備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)6.3利用遞推公式求通項(精講)(原卷版+解析)

6.3利用遞推公式求通項（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一累加法【例1-1】（2022·河南·靈寶市）已知數(shù)列滿足，且,求數(shù)列的通項公式；．【例1-2】（2022·江蘇江蘇·一模）已知數(shù)列，，且，，求數(shù)列的通項公式【一隅三反】1．(2022.廣東）數(shù)列滿足，，則=。2．(2022.廣東）在數(shù)列{an}中，若a1＝﹣2，an+1＝an+n?2n，則an＝。3．已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的一個通項公式為。考點二累乘法【例2】（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足．求數(shù)列的通項公式；【一隅三反】1.（2022·安徽安慶）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，.求的通項公式；2．（2022·全國·專題練習(xí)）設(shè)是首項為1的正項數(shù)列且，求數(shù)列的通項公式.4．（2021·全國·專題練習(xí)）設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且，求通項公式.=考點三公式法【例3-1】（2022·四川）數(shù)列的前項和，則它的通項公式是_______．【例3-2】（2022·安徽宿州）已知數(shù)列的前n項和為，且，則的通項公式為______．【例3-3】．（2022·北京交通大學(xué)附屬中學(xué)）已知數(shù)列滿足，則____.【例3-4】．（2022·山西太原·二模（文））已知數(shù)列的首項為1，前n項和為，且，則數(shù)列的通項公式___________.【一隅三反】1．（2022·湖北）數(shù)列中，已知，且（且），則此數(shù)列的通項公式為__________.2．（2022·全國·專題練習(xí)）（多選）在數(shù)列中，其前的和是，下面正確的是（

）A．若，則其通項公式B．若，則其通項公式C．若，則其通項公式D．若，，則其通項公式3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）在數(shù)列中，其前的和是，下面正確的是（

）A．若，，則B．若，則C．若，則D．若，且，則考點四構(gòu)造等差數(shù)列【例4-1】（2022·四川省綿陽南山中學(xué)）已知數(shù)列滿足，，，則滿足的n的最大取值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【例4-2】（2022·廣東肇慶·二模）已知是數(shù)列的前n項和，，，恒成立，則k最小為______．【例4-3】（2021·江西）已知數(shù)列滿足：，（，），則___________.【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則的通項公式_______________________.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式______．3．（2022·全國·課時練習(xí)）已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式；4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，．求數(shù)列的通項公式；5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項公式.考點五構(gòu)造等比數(shù)列【例5-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則________．【例5-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【例5-3】（2022·全國·課時練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為________．【一隅三反】1．（2022·福建?。┮阎獢?shù)列滿足，，則的前n項和為___.2．（2022·山西師范大學(xué)實驗中學(xué)）已知數(shù)列滿足，，則___________.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若正項數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式是_______．4．（2022·黑龍江·龍江縣第一中學(xué)）已知數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列的通項公式.6.3利用遞推公式求通項（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一累加法【例1-1】（2022·河南·靈寶市）已知數(shù)列滿足，且,求數(shù)列的通項公式；【答案】【解析】因為，所以，，…，所以．又，所以，所以．又，也符合上式，所以．【例1-2】（2022·江蘇江蘇·一模）已知數(shù)列，，且，，求數(shù)列的通項公式【答案】【解析】因為，所有，當(dāng)時，，，……，，相加得，所以，當(dāng)時，也符合上式，所以數(shù)列的通項公式【一隅三反】1．(2022.廣東）數(shù)列滿足，，則=?！敬鸢浮俊窘馕觥?，，則當(dāng)時，，。2．(2022.廣東）在數(shù)列{an}中，若a1＝﹣2，an+1＝an+n?2n，則an＝?！敬鸢浮浚╪﹣2）?2n【解析】∵an+1＝an+n?2n，∴an+1﹣an＝n?2n，且a1＝﹣2∴an﹣a1＝an﹣an﹣1+an﹣1﹣an﹣2+…+a2﹣a1＝（n﹣1）?2n﹣1+…+2?22+1?21，①∴2（an﹣a1）＝（n﹣1）?2n+（n﹣2）?2n﹣1+…+2?23+1?22，②①-①得﹣（an﹣a1）＝﹣（n﹣1）?2n+2n﹣1+2n﹣2+…+23+22+2＝﹣（n﹣1）?2n+﹣（n﹣1）?2n﹣2+2n，∴an﹣a1＝（n﹣1）?2n+2﹣2n，所以an＝（n﹣2）?2n3．已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的一個通項公式為?！敬鸢浮俊窘馕觥恳驗閯t由遞推公式可得將等式兩邊分別相加可得所以由對數(shù)運算可得考點二累乘法【例2】（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足．求數(shù)列的通項公式；【答案】；【解析】當(dāng)時，，則，即，，n＝1也滿足上式，故；【一隅三反】1.（2022·安徽安慶）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，.求的通項公式；【答案】，【解析】時，，解得.當(dāng)時，，故，所以，故.符合上式故的通項公式為，.2．（2022·全國·專題練習(xí)）設(shè)是首項為1的正項數(shù)列且，求數(shù)列的通項公式.【答案】或【解析】依題意，所以，當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，，所以，也符合上式.所以.綜上所述，或.4．（2021·全國·專題練習(xí)）設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且，求通項公式.=【答案】【解析】由，得，∵，∴，∴，∴，∴，又a1＝1滿足上式，∴.考點三公式法【例3-1】（2022·四川）數(shù)列的前項和，則它的通項公式是_______．【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，經(jīng)檢驗當(dāng)時不符合，所以，故答案為：【例3-2】（2022·安徽宿州）已知數(shù)列的前n項和為，且，則的通項公式為______．【答案】【解析】當(dāng)時，，得，當(dāng)時，由，得，所以，所以，所以，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，故答案為：【例3-3】．（2022·北京交通大學(xué)附屬中學(xué)）已知數(shù)列滿足，則____.【答案】【解析】因為，所以當(dāng)時，有，，得，當(dāng)時，也適合，故答案為：【例3-4】．（2022·山西太原·二模（文））已知數(shù)列的首項為1，前n項和為，且，則數(shù)列的通項公式___________.【答案】n【解析】∵，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，成立，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足上式，∴.故答案為：n【一隅三反】1．（2022·湖北）數(shù)列中，已知，且（且），則此數(shù)列的通項公式為__________.【答案】【解析】由得：（且）（且）即（且）數(shù)列是第二項起公比為的等比數(shù)列，（且）又不滿足上式，2．（2022·全國·專題練習(xí)）（多選）在數(shù)列中，其前的和是，下面正確的是（

）A．若，則其通項公式B．若，則其通項公式C．若，則其通項公式D．若，，則其通項公式【答案】BCD【解析】A：時，，當(dāng)時，，而，故錯誤；B：由題設(shè)，，，，，…，則，故正確；C：由題設(shè)，，而，則，即，故正確；D：假設(shè)成立，當(dāng)時，，即成立；若時，成立，則時，，此時，則也成立，故正確.故選：BCD3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）在數(shù)列中，其前的和是，下面正確的是（

）A．若，，則B．若，則C．若，則D．若，且，則【答案】ABC【解析】A：由題設(shè)，是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則，正確；B：由題設(shè)，，則，可得，即，正確；C：由題設(shè)，，則，正確；D：時有，整理得，而，故為常數(shù)列且，可得，錯誤；故選：ABC考點四構(gòu)造等差數(shù)列【例4-1】（2022·四川省綿陽南山中學(xué)）已知數(shù)列滿足，，，則滿足的n的最大取值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】解：因為，所以，所以，又，數(shù)列是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列．所以，所以，由，即，即，解得，因為為正整數(shù)，所以的最大值為；故選：C【例4-2】（2022·廣東肇慶·二模）已知是數(shù)列的前n項和，，，恒成立，則k最小為______．【答案】2【解析】由，得，當(dāng)時，得，，…，，則，即，則，當(dāng)n=1時符合上式，則，所以k最小為2．故答案為：.【例4-3】（2021·江西）已知數(shù)列滿足：，（，），則___________.【答案】【解析】由題設(shè)，，即，而，∴是首項、公差均為的等差數(shù)列，即，∴.故答案為：【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則的通項公式_______________________.【答案】【解析】由,得，則，由得，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，也適合上式，所以，故答案為：.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式______．【答案】【解析】∵，∴，即．又，，∴數(shù)列是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴數(shù)列的通項公式．故答案為：.3．（2022·全國·課時練習(xí)）已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式；【答案】．【解析】由，得：，∴，即數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，∴，得．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，．求數(shù)列的通項公式；【答案】【解析】因為，所以令，則，解得，對兩邊同時除以，得，又因為，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以；5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項公式.【答案】【解析】∵，∴，∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，又，∴，∴.考點五構(gòu)造等比數(shù)列【例5-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則________．【答案】【解析】將變形為,所以數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,所以,即公比為2的等比數(shù)列,所以,即.故答案為：【例5-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以，整理得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．所以，解得．故選：A【例5-3】（2022·全國·課時練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為________．【答案】【解析】∵，∴，即,∴,且，，則,又，∴數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列．∴．故答案為：.【一隅三反】1．（2022·福建?。┮阎獢?shù)列滿足，，則的前n項和為___.【答案】【解析】數(shù)列滿足，整理得：，所以，又，故是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以的前項和故答案為：2．（2022·山西師范大學(xué)實驗中學(xué)）已知數(shù)列滿足，，則___________.【答案】【解析】由已知可得，設(shè)，則，所以，，可得，所以，，且，由