新人教版高中數(shù)學必修第二冊：本章復習提升

本章復習提升

易混易錯練

易錯點1不能正確分析空間幾何體的結(jié)構(gòu)而致錯

1.（2020天津靜海第一中學高二下月考,川。圓柱的側(cè)面展開圖是邊長

分別為2a、a的矩形，則圓柱的體積為的

2.（2020河北邯鄲第一中學高一下月考,#?）如圖所示，在邊長為8的正

三角形ABC中,E、F分別是AB、AC的中點,ADJ_BC,EH_LBC,FGJ_BC,

垂足分別為D,H,G,若將^ABC繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)180°,求陰影部分

形成的幾何體的表面積.易錯

BHI)C

3.(2020重慶第一中學高三下月考,*；)在多面體ABCDPQ中，平面

PADJ_平面ABCD,ABllCDllPQ,ABJLAD'PAD為正三角形,0為

AD的中點，且AD=AB=2,CD=PQ=1.

(1)求證:平面POBJ_平面PAC;

(2)求多面體ABCDPQ的體積?深度解析

易錯點2平面幾何定理與立體幾何定理相混淆而致錯

4.(2020浙江杭州八校聯(lián)盟高二上期中*)下列命題中為假命題的是

A.垂直于同一直線的兩個平面平行

B.垂直于同一直線的兩條直線平行

C.平行于同一直線的兩條直線平行

D.平行于同一平面的兩個平面平行

5.（2020遼寧阜新第二高級中學高二上期末,*：）若直線a和b沒有公

共點，則a與b的位置關(guān)系是（易錯）

A.相交B.平行

C.異面D.平行或異面

易錯點3構(gòu)造圖形錯誤導致解題錯誤

6.（2020重慶巴蜀中學高三下月考,*?）已知正方體AiBiCiDi-ABCD

的棱長為2,點P在線段CBi上，且BiP=2PC,平面a經(jīng)過點A,P,Ci,則

正方體AiBiCiDi-ABCD被平面a截得的截面面積為（.）

A.3V6B.2V6C.5D笆

4

7.（2019北京首都師范大學附屬中學高三下三模,*）已知正方體的棱

長為L每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，則a截此正方體所

得截面的面積的最大值為（）

A3yB2^3?3V2口

434,2

易錯點4忽略判定定理或性質(zhì)定理的必備條件致錯

8.（*）已知平面all平面B，AB、CD是夾在a、0間的兩條線段,A、C

在a內(nèi),B、D在0內(nèi)，點E、F分別在AB、CD上，且AE:EB=CF：FD=m:

n.求證:EFII平面a.

9.(*)如圖，平行六面體ABCD-AiBiCiDi的底面是菱

^,zCiCB=zCiCD=zBCD=60°.

(1)求證:CiC_LBD;

(2)當署的值為多少時,AIC_L平面CiBD?

10.(*)如圖，在多面體ABCDEF中，平面ADEFJ_平面ABCD,四邊形

ADEF為正方形,四邊形ABCD為梯形，且

ADIIBC,zBAD=90°,AB=AD=|BC.

(1)求證:ADII平面BCEF;

⑵求證:BDJ_平面CDE;

(3)在線段BD上是否存在點M,使得CEII平面AMF?若存在，求出瞿的

DM

值;若不存在,請說明理由.

易錯點5不能準確找出空間角致錯

11.(*)如圖，在正方體ABCD-AiBiCiDi中,E是棱CG的中點，則平面

ADiE與平面ABCD的交線與直線CiDi所成角的正切值為(易錯)

A扣|C.|D.2

12.(土：)已知三棱柱ABC-AiBiCi的六個頂點都在球0的球面上，球0

的表面積為136TI,AAIJ_平面ABC,AB=6,BC=8,AC=10,則直線BCi

與平面ABiCi所成角的正弦值為()

A3ysB口^A/3

,10*55,10

13.侈選)(*)如圖，在直角梯形ABCD

中,ABllCD,ABJLBC,BC=CDWAB=2,E為AB的中點,以DE為折痕把

△ADE折起，使點A到達點P的位置，且PC=2百，則()

A.平面PEDJL平面EBCD

B.PC±ED

C.二面角P-DC-B的大小為：

4

D.PC與平面PED所成角的正切值為魚

14.(*)如圖,在平行四邊形ABCD中,NDAB=60°,AB=2AD=2,平面

AEDJ_平面ABCD,三角形AED為等邊三角形,EFlIAB,EF=1,M,N分

別為AD,AB的中點.

(1)求證:平面EMNII平面BDF;

(2)求證:平面BDF平面ABCD;

(3)求直線FC與平面BDF所成角的正切值.

思想方法練

一、分類討論思想在立體幾何中的應用

1.(多選)(2020山東濰坊高三上期末,*：)已知等腰直角三角形的直角

邊長為L現(xiàn)將該三角形繞其某一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周,則形成的幾何

體的表面積為()

A.V2TIB.(l+V2)n

C.2V2TID.(2+V2)n

2.(4)如圖，點A在平面a外,aBCD在平面a內(nèi),E、F、G、H分別是

線段BC、AB、AD、DC的中點.

(1)求證:E、F、G、H四點在同一平面上；

(2)若AC=6,BD=8,異面直線AC與BD所成角為60°,求EG的長.

二、轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的應用

3.（2020陜西師大附中高一上期末,*：）已知圓錐的底面半徑為1,高為

行無要想從底面圓周上一點A出發(fā)拉一條細繩繞圓錐的側(cè)面一周再

回到A,則該條細繩的最短長度是.

4.（2020福建泉州高三下月考,"）如圖1,四邊形ABCD是邊長為2的

菱形/BAD=60°,E為CD的中點，以BE為折痕將aCBE折起到aPBE

的位置，使得平面PBE_L平面ABED,如圖2.

（1）證明:平面PABJL平面PBE;

（2）求點D到平面PAB的距離?深度解析

5.（2020福建高三4月聯(lián)考,"）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD

為直角梯形,ADIIBC/ADC=90°,平面PAD_L底面ABCD,Q為AD的

中點,M是棱PC的中點,PA=PD=4,BCWAD=2,CD=V5.

Q)證明:平面BQMJ_平面PAD;

(2)求四面體P-BQM的體積.

三、函數(shù)與方程思想在立體幾何中的應用

6.(2020天津和平高二4月月考,")正三棱錐P-ABC的高為2,側(cè)棱與

底面所成的角為45°,則二面角P-AB-C的正切值是，點A到

平面PBC的距離是.

7.(2020河北衡水武邑中學高一上月考，集)如圖,一個圓錐的底面半徑

為2,高為6,在其中有一個半徑為x的內(nèi)接圓柱.

(1)試用x表示圓柱的體積；

(2)當x為何值時,圓柱的側(cè)面積最大?最大值是多少？

8.(2020山東濟南章丘四中高三3月模擬,")如圖，在三棱錐S-ABC

中,SA_L底面ABC,AC=AB=SA=2,AC_LAB,D、E分別是AC、BC的

中點,F在SE上且SF=2FE.

(1)求證:AF_L平面SBC;

(2)在線段DE上是否存在點G,使二面角G-AF-E的大小為30°?若存

在，求出DG的長;若不存在,請說明理由.

9.(*)如圖,四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面

ABCD,底面四邊形ABCD中,AB=BC=：AD/BAD=NABC=90°,E是

PD的中點.

(1)證明:直線CEII平面PAB;

(2)點M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面

角M-AB-D的余弦值.

E

答案全解全析

易混易錯練

1.答案右或1

TCZTT

解析當母線長為a時，圓柱的底面半徑是￡此時圓柱的體積是TTx(?2xa=Q；

IT\1T/IT

當母線長為2a時，圓柱的底面半徑是會此時圓柱的體積是nx(^-)2x2a=g.

33

綜上，圓柱的體積是匕或：.

TT21T

易錯警示

圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，底面圓周展開得到矩形的一邊，另一邊是圓柱的母線，

每一條邊都有可能是母線，不能簡單的認為長的一邊或短的一邊是母線.

2.解析由題意知,旋轉(zhuǎn)后得到的幾何體是一個挖去一個圓柱的圓錐，且圓錐的底

面半徑為4,高為4VX圓柱的底面半徑為2,高為28,所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由三部

分組成:圓錐的底面、側(cè)面、圓柱的側(cè)面.

圓錐的底面積為16TT,圓錐的側(cè)面積為TTX4X8=32TT,圓柱的側(cè)面積為

2TTX2X2V3=8V3TT,

.,.所求幾何體的表面積為16TT+32TT+8V3TT=48TI+8V3TI.

易錯警示

挖去圓柱后的幾何體的表面積多了一個圓柱的側(cè)面積，但圓錐的底面積并沒有減

少,因為圓柱的上底面面積進行了補充，解題時要注意正確分析幾何體的結(jié)構(gòu)，避

免計算錯誤.

3.解析(1)證明:由條件易得RfADC^RfBAO,故NDAC=NABO,；.

ZDAC+ZAOB=ZABO+ZAOB=90°,.,.AC±BO,

?.?PA=PD,且0為AD的中點,...POLAD,

?.?平面PAD_L平面ABCD,平面PADCI平面ABCD=AD,POu平面PAD,

.?.PO_L平面ABCD,

又「ACu平面ABCD,/.AC±PO,

XVPOnBO=O,

.?.AC_L平面POB,

???ACu平面PAC,

二平面POB_L平面PAC.

⑵取AB的中點E,連接CE、QE,

由(1)可知,PO_L平面ABCD,

YABu平面ABCD,.\PO±AB,

又AB±AD,POnAD=O,

，AB，平面PAD,

?''VABCDPQ=VPAD-QEC+VQ-CEB=SAPAD-AE+|S<EB-PO

=ix22x—xl+ixHx1x2)xV3=—.

223\273

方法總結(jié)

空間幾何體體積問題的常見類型及其解題策略：

(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公

式進行求解；

(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補

形法等方法進行求解；

(3)若幾何體以三視圖的形式給出，則應先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，再根

據(jù)條件求解.

4.B垂直于同一直線的兩個平面平行，故A為真命題；

三條直線在同一個平面內(nèi)時，才有垂直于同一條直線的兩條直線平行，空間的三條

直線則不一定成立，故B為假命題；

由基本事實4可知,平行于同一條直線的兩條直線平行，故C為真命題；

由基本事實4及面面平行的性質(zhì)定理可知D為真命題.

故選B.

易錯警示

平面幾何中，垂直于同一條直線的兩條直線平行;空間立體幾何中,垂直于同一條

直線的兩條直線可能平行,也可能異面或相交.

5.D因為兩直線相交只有一個公共點，兩直線平行或異面沒有公共點,所以選D.

易錯警示

在平面幾何中，若兩條直線沒有公共點，則兩條直線平行;在空間立體幾何中，若兩

條直線沒有公共點，則兩條直線平行或異面.

6.B如圖所示,A、P、J確定一個平面a,設(shè)平面anAiDi=Q，平面aDBC=M,

???平面AAiDiDll平面BBiCiC,Z.AQIIMQ同理AMIIQQ,

???正方體被平面a截得的截面四邊形AMCiQ是平行四邊形.

VBiP=2PC,.,.CiBi=2MC,gpMC=MB=L，AM=MCi=V^連接ACi,則

ACi=2V3,

由余弦定理得cosNAMCi==T，

424.MgxM”ci5

sin/AMCi=等，

，S四邊形4MCiQ=2xgAMxMCixsinNAMCi=26?故選B.

易錯警示

在構(gòu)造截面圖形時，若沒有結(jié)合平面的性質(zhì)，只是通過直觀感知進行判斷,很容易

出現(xiàn)截面圖形判斷錯誤的問題，對此，我們一方面要明確截面的定義;另一方面要

結(jié)合所學定理，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，弄清楚立體圖形的截面形狀.

7.A根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，得在正方體

ABCD-A1B1C1D1+,

平面ABiDi與直線AAi、AiBi、AiDi所成的角是相等的,二平面ABiDi與正方

體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，要求截面面積最大，則截面為夾在面

ABiDi與面CiBD中間且過棱的中點的正六邊形，如圖所示,易知該正六邊形的邊

2

長為當???其面積S=6x.x俘）=第故選A.

8.證明（1）當AB、CD共面時（如圖①），連接AC、BD.

因為a邛,所以ACIIBD.

因為AE：EB=CF：FD,

所以EFllACllBD,且EF在平面a外.

因為ACua,所以EFII平面a

（2）當AB、CD異面時（如圖②），連接AC、BD,過點A作AHIICD交0于點H,連

接BH、HD.

在AH上取點G,使AG:GH=m：n,

連接GF、GE,由⑴可得FGIIHD.

因為AG：GH=AE：EB,所以EGIIBH,

所以平面EFGlI平面011平面a.

又因為EFu平面EFG,所以EFII平面a.

圖①圖②

9.解析（1）證明:如圖，連接AICLAC,設(shè)AC和BD交于點。連接CiO.

?.?四邊形ABCD是菱形，

.\AC±BD,BC=CD.

XVzBCCi=zDCCi,CiC是公共邊，

ACIBC=ACIDC.CIB=CID.

VDO=OB,.\CIO±BD.

XVACDCIO=O,

，BD，平面ACC1A1.

又平面ACCiAi,

.*.CiC±BD.

(2)由⑴知BD_L平面ACQAL

?；AiCu平面ACCiAi,BD±AiC.

瞪=1時，平行六面體的六個面是全等的菱形.

易證BCi±AiC.

又?.?BDnBCi=B,；.AiC_L平面CiBD.

故用=1時,AIC_L平面GBD.

CLj

10.解析⑴證明:因為ADllBC,BCu平面BCEF,AD。平面BCEF,所以ADII平面

BCEF.

(2)證明:因為四邊形ADEF為正方形，

所以DE_LAD.因為平面ADEF_1_平面ABCD,平面ADEFCI平面ABCD=AD,DEu

平面ADEF,所以DE_L平面ABCD.

因為BDu平面ABCD,所以DE±BD.

如圖，取BC的中點N,連接DN.

由BNllAD,AB=AD=|BC,zBAD=90°,

可得四邊形ABND為正方形，

所以DN=AB,所以DN=^BC.

所以BD±CD.

因為CDClDE=D,CD,DEu平面CDE,

所以BD,平面CDE.

E

(3)存在，當M為BD的中點時,CEII平面AMF.

連接AN交BD于點M,連接NF,MF,由于四邊形ABND為正方形,

所以M是BD的中點，同時也是AN的中點.

因為NC=AD,NCllAD,四邊形ADEF為正方形，

所以NC=FE,NCllFE,

所以四邊形NCEF為平行四邊形.

所以CEIINF.

又因為NFu平面AMF,CE<Z平面AMF,

所以CEII平面AMF,此時需=1.

11.A延長D正與直線CD交于點F,連接AF,

則平面ADiE與平面ABCD的交線為AF.

VCiDillCD,

...NAFD為平面ADiE與平面ABCD的交線與直線CiDi所成的角，

???E是棱CCi的中點，且DDillCCi,

；.CD=CF,

/.tanzAFD=^=1.

易錯警示

找異面直線所成的角時，注意角的頂點位置不同，計算會有難易之分.如角的頂點

選取不當，雖然角能作出來，但角所在的三角形的相關(guān)信息不易求,會導致求不出

角的大小，因此要恰當選取角的頂點.注意所作的角有時不一定是所求的角，可能

是所求角的補角.

12.A由AB=6,BC=8,AC=10,

得AB2+BC2=AC，AB±BC.

設(shè)球的半徑為R,AAi=x,則由AAi_L平面ABC知AiC為外接球的直徑，

在RfAiAC中,X2+102=(2R)2,

又4TTR2=136TT,

**.4R2=136,Ax=6,

??Sy/Ci二24A2S"8BI=18,

設(shè)點B到平面ABiCi的距離為d,

貝由Vg-ABiG=%1-AB81，得gx24&d=gx18x8,.*.d=3a,

又BC1=1O,

直線BQ與平面ABiCi所成角的正弦值為《=誓.

DC11U

13.ACPD=AD=V/E2+DE2="22+22=2必在三角形PDC

中,PD2+CD2=PC，所以PD_LCD,易知CD_LDE,又PDCIDE=D，所以CD_L平面

PED,又CDu平面EBCD,所以平面PED_L平面EBCD,故A選項正確；

若PC^ED,由EDJ_CD,可得ED_L平面PDC,則ED_LPD,而NEDP=NEDA=；

顯然矛盾，故B選項錯誤；

二面角P-DC-B的平面角為dDE,易知NPDE=NADEW故C選項正確；

由上面分析可知/CPD為直線PC與平面PED所成的角，在RfPCD

中,tanzCPD=^=乎,故D選項錯誤.

14.解析⑴證明:因為M,N分別為AD,AB的中點，所以MNIIBD,

又MNQ平面BDF,BDu平面BDF,所以MNII平面BDF,

因為EFllAB,EF=l,AB=2NB=2,

所以EFllNB,EF=NB,

所以四邊形FENB是平行四邊形，

所以ENIIBF,

又ENQ平面BDF,BFu平面BDF,

所以ENII平面BDF,

又因為ENDMN=N,EN,MNu平面EMN,

所以平面EMNII平面BDF.

(2)證明:因為三角形AED為等邊三角形,M為AD的中點，所以EM_LAD,因為平

面AED_L平面ABCD,平面AEDCI平面ABCD=AD,EMu平面AED,所以EM_1_平

面ABCD,又EMu平面EMN,

所以平面EMN_L平面ABCD.

因為平面EMNII平面BDF,

所以平面BDF_L平面ABCD.

(3)已知平行四邊形ABCD中,NDAB=60°,AB=2AD=2,所以ADJLBD,

所以BC±BD,

又平面BDF_L平面ABCD,平面BDFCI平面ABCD=BD,BCu平面ABCD,

所以BC_L平面BDF,

所以NCFB即為直線FC與平面BDF所成的角.

在RfEMN中,EM=4，MN=gBD岑所以BF=EN=*

所以tar)NCFB=^^=去=￡

BF7b3

T

所以直線FC與平面BDF所成角的正切值為手.

思想方法練

1.AB若繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體為圓錐,且圓錐的底面

半徑為1,高為L母線長就是直角三角形的斜邊長，為魚，故形成的幾何體的表面積

S=TTX1XV2+TCX12=(V2+1)TT;

若繞其斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體是由兩個同底圓錐組成的,且圓錐

的半徑是直角三角形斜邊上的高,為號兩個圓錐的母線都是直角三角形的直角邊,

母線長是1,故形成的幾何體的表面積S=2XTTX^X1=V2TT.

綜上可知，形成的幾何體的表面積是(A+1)TT或a化故選AB.

2.解析Q)證明:..任、F、G、H分別是線段BC、AB、AD、DC的中點,，F(xiàn)GIIBD,

且FG=|BD,EHllBD,且EH=|BD,二FGIIEH,且FG=EH,.\四邊形EFGH為平行四

邊形,，E、F、G、H四點在同一平面上.

(2)由(1)知四邊形EFGH為平行四邊形，且FG=1BD=4,FE=iAC=3.

?.?異面直線AC與BD所成的角為60°,

...FG、FE所成的角為60°,AzGFE=60°^zGFE=120°.

當NGFE=60°時,EG2=FE2+FG2-2FE.FGcos600=25-12=13,止匕時EG=V13;

當NGFE=120°時,EG2=FE2+FG2-2FE-FGcos120°=25+12=37,止匕時EG=V37.

AEG的長為g或g.

3.答案4V2

解析如圖所示:

沿SA剪開，再展開后得到扇形SAAi,連接AAi,易知細繩的最短長度為AAi的長

度.

?.?圓錐的底面半徑為1,高為同，

???扇形的弧長為2TT1=2TI,母線SA=4.

在扇形SAAi中，易得NASAI甘,，AAI=&SA=4&,即細繩的最短長度為4V2.

4.解析（1）證明:連接BD,易知ABCD是等邊三角形,..任為CD的中點,...

BE±CD.

VABIICD,/.AB±BE.

又平面PBEJ_平面ABCD,平面PBECI平面ABCD=BE,ABu平面ABCD,

，ABJ_平面PBE,

又ABu平面PAB,.?.平面PAB,平面PBE.

（2）解法一:在AABD中,AB=AD=2/BAD=60°,；SABD=V%

由⑴知,CELBE,，PE，BE,又平面PBE_L平面ABCD,平面PBECI平面

ABCD=BE,PEu平面PBE,

.*.PEJ_平面ABCD,又PE=CE=1,.?.三棱錐P-ABD的體積

在RfPBE中，由PE=l,BE=g,得PB=2,

由Q）知,AB_L平面PBEJ.'PBu平面PBE,

AABXPB,/.SAABP=2.

設(shè)點D到平面PAB的距離為d,則三棱錐D-PAB的體積以封=32*€1=當

解得d岑

.?.點D到平面PAB的距離為學

解法二:AB,ABu平面PAB,DEC平面PAB,，DEII平面PAB,

.?.點E到平面PAB的距離等于點D到平面PAB的距離，

過點E作PB的垂線，垂足為F,則EF±PB,

由⑴知，平面PABJL平面PBE,平面PABCI平面PBE=PB,EFu平面PBE,

...EFJ_平面PAB,即EF為點D到平面PAB的距離.

易知PEJ_BE,

...在RfPBE中,PExBE=PBxEF,又PE=l,BE=V3,.,.PB=2,/.EF=y,

.?.點D到平面PAB的距離為當

解題反思

求點到平面的距離一般可采用兩種方法:①等體積法;②找（作）出點到平面的垂線

段，進行計算即可.

5.解析Q）證明:?.?ADIIBC,BCWAD,Q是AD的中點,，DQ口BC,.?.四邊形

BCDQ為平行四邊形,，CDIIBQ.

zADC=90°,NAQB=90。,即BQ±AD.

又?..平面PAD_L平面ABCD,且平面PADD平面ABCD=AD,BQu平面ABCD,

...BQL平面PAD.又BQu平面BQM,

二平面BQM_L平面PAD.

（2）連接CQ.VP-BQM=VC-BQM=VM-BCQ=-VP-BCQ.

由Q）可知,四邊形BCDQ為矩形，

/.SABCQ=iBQ-BC=V3.

VPA=PD,Q為AD的中點,...PQ，AD.

?.?平面PAD,平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD,，PQ_L平面ABCD.

在RbPDQ中,PQ=JP）2-DQ2=2b,

?，.Vp-BQM=|Vp-BCQ=1x^xV3x2V3=l.

6.答案2警

解析如圖，過點P作PO_L底面ABC,交平面ABC于點0,連接B0并延長交AC

于點D,連接PD.

取AB的中點E,連接PE、CE,則點。在CE上.

由題意可知,PE_LAB,CE_LAB,，NPE。是二面角P-AB-C的平面角.

?.?正三棱錐P-ABC的高為2,側(cè)棱與底面所成的角為45°,

，PO=2,zPBO=45°,.*.B0=C0=P0=2,

.*.EO=1,

二面角P-AB-C的正切值tar)NPE0=^=2.

EO

在正三角形ABC中，由CE=C0+0E=3,CE_LAB,可得AABC的邊長為2百,

*'.SAABC=1X2V3X3=3V3.

易知PD=V1+4=V5,

SAPBC=SAPAC=|X2V3xV5=Vi5.

設(shè)點A到平面PBC的距離為h,

*.,VP-ABC=VA-PBC,

/.|x3V3x2=1xV15xhJ?Wh=等，

.?.點A到平面PBC的距離為

7.解析(1)設(shè)圓柱的高為h,則，所以圓柱的高h=6-3x,

Lo

所以圓柱的體積V=TVX2(6-3X)(0<X<2).

(2)圓柱的側(cè)面積S=2nx(6-3x)=6TT-(2X-X2)(0<X<2),

當x=l時,S有最大值，為61T.

8.解析(1)證明:由AC=AB=SA=2,AC±AB,E是BC