高中數(shù)學(xué)必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題(高難度) (63)(含答案解析)

必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題（高難度）（63）

一、選擇題（本大題共1小題，共5.0分）

1.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。一公當(dāng)（71。1中，尸是正方形4。。遇1內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，M是8

的中點(diǎn)，且ZPB4=NPMD,則當(dāng)APAD的面積最大時(shí)，|P川的值為（）

A柜B.辿C.越D.這

3333

二、填空題（本大題共17小題，共85.0分）

2.如圖，實(shí)心鐵制幾何體AEFCB。由一個(gè)直三棱柱與一個(gè)三棱錐構(gòu)成，己知

BC=EF=ncm,AE=2cm,BE=CF=4cm,AD=7cm,且4EJLEF,

AD，底面4E凡某工廠要將其鑄成一個(gè)實(shí)心鐵球，假設(shè)在鑄球過(guò)程中原材料

將損耗20%,則鑄得的鐵球的半徑為cm.

3.在正方形ABC。中，AB=2,E、尸分別是BC、CD的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿4E、AF及E尸把這個(gè)正方

形折成一個(gè)空間圖形，使B、C、。三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為4,那么，這個(gè)空間圖形的外接

球的表面積是

4.如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，這時(shí)圓柱、圓錐、

球的表面積之比為_(kāi)_________________

5.正四棱錐的高與底面邊長(zhǎng)相等且體積為“以底面中心為球心，經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)的球

的表面積為.

6.在三棱錐S-ABC中，SA_L平面ABC,^ABC=120°,SA=45/2.若三棱錐S-ABC外接球的

體積為等，則直線SC與平面4BC所成角的余弦值為

7.如圖，在四棱錐P-4BCD中，四邊形A8C。為矩形，平面P4O_1平

面48C0.若4BPC=90°,PB=V2,PC=2,則四棱錐P-ABC。的

體積的最大值為.

8.已知圓錐的軸截面是等邊三角形，該圓錐的體積為黑則該圓錐的側(cè)面積等于——

9.如圖所示,在長(zhǎng)方體ABC。一A'B'C'D'中，CO=CC'=2,BC=1,

E為線段AB上一點(diǎn)，若。。與平面。EC所成角的正切值為點(diǎn)則

AD'EC的面積為.

10.半徑為2的球。內(nèi)內(nèi)置一圓錐，則此圓錐的體積最大值為

11.古代中國(guó)，建筑工匠們非常注重建筑中體現(xiàn)數(shù)學(xué)美，方形和圓形的應(yīng)用比比皆是，在唐、宋時(shí)

期的單檐建筑中較多存在的比例關(guān)系，這是當(dāng)時(shí)工匠們著意設(shè)計(jì)的常見(jiàn)比例，今天，A4紙

之所以流行的重要原因之一，就是它的長(zhǎng)與寬的比無(wú)限接近聲:1，我們稱這種滿足e:1的矩形

為“優(yōu)美”矩形.現(xiàn)有一長(zhǎng)方體4BCD-4出6。1，ADT=2V6,AC=2瓜,4G=26，則

此長(zhǎng)方體的表面六個(gè)矩形中，“優(yōu)美”矩形的個(gè)數(shù)為.

12.已知球的直徑SC=2.A,B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=y[2,^ASC=ABSC=45°,則棱錐S-

48c的體積為.

13.已知三棱錐4一3。。中，4。=力。=8。=8。=3,48=。。=2,則該三棱錐的外接球的表面

積是?

14.己知三棱錐S-4BC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上,SC是球。的直徑,SC=4，AC=BC=2VL

AB=2,則三棱錐S-ABC的體積為.

15.一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且________,由這些面所圍成的多面

體叫做棱柱.

16.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為曾的球面上，底面A8C是邊長(zhǎng)為舊的等邊三角

16

形，則三棱錐P-ABC體積的最大值為

17.在空間四邊形ABC。中,MM分別是BC,44的中點(diǎn)，則2MN與AB+CD

的大小關(guān)系是

18.已知一個(gè)正方體ABCD-4/iGDi的內(nèi)切圓柱的上底面位于4B1GD1內(nèi)，正方體4BCD-

41B1C15的中心為E,F為Ci5的中點(diǎn).若點(diǎn)。在該正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且OEJ.CF,則點(diǎn)。

的軌跡所在的平面截該內(nèi)切圓柱所得到的橢圓的離心率為.

三、解答題(本大題共U小題，共132.0分)

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCC為直角梯形，AD//BC,ABAD=90°,PAJ■底面

ABCD,且4。=2,AB=BC=1,M為PD的中點(diǎn).

(1)求證：CM〃平面PAB；

(2)求證：CD1平面PAC.

20.如圖，在四棱錐P-48C。中，P4I5??ABCD,AD//BC,AD1CO,且40=CD,/.ABC=45°.

(1)證明：AC1PB.

(2)若4。=V2PA，試在棱尸B上確定一點(diǎn)M,使0M與平面尸48所成角的正弦值為當(dāng)i.

21.如圖，在四棱錐P-ABCD中，P4J_平面ABCD,AD//BC,AD1CD,且40=CD,AABC=45°.

(1)證明：AC1PB.

(2)若4D=&PA，試在棱PB上確定一點(diǎn)"，使0M與平面PA8所成角的正弦值為鬻.

22.在四棱錐P-ABC。中，E是側(cè)棱PC的中點(diǎn)，AP4B是正三角形，四邊形A8CD是直角梯形,

S.AD//BC,BC1CD,AABC=60°,BC=2AD=2,PC=3.

⑴求證：DE〃平面P4B；

(2)求直線BE與平面PAB所成角的正弦值.

23.如圖，在三棱錐P-ABC中，PAIAB,PAIBC,AB1BC,PA=AB=BC=2,。為線段AC

的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).

(1)求證：平面BDE平面PAC.

(2)當(dāng)PA〃平面時(shí)，求三棱錐E-BCD的體積.

24.如圖，PA平面ABC,PA=V2,AB=1,BC=遮，AC=2.

B

(1)求證：BC1平面PAB；

(2)求二面角B-PA-C的大小.

25.如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABC￡＞是菱形，且AC與8。交于點(diǎn)0,P4_1平面488,48=4。,

M是尸C上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：OM_LBD；

(2)若PB1P。，三棱錐P-4B0的體積為立，求四棱錐P-4BCD的表面積.

26.如圖(1),六邊形ABCOEF是由等腰梯形ADE尸和直角梯形ABC。拼接而成，且

ZBADZADC9(),=AF=EF=ED=2,AC=CD=4,沿AO進(jìn)行翻折，得到的圖

形如圖(2)所示，且NAEC5M).

圖(1)圖(2)

(I)求證：CD_L平面ADEF；

(11)求證：點(diǎn)&。,8,尸不在同一平面內(nèi)；

(HI)求翻折后所得多面體A8CDEF的體積.

27.四棱柱4BCC-AB'C'D'的底面是菱形，44'1平面488,AB=2,/.BAD=60。，點(diǎn)P是側(cè)棱

CC'上的點(diǎn)AP1PB

(1)證明：API平面「85

(2)若尸是CC'的中點(diǎn)，求四棱錐P-ADD%'的體積.

28.如圖，直三棱柱ABC-A/】Ci的側(cè)棱長(zhǎng)為1,AB=AC=1,BC=V2.。是BC的中點(diǎn).

AiC.

B

(1)求證:AD1平面BiBCCi；

(2)求三棱錐區(qū)一AOCi的體積.

29.平面四邊形ABC。中，NDAB:;,AD=AB,△BCD為等邊三角形.現(xiàn)將△力BC沿B。翻折得

到四面體P—8C0,點(diǎn)E,F,G,H分別為P2,PD,CD,C8的中點(diǎn).

D

A

B6H

(I)求證：四邊形EFGH為矩形；

(口)當(dāng)平面PBO_L平面C8。時(shí)，求直線BG與平面PBC所成角的正弦值.

四、多空題(本大題共1小題，共4.0分)

30.如圖所示，在長(zhǎng)方體4BC0-AiBiGDi中，AB=BC=1,AAr=2,

P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則。P的最小值為_(kāi)(1)_；ZP+PG的最小值

為_(kāi)(2)一

【答案與解析】

1.答案：D

解析：

本題考查了與圓有關(guān)軌跡問(wèn)題，考查了立體幾何與平面解析幾何相互結(jié)合，屬于中檔題.

利用三角形相似求得|P*=2|P0|,建立直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化成平面解析幾何找出P點(diǎn)的軌跡方程，

軌跡與“5的交點(diǎn)即為P點(diǎn)的理想位置，然后求解.

解：由題意可知，XABP八DMP,所以|P4|=2|PO|,

以所在直線為x軸，的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，

則4(-1,0),0(1,0),設(shè)P(x,y),所以(x+l)2+y2=4Q-l)2+4y2,

即0-$2+、2=字所以點(diǎn)P的軌跡是以(|,0)為圓心，半徑長(zhǎng)為狗圓(在面ADD出內(nèi)的部分).

所以圓與。01相交時(shí)△PAD的面積最大，此時(shí)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,竽)，

所以|P川的最大值為竽.

2.答案：V3

解析：

本題考查簡(jiǎn)單幾何體的體積，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

由題設(shè)鑄得的鐵球的半徑為r(cm),計(jì)算求解即可得到答案.

解：設(shè)鑄得的鐵球的半徑為r(cm),

依題意，可得該幾何體的體積為：x2xTTx4+；x；x2xJrx(7-4)=5TT,

則5TTx(1-21%)=；仃3,解得r=V3-

M

故答案為我.

3.答案：6兀

解析：

本題考查幾何體的體積的求法及球的表面積公式，考查線面垂直的判定，屬于中檔題.

關(guān)鍵是利用線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得，直線和平面垂直，得到折疊后三棱錐的高.

解：以A￡,EF,AF為折痕，折疊這個(gè)正方形，使點(diǎn)B,C,。重合于一點(diǎn)”，得到一個(gè)四面體，如

圖所示,

因?yàn)樵谡郫B過(guò)程中，

始終有AB1BE,AD1DF,

即AH1HE,AH1HF,

又因?yàn)镠ECHF=H,HE,HFu平面EFH,

所以AHI平面EFH,則高為4H=2,

又因?yàn)镠EJ.HF,

所以可以將四面體補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體，則外接球球心為AF中點(diǎn),

可得其外接球的半徑為'/+P+2Z=漁，

22

所以外接球的表面積為67r.

故答案為67r.

4.答案：6：V5+1：4

解析：解：設(shè)球的半徑為R,貝IJ圓柱的表面積為Si=2兀/?2+2兀R-2R=6兀R2,

圓錐的表面積S2=TIR2+nr/?-V5/?=(V5+1)TTR2,

球的表面積S3=4兀/?2,

所以表面積之比為6：V5+1：4.

故答案為：6：V5+1：4.

由表面積公式分別求得表面積.

本題考查表面積公式，屬于簡(jiǎn)單題.

5.答案:67r

解析:

本題考查四棱錐與球的組合體的計(jì)算問(wèn)題，屬于中檔題,

解：設(shè)正四棱錐的高為x,則?=|,X=2,則球心到四條側(cè)棱中點(diǎn)所在平面的距離為1,

四條側(cè)棱的中點(diǎn)構(gòu)成的正方形的邊長(zhǎng)為I,其外接圓的半徑為W,

2

所以球的半徑為R=fl+i=[L

7272

經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)的球的表面積為47TR2=67r.

6.答案：亨

解析：

本題考查了直線與平面所成角，設(shè)01為△ABC的外心.。為三棱錐S-ABC外接球的球心，取SA的中

點(diǎn)。，由三棱錐S-ABC外接球的體積先求得0S=。4得四邊形DAO]。為矩形，再由正弦定理可得

AC的長(zhǎng)，由勾股定理得SC,由S4工平面A8C知,NSC4是直線SC與平面ABC所成角，由coszSCA=竽

得答案

解：設(shè)。1為4ABC的外心.。為三棱錐S-ABC外接球的球心.由SA，平面ABC.

0011?平面ABC,ASAZ/OOi，

取S4的中點(diǎn)。，由三棱錐S-ABC外接球的體積為等.

得OS=0A=4.可知四邊形。力。1。為矩形.

又S4=4V2.

DA=。1。=2企.

???△ABC外接圓的半徑為「=AO】=42-(2V2)2=272.

在△ABC中，由勿=缶，得"=2倔

由勾股定理得SC=y/SA2+AC2=2V14,

由S4J?平面ABC知，NSCA是直線SC與平面ABC所成角.

AC2\[6V21

??.cosz5C/l=-=^==—.

故答案為今

7.答案:乎

解析：解：如圖所示，作P014D,垂足為0,作0G1BC,垂足為G,

連接GP./；

???平面P40J_平面ABCD,平面P40n平面力BCD=AD,：.P01_平面ABCD./，--、■~yG

在小BPC中，???乙BPC=90°,PB=y/2,PC=2,.-.BC=VBP2+PC2=瓜人*-----------?

BPPC_2>/3

BC~3

設(shè)4B=X,則0G=X,

P0=ylPG2-OG2=/--X2,

A

Vp-ABCD=]P0?SABCD=3

...G=I?_x2）x2w|器磬）2=（|）3,當(dāng)且僅當(dāng)X=日時(shí)取等號(hào).

?'?^P-ABCDW平，

如圖所示，作P0140,垂足為。，作。G1BC,垂足為G,連接GP.利用面面垂直的性質(zhì)定理可得：

RP-PC__.

P。J?平面ABCD.在Rt△BPC中，可得PG=-^.設(shè)4B=x,則。G=x,可得P0=VPG2—g,利

BC

用Vp-ABCD=^P。，S4BC。，及其基本不等式的性質(zhì)即可得出?

本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)、三棱錐的體

積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

8.答案：27r

解析：

本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征，側(cè)面積及體積，屬于急基礎(chǔ)題.

由軸截面為等邊三角形可知，母線長(zhǎng)=底面直徑，且?jiàn)A角為結(jié)合體積可求圓錐的底面半徑，進(jìn)

O

而求出側(cè)面積.

解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為/,

由題意得2=2r,高h(yuǎn)=2rsin"v/3r.

<5

又圓錐的體積為更兀，

3

所以1-TrrL/ir：追m解得r=l.

33

所以圓錐的側(cè)面積為仃1：27r.

故答案為27r.

9.答案：V5

解析：

本題考查了空間距離的計(jì)算，線面垂直，面面垂直的判定，屬于中檔題。

過(guò)點(diǎn)。作DM_LEC于點(diǎn)連接D'M,過(guò)點(diǎn)。作DN1D'M于點(diǎn)N,得面_1_面。缶。，貝吐D/TM

即為0。'與平面D'EC所成的角，可得解.

解：

過(guò)點(diǎn)。作DM1EC于點(diǎn)M,連接D'M,過(guò)點(diǎn)。作DNID'M于點(diǎn)N,

因?yàn)镈D'l面ABC。，ECc?ABCD,所以0。'J.EC,

又。。CDM=D,所以EC_L面。DM,又ECu面D，EC,

所以面C'DM1面D'EC,貝IJNDZTM即為。。與平面。EC所成的角，

所以tan/DD'M=器=}

解得DM=1,所以。M=遍，Z-DCM=30°,

所以NBCE=60。，所以EC=2,

所以△D'EC的面積為：EC-D'M=V5.

故答案為通.

10.答案：誓

81

解析：

本題考查圓錐的體積計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于中檔題.

根據(jù)題意，進(jìn)行求解即可.

解：設(shè)球心到圓錐底面的距離為d,圓錐底面半徑為r,"=4-d2,(0<d<2),

則：此圓錐的體積為V=1zrr2(d+2)=g?(d+2)(4—d2),

求其導(dǎo)數(shù)V'=：(4-3d，--Id)=—13d-2)(d+2),

因?yàn)?VdV2,

當(dāng)0<d<|時(shí),V>0,丫單調(diào)遞增;

當(dāng)：<d<2時(shí)，V'<0,丫單調(diào)遞減；

則當(dāng)d=|時(shí)，V'=0,此時(shí)體積V取最大值，最大值為翳.

故答案為答.

O1

11.答案：4

解析：

本題考查了長(zhǎng)方體的相關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線和面對(duì)角線得出棱長(zhǎng)，再判斷“優(yōu)美”矩形的個(gè)數(shù)即可.

解：由長(zhǎng)方體ABCD—4當(dāng)?shù)牧?，AD】=2e，AC=2后AC、=2小，

則4B=G5=JAC/-AD」=2>

2

AA±=CCi=JAC^-AC=2魚(yú)，

AD='JAC2-CD2=4，

所以署=力=傳處=2=0吟=2手近

必2V2AB2AB

所以“優(yōu)美”矩形有DCCM、ADD1%、BCC/i共4個(gè)，

故答案為4.

12.答案：|

解析：

本題考查棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求

解能力，是中檔題.

設(shè)圓心為O,連接40,80,由SC是球的直徑，得到NSBC=90。,推導(dǎo)出BS=BC,A。J.SC,B。1SC,

從而SCI平面ABO,且由題可推斷出20_L8。，由此能求出棱錐S-ABC的體積.

解：設(shè)圓心為0,連接AO,BO,

由SC是球的直徑，得到z5BC=90。，

vZ.ASC=Z.BSC=45°,BS=BC,401SC,801SC,

又?：AOCBO=O,AO,BOu平面ABO,

ASC1?平面ABO,

由題可知SC=2,則40=8。=1,且知48=近，

.-.AO2+BO2=AB2,故A。JLBO,

.??棱錐S-ABC的體積為：

__11

^S-ABC=^S-ABO+^C-ABO='S。+^S^AB0-CO

=1SA4BO-SC=-x-xlxlx2=-.

故答案為：

13.答案：88/r

解析：解：???三棱錐4-BCO中，AD=AC=BC=BD=3,AB=CD=2,即對(duì)棱長(zhǎng)相等，

可把該三棱錐放到長(zhǎng)方體中，其對(duì)角線分別為3,3,2,設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為〃，b,c,

；a2+b2=9

則a2+c2=9>

-b2+c2=4

故22

4R2=a+b+C2=22,

故則該三棱錐的外接球表面積S=4nR2=887r.

故答案為：887r.

由三棱錐的對(duì)邊相等可得三棱錐力-BC。為某一長(zhǎng)方體的對(duì)角線組成的三棱錐，求出長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)

即可得出外接球的半徑，從而計(jì)算出外接球的表面積.

本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系，棱錐的體積計(jì)算，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

14.答案：迺

3

解析：

本題考查球的性質(zhì)，考查棱鏈的體積，屬于中檔題.

首先證明SC-L平面ABO,再求出54048，從而得到%-ABC=^S-ABO+SjABO，

的的結(jié)果.

解：由于SC是球。的直徑，所以ZS4C,NSBC為直角，

由SC=4,AC=BC=2V2,AB=2,

所以SA=SB=J-(2煙2=2V2>

所以44SC與/BSC為等腰直角三角形，

。為SC的中點(diǎn)，所以401SC,BO_LSC,

所以SC1平面A8。，

所以工048=1x2xV22—I2=V3,

所以%-48C=^S-ABO+^C-ABO=3XbX2+-XV3X2=

故答案為延.

3

15.答案：每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行

解析：

本題考查了棱柱的定義，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)棱柱的定義可得結(jié)論.

解：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平

行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.

故答案為：每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行.

16.答案：V3*

解析：解：設(shè)球的半徑為R,由題意可知，4兀/?2=鬻，得R=2.

16o

如圖:

p

???底面ABC是邊長(zhǎng)為百的等邊三角形，

二要使三棱錐P-4BC體積的最大，則三棱錐為正三棱錐，

過(guò)P作PG1底面ABC,則G為三角形ABC的中心，

連接AG并延長(zhǎng)，交3C于￡>,則4。=J(b)2_歲2=|,

23

/1G=-x-=1,

32

設(shè)三棱錐的高為〃，

設(shè)球心為0,在RtAOGA中，由(/I-R)2+AG2=R2,

W/I2-2x—/I+1=0,

8

解得：h=4或/1=[(舍).

???三棱錐P-4BC體積的最大值為:xixV3x|x4=V3.

故答案為：V3.

由題意畫(huà)出圖形，結(jié)合已知可得，所求三棱錐為正三棱錐，求出三棱錐的高，可得三棱錐P-48C體

積的最大值.

本題考查球內(nèi)接多面體體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，明確所求三棱錐為正三棱錐是

關(guān)鍵，是中檔題.

17.答案：2MN<AB+CD

解析：

本題考查了空間四邊形的性質(zhì)，中位線定理，及將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的思想方法.

先利用中位線定理，得PN=)D,再在平面三角形MNP中，再利用三角形兩邊之和

大于第三邊的性質(zhì)比較2MN與AB+CD的大小即可.

解：如圖，取8。的中點(diǎn)P,連接MP,NP,

A

M

11

???PN=-CD,PM=-AB,

22

???PN+PM=^CD+AB),

???在三角形MNP中，PN+PM>MN,

：.^CD+AB)>MN,

即2MN<4B+CD.

故答案為2MN<AB+CD.

18.答案:-

5

解析：

本題主要考查立體幾何中線面位置關(guān)系以及圓錐曲線的概念，屬于較難題.

用一個(gè)與圓柱的母線斜交的平面截圓柱，得到一條截口曲線為橢圓，根據(jù)題意解出答案.

解：不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2.

如圖，P是正方形。CCiA的中心，則EP矩形。CC15,

0的軌跡為過(guò)直線EP且垂直于CF的平面a與正方體的交線.

因?yàn)槠矫妗ㄆ矫鍮/C1C,

所以平面a與兩平面的交線MN//MM，

同理可得NM//MM1，所以四邊形MNNi"i為矩形.

如圖，平面a與正方體的四條棱分別交于N,M，M,%四點(diǎn)，

分別取CC],BBi的中點(diǎn)G,H,

因?yàn)辄c(diǎn)尸和點(diǎn)G分別為。傳1和CCi的中點(diǎn).

所以FG=：DiG=[GC=CG.

又因?yàn)?FC1C=Z.GCD=90°.

所以aFGC三△GCD,所以4GFC=ZTGD.

又因?yàn)镹FQC+“iCF=90°,所以/CGD+ZQCF=90°.

。是FC和OG的交點(diǎn)，

則"QC=180°-(乙DGC+4cleF)=90。，所以FC1GD.

又因?yàn)镕CJLAD,ADdGD=D,AD,GDAHGD,

所以FC_L平面A”G￡),

所以。的軌跡所在平面a與平面AHG。平行，可以求得DG=V22+I2=V5>

故橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為近，短軸長(zhǎng)為2,所以離心率為日，

故答案為更.

5

19.答案：證明：(I)取PA的中點(diǎn)E,連接ME、BE,

又M為PD中點(diǎn),則ME〃4D,ME=^AD,

因ZD〃BC,AD=2,BC=1,

ME//BC,ME=BC,

四邊形BCME為平行四邊形，[BE〃CM,

,:BEu平面PAB,CM<t平面PAB,

???CM〃平面PAB-

(H)在梯形ABC。中，AB=BC=1,AD=2,ABAD=90°,

取AO中點(diǎn)H,貝lJCHJ_40,CH=1,AH=HD=1,

AC=CD=V2>

vAC2+CD2=AD2,■■■CD1AC,

又：PAJ■平面ABCD,CDu平面ABCD,CD1PA

■■■PACtAC=A,P44Cu平面PAC,

CD1平面PAC.

解析：本題考查線面平行與線面垂直的判定.

(I)在平面PAB中作CM的平行線，再由線線平行=線面平行即可；

(II)利用平面幾何知識(shí)，解直角梯形ABC。，證明CD與AC的垂直，再由線線垂直=線面垂直.

20.答案：解：(1)因?yàn)?0_LC。，且4D=C0,

所以N4CD=NDAC=45。，所以NBCA=45。，

又因?yàn)镹ABC=45。，所以4BAC=90。，即4clAB,

因?yàn)镻A1平面ABCD,ACu平面ABCD,

所以241AC,

又因?yàn)镠4CAB=4,所以AC_L平面PAB,

因?yàn)镻Bu平面PAB,所以AC1PB.

(2)如圖:

取8c中點(diǎn)E,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE,AD,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)

系A(chǔ)-xyz,

設(shè)P4=l,則4(0,0,0),P(0,0,1),B(V2,-V2,0)>C(V2,V2,0)，D(0,V2,0)，

貝lj麗=(夜，一企,一1)，PD=(0,V2,-l).AC=(V2,V2,0).

設(shè)麗=X~PB=(V2A,-V22,-2)(0<A<1).

則麗=PM-PD=(V2A,-V2/L-V2.-/1+1),

由(1)可知，ACJ_平面PAB,即而=(企,企,0)是平面PAB的一個(gè)法向量，

設(shè)DM與平面PAB所成的角為仇

則sinO=|cos＜麗，前＞|=黑制

_|2A-2A-2|_1__2VH

-V2A2+2(A+l)2+(-A+l)2x2-，212+2(2+1)2+(-入+1)2-21,

整理得20"+82-9=0,解得：兀=1或4=一看(舍)，

所以點(diǎn)M為棱PB的中點(diǎn).

解析：本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，利用空間向量求線面角.

(1)先證AC_L平面PAB,再由線面垂直的性質(zhì)即可得證；

(2)取BC中點(diǎn)E,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE,AD,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐

標(biāo)系4-xyz,設(shè)PA=L用0=2而，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，設(shè)。M與平面PAB所成的角為仇由

sin。=|cos＜DM’,而＞|=?黑選］=當(dāng)^列出方程,求得％即可得出.

21.答案：(1)證明：vADLCD,且4。=CD,:.Z.ACD="AC=45°,

???4BCA=45°,又N4BC=45°,Z.BAC=90°,即AC14B,

又???P41平面ABCD,PAJ.4C,又〈PACABA，AC_L平面PAB,

/PBC平面PAB,AC1.PB;

(2)解：取BC的中點(diǎn)E,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE,AD,AP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直

角坐標(biāo)系4-%yz,如圖所示：

設(shè)P4=l,則4(0,0,0),P(0。1),6(72,72,0),。(0,-企,0),

則兩=(V2,-V2,1),PO=(0,V2,-l),^C=(V2,V2,0),

設(shè)麗=kPB=(V2A,-V2A,-A)(0<A<1).

則而=PM-PD=(V2A,-yj2A-V2,-A+1).

由(1)可知AC1平面PAB,

.?.前=(或,短0)為平面PA8的一個(gè)法向量，

設(shè)OM與平面PAB所成角為。，

貝ijsin。=|cos<DM,AC>\=

|2A—2A—21

，2乃+2(—+1)2+(-4+1)2x2

_1_2V21

―72A2+2(A+l)2+(-A+l)2-21，

I()

整理的2042+84-9=0,解得》5或-j()(舍去)，

所以何為棱PB的中點(diǎn).

解析：本題主要考查線面垂直的性質(zhì)，空間向量法求線面角，屬于中檔題.

(1)由已知條件，通過(guò)計(jì)算得出AC1AB,禾I」用線面垂直的性質(zhì)由PA1平面A8CO,

得24J.AC,再利用線面垂直的判定得AC_L平面PAB,再利用線面垂直的性質(zhì)得ACJLPB；

(2)解：取BC的中點(diǎn)E,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE,AD,AP所在的直線為x軸，)，軸，z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，設(shè)兩=2而由(1)可知AC_L平面PAB,.?.尼為平面PA8的一個(gè)法向量，0M與平面

P48所成角的正弦即為而與前所成角的余弦的絕對(duì)值，列出關(guān)于；I的方程，解出;I即得結(jié)果.

22.答案：解：(1)證明：取尸8的中點(diǎn)F,連接EF,AF,

因?yàn)镋尸是APBC的中位線，所以EF〃BC,且EF=^BC.

又因?yàn)?D〃BC,AD=|BC,

所以EF//AD,所以四邊形E/弘。是平行四邊形，

所以DE〃河，

又因?yàn)镈EC平面尸48,4尸u平面尸AB,

所以DE〃平面PAB.

(2)取AB的中點(diǎn)Q,連接PQ,CQ,

因?yàn)锳PAB是正三角形，所以PQ14B,

在直角梯形ABCQ中，連接AC,

因?yàn)镹4BC=60°,BC=2AD=2,

計(jì)算可得力B=AC=2,所以CQ=V1，且CQ_LAB,

又因?yàn)镻QnCQ=Q,所以4B_L平面PCQ,因?yàn)锳Bu平面PAB,所以平面PCQ1平面PAB,

過(guò)點(diǎn)E作EG1PQ,垂足是G,連接BG,則4EBG即是直線BE與平面PAB所成的角，

在△?(?￡1中，PQ=QC=V3>PC=3,

所以晶=小/3。。4,又易得8E=?

所以sinz_EBG=g=—?

所以直線BE與平面PAB所成角的正弦值是當(dāng)

解析：本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

(1)由題意結(jié)合中位線和平行四邊形的知識(shí)，推導(dǎo)出DE〃AF,從而由線面平行的判定定理可得；

FC

(2)取AB的中點(diǎn)Q,連接P。，CQ,推出4EBG即為直線BE與平面PAB所成角，由sinNEBG=3三

DE

可得答案

23.答案：(1)證明：PAIAB,PA1BC,ABCBC=B,所以PA1平面ABC,

因?yàn)?0u平面ABC,所以P4J.8。，

又因?yàn)锳B=BC,。為AC的中點(diǎn)，

所以BD1AC,

又PAnAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PAC,

所以BD1平面PAC,

又BDu平面BDE,

所以平面BDE1平面PAC；

(2)解：因?yàn)镻A〃平面BOE,PAu平面PAC,平面PACn平面BDE=DE,

所以PA〃DE,

因?yàn)椤锳C的中點(diǎn)，所以E為尸C的中點(diǎn)，

所以DE=[PA=1.,BD=DC=V2.

由(1)知，PAJ_平面ABC,所以DEI平面ABC,

EBCD

所以V_=JSABCDDE=ixBDDCDE=i

3O3

所以三棱錐E-BCD的體積為g.

解析：本題考查面面垂直的判定以及三棱錐的體積.

(1)通過(guò)去證80與PA,AC垂直，證得BD_L平面PAC,進(jìn)而可得面面垂直;

(2)求出DE=gPA=1,BD=DC=M，由(1)知，PA_L平面A8C,所以DE1平面A8C,然后由

三棱錐的體積公式求解即可.

24.答案：證明：(1)???P4_L平面A8C,BCu平面ABC,

PA1BC.

在△ABC中，AB=1,BC-V3>AC=2,

AB2+BC2=AC2.：.AB1BC.

y.PAC\AB=A,AB,PAu平面PA8.

BC_L平面PAB.

解：(2)???PA_L平面ABC,AB,ACu平面ABC

PALAB,PA1AC.

■.NBAC為二面角B—PAC的平面角.

.,nABCV3

smZ-BAC=—=——

AC2

???^BAC=60°,即二面角B-PA-C的大小為60。.

解析：本題考查線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意

空間思維能力的培養(yǎng).

(1)推導(dǎo)出PA_LBC,AB1BC,由此能證明BC_L平面PA8.

(2)由PAL平面ABC,得484c為二面角8-P4C的平面角.由此能求出二面角8PAe的大小.

25.答案：解：(1)_L面ABC。，BDc?ABCD,PALBD.

底面ABC。是菱形，.??8。1AC.

???PAHAC=A,PAu面PAC,ACu面PAC,

BD1面PAC,

"0Mu面PAC,■■■0M1BD.

(2)設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為無(wú)，AB=AC,

：.ZABC=J,ZBAD=1

在,BD2=AD2+AB2-2AD-AB-cos^BAD=3x2,BD=V3x?

vPAIffiABCD,AB=AD,PB1PD,PB=PD=—x,PA=—x.

22

2

SAABD=^AB-AD-sinz.BAD=^x,

VP-ABD=QSAABD'PA=\'Y%2'M

x=l,PA=—,PD=PB=

22

,「NABC=1.ACAB1,...pc=PB=-.

?52

S=^ABCD+2sApAB+2sAPBC，

解析：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，錐體的表面積，難度適中.

(1)由P4JjgABCD,得P418D,進(jìn)而得面PAC,得結(jié)論.

(2)由余弦定理得BD=V3x,PB=PD=PA=當(dāng)％，^AABD=Rx?,

根據(jù)三棱錐P-ABD的體積為立，可得PA=立,PD=PB=^，可得結(jié)論.

2422

26.答案：(I)證明：在等腰梯形AQEF中，作EMJ.4。于M,

則4M=3,EM=6,

■?AE—V3+9-2V3-

連接AC，則nC=4VL

???ZAEC=90",FC=2A/5.

AED2+DC2=EC2,.-.CDLED；

■：CD1AD,ADnEDD，AD,EDu平面ADEF,

,CDJ■平面4DEF.

(H)證明：設(shè)G為CD中點(diǎn)，則易知ABGD為平行四邊形，

故BG〃AD,又EF〃AD,

所以FE//BG,

于是由(I)知，。。1平面4?！攴捕鳦Du平面ABC￡>,E,F,B,G共面，

而C顯然不在此平面內(nèi)，

所以點(diǎn)E,C,B,F不在同一平面內(nèi).

(UI)解：由(I)知，CD，平面ADEF,而CDu平面ABCD,

平面SBC。1平面ADEF.

■.EMLAD,平面ABCDR平面ADEFAD.EMU平面ADEF,

lSC

EMJ?平面A8C￡>，，VABCDEFV。ADEF+VFABC.ADEFD--SAABcEM

J?5

=^x^x(2+4)xv/3x4+ixix2x4x>/3=^7^.

解析：本題考查線面垂直的判定、四點(diǎn)共面問(wèn)題和棱錐的體積公式，考查空間想象能力、推理能力

和計(jì)算能力，屬于一般題.

(I)利用線面垂直的判定定理即可求證；

(口)設(shè)G為CD中點(diǎn)，由E,F,B,G共面，而C顯然不在此平面內(nèi)，即可求證點(diǎn)瓦C,B,F不在同

一平面內(nèi)；

V

(HI)利用VABCDEFCADEFMABC.^SADEFCD-jsAABuEM即可求解?

*5?)

27.答案：(I)證明：連接AC.

由/L4'J"平面ABCD,得A4'1BD,

又底面ABC。是菱形，

所以BDA.AC.

而AC,AA是平面aCC'A內(nèi)的相交直線.

所以BD_L平面4CC'4',

又A'Pu平面4CC'4,所以BO1A'P.

又4P1PB,BDCPB=B,BDu平面PBD,PBu平面PBD,

所以AP1平面PHD.

(E)解：連接AC,

當(dāng)P是CC'中點(diǎn)時(shí).設(shè)CC'=2a,貝lJPC=PC'=a,

2

則有4尸2=A>C>2+pc<2=12+a,

PB2=PC2+CB2=a2+4,

A'B2=A'A2+AB2=4a2+4,

又乙4'PB=90。,所以4爐+。。2=4片,

即12+a?+a?+4=4a2+4,a=V6>

故側(cè)面4DD'4’的面積為S=AD-AA'=2x2\[6=4遍.

點(diǎn)P到平面ADDS'的距離就是底面菱形的高h(yuǎn),易知九=V3,

所以四棱錐P-ADD'A'的體積為"=is/i=X4V6XV3=

4^2.

解析：本題考查線面垂直的判定，考查四棱錐的體積求法，屬于中檔題.

(I)易證BD1A'P,A'P1PB,利用線面垂直的判定即可證明；

(H)利用棱錐體積求法求解即可.

28.答案：(1)證明：在△ABC中，AB=AC,力是BC的中點(diǎn)，

所以AD1BC,

又因?yàn)锳BC-AjBiC)是直三棱柱，

所以BiBJ?平面ABC,

因?yàn)?。u平面ABC,

所以AD±BB|,

因?yàn)锽C、BB[UB[BCCT，BCnBB!-B,

所以AD1平面ZBCCj.

(2)解：由(1)可知，AD1.平面BiBCG，且AD：BC,爐

所以Vfii-ADCi=Kl-BiDCi