘積入手，因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)有、111、222、333、444、

555、666、777、888、999,每個(gè)數(shù)都是111的倍數(shù)，而111=37*3,因此把這九個(gè)數(shù)表示成

一個(gè)兩位數(shù)與一個(gè)一位數(shù)或兩個(gè)兩位數(shù)相乘時(shí)，必有一個(gè)因數(shù)是37或37的倍數(shù)，但只能是

37的2倍(想想為什么？)3倍就不是兩位數(shù)了.

把九個(gè)三位數(shù)分解：111=37*3、222=37*6=74*3、333=37*9、444=37*12=74*6、555=37*15、

666=37*18=74*9、777