高中數(shù)學(xué)必修一第二章《一元二次函數(shù)函數(shù)、方程和不等式》解答題提高訓(xùn)練 (28)(含答案解析)

必修一第二章《一元二次函數(shù)函數(shù)、方程和不等式》解答題專題提高

訓(xùn)練(28)

1.為了持續(xù)推進(jìn)“喜迎生物多樣性，相約美麗春城”計劃，在市中心廣場旁的一塊矩形空地上進(jìn)行

綠化.如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍(斜線部分)均種滿寬度相同的鮮

花.已知兩塊綠草坪的面積均為200平方米.若草坪四周及中間的寬度均為2米，求整個綠化面積

(包括鮮花)的最小值.

2.己知函數(shù)仆)=加+(1-。)*+。-2.

(1)當(dāng)4=1時，求不等式犯20的解集；

工一3

(2)求關(guān)于x的不等式—1(aeR)的解集.

3.已知函數(shù)/'(》)=52.

(1)若不等式/(6>0解集為{X|-2<X<3},求不等式—+奴+2〃<0的解集；

(2)己知"1,c=3,若命題“Vxe,總有〃x)Z0，，是假命題，求實數(shù)。的取值范圍.

4.1.設(shè)實數(shù)a,b,c均為正實數(shù)

(1)證明：a3+b3>a2b+ab2

(2)當(dāng)a+6+c=l時，證明：-1)(-!--1)^8

abc

5.已知：/(x)=(tz-2)x2+2(A-2)X-4,

(1)當(dāng)xeR時，恒有〃x)<0,求〃的取值范圍；

(2)當(dāng)xw［l,3］時，恒有〃x)<0,求”的取值范圍；

(3)當(dāng)x叩,3］時,恰有e一7成立，求a,m的值.

6.對平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的任意兩點(a,。)，(c/)作如下定義：如果￡>方，那么稱點(4。)

是點(c,d)的“上位點”，同時稱點(c,d)是點(〃力)的“下位點”.

(1)試寫出點(3,5)的一個“上位點”坐標(biāo)和一個“下位點”坐標(biāo)：

(2)設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且點(a㈤是點(c,d)的“上位點”，請判斷點P(a+c,b+d)是否既是

點(a,。)的“下位點”，又是點(G")的“上位點”.如果是，請證明；如果不是，請說明理由.

7.設(shè)y=/(X)=3爾+2bx+c,若a+〃+c=OJ(O)/⑴>0.

(1)求證：方程/。)=。有實根；

(2)求2的取值范圍；

a

(3)設(shè)/⑶與x軸交于4B兩點，求線段48長度的取值范圍.

8.已知1函數(shù)曠=Q2一辦+](?！??).

(1)當(dāng)a=-l時，解不等式y(tǒng)<0；

(2)關(guān)于％的不等式y(tǒng)<2x—1.

9.解關(guān)于x的不等式以2-(“+l)x+l<0

10.已知關(guān)于的x不等式ax?+(a-l)x-l>0.

(1)若此不等式的解集為求實數(shù)〃的值；

(2)若awR,解這個關(guān)于x的不等式；

(3)Vxe[l,3],(ar-l)(x+l)>(2a+l)x-a恒成立，求a的取值范圍.

11.某企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費對某產(chǎn)品進(jìn)行促銷，在一年內(nèi)預(yù)計銷售量。(萬件)與廣告費x

(萬元)之間的關(guān)系式為。=>(犬之0).已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元，每生產(chǎn)1萬件

此產(chǎn)品仍需再投入32萬元，若該企業(yè)產(chǎn)能足夠，生產(chǎn)的產(chǎn)品均能售出，且每件銷售價為“年平均每

件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之和.

(1)試寫出年利潤卬(萬元)與年廣告費x(萬元)的關(guān)系式；

(2)當(dāng)年廣告費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？最大年利潤為多少？

3

12.已知函數(shù)/*)=2?￥2+以一二.

8

(1)若/(一1)=1,求。的值；

(2)當(dāng)。取什么值時，/(工)<0對一切實數(shù)x成立？

13.己知。>0,b>0f判斷G+〃與恭+美的大小，并給出證明.

14.(1)己矢口。>人，ab>0求證：—</；

fab

(2)已知。>Z?>0,Ovcvd,求證：—>—.

ca

15.求下列不等式的解集：

(1)(x+3)(x-2)>0

(2)|3x-2|<l

16.1.已知集合A=｛目-次2+如+”>。｝=(一1,3),集合8=｛出2-5-2a2<0｝.

（1）求常數(shù)〃八〃的值；

（2）設(shè)。:xeA,q:xeB,且p是g的充分不必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

3

17.求丫=1-2》-二的取值范圍.

x

18.已知a,b,c,d是全不相等的正數(shù)，求證：（ab+cd）（ac+bd）>4abcd.

19.已知二次函數(shù)y^ax2+bx-a+2.

（1）若關(guān)于x的不等式aK+以-〃+2>0的解集是{x[-1<r<3},求實數(shù)a*的值；

（2）若6=2,解關(guān)于x的不等式以2+汝-a+2>0.

20.某呼吸機生產(chǎn)企業(yè)計劃投資固定成本500萬元引進(jìn)先進(jìn)設(shè)備，用于生產(chǎn)救治新冠肺炎患者的無

創(chuàng)呼吸機，需要投入成本y（單位：萬元）與年產(chǎn)量x（單位：百臺）的函數(shù)關(guān)系式為

5x2+150x,0<A:<20

y=6400，”八“.據(jù)以往出口市場價格，每臺呼吸機的售價為3萬元，且依據(jù)國外疫

301x+------1700,x>20

.x

情情況，預(yù)測該年度生產(chǎn)的無創(chuàng)呼吸機能全部售完.

（1）求年利潤，（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量X的函數(shù)解析式（利潤=銷售額-投入成本固定成本）；

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少時，年利潤最大？并求出最大年利潤.

21.某中學(xué)生活區(qū)擬建一個游泳池，池的深度一定，現(xiàn)有兩個方案：

方案一：游泳池的平面圖形為矩形且面積為200m二池的四周墻壁建造價格為每米400元，中間一

條隔壁（與矩形的一邊所在直線平行）建造價格為每米100元，池底建造價格為每平方米60元（池

壁厚度忽略不計）；

方案二：游泳池的平面圖形為圓且面積為647tm2,池的四周墻壁建造價格為每米500元，中間一條

隔壁（圓的直徑）建造價格為每米100元，池底建造價格為每平方米60元（池壁厚度忽略不計）.

（1）若采用方案一，游泳池的兩邊分別設(shè)計為多少時，可使總造價最低？

（2）以總造價最低為決策依據(jù)，應(yīng)該選擇哪個方案？

22.已知函數(shù)/1（力=%2-2以+6,其中。>0,/?>0,/（-1）=5.

（1）求之9+12的最小值；

ah

（2）當(dāng)xe[l,+8）時，〃x）>l恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

23.設(shè)p：實數(shù)x滿足f<0（a>0）,q-實數(shù)x滿足3〈x<6.

（1）若a=l,且p,g都為真命題，求x的取值范圍;

(2)若q是2的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.

24.(1)若關(guān)于x的不等式V-奴>〃一3的解集為R,求實數(shù)a的取值范圍;

(2)設(shè)x>y>0,且個=2,若不等式恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

25.(1)若對于一切實數(shù)x,/nr?-爾-1<0恒成立，求實數(shù)機的取值范圍；

⑵若對于1W3,機+5恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

26.已知關(guān)于x的不等式(依-二-5)。-4)>0(ZwR),設(shè)Z為整數(shù)集.

(1)求不等式的解集A；

(2)對于上述集合4,設(shè)3=AnZ,探究B能否為有限集？若能，求出使8元素個數(shù)最少時的女

的所有取值，及此時的集合8,若不能，請說明理由.

1Q

27.(1)己知a>0,b>0,a+b—1,求-+7的最小值；

ab

(2)在直徑為"的圓內(nèi)接矩形中，問這個矩形的長、寬各為多少時，它的面積最大，最大面積是

多少？

28.若二次函數(shù)/。)=加+法+(?滿足/(2)=/(-1)=-1,且函數(shù)/(x)的最大值為8.

(1)求函數(shù)函X)的解析式

(2)當(dāng)xe[2,汨時，函數(shù).f(x)的最小值為-8,求實數(shù)機的值.

29.高一年級張三同學(xué)在學(xué)習(xí)基本不等式過程中，遇到了以下問題：”已知x>0,y>0,x+y=\,

求%;的最小值",張三同學(xué)的解答過程如下:

x>0,y>0,根據(jù)基本不等式可得：\=x+y>2y/xy,~,

x>0,y>0,根據(jù)基本不等式可得：

.?.1+222應(yīng),，=三2四-2=4拒，，l+2的最小值為4夜.

xy，孫xy

(1)指出張三同學(xué)解答過程的錯誤之處并給出正確的解答過程；

1o

(2)求函數(shù)=；+xe(O,l)的最小值.

2x1—x

30.解關(guān)于x的不等式：ax2-(2a+l)x+2<0

【答案與解析】

1.最小值為424+80#平方米

【解析】

求出整個綠化面的長為2x+6米，寬為迎+4米，然后由面積公式以及基本不等式求解最值即可.

X

解：設(shè)草坪的寬為X米，長為y米，

由題意可得，孫=200,則>=出,

X

因為草坪四周及中間的寬度均為2米，

則整個綠化面的長為2x+6米，寬為迎+4米，

X

所以綠化面積為(2x+6)(—+4)=424+8x+—..424+2,/sx—=424+80x/6,

XX\x

當(dāng)且僅當(dāng)8乂=幽，即x=5"取等號：

X

所以整個綠化面積的最小值為424+8()面平方米.

2.

⑴[-1,1]u(3~)

(2)答案見解析

【解析】

(1)先求出/(力=/一1,所求不等式等價于1(二1)(：一1)0一3)2°,利用高次不等式的解法即

[X一3

可求解；

(2)原不等式即o^+O-Gx-lvO,當(dāng)。=0時x-1<0,當(dāng)。工0時，原不等式可化為

(a￥+l)(x-l)<0,分別討論〃>0,-l<a<0,a=-l,解不等式即可求解.

(1)

當(dāng)a=l時，/(x)=x2-l,則不等式以立20即三二U。，

x~3x~3

等價于!(、+1)(18-3”。

]x-3w0

f3x

所以原不等式解集為[-川53，心).

(2)

不等式/(X)<4-1等價于ax2+(l-a)x+t7—2<Cf-l,

即ax2+(l-?)x-l<0,

當(dāng)a=0時，原不等式可化為x-l<0,解得：x<\,不等式解集為(—,1),

當(dāng)〃彳0時，原不等式可化為(依+1)(工-1)<0,

方程(or+l)(x—l)=0的兩根為：-：，1，

當(dāng)〃>0時，一此時不等式解集為

當(dāng)avO時，

若-'<1即"T時，不等式解集為(7,-L]U(1，+8),

a\a)

當(dāng)」=1即a=—l時，不等式解集為(Y,l)U(l,y)，

a

當(dāng)一！>1即一1<“<0時，不等式解集為

綜上所述：當(dāng)。=0時，原不等式解集為(―」)，

當(dāng)a>0時，不等式解集為,：，1),

當(dāng)—1<4<0時，不等式解集為(-8,1)=(-},+8),

當(dāng)a=-1時，不等式解集為(ro,l)U(l,??)，

當(dāng)"-1時，不等式解集為(YO,-￡|U(1,+8),

3.

⑵(4+8)

【解析】

(1)由不等式的解集可得/(x)=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系建立等式求出a、b、c的關(guān)系，

代入所求不等式求解即可得答案.

(2)寫出該命題的否命題，由題意，該命題的否命題為真命題，從而分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值的求解

即可得答案.

(1)

解：關(guān)于x的不等式/(x)>0的解集為{x|-2<x<3},

所以方程ar?_加+。=0的兩根為一,23,且。<0,

，rb

—2+3=—

所以,"，解得b=a,c=-6a.

-2x3=-

.a

所以不等式cf+必；+26<0可轉(zhuǎn)化為+o￥+2〃vO,

12

BP6x2-x-2<0?解得一

23

所以不等式52+以+2/7<0的解集為b-3<》<'|}.

(2)

解：命題“Vxe,總有〃x)NO”是假命題，

所以它的否定命題“大€1,使得/(x)<0”是真命題,

又a=l,c=3,所以不等式/(%)<0為X，—fer+3V0,

1]3

即天￡-,1,使得。八+三成立，

_2Jx

因為y=x+。在xeR,[單調(diào)遞減，所以G=4,

所以人>4,

所以實數(shù)人的取值范圍是(4+8).

4.

(1)證明過程見解析

(2)證明過程見解析

【解析】

(1)作差法比較兩個式子的大??；(2)將a+b+c=l代入不等式左邊變形，再利用基本不等式進(jìn)行

證明.

(1)

22

43+//-(/8+/)=(/一4〃)+僅3-=a(Q-Z7)+/?2(人一〃)

=(a_/?)(/_b?)=(a-b)2(q+b)20

當(dāng)且僅當(dāng)?？跁r，等號成立，證畢

(2)

因為…小所以—一產(chǎn)產(chǎn)一產(chǎn)經(jīng)一歸等)(*(會

因為實數(shù)小b,。均為正實數(shù)，所以b+cN2j互，a+c>l4ac,a+b>2y[ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=c=

;時，等號成立，此時d-i)4-i)d-i)=("￡](小丫”正半2：匣=8,證畢

3abcyabc)abc

5.

(1)-2<a<2

34

(2)a<—

15

(3)a=3,/w=6

【解析】

fa—2Vo

(1)當(dāng)a=2時，/(x)=T<0恒成立，當(dāng)。力2時，解不等式公<。即可求解；

(2)當(dāng)a=2時，/(x)=T<0對于xe[1.3卜恒成立，當(dāng)“二2時，求出f(x)的對稱軸，由單調(diào)性可

得[阿<0或，3)<0,解不等式組即可求解；

(3)由/(64蛆-7可得(〃-2)—+(2"4-m)尤+34()對于光41,3卜恒成立，可得1,3是對應(yīng)方程

的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理列方程即可求解.

(1)

當(dāng)a=2時，/(x)=Y<0恒成立，所以a=2符合題意，

a—2<0

當(dāng)"2時，若〃力<0可得人,.2,,。、/八八，解得：-2<a<2,

7A=4(a-2)-4(rz-2)x(-4)<0

綜上所述。的取值范圍為-2<。02.

(2)

當(dāng)a=2時，/(x)=-4<0對于工41,3]恒成立,

當(dāng)。w2時，f(x)=(a—2)x2+2(a-2)x-4對稱軸為x=—1,

a-2<0Q-2>034

所以或《/⑶-4<。,解得："2或2<〃<及

/(l)=3tz-10<0

綜上所述。的取值范圍為。＜]34.

(3)

由f[x)<tnx-lnJ:M(6f-2)x2+2(tz-2)x-4</nr-7,

即(a-2)x2+(2tz-4-/H)x+3<0,對于x￡[1,31恒成立,

所以方程（。-2）工2+（2〃-4-m）工+3=0的兩根分別為1,3,

a-2>0

a=3

所以1+3=冬2/7———4—，解得:

2-am=6

1x3=^-

所以。，〃?的值分別為3,6.

6.

（1）一個“上位點”坐標(biāo)為（3,4）,一個“下位點”坐標(biāo)為（3,7）（答案不唯一，正確即可）

（2）是，證明見解析

【解析】

（1）由已知"上位點''和"下位點''的定義，可得出點（3,5）的一個“上位點”的坐標(biāo)為（3,4）,-

個“下位點''的坐標(biāo)為（3,7）；

（2）由點（。力）是點9"）的"上位點''得出6c,然后利用作差法得出與的大小關(guān)系，

b+dbd

結(jié)合“下位點”和"上位點”的定義可得出結(jié)論.

（1）

解：由題意，可知點（3,5）的一個“上位點”坐標(biāo)為（3,4）,一個“下位點”坐標(biāo)為（3,7）.（答案不唯一，

正確即可）

（2）

解：點P（a+c,6+4）既是點（。力）的下位點，又是點（c/）的“上位點”，證明如下:

;點（。,6）是點（G”）的“上位點”,

?ac

??一>,

hd

又。，b,c,d均為正數(shù)，

ad>be,

..a+ca_b(^a+c)-a(b+d^_he-ad

?~b+d~~b~b(b+d)~b(b+d)<，

???P(a+G"d)是點(a,b)的“下位點”，

..a+cc_d(a+c)-/(?+()_ad-be〉.

*b+ddd(b+d)d(b+d)，

???P(a+c,"d)是點(c,d)的“上位點”,

綜上，P(a+c,A+d)既是點(〃,?的嚇位點“，又是點(c,d)的“上位點”.

7.

(1)證明見詳解

(2)-2<-<-1

【解析】

(1)由a+O+c=O,/(0)/(1)>0可得。3—。)>0,分析可得。工0,。工0,故

A=4/?2—12ac=4[(tv——)2+——]>0,即得證；

24

(2)由〃+"c=O,/(O)/⑴>0可得(一。一。)(2。+勿>0,兩邊同時除以即得解；

(3)設(shè)方程/。)=。的兩個不等的實根為對馬，故

22+

\AB\=\x{—x21=^/(%(+x2)—4XjX2=A(-,)~(―)+~?結(jié)合一￡(一2,-1),以及二次函數(shù)性質(zhì)，即

V9。3a3a

得解

(1)

由題意，/(0)/(1)>0

故C(3Q+2/?+C)>0

而a+b+c=O,h=-a-c

c[3a+2(~?-c)+c]>00c(a-c)>0

若4=0,則-C?〉。不成立;

故awO,cwO,對方程/（工）=。

△=*12仁4(一-2g4(/+c2y)=4[("笠+寧]>。

故方程/。)=。有實根

(2)

由Q+Z?+C=O,c=-a-b

=c(3a+21?+c)=(-a-b)(2a+b)>0

bh

兩邊同時除以/,故(1+±)(2+上)<0

aa

(3)

由(1),方程/。)=。滿足A〉0,故有兩個不等的實根不，W

設(shè)/(%)與x軸交于兩點，不妨設(shè)440),8(%,0)

?_2bc

由30r2+2Zzr+c=()可得，%+匕=一丁，菁/2=丁

3a3a

故|AB|=|玉-%|=｛(1+*2)2-43々=J暮一手=J*與+：(」)+：

V9a3aV9a3a3

h[A~~~44

令，=一/￡(-2,-1),故|A8|=J——+—1+—

aV933

4443

^y=-r+-r+-,為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為/=-彳

9332

故/二一|時，Win=；」人回疝小日；

42

，=一1或，=一2時，>2<-,|AB|nwx<-

故|A8|ep?,|),即線段AB長度的取值范圍為「§,|)

8.

(1)｛尤|》>山5或x<匕苴｝

22

(2)答案見解析

【解析】

(D直接解不等式-W+x+lvO,即得解；

(2)化簡為(依-2)(x-l)<0,再對。分類討論得解.

(1)

當(dāng)。=一1時，不等式y(tǒng)<?；癁橐籮?+x+i<(),.?.J-x-i>(),

由方程￡―工一]=0,得石=1,X[

二不等式的解集為｛幻X>與叵或X<35｝

(2)

由不等式y(tǒng)<2工一1,得ox?—(。+2)工+2<0,

即(辦一2)(%—1)<0.

2

方程(ar-2)(x-l)=0的兩根是玉=1,%①工°)

a

22

①當(dāng)4<0時，一<0,不等式的解為X<-或X>1；

aa

②當(dāng)4=0時，不等式的解為X>1；

7?

③當(dāng)0vav2時，1<—不等式的解為1<工<一；

aa

2

④當(dāng)。=2時，1=：,不等式無解；

⑤當(dāng)。>2時，1>-,不等式的解為±<xvl

aa

綜上：①當(dāng)。<0時，不等式的解為何工<：或x>l｝；

②當(dāng)。=0時，不等式的解為何1>1｝；

2

③當(dāng)0<av2時，不等式的解為｛x|l<x<z｝；

④當(dāng)a=2時，，不等式解集為0；

⑤當(dāng)a>2時，不等式的解為｛x|：<x<l｝.

9.見解析

【解析】

將不等式變形為(奴-然后分a>0,a=0,0<?<1,a=\,”>1分別求解，即可得

到答案.

不等式ar?-(a+l)x+l<0,變形為(以一1)(尤-1)<(),

①當(dāng)。=0時，不等式的解集為｛x|x>l｝；

②當(dāng)a<0時，不等式的解集為｛x|x<L或x>"；

a

③當(dāng)4>0時，

若0<。<1時，->1,不等式的解集為｛x[l<x<U；

aa

若。=1時，一=1,不等式的解集為0;

a

若。>1時，0不等式的解集為｛x[L<x<l｝.

aa

綜上所述，當(dāng)a=0時，不等式的解集為｛x|x>D;

當(dāng)。<0時，不等式的解集為｛x|x<，或x>l｝；

a

當(dāng)0<a<l時，不等式的解集為｛x[l<x<2｝；

a

當(dāng)。=1時，不等式的解集為0；

當(dāng)。>1時，不等式的解集為｛xp<x<l｝.

a

10.

(1)a=-2

(2)答案見解析

小心近+4、

(3)(——-——,+oo)

【解析】

(1)由題意可得-1,-g為方程(?-l)(x+D=0(a<0)的兩根，由代入法可得所求值：

(2)討論。=0,a>0,a<0,又分4=—1,a<-\,—IVQVO時，由二次不等式的解法，即可得

到所求解集；

(3)由題意可得a，-x+l)>2x+l在掇!k3恒成立，可得〃,2x+l一六"？)在掇?3恒成立，

x~-x+lX--x+1

利用換元法求分式型函數(shù)最值，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性可得/(，)="2+：在公立時取最小值，此

4f2

時專工取最大值，可得〃的范圍.

廠-x+1

(1)

不等式0￥2+(4-1?-1>0化簡為(公-1)。+1)>。的解集為｛幻-1<工<-；),

可得—1，為方程(公-1)a+1)=03<0)的兩根，

可得，=-"即a=-2；

a2

(2)

當(dāng)a=0時，原不等式即為x+lvO,解得xv-l,解集為“1工<-1｝；

當(dāng)a>0時，原不等式化為(x-3(x+l)>0,解集為｛x[x>，或x<-l｝；

aa

當(dāng)。<0時,原不等式化為(x」)(x+l)<o,

a

①若。=—1,可得(x+l)2<0,解集為0；

②若,可得解集為{x|-l<xv'};

aa

③若一-<-1,可得解集為

aa

(3)

Vxe[1,3],(tzx-l)(x+1)>(2a+l)x-。恒成立，

等價為心2f+l)>2x+l在啜!k3恒成立，

1a

由于X"—X+l=(X)~H>0恒成立，

24

可得〃>2x+l.26+；)在掇/3恒成立，

x~-x+1X-x+l

2*+；)2f

令f=x+g￡372

則

2,2W-x+l/-2'+?r-2+工

44/

令/（r）=r-2+5，,由對勾函數(shù)可知，=等《|,|

且當(dāng)3<r<也時，/⑺單調(diào)遞減，當(dāng)且時，/⑺單調(diào)遞增,

2222

且"立時/Q）取最小值，

2

2f22t、金人

此時產(chǎn)方*77T取得最大值，代入戶得也上3

t-ZfH--/—ZHt-2/+—2

44，4J

>2a+4

即〃的取值范圍是（更受,+?））.

,QOY,45

“?⑴w=Fr"g°）；⑵當(dāng)年廣告費為7萬元時，企業(yè)利潤最大，最大值為42萬

兀.

【解析】

（1）由題意可得，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為（32Q+3）萬元，得到每萬件銷售價，進(jìn)而得到年銷售輸入,

即求解年利潤的表達(dá)式；

（2）令x+l=f（f21）,則卬=50-［；+手），利用基本不等式求解最值，即可得到結(jié)論.

(1)由題意可得，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(32Q+3)萬元，每萬件銷售價為：x150%+50%,

:?年銷售收入為產(chǎn)歲xl50%+版50%)Q=|(32Q+3)+gx,

31

；?年利潤W=1(32Q+3)+：x—(32Q+3)—x

-X2+98X+35

=；(32Q+3-x)=(x>0).

2(%+1)

(2)令x+l=r(fNl),則

W="1)2+98(1)+35

2t

Vf>l,—>2.E^=8,即W442,

2tV2t

t3?

當(dāng)且僅當(dāng):=三，即r=8時，W有最大值42,止匕時x=7.

2t

即當(dāng)年廣告費為7萬元時，企業(yè)利潤最大，最大值為42萬元.

12.

(1)?=—

8

(2)(-3,0]

【解析】

(1)直接由=1列方程求出a的值，

(2)由題意可得當(dāng)a=0時，不等式恒成立，再由可求出。的取值范圍

[A<0

(1)

311

由/(-1)=1,得2a-a-?=l,解得a=2,

88

(2)

3

當(dāng)。=0時，/(?=-弓<0對一切實數(shù)不成立，滿足題意，

O

當(dāng)。工0時、因為/。)<0對一切實數(shù)X成立，

x<0

a<0z、

所以Az即2/c(3、,解得—3<a<0，

[A<0a-4x26fxl--l<0A

綜上〃的取值范圍為(-3,0]

13.4+赤4為+，=，證明見解析

【解析】

利用作差法判斷-(&+如與。的大小關(guān)系即可求解.

f++%_函+國=成甘心忙b亞=匕以上二帥

4a)'7yla-4by[ab

—\fb^

\[ab

因為Q>0,b>0,所以6+〃>0,(G—括)>0,4ab>0,

所以吐㈣懺而2”當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時等號成立，

4ab

所以G+/4恭+j=(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號).

14.(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(D利用不等式的性質(zhì)即可證明.

(2)利用(1)的結(jié)論，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.

(1)因為而>0,所以二>0.

ab

又a>b,所以。?二>6」，

abab

即-9因此一

baab

(2)因為0<c<d,根據(jù)(1)的結(jié)論，得1>=>0.

ca

又a>b>0,則>>6」，即色>9.

caca

15.

(1){x|x>2或％<-3}

(2)|x||<x<l!

【解析】

(1)應(yīng)用一元二次不等式的解法求解集.

(2)應(yīng)用公式法求絕對值不等式的解集.

(1)

方程(x+3)(x—2)=0的根為一3,2,

/.(x+3)(x-2)>0,可彳導(dǎo)x>2或xv-3,

不等式的解集為｛x|x>2或x<-3｝；

(2)

不等式內(nèi)-2|<1=-1<3》-2<1,解得g<x<l,

不等式解集為｛x[g<x<“.

16.

(1)m=2,n=3

(2)(-oo,-3](JI，+oo^

【解析】

(1)把不等式的解集轉(zhuǎn)化為方程的兩個根，用韋達(dá)定理求解；(2)先求集合8,注意對〃進(jìn)行分

類討論，利用p是q的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系，求解。的取值范圍

(1)

因為人=｛乂一工2+/nr+〃>0｝=(-1,3)，所以-1和3是方程-/+〃=0的兩個根，由韋達(dá)定理得：

-]+3=m,-1x3=-〃，解得：m=29n=3

(2)

x2-ax-2a2<0,解得：當(dāng)。>。時，集合3=(-a,2a),當(dāng)a<0時，集合8=(”一a),當(dāng)a=0時，

解集為0

因為〃是q的充分不必要條件，P：XEA,qixeB

當(dāng)a=0時，B=0,此時〃是4的必要不充分條件，不滿足題意，舍去

/\f-a——13

當(dāng)4>0時，需要滿足(T,3)u(-a,2a),此時2a>3，解得：心萬

/、f2a?-1

當(dāng)。<0時，需要滿足(T3)u(2a,—a),此時，解得：a<-3

I-tzN3

綜上：實數(shù)a的取值范圍為(f，-3]U+8)

17.卜8,1-26]U[1+2指,+8).

【解析】

利用均值不等式求當(dāng)Q0時2x+33與當(dāng)x〈0時(一2幻+(-33)的最小值，即可計算作答.

XX

依題意，原函數(shù)中x取值范圍是冗<0或x>0,

當(dāng)了>0時，y=l-2x--|=l-^2x+-|j,

則當(dāng)x>0時，2》+3224區(qū)3=2癡，當(dāng)且僅當(dāng)2X=3,即》=逅時取等號，于是得yVl-2卡，

xVxx2

當(dāng)x<0時，y=1+(-2%)+(--)>2.l(-2x)-(--)=2^6,當(dāng)且僅當(dāng)一2'=-』，即x=-好時取等號，

xVXx2

于是得yN1+2后,

綜上，y=l-2x—的取值范圍為(-1-2"]叩+2瘋”).

18.證明見解析.

【解析】

利用均值不等式可得M+c"±27^瓦萬>0,碇+川22/而>0兩式相乘，再判斷等號成立的條件,

即得證

'：a,b,c,d都是正數(shù)，

ab+cd>2\labcd>0,等號成立的條件為帥".

ac+bd>2y[abcd>0,等號成立的條件為。c=bd.

兩式相乘得("+cd)(ac+々/)24"cd,等號成立的條件為〃=4且匕=。.

又a,b,c,d全不相等，故(a〃+cd)(ac+〃d)>4"cd.

19.

(1)。=-1/=2

(2)答案見解析

【解析】

(1)根據(jù)不等式的解與對應(yīng)方程根的關(guān)系可求實數(shù)的值.

(2)就。<0,。=。,0<4<1,。=1,。>1分類討論后可得不等式的解.

(1)

若ax2+bx-a+2>0的解集是{x|-l<x<3},

則x=-l,x=3是a^+bx-。+2=0的根，

由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得2-a.

----二—lxJv

a

a<0

解得〃=-1,〃=2.

(2)

(2)b=2,ax2+bx-a+2=ax1+2x-a+2=(x+l)(ox-a+2),

當(dāng)a=0時，解得x>-1,

當(dāng)a<0時，可化為，(x+l)(x-q^2)<0

解得，

a

當(dāng)a>0時，可化為(X+1)[-'/)>0,

①0<興1時，—<-1,解不等式得?或大>-1,

aa

a—2

②〃=1時，幺」=-1,解不等式得，xw-1,

a

/7一'n-D

③。>1時，—>-1,解不等式得，XV—1或

aa

綜上，當(dāng)。=0時，解集{小>-1},

a-2

當(dāng)a<0時，解集為

當(dāng)0<4<1時，解集為｛x|x>-l或X<---｝,

a

a=\時，解集為1｝,

時，解集為｛X|X<-1或X>巴工｝

a

20.

-+150x-500,0<A:<20

(1)t=<

1200-x+^2,x>20

(2)8000臺，1040萬元

【解析】

(1)分別求出04x<20和x220時的解析式，即可得到年利潤/(單位：萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x的

函數(shù)解析式；

(2)分別求出04x<20和x220時的最大值，比較大小，即可得到最大年利潤.

(1)

當(dāng)0Kx<20時，t=300x-(5x2+150x)-500=-5x2+150x-500；

當(dāng)Q20時，f=300x-(301x+%^j+1700-500=1200-[x+^^).

-5X2+150X-500,0<X<20

所以f=，?…f6400

1200-1x+——,^>20

(2)

當(dāng)0Wx<20時，t=-5X2+150X-500=-5(x-15)2+625,

故當(dāng)x=15時，f取得最大值，為625,

當(dāng)x220時，因為x+手22/萬?哼=160,

當(dāng)且僅當(dāng)工=上吆，即％=80時等號成立，

x

所以，=1200-(x+^^卜1200-160=1040,

即當(dāng)x=80時，f取得最大值，為1040,

綜上所述，當(dāng)年產(chǎn)量為8000臺時，年利潤最大，且最大年利潤為1040萬元.

21.

(1)一邊長為三'Hi,另一邊長為15m

(2)選擇方案一

【解析】

(1)設(shè)矩形的一邊長為加，則另一邊長為2"m,計算E=12000+900x+幽竺,

根據(jù)均值不

XX

等式得到答案.

(2)計算方案二的造價為其，38777.6>36000,比較大小得到答案.

(1)

設(shè)方案一中矩形的一邊長為,】，則另一邊長為3m.

X

不妨設(shè)中間的隔壁與矩形的長為Q的邊平行，并設(shè)此時的總造價為E元,

則￡=200X60+(x+剪卜2X400+100x=12000+900%+160000

>12000+2,900x-16()()()()=36000，

X

當(dāng)且僅當(dāng)900》=坦媽，即x=￥時等號成立.

x3

所以當(dāng)游泳池的一邊長為4手0m,另一邊長為15m時，方案一的總造價最低，為36000元.

(2)

設(shè)方案二的總造價為S,元，則s2=64兀X60+J—x2nx500+J—X2X100

V兀V7C

=1600+1184071x38777.6>36000

所以應(yīng)該選擇方案一，且游泳池的一邊長為7m,另一邊長為15八

22.

(1)8

(2)a<\

【解析】

92192

(1)根據(jù)條件得2々+。=4,再由—+工=:(一+戶(2。+"展開利用基本不等式求解最值即可;

ab4ab

24-3

(2)由(1)可得2a＜r士二，當(dāng)xwll,+8)時恒成立，令f=x+l€[2,+oo),所以

x+1

2a＜^—1)2-3=f+--2,再由基本不等式求最值即可.

tt

(1)

函數(shù)/(x)=%2-2or+Z;,/(-1)=5,所以/(%)=l+2a+h=5,

整理得：2。+6=4,

在…921z92、小,、I,29b.19b4”、。

所以—I—=—(—I—)(2a+b)=—(20H---1)>—(20+2.------)=8,

ab4ab4ab4\ab

9b4a39?

當(dāng)且僅當(dāng)一,即。==,6=1時，己+丁取倒最小值8；

ab2ab

(2)

由(1)知，/(x)=x2-2ox+4-2tz,所以〃力>1恒成立,

V-24-3

可得--2奴+4-2々>1,整理得當(dāng)X￡[l,+oo)時恒成立，

x+i

令f=x+le[2,+8),所以+3=/+4_2,

tt

又因為f+；-2221-2=2,當(dāng)且僅當(dāng)f=2時，f+；-2取得最小值2,

所以為＜2,得。＜1

23.

(1)[3,4)

⑵I，+8)

【解析】

(1)當(dāng)。=1時，解一元二次不等V-3x-4<0所得解集再與3<x<6求交集即可；

(2)先求出/-3以-4/v0(a>0)的解集，再根據(jù)4：34x<6是其真子集即可求解.

(1)

(1)若。=1,則P：實數(shù)x滿足f-3x-4<0,

解得：-1<x<4.^:3<x<6.

f-l<x<4

VP,q都為真命題，???，,，解得：3<x<4.

[3<x<6

，工的取值范圍為[3,4).

(2)

(2)由P：實數(shù)工滿足f一3以一4/<0(〃>o),BP(x-4a)(x+a)<0(a>0)

解得：-a<x<4a.

若夕是，的充分不必要條件，則｛x|3Wx<6｝是｛x|-a<x<4a｝的真子集，

~ci<3

3

，(644a,解得：aN—.

八2

a>0

???實數(shù)”的取值范圍是右—1.

24.(1)(-6,2)；(2)(7,4].

【解析】

(1)根據(jù)題意得到A=〃+4(a-3)<0,解得答案.

(2)化簡得到“4」匚，根據(jù)題意得到」^-Ex-yH」一，利用均值不等式得到答案.

x-yx-yx-y

(1)由題意知關(guān)于X的不等式d-辦-“+3>0的解集為R,

所以八=4+4（。-3）<0,BPa2+4a-12<0,

所以-6<a<2,即實數(shù)a的取值范圍是(-6,2).

(2)由題意知不等式f-ar+yZ+ayzO恒成立，即％2+/Na(x-y)恒成立.

因為x>y>0,a<^^,因為=+2。'="_)，)+/24