2024年高中數(shù)學專題6-3重難點題型培優(yōu)精講平面向量的運算教師版新人教A版必修第二冊

專題6.3平面對量的運算1．向量的加法運算(1)向量加法的定義及兩個重要法則(2)多個向量相加為了得到有限個向量的和，只需將這些向量依次首尾相接，那么以第一個向量的起點為起點，最終一個向量的終點為終點的向量，就是這些向量的和，如圖所示.2．向量加法的運算律(1)交換律：；(2)結合律：.3．向量的減法運算(1)相反向量我們規(guī)定，與向量長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作.零向量的相反向量仍是零向量.(2)向量減法的定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即-=+(-).求兩個向量差的運算叫做向量的減法.(3)向量減法的三角形法則如圖，已知向量,，在平面內任取一點O，作=，=，則=-=-.即-可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量，這是向量減法的幾何意義.4．向量的數(shù)乘運算(1)向量的數(shù)乘的定義一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：①；

②當>0時，的方向與的方向相同；當<0時，的方向與的方向相反.(2)向量的數(shù)乘的運算律設,為實數(shù)，那么①()=()；②(+)=+；③(+)=+.

特殊地，我們有(-)=-()=(-)，(-)=-.

(3)向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.對于隨意向量,，以及隨意實數(shù),,，恒有()=.5．向量共線定理(1)向量共線定理向量(≠0)與共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)，使=.

(2)向量共線定理的應用——求參

一般地，解決向量,共線求參問題，可用兩個不共線向量(如,)表示向量,，設=(≠0)，化成關于,的方程()=-()，由于,不共線，則解方程組即可.【題型1向量的加減法運算】【方法點撥】向量的加減法運算有如下方法：(1)利用相反向量統(tǒng)一成加法(相當于向量求和)；(2)運用減法公式-=(正用或逆用均可)；(3)運用幫助點法，利用向量的定義將全部向量轉化為以其中一確定點為起點的向量，使問題轉化為有共同起點的向量問題.【例1】（2024春·北京豐臺·高一期末）AB-AD+A．BC B．CB C．BD D．DB【解題思路】依據(jù)向量的加法和減法運算即可求解.【解答過程】因為AB-故選：B.【變式1-1】（2024·全國·高三專題練習）化簡AC-BD+A．0 B．DA C．BC D．AB【解題思路】利用向量的線性運算干脆求解.【解答過程】AC===BC故選：C.【變式1-2】（2024·廣東·高三學業(yè)考試）在四邊形ABCD中，給出下列四個結論，其中確定正確的是（

）A．AB+BCC．AB+AD【解題思路】由向量加法的三角形法則可推斷AD，由向量減法的運算法則可推斷B，由向量加法的平行四邊形法則可推斷C.【解答過程】依據(jù)三角形法則可得AB+依據(jù)向量減法的運算法則可得AB-四邊形ABCD不愿定是平行四邊形，所以不愿定有AB+依據(jù)三角形法則可得BC+故選：D.【變式1-3】（2024春·廣西南寧·高二開學考試）下列化簡結果錯誤的是（

）A．AB+BCC．OA-OD【解題思路】依據(jù)向量加減法運算法則計算即可【解答過程】對A，原式=AC對B，原式=AB對C，原式=OA對D，原式=AB故選：D．【題型2三角形（平行四邊形）法則的應用】【方法點撥】依據(jù)向量加減法的幾何意義，將對應向量表示出來即可.【例2】（2024秋·四川·高三開學考試）如圖，向量b-a等于（A．e1-3e2 B．【解題思路】依據(jù)向量的減法法則可得選項．【解答過程】由向量的減法得b-故選：A．【變式2-1】（2024·高一課時練習）如圖，向量a-b等于（A．-e1C．e1-【解題思路】依據(jù)向量線性運算法則，結合圖像即可求解.【解答過程】a-b等于向量b的終點指向向量分解后易知a-故選：A.【變式2-2】（2024秋·安徽蕪湖·高一期中）如圖，向量e1，e2，a的起點與終點均在正方形網(wǎng)格的格點上，若a=λeA．-4 B．-【解題思路】依據(jù)圖象求得正確答案.【解答過程】由圖象可知a=故選：D.【變式2-3】（2024秋·湖南衡陽·高一期末）如圖，在7×5正方形網(wǎng)格中，向量a，b滿足a⊥b，則A．2a+C．-3a【解題思路】由向量加減法運算法則，得到所求向量為DC，再由向量減法的三角形法則，以及向量數(shù)乘運算，計算答案.【解答過程】由題意，得AB-故選：C.【題型3向量的線性運算】【方法點撥】向量的數(shù)乘運算類似于實數(shù)運算，遵循括號內的運算優(yōu)先的原則，將相同的向量看作“同類項”進行合并.要留意向量的數(shù)乘所得結果仍是向量，同時要在理解其幾何意義的基礎上，嫻熟運用運算律.【例3】（2024春·新疆喀什·高一階段練習）3aA．5a B．5b C．-【解題思路】依據(jù)向量運算加減法的運算公式，即可求解.【解答過程】依據(jù)向量運算公式可知，3a故選：B.【變式3-1】（2024·高一課時練習）已知a=2e，b=-3e，A．18e B．-3e C．【解題思路】由向量的運算可得答案.【解答過程】3a故選：A.【變式3-2】（2024·全國·高三專題練習）32a-A．4a+3b B．4a【解題思路】由平面對量的線性運算方法即可求得答案.【解答過程】由題意，32故選：B.【變式3-3】（2024·高一課時練習）a+2b+2A．2a B．3a C．-【解題思路】利用向量的線性運算求解即可.【解答過程】依題意得：a+2故選：B.【題型4用已知向量表示相關向量】【方法點撥】用已知向量來表示其他向量是解向量相關問題的基礎，除了要利用向量的加、減、數(shù)乘運算外，還應充分利用平面幾何的一些定理、性質，如三角形的中位線定理，相像三角形對應邊成比例等，把未知向量轉化為與已知向量有干脆關系的向量進行求解.【例4】（2024·高一課時練習）如圖，?ABCD中，AB=a，AD=b，點E是AC的三等分點(A．13a-23b【解題思路】依據(jù)向量的加法法則和減法法則進行運算即可.【解答過程】DE故選：B.【變式4-1】（2024·高一課時練習）在四邊形ABCD中，設AB=a，AD=A．-a+C．a(chǎn)+b【解題思路】依據(jù)向量加法、減法的運算求得DC.【解答過程】DC=故選：D.【變式4-2】（2024·新疆·統(tǒng)考三模）如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于O，且OA=a，OB=b，則A．a(chǎn)+bC．b-a【解題思路】依據(jù)給定條件利用平面對量的減法運算列式作答.【解答過程】在平行四邊形ABCD中，依題意，OC=-OA所以BC=故選：D.【變式4-3】（2024秋·甘肅武威·高一期中）如圖，向量AB=a，AC=b，CD=A．a(chǎn)+b+c B．a(chǎn)【解題思路】利用向量加法和減法的三角形法則計算即可.【解答過程】BD=故選：C.【題型5向量共線定理的應用】【方法點撥】向量共線的判定一般是用其判定定理，即是一個非零向量，若存在唯一一個實數(shù)，使得=，則向量與非零向量共線.解題過程中，須要把兩向量用共同的已知向量來表示，進而相互表示，由此推斷共線.【例5】（2024·高一課時練習）已知A，B，C為三個不共線的點，P為△ABC所在平面內一點，若PA+PB=A．點P在△ABC內部 B．點P在△ABC外部C．點P在直線AB上 D．點P在直線AC上【解題思路】由向量的運算可得CA=【解答過程】∵PA+∴PB-∴CB=即CA=故點P在邊AC所在的直線上.故選：D.【變式5-1】（2024·高一課時練習）P是△ABC所在平面內一點，CB=λPA+A．△ABC內部 B．在直線ACC．在直線AB上 D．在直線BC上【解題思路】依據(jù)共線定理可知即PC與PA共線，從而可確定P點確定在AC邊所在直線上．【解答過程】∵∴PB∴-∴PC//PA，即PC∴P點確定在AC邊所在直線上.故選：B．【變式5-2】（2024春·湖南長沙·高二階段練習）已知a，b為不共線的非零向量，AB=a+5b，BC=A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線C．B，C，D三點共線 D．A，C，D三點共線【解題思路】依據(jù)給定條件，求出BD,【解答過程】a，b為不共線的非零向量，AB=a+5b，則BD=BC+因1-2≠58，則AB與BC不共線，A因AB=BD，即AB→與BD→共線，且有公共點B，則A，因-23≠8-3，則BC與CD不共線，因-13≠13-3，則AC與CD不共線，故選：B.【變式5-3】（2024春·上海·高二專題練習）O是平面上確定點，A、B、C是該平面上不共線的3個點，一動點P滿足：OP＝OA+λ(AB+ACA．外心 B．內心 C．重心 D．垂心【解題思路】取線段BC的中點E，則AB+AC=2AE．動點P滿足：OP=【解答過程】取線段BC的中點E，則AB+動點P滿足：OP=OA+則OP則AP=2則直線AP確定通過△ABC的重心．故選：C．【題型6向量線性運算在三角形中的運用】【方法點撥】結合具體條件，利用向量的線性運算，進行轉化求解即可.【例6】（2024春·北京大興·高三期末）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的珍寶，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構成.現(xiàn)仿照趙爽弦圖，用四個三角形和一個小平行四邊形構成如下圖形，其中，E，F(xiàn)，G，H分別是DF，AG，BH，CE的中點，若AG=xAB+yA．25 B．4【解題思路】利用平面對量線性運算法則以及平面對量基本定理，將AG用AB,BC表示出來，求出x，【解答過程】由題意可得AG=因為EFGH是平行四邊形，所以AG=-CE，所以AG因為AG=xAB則2x故選:D.【變式6-1】（2024·全國·高三專題練習）2024年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，“紅星閃閃放光彩”，國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個特殊美麗的幾何圖形，且與黃金分割有著緊密聯(lián)系，在如圖所示的五角星中，以A、B、C、D、E為頂點的多邊形為正五邊形，且AT=5+12TS，設ESA．5+12 B．5-1【解題思路】依據(jù)五角星中長度關系，結合向量加法運算法則進行求解即可．【解答過程】五角星中，ES=RC，則ES-由于AT則λ=故選：D.【變式6-2】（2024·全國·高三專題練習）莊重美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個特殊美麗的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A，B，C，D，E為頂點的多邊形為正五邊形，且PTAT＝5-1A．BPB．CQC．ESD．AT【解題思路】利用平面對量的概念、平面對量的加法、減法、數(shù)乘運算的幾何意義，便可解決問題．【解答過程】解：在如圖所示的正五角星中