數學最常用的基本數學方法

數學最常用的基本數學方法數學中常用的基本方法方法不過是指人們?yōu)榱诉_到某種目標而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作規(guī)則或模式。通過長期實踐，人們發(fā)現(xiàn)了許多應用數學思想的手段、途徑或程序。當同一手段、途徑或程序被重復運用，并且都達到了預期目的時，便構成了數學方法。數學方法是一種利用數學工具進行科學研究的方法，即用數學語言表達事物的狀態(tài)、關系和過程，經過推導、運算與分析，以形成解釋、判斷和預測的方法。數學方法具有以下三個基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是邏輯的嚴密性及結論的確定性；三是應用的普遍性和可操作性。在科學技術研究中，數學方法發(fā)揮著舉足輕重的作用：一是提供簡潔確定的形式化語言；二是提供數量分析及計算的方法；三是提供邏輯推理的工具。現(xiàn)代科學技術，特別是電子計算機的發(fā)展，與數學方法的地位和作用相輔相成。在中學數學中常用的基本數學方法大致可分為以下三類：（1）邏輯學中的方法。例如分析法（包括逆證法）、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法（需要分類討論）等。這些方法既遵循邏輯學的基本規(guī)律和法則，又因應用于數學而具有數學的特色。（2）數學中的特殊方法。例如配方法、待定系數法、加減法、公式法、換元法（也稱為中間變量法）、拆項補項法（含有添加輔助元素以實現(xiàn)化簡的數學思想）、因式分解等方法，以及平行移動法、翻折法等。這些方法在解決某些數學問題時起著重要作用，對某一類問題也都是一種通用的解決途徑。高中數學中的函數函數簡介：在數學領域，函數是一種關系，使一個集合中的每個元素對應到另一個（可能相同的）集合中的唯一元素。自變量是與函數相關聯(lián)的變量，該變量中的任何值都能在另一變量中找到對應的固定值。函數是兩組元素一一對應的規(guī)則，第一組中的每個元素在第二組中只有唯一的對應元素。函數的概念對于數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的?！瘮档亩x：設x和y是兩個變量，D是實數集的某個子集，若對于D中的每個值x，變量y按照一定的法則有一個確定的值y與之對應，稱變量y為變量x的函數，記作y=f(x).數集D稱為函數的定義域，由函數對應法則或實際問題的要求來確定。相應的函數值的全體稱為函數的值域，對應法則和定義域是函數的兩個要素。functions數學中的一種對應關系，是從非空集合A到實數集B的對應。簡單地說，甲隨著乙變，甲就是乙的函數。精確地說，設X是一個非空集合，Y是非空數集，f是個對應法則，若對X中的每個x，按對應法則f，使Y中存在唯一的一個元素y與之對應，就稱對應法則f是X上的一個函數，記作y＝f（x），稱X為函數f（x）的定義域，集合{yy=f（x），x∈X}為其值域（值域是Y的子集），x叫做自變量，y叫做因變量，習慣上也說y是x的函數。若先定義映射的概念，可以簡單定義函數為：定義在非空數集之間的映射稱為函數。例1：y＝sinxX＝［0，2π］，Y＝［－1，1］，它給出了一個函數關系。當然，把Y改為Y1＝（a，b），a＜b為任意實數，仍然是一個函數關系。其深度y與一岸邊點O到測量點的距離x之間的對應關系呈曲線，這代表一個函數，定義域為［0，b］。以上3例展示了函數的三種表示法：公式法，表格法和圖像法。一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量X與Y，并且對于X的每一個確定的值，Y都有為一得值與其對應，那么我們就說X是自變量，Y是X的函數。如果當X=A時Y=B，那么B叫做當自變量的值為A時的函數值。復合函數有3個變量，y是u的函數，y＝ψ（u），u是x的函數，u＝f（x），往往能形成鏈：y通過中間變量u構成了x的函數：x→u→y，這要看定義域：設ψ的定義域為U。f的值域為U，當U*U時，稱f與ψ構成一個復合函數，例如y＝lgsinx，x∈（0，π）。此時sinx＞0，lgsinx有意義。但如若規(guī)定x∈（－π，0），此時sinx＜0，lgsinx無意義，就成不了復合函數。立體幾何學習中的圖形觀立體幾何的離不開圖形，圖形是一種語言，圖形能幫我們直觀地感受空間線面的位置關系，培養(yǎng)空間．所以在立體幾何的中，我們要樹立圖形觀，通過作圖、讀圖、用圖、造圖、拼圖、變圖培養(yǎng)我們的．一、作圖作圖是立體幾何學習中的基本功，對培養(yǎng)空間概念也有積極的意義，而且在作圖時還要用到許多空間線面的關系．所以作圖是解決立體幾何問題的第一步，作好圖有利于問題的解決．例1已知正方體中，點P、E、F分別是棱AB、BC、的中點（如圖1)．作出過點P、E、F三點的正方體的截面．分析：作圖是學習中的一個弱點，作多面體的截面又是作圖中的難點．看到這樣的題目不知所云．有的連結P、E、F得三角形以為就是所求的截面．其實，作截面就是找兩個平面的交線，找交線只要找到交線上的兩點即可．觀察所給的條件（如圖2)，發(fā)現(xiàn)PE就是一條交線．又因為平面ABCD／／平面，由面面平行的性質可得，截面和面的交線一定和PE平行．而F是的中點，故取的中點Q，則FQ也是一條交線．再延長FQ和的延長線交于一點M，由公理3，點M在平面和平面的交線上，連PM交于點K高中政治，則QK和KP又是兩條交線．同理可以找到FR和RE兩條交線（如圖2).因此，六邊形PERFQK就是所求的截面．二、讀圖圖形中往往包含著深刻的意義，對圖形理解的程度影響著我們的正確解題，所以讀懂圖形是解決問題的重要一環(huán)．例2如圖3，在棱長為a的正方體中，EF是棱AB上的一條線段，且EF＝b＜a，若Q是上的定點，P在上滑動，則四面體PQEF的體積（）．（A)是變量且有最大值（B）是變量且有最小值（C）是變量無最大最小值（D）是常量分析：此題的解決需要我們仔細分析圖形的特點．這個圖形有很多不確定因素，線段EF的位置不定，點P在滑動，但在這一系列的變化中是否可以發(fā)現(xiàn)其中的穩(wěn)定因素？求四面體的體積要具備哪些條件？仔細觀察圖形，應該以哪個面為底面？觀察，我們發(fā)現(xiàn)它的形狀位置是要變化的，但是底邊EF是定值，且P到EF的距離也是定值，故它的面積是定值．再發(fā)現(xiàn)點Q到面PEF的距離也是定值．因此，四面體PQEF的體積是定值．我們沒有一點計算，對圖形的分析幫助我們解決了問題．三、用圖在立體幾何的學習中，我們會遇到許多似是而非的結論．要證明它我們一時無法完成，這時我們可考慮通過構造一個特殊的圖形來推翻結論，這樣的圖形就是反例圖形．若我們的.心中有這樣的反例圖形，那就可以幫助我們迅速作出判斷．例3判斷下面的命題是否正確：底面是正三角形且相鄰兩側面所成的二面角都相等的三棱椎是正三棱錐．分析：這是一個學生很容易判斷錯誤的問題．大家認為該命題正確，其實是錯誤的，但大家一時舉不出例子來加以說明．問題的關鍵是二面角相等很難處理．我們是否可以考慮用一個正三棱錐通過變形得到？如圖4，設正三棱錐的側面等腰三角形PAB的頂角是，底角是，作的平分線，交PA于E，連接EC．可以證明是等腰三角形，所以AB＝BE．同理EC＝AB．那么，△EBC是正三角形，從而就是滿足題設的三棱錐，但不是正三棱錐．四、造圖在立體幾何的學習中，我們可以根據題目的特征，精心構造一個相應的特殊幾何模型，將陌生復雜的問題轉化為熟悉簡單的問題．例4設a、b、c是兩兩異面的三條直線，已知，且d是a、b的公垂線，如果，那么c與d的位置關系是（）．（A）相交（B）平行（C）異面（D）異面或平行分析：判斷空間直線的位置關系，最佳是構造恰當的幾何圖形，它具有直觀和易于判斷的優(yōu)點．根據本題的特點，可以考慮構造正方體，如圖5，在正方體中，令AB＝a，BC＝d，．當c為直線時，c與d平行；當c為直線時，c與d異面，故選D．五、拼圖空間基本圖形由點、線、面構成，而一些特殊的圖形也可以通過基本圖形拼接得到．在拼圖的過程中，我們會發(fā)現(xiàn)一些變和不變的東西，從中感悟出這個圖形的特點，找出解決待求解問題的方法．例5給出任意的一塊三角形紙片，要求剪拼成一個直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請設計一種方案，并加以簡要的說明．把一個直三棱柱展開后可得到甲、乙兩部分，甲內部的三角形和乙是全等的，甲的三角形外是寬相等的三個矩形．現(xiàn)在的問題是能否把乙分為三部分，補在甲的三個角上正好成為一個三角形（如圖丙）？因為甲中三角形外是寬相等的矩形，所以三角形的頂點應該在原三角形的三條角平分線上，又由于面積要相等，所以甲中的三角形的頂點應該在原三角形的內心和頂點的連線段的中點上（如圖?。催@樣的設計，剪開后可以折成一個直三棱柱．六、變圖幾何圖形千變萬化，在不斷的變化中展示幾何圖形的魅力，在不斷的變化中培養(yǎng)我們的能力，在有意無意的變化中開闊我們的思路．例6已知在三棱錐中，PA＝a，AB＝AC＝2a，，求三棱錐的體積．分析：此題的解決方法很多，但切割是不錯的選擇．思路1設D為AB的中點，依題意有：，，所以有：此解法實際上是把三棱錐一分為二，三棱錐B-PAD的底面是直角三角形，高就是BD，從而大大簡化了計算．這種分割的方法也是立體幾何解題中的一種重要策略．它化復雜為簡單，化未知為已知．思路2從點A出發(fā)的三條棱兩兩夾角為，故可補形為正四面體．如圖，延長AP至S，使PA＝PS，連SB、SC，于是四面體S-ABC為邊長等于2a的正四面體，而且從上述的六個方面，我們可以看到，在立體幾何的學習中如果我們能正確了解圖形,合理利用