隨機變量和分布函數(shù)

關(guān)于隨機變量和分布函數(shù)§3隨機變量的函數(shù)及其分布隨機變量的函數(shù)單個隨機變量的函數(shù)的分布隨機向量的函數(shù)的分布隨機向量的變換第2頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機變量的函數(shù)回顧隨機變量的定義：

（?，?）→（R，B）可測回顧Borel函數(shù)的定義：

（R，B）→（R，B）可測將二者的復(fù)合：

（?，?）（R，B）（R，B）第3頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機變量的函數(shù)問題1：為什么要求為Borel函數(shù)？問題2：分析學(xué)中也研究的函數(shù)，概率論中研究函數(shù)與其有什么不同？第4頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機變量的函數(shù)隨機變量函數(shù)的例子

例1：某保險公司開發(fā)了某種保險產(chǎn)品，每個保單有效期一年，保費為500元，發(fā)生理賠時的理賠額均為10000元，假設(shè)共賣出該產(chǎn)品800個保單，記理賠的總次數(shù)為，則保險公司在該保險產(chǎn)品上獲得的利潤為：

例2：人們在進行一項決策時通常先對某一重要相關(guān)變量進行預(yù)測，然后基于這一預(yù)測作出決策，當(dāng)預(yù)測不準(zhǔn)時就會造成決策損失，損失大小是實際預(yù)測誤差的函數(shù)的函數(shù)，比如，在許多情況下，人們?nèi)∵@一函數(shù)為二次函數(shù)：

例3：在統(tǒng)計物理中，分子運動的速度為

，則其動能為第5頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機變量的函數(shù)隨機向量：

（?，?）→（R，B）可測n元Borel函數(shù)：

（R，B）→（R，B）可測將二者的復(fù)合：

（?，?）（R，B）（R，B）第6頁,共36頁，星期六，2024年，5月§3隨機變量的函數(shù)及其分布隨機變量的函數(shù)單個隨機變量的函數(shù)的分布隨機向量的函數(shù)的分布隨機向量的變換第7頁,共36頁，星期六，2024年，5月單個隨機變量的函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)問題：由一個隨機變量的分布確定其函數(shù)的分布，對于一般的隨機變量而言，就是要確定其分布函數(shù)。一般方法：其中為Borel集，進而的分布函數(shù)由下式確定第8頁,共36頁，星期六，2024年，5月單個隨機變量的函數(shù)的分布

離散情形

第9頁,共36頁，星期六，2024年，5月例子：高爾頓版、二叉樹與證券價格高爾頓板

由英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓（Galton）設(shè)計，自板上端放入一小球,任其自由落下.在下落過程中,當(dāng)小球碰到釘子時,從左邊落下與從右邊落下的機會相等.碰到下一排釘子

也是如此.自板上端放入n個小球,

觀察小球落下后呈現(xiàn)曲線并統(tǒng)計

小球落入各個格子的頻率.

第10頁,共36頁，星期六，2024年，5月例子：高爾頓版、二叉樹與證券價格從高爾頓板看金融中的二叉樹模型第11頁,共36頁，星期六，2024年，5月單個隨機變量的函數(shù)的分布連續(xù)型情形第12頁,共36頁，星期六，2024年，5月連續(xù)型情形的例子例1（線性函數(shù)）練習(xí)：第13頁,共36頁，星期六，2024年，5月連續(xù)型情形的例子例2（對數(shù)正態(tài)）注：在現(xiàn)代金融中通常用對數(shù)正態(tài)描述資產(chǎn)的價格，也就是假設(shè)對數(shù)價格服從正態(tài)分布第14頁,共36頁，星期六，2024年，5月非單調(diào)函數(shù)情形例3：推廣——第15頁,共36頁，星期六，2024年，5月§3隨機變量的函數(shù)及其分布隨機變量的函數(shù)單個隨機變量的函數(shù)的分布隨機向量的函數(shù)的分布隨機向量的變換第16頁,共36頁，星期六，2024年，5月非單調(diào)函數(shù)情形先看一個例子：求的密度函數(shù)一般公式證明留作練習(xí)第17頁,共36頁，星期六，2024年，5月§3隨機變量的函數(shù)及其分布隨機變量的函數(shù)單個隨機變量的函數(shù)的分布隨機向量的函數(shù)的分布隨機向量的變換第18頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的函數(shù)的分布一般隨機變量情形離散情形練習(xí)（離散卷積公式）：進一步：如何推廣到非獨立的情形？取整數(shù)的情形？第19頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的函數(shù)的分布探究問題一：一般地兩個獨立的同類分布隨機變量之和的分布還屬于這一類分布，則稱這一分布類具有再生性。探討下列分布的再生性：1.二項分布：2.泊松分布：3.幾何分布：說明幾何分布為什么沒有具有再生性？將幾何分布類拓寬到哪個分布類可以使其具有再生性？第20頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的函數(shù)的分布探究問題2第21頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的函數(shù)的分布連續(xù)型情形第22頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的函數(shù)的分布例（和的分布）——卷積公式思考：1.非獨立情形；2.與離散卷積公式對照練習(xí)：求商的分布第23頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的函數(shù)的分布探究問題31.2.討論指數(shù)分布、分布的再生性；3.歸納指數(shù)分布、埃爾朗分布、、分布之間的關(guān)系。第24頁,共36頁，星期六，2024年，5月例子：極值的分布多個隨機變量的極大值、極小值、極差極大值的分布極小值的分布第25頁,共36頁，星期六，2024年，5月例子：極值的分布練習(xí)：在連續(xù)型的情形求極值的密度函數(shù)探究問題1：探究問題2：第26頁,共36頁，星期六，2024年，5月§3隨機變量的函數(shù)及其分布隨機變量的函數(shù)單個隨機變量的函數(shù)的分布隨機向量的函數(shù)的分布隨機向量的變換第27頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的變換隨機向量：

（?，?）→（R，B）可測n元Borel函數(shù)：

（R，B）→（R，B）可測將二者的復(fù)合：

（?，?）（R，B）（R，B）第28頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的變換記變換：第29頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的變換求分布第30頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的變換一一對應(yīng)的變換第31頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的變換變換的導(dǎo)數(shù)反變換的導(dǎo)數(shù)第32頁,共36頁，星期六，2024年，5月隨機向量的變換積分變換隨機向量變化的密度函數(shù)第33頁,共36頁，