人教版高一數(shù)學新教材同步配套教學講義5.6函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(原卷版+解析)

5．6函數(shù)【知識點梳理】知識點一：用五點法作函數(shù)的圖象用“五點法”作的簡圖，主要是通過變量代換，設，由z取來求出相應的，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象．知識點二：函數(shù)中有關概念表示一個振動量時，A叫做振幅，叫做周期，叫做頻率，叫做相位，x=0時的相位稱為初相．知識點三：由得圖象通過變換得到的圖象1、振幅變換：，（且）的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點的縱坐標伸長（）或縮短（）到原來的倍得到的（橫坐標不變），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的圖象，再以軸為對稱軸翻折，稱為振幅．2、周期變換：函數(shù)，（且）的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短或伸長到原來的倍（縱坐標不變）．若則可用誘導公式將符號“提出”再作圖．決定了函數(shù)的周期．3、相位變換：函數(shù)，（其中）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左（當時）或向右（當時）平行移動個單位長度而得到．（用平移法注意講清方向：“左加右減”）．4、函數(shù)的圖象經(jīng)變換得到的圖象的兩種途徑知識點詮釋：一般地，函數(shù)，的圖象可以看作是用下面的方法得到的：（1）先把y=sinx的圖象上所有的點向左（）或右（）平行移動個單位；（2）再把所得各點的橫坐標縮短或伸長到原來的倍（縱坐標不變）；（3）再把所得各點的縱坐標伸長（）或縮短（）到原來的倍（橫坐標不變）．【題型歸納目錄】題型一：根據(jù)函數(shù)圖象求解析式題型二：同名函數(shù)圖象的變換題型三：異名函數(shù)圖象的變換題型四：變換的重合問題題型五：求圖象變換前、后的解析式題型六：由圖象變換研究函數(shù)的性質(zhì)題型七：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用題型八：用五點法作函數(shù)的圖象【典型例題】題型一：根據(jù)函數(shù)圖象求解析式例1．（2022·遼寧·鞍山一中高一期中）若的圖像如下圖所示，且和是最小的兩個正零點，若，則的解析式可以是（

）A． B．C． D．例2．（2022·全國·高一）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式的值為（

）A． B．C． D．例3．（2022·河北·青龍滿族自治縣實驗中學高一期末）已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（

）A．y＝2sin B．y＝C．y＝2sin D．y＝2sin變式1．（2022·全國·高一專題練習）下圖是函數(shù)，的一部分圖像，此函數(shù)的解析式是（

）A． B．C． D．變式2．（2022·湖北·武漢市漢口北高級中學高一期末）函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，且，則其解析式為（

）A．B．C．D．【方法技巧與總結(jié)】確定函數(shù)（）的解析式的步驟（1）求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則，．（2）求，確定函數(shù)的周期，則．（3）求，常用方法有①代入法：把圖象上的一個已知點代入（此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上）或把圖象的最高點或最低點代入．②五點法：確定值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口．題型二：同名函數(shù)圖象的變換例4．（2022·江西·高一期中）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移3個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移3個單位長度 D．向右平移個單位長度例5．（2022·全國·高一專題練習）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點（

）A．先向右平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）B．先向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變）C．先向右平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）D．先向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變）例6．（2022·全國·高一專題練習）要得到函數(shù)的圖象，需（

）A．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）B．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變）C．將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位．D．將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位變式3．（2022·陜西·榆林十二中高一階段練習）已知函數(shù)，為了得到函數(shù)的圖象，只需（

）A．先將函數(shù)圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再向右平移個單位B．先將函數(shù)圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，再向右平移個單位C．先將函數(shù)圖象向右平移個單位，再將點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼腄．先將函數(shù)圖象向右平移個單位，再將點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍變式4．（2022·北京師大附中高一期中）要得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（

）A．向右平移個單位 B．向左平移個單位 C．向右平移個單位 D．向左平移個單位變式5．（2022·江蘇·高一專題練習）已知函數(shù)滿足條件：，且．（1）求的解析式；（2）由函數(shù)的圖象經(jīng)過適當?shù)淖儞Q可以得到的圖象．現(xiàn)提供以下兩種變換方案：①→→②→→請你選擇其中一種方案作答，并將變換過程敘述完整．變式6．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)表示一個振動量．（1）指出函數(shù)的振幅、最小正周期、初相及頻率．（2）說明此函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到．【方法技巧與總結(jié)】對，，的三點說明（1）越大，函數(shù)圖象的最大值越大，最大值與是正比例關系．（2）越大，函數(shù)圖象的周期越小，越小，周期越大，周期與為反比例關系．（3）大于0時，函數(shù)圖象向左平移，小于0時，函數(shù)圖象向右平移，即“加左減右”．題型三：異名函數(shù)圖象的變換例7．（2022·四川巴中·高一期末）要得到函數(shù)的圖象只需將函數(shù)的圖象（

）A．先向右平移個單位長度，再向下平移2個單位長度B．先向左平移個單位長度，再向上平移2個單位長度C．先向右平移個單位長度，再向下平移2個單位長度D．先向左平移個單位長度，再向上平移2個單位長度例8．（2022·全國·高一專題練習）要得到函數(shù)的圖象，只需的圖象A．向左平移個單位，再把各點的縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變）B．向左平移個單位，再把各點的縱坐標縮短到原來的倍（橫坐標不變）C．向左平移個單位，再把各點的縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變）D．向左平移個單位，再把各點的縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變）例9．（2022·北京八中高一期中）要得到的圖象，只要將的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【方法技巧與總結(jié)】變?yōu)橥僮儞Q．題型四：變換的重合問題例10．（2022·上海·高一期末）設函數(shù)的圖象分別向左平移m(m>0)個單位，向右平移n(n>0>個單位，所得到的兩個圖象都與函數(shù)的圖象重合的最小值為（

）A． B． C． D．例11．（2022·湖南懷化·高一期末）如果若干個函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則稱這些函數(shù)為“同簇函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①；②；③；④．其中“同簇函數(shù)”的是

A．①② B．①④ C．②③ D．③④例12．（2022·全國·高一專題練習）若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．4變式7．（2022·湖南·新邵縣第二中學高一開學考試）將函數(shù)的圖象向左平移個單位后與的圖象重合，則（

）A． B．C． D．變式8．（2022·四川遂寧·高一期末）若把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得到的圖象與函數(shù)y＝cosωx的圖象重合，則ω的一個可能取值是（

）A． B． C． D．2變式9．（2022·湖北武漢·高一期中）的圖象向左平移個單位，恰與的圖象重合，則的取值可能是（

）A． B． C． D．變式10．（2022·全國·高一專題練習）已知函數(shù)（1）求的值；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象重合，求實數(shù)的最小值；（3）若時，的最小值為，求的最大值變式11．（多選題）（2022·全國·高一課時練習）設函數(shù)的圖象為曲線，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．是曲線的一個對稱中心B．若，且，則的最小值為C．將曲線向右平移個單位長度，與曲線重合D．將曲線上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，與曲線重合題型五：求圖象變換前、后的解析式例13．（2022·全國·高一專題練習）已知的最大值為，將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍得到的函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．例14．（2022·全國·高一專題練習）將函數(shù)的圖象先左移，再縱坐標不變，橫坐標縮為原來的，所得圖象的解析式為（

）A． B．C． D．例15．（2022·河南南陽·高一期中）將函數(shù)的圖象上各點向右平行移動個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標伸長為原來的4倍，則所得到的圖象的函數(shù)解析式是（

）A． B．C． D．變式12．（2022·湖南·株洲市南方中學高一階段練習）函數(shù)的部分函數(shù)圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，然后向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的解析式為（

）A．B．C．D．變式13．（2022·云南·祿勸彝族苗族自治縣第一中學高一期中）把函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半（縱坐標不變），然后把圖象向左平移個單位，則所得圖形對應的函數(shù)解析式為（

）A． B．C． D．變式14．（2022·西藏拉薩·高一期末）將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，再將所得圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)的一個解析式為（

）A． B．C． D．變式15．（2022·陜西渭南·高一期末）已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示；將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的6倍后，再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】常規(guī)法主要有兩種：先平移后伸縮；先伸縮后平移．值得注意的是，對于三角函數(shù)圖象的平移變換問題，其平移變換規(guī)則是“左加、右減”，并且在變換過程中只變換自變量x，如果x的系數(shù)不是1，那么需把x的系數(shù)提取后再確定平移的單位和方向．題型六：由圖象變換研究函數(shù)的性質(zhì)例16．（2022·全國·高一單元測試）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋犊v坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，則的取值范圍為_______．例17．（2022·全國·高一）若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得圖象關于軸對稱，則的最小正值是________．例18．（2022·江西省萬載中學高一期中）將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)在上的值域為____________．變式16．（2022·安徽·定遠縣育才學校高一期中（理））將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將圖象上每一點橫坐標縮短到原來的倍，所得圖象關于直線對稱，則的最小正值為__________.變式17．（2022·廣西·防城港市防城中學高一階段練習）已知函數(shù)，將函數(shù)f（x）的圖象上所有點的橫坐標變成原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，且當x∈時，，則a的取值范圍是__________.變式18．（2022·上海徐匯·高一期末）已知函數(shù)（其中為常數(shù)，且）有且僅有三個零點，則的取值范圍是______．變式19．（2022·河南新鄉(xiāng)·高一期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，給出以下說法：①將的圖象向左平移個單位長度可以得到的圖象；②的圖象關于直線x=1對稱；③的圖象關于點成中心對稱；④在上單調(diào)遞減.其中所有正確說法的編號是___________變式20．（2022·全國·高一專題練習）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且的最小正周期為，將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖像對應的函數(shù)為，若，則__________.變式21．（2022·全國·高一專題練習）把函數(shù)的圖象沿軸平移個單位，所得圖象關于原點對稱，則的最小值是__________．【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)周期、最值、單調(diào)區(qū)間的方法步驟：①利用公式求周期；②根據(jù)自變量的范圍確定的范圍，根據(jù)相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時，根據(jù)所給關系式的特點，也可換元轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值；③根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)或的單調(diào)區(qū)間．題型七：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用例19．（2022·江蘇·常州高級中學高一期末）已知函數(shù)，其中(1)若的最小正周期為12，求滿足上的的集合；(2)若在上有且只有一個零點，求的取值范圍.例20．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù).(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若關于的方程在上有解,求實數(shù)的取值范圍.例21．（2022·安徽亳州·高一期末）已知函數(shù)．(1)求圖像的對稱軸方程；(2)若存在，使得成立，求m的取值范圍．變式22．（2022·山東·費縣實驗中學高一期末）已知函數(shù)．(1)若存在，，使得成立，則求的取值范圍；(2)將函數(shù)的圖象上每個點縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)的所有零點之和．變式23．（2022·山東臨沂·高一期末）已知函數(shù).(1)求的周期；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再把圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域.變式24．（2022·河北張家口·高一階段練習）已知.(1)求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到的圖象，求的對稱軸.變式25．（2022·山東·臨沂二十四中高一階段練習）已知函數(shù)，其圖象中相鄰的兩個對稱中心的距離為，且函數(shù)的圖象關于直線對稱；(1)求出的解析式；(2)將的圖象向左平移個單位長度，得到曲線，若方程在上有兩根，，求的值及的取值范圍.【方法技巧與總結(jié)】研究函數(shù)性質(zhì)的基本策略（1）借助周期性：研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對稱性等問題時，可以先研究在一個周期內(nèi)的單調(diào)區(qū)間、對稱性，再利用周期性推廣到全體實數(shù)．（2）整體思想：研究當時的函數(shù)的值域時，應將看作一個整體，利用求出的范圍，再結(jié)合的圖象求值域．題型八：用五點法作函數(shù)的圖象例22．（2022·江西·蘆溪中學高一階段練習）已知函數(shù)．(1)用“五點作圖法”在給定的坐標系中，畫出函數(shù)在上的圖像，并寫出圖像的對稱中心；(2)先將函數(shù)的圖像向右平移個單位后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，若在上的值域為，求的取值范圍例23．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù).(1)試用“五點法”畫出它的圖象；列表：xy作圖：(2)求它的振幅、周期和初相.例24．（2022·湖南·高一階段練習）已知函數(shù)．（1）用“五點作圖法”在給定的坐標系中，畫出函數(shù)在上的圖像，并寫出圖像的對稱中心；（2）先將函數(shù)的圖像向右平移個單位后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖像，若在上的值域為，求的取值范圍．變式26．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)（，）的一個對稱中心為，其圖像上相鄰兩個最高點間的距離為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）用“五點作圖法”在給定的坐標系中作出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像，并寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【方法技巧與總結(jié)】用“五點法”作的簡圖，主要是通過變量代換，設，由取來求出相應的，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象．【同步練習】一、單選題1．（2022·天津南開·高一期末）為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位2．（2022·浙江大學附屬中學高一期末）已知函數(shù)（）的圖像的相鄰的兩個對稱中心之間的距離為，則的值是（

）A． B．3 C．2 D．13．（2022·四川瀘州·高一期末）把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得圖象向右平移個單位長度，得到圖象對應的解析式為（

）A． B．C． D．4．（2022·全國·高一專題練習）把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變，再把所得的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則可以是（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高一課時練習）要得到函數(shù)的圖像，需（

）A．將函數(shù)圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）B．將函數(shù)圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）C．將函數(shù)圖像上所有點向左平移個單位長度D．將函數(shù)圖像上所有點向左平移個單位長度6．（2022·全國·高一課時練習）若函數(shù)在上的最小值和最大值分別為和4，則實數(shù)b的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2022·江蘇省如皋中學高一期末）將圖象上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到的圖象，再將圖象向左平移，得到的圖象，則的解析式為（

）A． B． C． D．8．（2022·陜西師大附中高一期中）函數(shù)，給出下列四個命題：①在區(qū)間上是減函數(shù)；②直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸；③函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移個單位得到；④若，則的值域是其中，正確的命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（2022·全國·高一課時練習）已知曲線：，：，則（

）A．把向左平移個單位長度，再將所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到B．把向左平移個單位長度，再將所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到C．把上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮傧蜃笃揭苽€單位長度，得到D．把上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，再向左平移個單位長度，得到10．（2022·全國·高一單元測試）為了得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（

）A．所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，然后所得圖象向右平移個單位長度B．所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，然后所得圖象向右平移個單位長度C．向右平移個單位長度，縱坐標不變，然后所有點的橫坐標縮短到原來的D．向右平移個單位長度，縱坐標不變，然后所有點的橫坐標縮短到原來的11．（2022·湖南·高一期末）已知直線是函數(shù)的一條對稱軸，則（

）A．點是函數(shù)的一個對稱中心B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)的圖像可由的圖像向左平移個單位長度得到D．函數(shù)與的圖像關于直線對稱12．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的3倍，縱坐標不變，再向左平移個單位長度，向上平移2個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則以下結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為1B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為C．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸D．是函數(shù)圖象的一個對稱中心三、填空題13．（2022·浙江·紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心高一階段練習）己知函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若實數(shù)，滿足，則的最小值為______．14．（2022·浙江杭州·高一期中）有下列說法:①函數(shù)的最小正周期是;②終邊在軸上的角的集合是;③把函數(shù)的圖像上所有的點向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖像;④函數(shù)在上是減函數(shù).其中，正確的說法是__________.（填序號）15．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則______．16．（2022·全國·高一專題練習）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．若是函數(shù)的一個零點，則的最小值是______.四、解答題17．（2022·陜西漢中·高一期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖．(1)求f（x）的表達式；(2)將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位長度得到曲線C，把C上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到函數(shù)g（x）的圖象．若關于x的方程在上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．18．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及其單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當，時，恒成立，求a的最大值.19．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的兩倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．20．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù)．(1)用“五點法”在給定的坐標系中，畫出函數(shù)在上的大致圖像，并寫出圖像的對稱中心；(2)先將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖像，求在上的值域．21．（2022·全國·高一課時練習）已知點，是函數(shù)圖象上的任意兩點，且角的終邊經(jīng)過點，當時，的最小值為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)圖象的對稱中心及在上的單調(diào)減區(qū)間．22．（2022·全國·高一課時練習）設，其中為正整數(shù)，.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增且在上不單調(diào).(1)求正整數(shù)的值；(2)在①函數(shù)的圖象向右平移個單位長度所得圖象對應的函數(shù)為奇函數(shù)，②函數(shù)在上的最小值為，③函數(shù)的圖象的一條對稱軸為，這三個條件中任選一個補充在下面橫線中，并完成解答.已知函數(shù)滿足___________，在銳角三角形ABC中，，且.試問：這樣的銳角三角形ABC是否存在？若存在，求角C；若不存在，請說明理由.5．6函數(shù)【知識點梳理】知識點一：用五點法作函數(shù)的圖象用“五點法”作的簡圖，主要是通過變量代換，設，由z取來求出相應的，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象．知識點二：函數(shù)中有關概念表示一個振動量時，A叫做振幅，叫做周期，叫做頻率，叫做相位，x=0時的相位稱為初相．知識點三：由得圖象通過變換得到的圖象1、振幅變換：，（且）的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點的縱坐標伸長（）或縮短（）到原來的倍得到的（橫坐標不變），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的圖象，再以軸為對稱軸翻折，稱為振幅．2、周期變換：函數(shù)，（且）的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短或伸長到原來的倍（縱坐標不變）．若則可用誘導公式將符號“提出”再作圖．決定了函數(shù)的周期．3、相位變換：函數(shù)，（其中）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左（當時）或向右（當時）平行移動個單位長度而得到．（用平移法注意講清方向：“左加右減”）．4、函數(shù)的圖象經(jīng)變換得到的圖象的兩種途徑知識點詮釋：一般地，函數(shù)，的圖象可以看作是用下面的方法得到的：（1）先把y=sinx的圖象上所有的點向左（）或右（）平行移動個單位；（2）再把所得各點的橫坐標縮短或伸長到原來的倍（縱坐標不變）；（3）再把所得各點的縱坐標伸長（）或縮短（）到原來的倍（橫坐標不變）．【題型歸納目錄】題型一：根據(jù)函數(shù)圖象求解析式題型二：同名函數(shù)圖象的變換題型三：異名函數(shù)圖象的變換題型四：變換的重合問題題型五：求圖象變換前、后的解析式題型六：由圖象變換研究函數(shù)的性質(zhì)題型七：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用題型八：用五點法作函數(shù)的圖象【典型例題】題型一：根據(jù)函數(shù)圖象求解析式例1．（2022·遼寧·鞍山一中高一期中）若的圖像如下圖所示，且和是最小的兩個正零點，若，則的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，，得，所以，由圖可知，在取得最大值，所以，得，又和是最小的兩個正零點，故，所以，又，所以的解析式為.故選：B例2．（2022·全國·高一）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圖象可知：，所以，解得：，將點代入解析式得：，所以，因為，所以，此時故選：A例3．（2022·河北·青龍滿族自治縣實驗中學高一期末）已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（

）A．y＝2sin B．y＝C．y＝2sin D．y＝2sin【答案】C【解析】由圖象可知A＝2，因為－＝＝，所以T＝，ω＝2.當x＝－時，2sin＝2，即sin＝1，又|φ|<，解得φ＝.故函數(shù)的解析式為y＝2sin.故選：C變式1．（2022·全國·高一專題練習）下圖是函數(shù)，的一部分圖像，此函數(shù)的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖像可知，最小正周期，所以可取，所以，又因為圖像經(jīng)過點，所以，所以，所以，所以，所以可取，此時函數(shù)的解析式為，故選：C.變式2．（2022·湖北·武漢市漢口北高級中學高一期末）函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，且，則其解析式為（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由圖象可知,,,周期,則,當時,,即,則,解得,取,得.故函數(shù)解析式為:.故選:A.【方法技巧與總結(jié)】確定函數(shù)（）的解析式的步驟（1）求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則，．（2）求，確定函數(shù)的周期，則．（3）求，常用方法有①代入法：把圖象上的一個已知點代入（此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上）或把圖象的最高點或最低點代入．②五點法：確定值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口．題型二：同名函數(shù)圖象的變換例4．（2022·江西·高一期中）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移3個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移3個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】B【解析】因為，所以要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度．對照四個選項，選B.故選：B例5．（2022·全國·高一專題練習）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點（

）A．先向右平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）B．先向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變）C．先向右平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）D．先向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變）【答案】A【解析】，將函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度得到，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍得到，故選：.例6．（2022·全國·高一專題練習）要得到函數(shù)的圖象，需（

）A．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）B．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變）C．將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位．D．將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位【答案】D【解析】將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到的圖象，故A錯誤；將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到的圖象，故B錯誤；將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位得到圖象，故C錯誤；D.將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位得到的圖象，故D正確.故選：D.變式3．（2022·陜西·榆林十二中高一階段練習）已知函數(shù)，為了得到函數(shù)的圖象，只需（

）A．先將函數(shù)圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再向右平移個單位B．先將函數(shù)圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，再向右平移個單位C．先將函數(shù)圖象向右平移個單位，再將點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼腄．先將函數(shù)圖象向右平移個單位，再將點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍【答案】B【解析】對于A：先將函數(shù)圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到，故A錯誤；對于B：先將函數(shù)圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到，再右移個單位，得到，即為，故B正確；對于C:先將函數(shù)圖象向右平移個單位，得到，再將點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模玫?，故C錯誤；對于D:先將函數(shù)圖象向右平移個單位，得到，再將點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到，故D錯誤；變式4．（2022·北京師大附中高一期中）要得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（

）A．向右平移個單位 B．向左平移個單位 C．向右平移個單位 D．向左平移個單位【答案】C【解析】把函數(shù)的圖象向右平移個單位得到把函數(shù)的圖象向左平移個單位得到把函數(shù)的圖象向右平移個單位得到，把函數(shù)的圖象向左平移個單位得到，故C正確；故選：C變式5．（2022·江蘇·高一專題練習）已知函數(shù)滿足條件：，且．（1）求的解析式；（2）由函數(shù)的圖象經(jīng)過適當?shù)淖儞Q可以得到的圖象．現(xiàn)提供以下兩種變換方案：①→→②→→請你選擇其中一種方案作答，并將變換過程敘述完整．【解析】（1）由，知函數(shù)的周期為π，所以，即.由，知函數(shù)的圖象關于對稱所以，即，所以.因為，所以，所以.（2）方案①：將的圖象向右平移個單位后，得到的圖象；再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變，得到的圖象方案②：將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變，得到的圖象；再將所得圖象向右平移個單位，得到得到的圖象.變式6．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)表示一個振動量．（1）指出函數(shù)的振幅、最小正周期、初相及頻率．（2）說明此函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到．【解析】（1）振幅，最小正周期，初相，頻率．（2）

將函數(shù)的圖象先向左平移個單位長度，再把圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），最后將圖象上各點的縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變），即得函數(shù)的圖象．【方法技巧與總結(jié)】對，，的三點說明（1）越大，函數(shù)圖象的最大值越大，最大值與是正比例關系．（2）越大，函數(shù)圖象的周期越小，越小，周期越大，周期與為反比例關系．（3）大于0時，函數(shù)圖象向左平移，小于0時，函數(shù)圖象向右平移，即“加左減右”．題型三：異名函數(shù)圖象的變換例7．（2022·四川巴中·高一期末）要得到函數(shù)的圖象只需將函數(shù)的圖象（

）A．先向右平移個單位長度，再向下平移2個單位長度B．先向左平移個單位長度，再向上平移2個單位長度C．先向右平移個單位長度，再向下平移2個單位長度D．先向左平移個單位長度，再向上平移2個單位長度【答案】B【解析】由函數(shù)，，所以先向左平移個單位長度，得的圖像，再向上平移2個單位長度，得的圖像，故選：B例8．（2022·全國·高一專題練習）要得到函數(shù)的圖象，只需的圖象A．向左平移個單位，再把各點的縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變）B．向左平移個單位，再把各點的縱坐標縮短到原來的倍（橫坐標不變）C．向左平移個單位，再把各點的縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變）D．向左平移個單位，再把各點的縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變）【答案】D【解析】，因此，將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再把各點的縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變），可得到函數(shù)的圖象，故選D.例9．（2022·北京八中高一期中）要得到的圖象，只要將的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【答案】C【解析】因為，所以要得到的圖象，只要將的圖象向左平移個單位，故選：C.【方法技巧與總結(jié)】變?yōu)橥僮儞Q．題型四：變換的重合問題例10．（2022·上?！じ咭黄谀┰O函數(shù)的圖象分別向左平移m(m>0)個單位，向右平移n(n>0>個單位，所得到的兩個圖象都與函數(shù)的圖象重合的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得函數(shù)，其圖象與的圖象重合，，，，故，，，當時，取得最小值為．將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)，其圖象與的圖象重合，，，，故，，當時，取得最小值為，的最小值為，故答案為．例11．（2022·湖南懷化·高一期末）如果若干個函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則稱這些函數(shù)為“同簇函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①；②；③；④．其中“同簇函數(shù)”的是

A．①② B．①④ C．②③ D．③④【答案】C【解析】對于①中的函數(shù)而言，，對于③中的函數(shù)而言，，由“同簇函數(shù)”的定義而知，互為“同簇函數(shù)”的若干個函數(shù)的振幅相等，將②中的函數(shù)向左平移個單位長度，得到的新函數(shù)解析式為，故選C.例12．（2022·全國·高一專題練習）若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】函數(shù)的圖象向右平移個單位得，依題意，，，解得，而，有，，所以的最小值為2．故選：C變式7．（2022·湖南·新邵縣第二中學高一開學考試）將函數(shù)的圖象向左平移個單位后與的圖象重合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知可得.故選：C.變式8．（2022·四川遂寧·高一期末）若把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得到的圖象與函數(shù)y＝cosωx的圖象重合，則ω的一個可能取值是（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到由可得，即當時，.故選：A變式9．（2022·湖北武漢·高一期中）的圖象向左平移個單位，恰與的圖象重合，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的圖像向左平移個單位后得，，與圖象重合，所以，解得：，當時，.故選：D變式10．（2022·全國·高一專題練習）已知函數(shù)（1）求的值；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象重合，求實數(shù)的最小值；（3）若時，的最小值為，求的最大值【解析】（1）；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到，與重合，所以，由m>0,所以當k=0時，；（3）當時，時，因為的最小值為，所以可以取到，即，所以，即的最大值為.變式11．（多選題）（2022·全國·高一課時練習）設函數(shù)的圖象為曲線，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．是曲線的一個對稱中心B．若，且，則的最小值為C．將曲線向右平移個單位長度，與曲線重合D．將曲線上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，與曲線重合【答案】BD【解析】函數(shù)的圖象為曲線，令，求得，為最小值，故的圖象關于直線對稱，故A錯誤；若，且，則的最小值為，故B正確；將曲線向右平移個單位長度，可得的圖象，故C錯誤；將曲線上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，可得的圖象，與曲線E重合，故D正確，故選：BD.題型五：求圖象變換前、后的解析式例13．（2022·全國·高一專題練習）已知的最大值為，將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍得到的函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題可知，的最大值為4，則，，且，解之得，.故，將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到.故選：B.例14．（2022·全國·高一專題練習）將函數(shù)的圖象先左移，再縱坐標不變，橫坐標縮為原來的，所得圖象的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】向左平移個單位，故變?yōu)椋v坐標不變，橫坐標縮為原來的，變?yōu)?故選：.例15．（2022·河南南陽·高一期中）將函數(shù)的圖象上各點向右平行移動個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標伸長為原來的4倍，則所得到的圖象的函數(shù)解析式是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意依次得到：，，.故選：A.變式12．（2022·湖南·株洲市南方中學高一階段練習）函數(shù)的部分函數(shù)圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，然后向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的解析式為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)，的部分函數(shù)圖象，，．再根據(jù)五點法作圖，，，．將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，可得的圖象．然后向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的解析式為，故選：D變式13．（2022·云南·祿勸彝族苗族自治縣第一中學高一期中）把函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半（縱坐標不變），然后把圖象向左平移個單位，則所得圖形對應的函數(shù)解析式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半（縱坐標不變），得到，把圖象向左平移個單位，得到故選：．變式14．（2022·西藏拉薩·高一期末）將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，再將所得圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)的一個解析式為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的圖像上每個點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到的函數(shù)解析式為，再向平左移個單位，得到函數(shù)，故選：B變式15．（2022·陜西渭南·高一期末）已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示；將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的6倍后，再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圖知：且，則，所以，故，則，由，則，，所以，，又，故，綜上，，所以.故選：A【方法技巧與總結(jié)】常規(guī)法主要有兩種：先平移后伸縮；先伸縮后平移．值得注意的是，對于三角函數(shù)圖象的平移變換問題，其平移變換規(guī)則是“左加、右減”，并且在變換過程中只變換自變量x，如果x的系數(shù)不是1，那么需把x的系數(shù)提取后再確定平移的單位和方向．題型六：由圖象變換研究函數(shù)的性質(zhì)例16．（2022·全國·高一單元測試）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋犊v坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，則的取值范圍為_______．【答案】【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得的圖象；再將圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，因為，所以，即，故答案為：例17．（2022·全國·高一）若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得圖象關于軸對稱，則的最小正值是________．【答案】【解析】將的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，該圖象關于y軸對稱，即為偶函數(shù)，因此，所以，故時得的最小正值為.故答案為：.例18．（2022·江西省萬載中學高一期中）將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)在上的值域為____________．【答案】【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，，故函數(shù)．，，，，，，，則函數(shù)在的值域為，故答案為：變式16．（2022·安徽·定遠縣育才學校高一期中（理））將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將圖象上每一點橫坐標縮短到原來的倍，所得圖象關于直線對稱，則的最小正值為__________.【答案】【解析】由題意得，的圖象向右平移個單位，變?yōu)?，再將圖象上每一點橫坐標縮短到原來的倍，所得解析式為，因為所得圖象關于直線對稱，所以，，當時，取得最小正值為.故答案為：變式17．（2022·廣西·防城港市防城中學高一階段練習）已知函數(shù)，將函數(shù)f（x）的圖象上所有點的橫坐標變成原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，且當x∈時，，則a的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題意可得，當時，，又，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得，所以.故答案為：.變式18．（2022·上海徐匯·高一期末）已知函數(shù)（其中為常數(shù)，且）有且僅有三個零點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因為函數(shù)（其中為常數(shù)，且）有且僅有三個零點，故必有一個零點為x=0，所以.所以問題等價于函數(shù)與直線y=1的圖像在上有3個交點，如圖所示：所以.故答案為：[2,4).變式19．（2022·河南新鄉(xiāng)·高一期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，給出以下說法：①將的圖象向左平移個單位長度可以得到的圖象；②的圖象關于直線x=1對稱；③的圖象關于點成中心對稱；④在上單調(diào)遞減.其中所有正確說法的編號是___________【答案】①②③【解析】令函數(shù)周期為T，觀察圖象得，即，則，又當時，取得最大值，于是有，因，則有，所以，因，即g(x)的圖象可以由y=f(x)的圖象向左平移個單位長度得到，①正確；由得函數(shù)圖象的對稱軸為，于是得直線x=1是g(x)圖象的一條對稱軸，②正確；由得，圖象的對稱中心為，則點是圖像的一個對稱中心，③正確；當時，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，④錯誤.故答案為：①②③變式20．（2022·全國·高一專題練習）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且的最小正周期為，將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖像對應的函數(shù)為，若，則__________.【答案】【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，則，因為的最小正周期為，所以，將的圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標不變)，所得圖像對應的函數(shù)為，又，所以，解得，所以所以.故答案為：變式21．（2022·全國·高一專題練習）把函數(shù)的圖象沿軸平移個單位，所得圖象關于原點對稱，則的最小值是__________．【答案】【解析】將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，可得，當時，；將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，可得，當時，.綜上所述，的最小值是.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)周期、最值、單調(diào)區(qū)間的方法步驟：①利用公式求周期；②根據(jù)自變量的范圍確定的范圍，根據(jù)相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時，根據(jù)所給關系式的特點，也可換元轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值；③根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)或的單調(diào)區(qū)間．題型七：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用例19．（2022·江蘇·常州高級中學高一期末）已知函數(shù)，其中(1)若的最小正周期為12，求滿足上的的集合；(2)若在上有且只有一個零點，求的取值范圍.【解析】(1)因為，且所以，所以，當，所以，即或所以或.所以的集合為或(2)，所以，從而，因為在上有且只有一個零點所以，解得，所以或.例20．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù).(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若關于的方程在上有解,求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)，最小正周期，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，解得的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)，所以，，所以的值域為.而，所以，即.例21．（2022·安徽亳州·高一期末）已知函數(shù)．(1)求圖像的對稱軸方程；(2)若存在，使得成立，求m的取值范圍．【解析】（1）．令，解得．故圖像的對稱軸方程為．（2）因為，所以．當，即時，取最大值，．因為存在，使得成立，所以，解得，故m的取值范圍為．變式22．（2022·山東·費縣實驗中學高一期末）已知函數(shù)．(1)若存在，，使得成立，則求的取值范圍；(2)將函數(shù)的圖象上每個點縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)的所有零點之和．【解析】（1），若存在，使得成立，則只需即可，，，當，即時，有最大值1，，（2）∵將函數(shù)的圖象上每個點縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象，，，，在上有4個零點，，根據(jù)對稱性有，，變式23．（2022·山東臨沂·高一期末）已知函數(shù).(1)求的周期；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再把圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域.【解析】（1），所以的周期；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，可得，再把圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，可得，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以在上的值域為.變式24．（2022·河北張家口·高一階段練習）已知.(1)求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到的圖象，求的對稱軸.【解析】（1），所以的最小正周期為.由，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到的圖象，所以所以函數(shù)的對稱軸為，解得變式25．（2022·山東·臨沂二十四中高一階段練習）已知函數(shù)，其圖象中相鄰的兩個對稱中心的距離為，且函數(shù)的圖象關于直線對稱；(1)求出的解析式；(2)將的圖象向左平移個單位長度，得到曲線，若方程在上有兩根，，求的值及的取值范圍.【解析】（1）因為函數(shù)的圖象相鄰的對稱中心之間的距離為，所以，即周期，所以，所以，又因為函數(shù)的圖象關于直線軸對稱，所以，，即，，因為，所以，所以函數(shù)的解析式為；（2）將的圖象向左平移個單位長度，得到曲線，所以，當時，，,當時，有最小值且關于對稱，因為方程在上有兩根，，所以，，即的取值范圍.【方法技巧與總結(jié)】研究函數(shù)性質(zhì)的基本策略（1）借助周期性：研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對稱性等問題時，可以先研究在一個周期內(nèi)的單調(diào)區(qū)間、對稱性，再利用周期性推廣到全體實數(shù)．（2）整體思想：研究當時的函數(shù)的值域時，應將看作一個整體，利用求出的范圍，再結(jié)合的圖象求值域．題型八：用五點法作函數(shù)的圖象例22．（2022·江西·蘆溪中學高一階段練習）已知函數(shù)．(1)用“五點作圖法”在給定的坐標系中，畫出函數(shù)在上的圖像，并寫出圖像的對稱中心；(2)先將函數(shù)的圖像向右平移個單位后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，若在上的值域為，求的取值范圍【解析】（1）0由函數(shù)圖像可知函數(shù)的對稱中心為：；（2）因為將函數(shù)的圖像向右平移個單位后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，所以，當時，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，即時，函數(shù)單調(diào)遞增，而，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞增，而，此時函數(shù)的值域為，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，即時，函數(shù)單調(diào)遞減，此時由，解得：，要想在上的值域為，只需，所以的取值范圍是.例23．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù).(1)試用“五點法”畫出它的圖象；列表：xy作圖：(2)求它的振幅、周期和初相.【解析】（1）列表如下：00200描點連線并向左右兩邊分別擴展，得到如圖所示的函數(shù)圖象：（2）由可知，振幅，初相為，最小正周期.例24．（2022·湖南·高一階段練習）已知函數(shù)．（1）用“五點作圖法”在給定的坐標系中，畫出函數(shù)在上的圖像，并寫出圖像的對稱中心；（2）先將函數(shù)的圖像向右平移個單位后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖像，若在上的值域為，求的取值范圍．【解析】（1），列表如下：012001在上的圖像如圖所示，其對稱中心為，．（2）將函數(shù)的圖像向右平移個單位后得到的圖像，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖像，∵，∴，結(jié)合正弦函數(shù)圖數(shù)可知，解得，∴的取值范圍是．變式26．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)（，）的一個對稱中心為，其圖像上相鄰兩個最高點間的距離為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）用“五點作圖法”在給定的坐標系中作出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像，并寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】（1）因為圖像上相鄰兩個最高點間的距離為所以所以又因為函數(shù)的一個對稱中心為所以所以所以又因為所以所以（2）列表作圖如下2由圖得：減區(qū)間為【方法技巧與總結(jié)】用“五點法”作的簡圖，主要是通過變量代換，設，由取來求出相應的，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象．【同步練習】一、單選題1．（2022·天津南開·高一期末）為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【答案】D【解析】因為，，且，所以由的圖像轉(zhuǎn)化為需要向右平移個單位.故選：D.2．（2022·浙江大學附屬中學高一期末）已知函數(shù)（）的圖像的相鄰的兩個對稱中心之間的距離為，則的值是（

）A． B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】因為函數(shù)（）的圖像的相鄰的兩個對稱中心之間的距離為，所以，所以，所以.故選：C.3．（2022·四川瀘州·高一期末）把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得圖象向右平移個單位長度，得到圖象對應的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變得到，將向右平移個單位長度得到；故選：B4．（2022·全國·高一專題練習）把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變，再把所得的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變可得函數(shù)的圖象，將該圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，所以，對于A中，當時，，故A錯誤；對于B中，當時，，故B錯誤；對于C中，當時，，故C錯誤；對于D中，當時，，故D正確．故選：D．5．（2022·全國·高一課時練習）要得到函數(shù)的圖像，需（

）A．將函數(shù)圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）B．將函數(shù)圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）C．將函數(shù)圖像上所有點向左平移個單位長度D．將函數(shù)圖像上所有點向左平移個單位長度【答案】D【解析】對于A，將圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到的圖像，錯誤；對于B，將圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到的圖像，錯誤；對于C，將圖像上所有點向左平移個單位長度后，得到的圖像，錯誤；對于D，將圖像上所有點向左平移個單位長度后，得到的圖像，正確.故選:D.6．（2022·全國·高一課時練習）若函數(shù)在上的最小值和最大值分別為和4，則實數(shù)b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，，設則所以函數(shù)在上的最小值和最大值分別為和4，當時，，所以要使函數(shù)的最小值和最大值分別為和4，由正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，，解得.故選：D7．（2022·江蘇省如皋中學高一期末）將圖象上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到的圖象，再將圖象向左平移，得到的圖象，則的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】將圖象上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到的圖象，再將圖象向左平移，得到的圖象，故選：A.8．（2022·陜西師大附中高一期中）函數(shù)，給出下列四個命題：①在區(qū)間上是減函數(shù)；②直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸；③函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移個單位得到；④若，則的值域是其中，正確的命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間：由，得，時，有在區(qū)間上是減函數(shù)，①正確；求函數(shù)的對稱軸：由，得，時，是函數(shù)圖像的一條對稱軸，②正確；由向左平移個單位后得到，③不正確；當時，，有，所以的值域為，④不正確．故正確的是①②，正確的命題個數(shù)是2個.故選：B二、多選題9．（2022·全國·高一課時練習）已知曲線：，：，則（

）A．把向左平移個單位長度，再將所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到B．把向左平移個單位長度，再將所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到C．把上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，再向左平移個單位長度，得到D．把上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，再向左平移個單位長度，得到【答案】BD【解析】變換方式一：將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，再將所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到曲線．變換方式二：因為，所以將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到的圖象，再向左平移個單位長度，得到曲線．故選:BD．10．（2022·全國·高一單元測試）為了得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（

）A．所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，然后所得圖象向右平移個單位長度B．所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，然后所得圖象向右平移個單位長度C．向右平移個單位長度，縱坐標不變，然后所有點的橫坐標縮短到原來的D．向右平移個單位長度，縱坐標不變，然后所有點的橫坐標縮短到原來的【答案】AC【解析】因為，所以將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，然后所得圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，或者將的圖象向右平移個單位長度，縱坐標不變，然后所有點的橫坐標縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象.故選：AC．11．（2022·湖南·高一期末）已知直線是函數(shù)的一條對稱軸，則（

）A．點是函數(shù)的一個對稱中心B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)的圖像可由的圖像向左平移個單位長度得到D．函數(shù)與的圖像關于直線對稱【答案】BD【解析】因為直線是函數(shù)的一條對稱軸，所以，，∴，故函數(shù)，因為，所以A錯誤；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B正確；函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖像，所以C錯誤；因為，所以D正確，故選BD.12．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的3倍，縱坐標不變，再向左平移個單位長度，向上平移2個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則以下結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為1B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為C．直線是函