任意角和弧度制 講義（知識(shí)點(diǎn) 考點(diǎn) 練習(xí)）人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

5.1任意角和弧度制

一、任意角

1.角的概念：

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.

2.角的表示：

如圖所示：角a可記為或“Na"或"NA08”,始邊:QA,終邊:QB,頂點(diǎn)Q.

OA

3.角的分類:

名稱定義圖示

一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)?/p>

正角

向旋轉(zhuǎn)形成的角

一條射線繞其端點(diǎn)按蛔鈦方

負(fù)角

向旋轉(zhuǎn)形成的角

一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)形成

零角0*--------48)

的角

二、角的加法與減法

設(shè)a,4是任意兩個(gè)角，二^為角a的相反角.

(Da+夕：把角a的終邊旋轉(zhuǎn)角6.

(2)a-[iza_6=a+(—8).

三、象限角

把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與X軸的非負(fù)半

軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角;如果角的終邊

在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.

思考“銳角”"第一象限角”“小于90。的角”三者有何不同？

四、終邊相同的角

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S=4W=a+k360。,

k^Z],即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和.

思考終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎？

五、度量角的兩種制度

定義用度作為單位來(lái)度量角的單位制

角度

1度的角等于周角的表

制1度的角

弧度定義以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制

制1弧度的角長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角

六、弧度數(shù)的計(jì)算

思考比值j與所取的圓的半徑大小是否有關(guān)?

七、角度與弧度的互化

角度化弧度弧度化角度

360°=2Krad2兀rad=360°

180。=匹rad7trad=180°

71H80A

1°—rad-0.01745rad1rad=l_^_l°s57.30o

1QOUn

度數(shù)晟TT尸弧度數(shù)弧度數(shù)x(祟)。=度數(shù)

1OU

八、弧度制下的弧長(zhǎng)與扇形面積公式

設(shè)扇形的半徑為R,弧長(zhǎng)為/,以0*<2兀)為其圓心角，則

(1)弧長(zhǎng)公式：l=aR.

(2)扇形面積公式：S=^lR-^aR2.

思考扇形的面積公式與哪個(gè)平面圖形的面積公式類似？對(duì)應(yīng)的圖形是否也類

似？

考點(diǎn)一基本概念的辨析

【例1】（2020.全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.終邊相同的角一定相等B.鈍角一定是第二象限角

C.第四象限角一定是負(fù)角D.小于90。的角都是銳角

【練1】（2020?浙江高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的是（）.

A.第一象限角一定不是負(fù)角B.小于90。的角一定是銳角

C.鈍角一定是第二象限角D.終邊和始邊都相同的角一定相等

考點(diǎn)二角度與弧度的轉(zhuǎn)換

【例2】（202。全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）把下列角度化成弧度：

（1）36°；（2）-150°;（3）1095°;（4）1440°.

【練2】（2019?伊美區(qū)第二中學(xué)高一月考）-300化為弧度是（）

【例3】（2020.全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）把下列各角度化為弧度,并寫(xiě)成。-2%的角加

上2br（/:eZ）的形式.

（1）-64°；

（2）400°；

⑶一722°3()’

【練3】（2020.浙江高一課時(shí)練習(xí)）與405。角終邊相同的角是（）.

A.-45°+k-36Q\keZB.—405°+h360°,keZ

C.45°+k-36（）,keZD.45°+左」80°,左eZ

考點(diǎn)四象限的判斷

乃

【例4】（2020.周口市中英文學(xué)校高一期中）角*29的終邊所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【練4】（2020.廣東高一期末）下列各角中，與2019。終邊相同的角為（）

A.41°B.129°C.219°D.-231°

考點(diǎn)五扇形

【例5】（2020?遼寧沈陽(yáng)?高一期中）一個(gè)半徑是R的扇形，其周長(zhǎng)為3R,則該扇

形圓心角的弧度數(shù)為（）

兀

A.1B.3C.乃D.-

3

【練5】（2020.山東濰坊.高一期末）已知某扇形的半徑為4cm,圓心角為2%/,

則此扇形的面積為（）

A.32cm2B.16cm2C.8cm2D.4cm2

課后習(xí)題

1.（2021高二下?江西月考）屏風(fēng)文化在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，可追溯到漢代.某屏風(fēng)

工藝廠設(shè)計(jì)了一款造型優(yōu)美的扇環(huán)形屏風(fēng)，如圖，扇環(huán)外環(huán)弧長(zhǎng)為2.4m,

內(nèi)環(huán)弧長(zhǎng)為0.6m,徑長(zhǎng)（外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差）為0.9m,若不計(jì)外

框，則扇環(huán)內(nèi)需要進(jìn)行工藝制作的面積的估計(jì)值為（）

A.1.20m2B.1.25m2C.1.35m2

D.1.40m2

2.（2021高一下?南通期末）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：

357

sinx=%——+-———+?-?,其中川=1x2x3x4x…x

3!5!7!

n.根據(jù)該公式可知，與T的值最接近的是

（）

A.cos57.3

B.cosl47.3

C.sin57.3°

D.sin（-32.7°）

3.（2021?湛江模擬）已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，則該圓錐

的側(cè)面積是（）

A.64nB.48nC.32n

D.16n

4.（2020高一上?東莞期末）圓心角為1弧度的扇形弧長(zhǎng)為V2，則扇形的面

積為（）

A.2&B.2C.V2

D.1

5.（2020高二上?柯橋期末）已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為y,半徑為

1的扇形，則圓錐的底面半徑為，體積為.

6.（2021高一下?奉賢期中）一個(gè)扇形半徑是2,圓心角的弧度數(shù)是3,則此

扇形的面積是一

7.（2021?寶山模擬）已知圓錐的底面半徑為1,高為V3，則該圓錐側(cè)面展

開(kāi)圖的圓心角e的大小為.

8.（2020高一上?福建期末）若圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)為n,則該扇形面

積為.

9.（2021高二上?官渡開(kāi)學(xué)考）給出下列命題：

⑴設(shè)角a的始邊為%軸非負(fù)半軸，則"角a的終邊在第二、三象限”是

"cosa<0"的充要條件；

⑵若函數(shù)：y=2sin3x+今T的最小正周期為I；那么實(shí)數(shù)3=4；

⑶若一扇形的圓心角為2,圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2,則此扇形的面積為：

1

sin2l；

⑷若A,B,C為AABC的三個(gè)內(nèi)角，則：:+念的最小值為：I;

其中正確的命題是

10.（2021?榆林模擬）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一

章給出了弧田（由圓弧和其所對(duì)弦所圍成）面積的計(jì)算公式：弧田面積=

［（弦x矢+矢2）.公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，"矢"等于圓弧的

最高點(diǎn)到弦的距離.如圖，弧田是由圓弧”和其所對(duì)弦AB圍成的圖

形，若弧田的弧和長(zhǎng)為號(hào)，弧所在的圓的半徑為4,則利用九章算術(shù)

中的弧田面積公式計(jì)算出來(lái)的面積與實(shí)際面積之差為一.

11.（2020高一上?如皋期末）已知扇形的面積為g，弧長(zhǎng)為g，設(shè)其圓心角

66

為a

（1）求a的弧度;

/c、4cos(-+a)sin(-7T-a)

⑵求—備-----行—的值.

cos(---a)sin(—+a)

12.（2020高一上?貴港期末）已知e為第三象限角，則（）

A.sin20>0B.COS(TT+0)<0C.tan。<0

D.sin(7T-0)>0

13.（2020高一上?寧波期末）如圖所示，摩天輪的半徑為50m,最高點(diǎn)距離

地面高度為110m,摩天輪的圓周上均勻地安裝著24個(gè)座艙，并且運(yùn)行

時(shí)按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周大約需要12min.甲，乙兩游客分別坐在

P,Q兩個(gè)座艙里，且他們之間間隔2個(gè)座艙（本題中將座艙視為圓周上

的點(diǎn)）.

（1）求劣弧PQ的弧長(zhǎng)I（單位：m）；

（2）設(shè)游客丙從最低點(diǎn)M處進(jìn)艙，開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)tmin后距離地面的高度為

Hm,求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，H關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式；

（3）若游客在距離地面至少85m的高度能夠獲得最佳視覺(jué)效果，請(qǐng)問(wèn)摩天輪

轉(zhuǎn)動(dòng)一周能有多長(zhǎng)時(shí)間使甲，乙兩位游客都有最佳視覺(jué)效果.

14.（2020高一上?望城期末）如圖，在扇形OPQ中，半徑OP=2,圓心角

/POQ=g,B是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，矩形ABCD內(nèi)接于扇形.記

ZBOC=a,求當(dāng)角a取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)

最大值.

精講答案

思考

答案銳角是第一象限角也是小于90。的角，而第一象限角可以是銳角，也可以

是大于360。的角，還可以是負(fù)角，小于90°的角可以是銳角，也可以是零角或負(fù)

角.

思考

答終邊相同的角不一定相等，它們相差360。的整數(shù)倍：相等的角終邊相同.

思考

答案一定大小的圓心角a所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與半徑的比值是唯一確定的，與半徑大

小無(wú)關(guān).

思考

答案扇形的面積公式與三角形的面積公式類似.實(shí)際上，扇形可看作是一曲邊

三角形，弧是底，半徑是底上的高.

【例1】

【答案】B

【解析】終邊相同的角不一定相等，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

鈍角一定是第二象限角，所以該選項(xiàng)正確；

第四象限角不一定是負(fù)角，如2乃是第四象限的角，但是不是負(fù)角，所以該選

O

項(xiàng)錯(cuò)誤；

TT

小于90。的角不都是銳角，如.所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選B

【練1】

【答案】c

【解析】-300°為第一象限角且為負(fù)角，故A錯(cuò)誤；-5()。＜90。，但-50°不是銳

角，故B錯(cuò)誤；終邊與始邊均相同的角不一定相等，它們可以相差

h360°,左eZ,故D錯(cuò)誤.鈍角一定是第二象限角，C正確.

故選：C.

【例2】

【答案】(1)^(2)-穿(3)與『(4)8萬(wàn)

jo12

【解析】⑴36。喘囁⑵一5。。喘=-浮附095。,盍=等；(4)

71

1440°x—=8^-.

180

【練2】

【答案】B

-300=—物x2;r=-紅

【解析】

3603

【例3】

74萬(wàn)2萬(wàn)143

【答案】(1)一2%;(2)—+2^;(3)-6^-+—

45

16萬(wàn)74萬(wàn)

【解析1(1)—64-2萬(wàn)；

4545

202%-

(2)400°——n=——+2%;

99

144571289,143

(3)-722°30'=-722.5°----X---=-----71=-6萬(wàn)H----71

21807272

【練3】

【答案】C

【解析】由于405°=360°+45°,故與405。終邊相同的角應(yīng)為

45°+h360",左eZ.故選：C

【例4】

【答案】A

【解析】因?yàn)楸?2乃+若，角曾是第一象限角，所以角芍的終邊所在的

象限是第一象限.

故選A.

【練4】

【答案】C

【解析】因?yàn)?019°=5x360+219°,所以219。與2019。終邊相同.故選:C.

【例5】

【答案】A

【解析】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為/，則2R+/=3R,得/=/?,則扇形圓心角的弧度數(shù)

為g=1.故選：A.

R

【練5】

【答案】B

【解析】由題意，某扇形的半徑為4cm,圓心角為

根據(jù)扇形的面積公式，可得S產(chǎn)=1x2x42=16cm2所以此扇形的面積為

22

16c/?故選：B.

練習(xí)答案

1.【答案】C

【考點(diǎn)】扇形的弧長(zhǎng)與面積

【解析】【解答】設(shè)扇環(huán)的圓心角為a,內(nèi)環(huán)半徑為■,外環(huán)半徑為r2,

則/2—ri=0.9，

由題意可知，arx=0.6,ar2=2.4,所以。(4+七)=3,

所以扇環(huán)內(nèi)需要進(jìn)行工藝制作的面積的估計(jì)值為S=|a(r2-r2)=|a(ri+

2

r2)(r2-rj=|x3x0.9=1.35m.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)題意把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，結(jié)合圓心角公式以及扇形的面

積公式代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。

2.【答案】B

【考點(diǎn)】弧度制、角度制及其之間的換算，運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

【解析】原式=sin(-l)?sin(-57.3°)=sin(90°-147.3°)=

cosl47.3°o

故答案為：B

357

【分析】利用sinx=%—-+-———+…，其中n!=lx2x3x4x-x

3!5!7!

n,從而結(jié)合弧度與角度的互化公式和誘導(dǎo)公式，從而求出與-1+(-/+

^―?的值最接近的選項(xiàng)。

3.【答案】C

【考點(diǎn)】扇形的弧長(zhǎng)與面積

【解析】由題意可得，圓錐底面直徑為，8半徑為4,母線長(zhǎng)為8,

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，半徑為母線8,弧長(zhǎng)為圓錐底面周長(zhǎng)［=271X4=

87r

扇形面積為：S=I-8TT,8=32兀

故答案為：C

【分析】利用圓錐的軸截面可以求出圓錐的底面半徑，從而求出底面周長(zhǎng)，利

用側(cè)面積公式求解即可.

4.【答案】D

【考點(diǎn)】扇形的弧長(zhǎng)與面積

【解析】由弧長(zhǎng)公式可知l=l-r=^2，

所以S=^/r=|xV2xV2=l,

故答案為：D

【分析】首先由弧長(zhǎng)公式計(jì)算出半徑的值，再把數(shù)值代入到扇形的面積公式計(jì)

算出結(jié)果即可。

5.【答案】A；逑兀

381

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，扇形的弧長(zhǎng)與面積

【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，則2b=與xl,r=1,

又圓錐母線長(zhǎng)為1=1,故高為h==小2_(}2=手，

體積為V=-nr2A=-Jrx(-)2x—=—n.

3313，381

故答案為：5;也兀.

【分析】根據(jù)題意結(jié)合圓心角公式以及勾股定理即可求出圓錐底面半徑以及圓

錐的高線，再把數(shù)值代入到圓錐的體積公式計(jì)算出結(jié)果即可。

6.【答案】6

【考點(diǎn)】扇形的弧長(zhǎng)與面積

【解析】由扇形面積公式S=1ar可得，S=|ar2=ix3x22=6

【分析】由扇形面積公式S=(aN直接求得。

7.【答案】n

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積，扇形的弧長(zhǎng)與面積

【解析】圓錐的底面半徑為1,高為V3，則圓錐的母線長(zhǎng)為卜+（圾2=

2,

即展開(kāi)后所得扇形的半徑為2,

圓錐底面圓的周長(zhǎng)l=2n即為展開(kāi)后所得扇形的弧長(zhǎng)，

所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式可知2兀=2。，

解得0=n

故答案為：n

【分析】根據(jù)圓錐的截面由勾股定理計(jì)算出母線的值，再由弧長(zhǎng)公式計(jì)算出結(jié)

果即可。

8.【答案】

【考點(diǎn)】扇形的弧長(zhǎng)與面積

【解析】設(shè)弧長(zhǎng)為I,半徑為R,e為圓心角，所以夫=《=看=3,

3

由扇形面積公式得5=押=7-3=等。

故答案為：學(xué)。

【分析】利用已知條件結(jié)合弧長(zhǎng)公式，進(jìn)而求出扇形所對(duì)的圓心角，再利用扇

形面積公式，進(jìn)而求出該扇形的面積。

9.【答案】（3）（4）

【考點(diǎn)】基本不等式，扇形的弧長(zhǎng)與面積，三角函數(shù)值的符號(hào)，正弦函數(shù)的周

期性

【解析】因?yàn)榻莂的始邊為x軸非負(fù)半軸，若角a的終邊在第二、三象限，

則角a為第二、三象限角，所以cosa<0;若cosa<0,則角a的終邊在

第二、三象限或者在x軸的非正半軸上，故“角a的終邊在第二、三象限”是

cosa<0"的充分不必要條件，故⑴錯(cuò)誤；

因?yàn)楹瘮?shù)：y=2sin（3x+$—l的最小正周期為；則含=>解得實(shí)數(shù)

0）=±4；故（2）錯(cuò)誤；

因?yàn)樯刃蔚膱A心角為2,圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2,所以扇形的半徑為：r=

2

，弧長(zhǎng)為2*二7=告，所以此扇形的面積為|x-Arx-Ar=-rr，故

smlsinlsml2smlsinlsmzl

（3）正確；

因?yàn)锳,B,C為AABC的三個(gè)內(nèi)角，所以A+B+C=n,令a=

A,0=B+C,則a+P=7i,有—=1,所以:+擊=￡+]=（￡+》x

1=（，產(chǎn)

'an

=-g+^+5）>--（2降至+5）=2,當(dāng)且僅當(dāng)苴=?，即a=2/?時(shí)取

等號(hào)，故⑷正確.

故答案為：（3）（4）.

【分析】利用象限角的定義以及三角函數(shù)在各個(gè)象限符號(hào)的判定分析選項(xiàng)

（1）;利用三角函數(shù)的周期公式分析選項(xiàng)（2）；利用扇形的弧長(zhǎng)公式以及面積公式

分析選項(xiàng)（3）；利用三角形的內(nèi)角和公式，再運(yùn)用換元法結(jié)合基本不等式求最值分

析選項(xiàng)（4）,即可得到答案.

10.【答案】8百+2-等

【考點(diǎn)】扇形的弧長(zhǎng)與面積

【解析】設(shè)圓弧所對(duì)圓心角的弧度為a,由題可知ax4=^，解得

2n

a=-,

故扇形AOB的面積為；X^X4=^TT,三角形AOB的面積為|xsin^x

42=48，故弧田實(shí)際的面積為-1--4V3.

作0D1AB分別交AB,AB于點(diǎn)D,C,則AB=4b，0D=2,

所以利用九章算術(shù)中的弧田面積公式計(jì)算出來(lái)的面積為|X（4V3X2+22）=

48+2，

則所求差值為（4V3+2）-4A③=8於+2-等.

故答案為：8怖+2一等.

【分析】據(jù)題意作出圖形，結(jié)合圖形利用直角三角形的邊角關(guān)系求出矢和弦的

1L【答案】（1）解：設(shè)扇形的半徑為r,則ar=g,所以r=￡.

OOU

1n7Tn

由S=可得-X—X-=-

26a66

解得a=J2-

cos(^+a)sin(-7T-a)

(2)解:-sinasina=tana.

cos(等一a)sin(等+Q)-sinacosa

nn

tan--tan-

tan^=tan(1-^)=___s4=2—V3.

~~__7r~7f-1+V3

1+tan3-tan4-

【考點(diǎn)】扇形的弧長(zhǎng)與面積，運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

【解析】（1）利用已知條件結(jié)合扇形的面積公式，從而求出圓心角a的弧

度。

（2）利用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，從而化簡(jiǎn)求出

cos(^+a)sin(-7r-a)

"1171、./97T,~r刖恒°

cos(---a)sin(—+a)

12.【答案】A

【考點(diǎn)】象限角、軸線角，三角函數(shù)值的符號(hào)

【解析】【解答】因?yàn)閑為第三象限角，所以sin0<0,cose<0,

tan。>0,sin26=2sin0cos0>0,cos(zr+9)=-cos0>0,sin(7r—

0)=sin。<0,A符合題意；

故答案為：A

【分析】先由0為第三象限角，判斷出sin。<0,cos0<0,tan。>

0,然后逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案。

13.【答案】(1)解：因?yàn)槟μ燧喌膱A周上均勻地安裝著24個(gè)座艙，

故每個(gè)座艙與中心連線所成的扇形的圓心角為篝=5，

故［=2x^x5。=等⑺)

(2)解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則M(0,-85).

轉(zhuǎn)動(dòng)tmin