第12講 傾斜角與斜率5種常見考法歸類原卷版-新高二數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義

第12講傾斜角與斜率5種常見考法歸類1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素．2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.知識(shí)點(diǎn)1直線的傾斜角1．傾斜角的定義當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．如圖所示，直線l的傾斜角是∠APx，直線l′的傾斜角是∠BPx.2．傾斜角的范圍直線的傾斜角α的取值范圍是0°≤α＜180°，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°.注：①每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角②已知直線上一點(diǎn)和該直線的傾斜角，可以唯一確定該直線知識(shí)點(diǎn)2直線的斜率1．斜率的定義一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．常用小寫字母k表示，即k＝tanα.2．斜率公式經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線P1P2沒有斜率．注：①若直線l經(jīng)過點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，則直線P1P2的方向向量eq\o(P1P2,\s\up7(→))的坐標(biāo)為(x2－x1，y2－y1)，也可表示為(1，k)，其中k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).②傾斜角不是的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同；當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；當(dāng)時(shí)，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行③斜率公式與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無關(guān)，橫縱坐標(biāo)的次序可以同時(shí)調(diào)換知識(shí)點(diǎn)3斜率與傾斜角的聯(lián)系傾斜角（范圍）斜率（范圍）不存在1、求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意(1)方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)兩點(diǎn)注意：①當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為0°，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，傾斜角為90°.②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°.2、利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意的事項(xiàng)(1)運(yùn)用公式的前提條件是“x1≠x2”，即直線不與x軸垂直，因?yàn)楫?dāng)直線與x軸垂直時(shí)，斜率是不存在的；(2)斜率公式與兩點(diǎn)P1，P2的先后順序無關(guān)，也就是說公式中的x1與x2，y1與y2可以同時(shí)交換位置．3、在0°≤α<180°范圍內(nèi)的一些特殊角的正切值要熟記.傾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k0eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)－eq\r(3)－1－eq\f(\r(3),3)4、斜率與傾斜角的關(guān)系（1）由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式k＝tanα(α≠90°)解決．（2）由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．考點(diǎn)一：求直線的傾斜角例1．（2023秋·江西九江·高二?？茧A段練習(xí)）直線的傾斜角α的取值范圍是（）A． B． C． D．變式1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)于下列命題：①若是直線l的傾斜角，則；②若直線傾斜角為，則它斜率；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式2．（2023春·上海黃浦·高二格致中學(xué)?？计谥校┤糁本€的一個(gè)方向向量為，則它的傾斜角為（

）A． B． C． D．變式3．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線的傾斜角，直線與的交點(diǎn)為，直線和向上的方向所成的角為，如圖，則直線的傾斜角為________．

變式4．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）如圖，直線l的傾斜角為（）

A．60° B．120°C．30° D．150°變式5．【多選】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與軸交于點(diǎn)，其傾斜角為，直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得直線，則直線的傾斜角可能為（

）A． B． C． D．變式6．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線與直線的夾角為______．考點(diǎn)二：求直線的斜率例2．（2023秋·湖南婁底·高二統(tǒng)考期末）已知直線的傾斜角是，則此直線的斜率是（）A． B． C． D．變式1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)；(2)；(3)．變式2．（2023秋·天津南開·高二崇化中學(xué)校考期末）已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．變式3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，已知直線的斜率分別為，則（

）A． B．C． D．變式4．（2023秋·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的斜率為，則該等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別為________，________.變式5．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形ABCD四邊所在直線與x軸的交點(diǎn)分別為，則正方形ABCD四邊所在直線中過點(diǎn)的直線的斜率可以是（

）A．2 B． C． D．考點(diǎn)三：斜率與傾斜角的關(guān)系（一）由傾斜角求斜率值（范圍）例3．【多選】（2023春·湖南衡陽·高二衡陽市一中?？茧A段練習(xí)）已知經(jīng)過點(diǎn)和的直線的傾斜角，則實(shí)數(shù)的可能取值有（

）A．11 B．12 C．13 D．14變式1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過不重合的兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則的取值為________．變式2．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過兩點(diǎn)A(5,y)，B(3,－1)的直線的傾斜角是135°，則y等于________．變式3．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若經(jīng)過點(diǎn)和的直線的傾斜角是鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．變式4．（2023秋·安徽六安·高二校考階段練習(xí)）若過點(diǎn)，的直線的傾斜角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．由斜率求傾斜角的值（范圍）例4．（2023春·上海普陀·高二上海市宜川中學(xué)?？计谀┮阎本€l經(jīng)過點(diǎn)．直線l的傾斜角是___________．變式1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若直線的斜率的取值范圍是，則該直線的傾斜角的取值范圍是________.變式2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線的傾斜角滿足，則的取值范圍是__________變式3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線l的斜率為k，且，則直線l的傾斜角的取值范圍是__________．變式5．（2023秋·安徽六安·高二?？茧A段練習(xí)）將直線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到直線，若直線的斜率為，則直線的傾斜角是（

）A． B． C．或 D．或考點(diǎn)四：斜率公式的應(yīng)用（一）利用直線斜率處理共線問題例5．（2023秋·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）判斷下列三點(diǎn)是否在同一條直線上：(1)；(2).變式1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)共線，則的值為________.變式2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l經(jīng)過三點(diǎn)，則直線l的斜率k＝__________，y＝__________．變式3．（2023春·上海松江·高二上海市松江二中?？计谥校┮阎c(diǎn)，，，若線段，，不能構(gòu)成三角形，則的值是________.（二）斜率公式的幾何意義的應(yīng)用例6．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線過點(diǎn)，且不過第四象限，則直線的斜率的最大值是________.變式1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)、滿足，，則代數(shù)式的取值范圍為______變式2．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)，則可能等于（

）A．-1 B． C． D．0變式3．（2023秋·廣東深圳·高二深圳中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)，，若點(diǎn)在線段AB上，則的取值范圍（

）A． B．C． D．考點(diǎn)五：直線與線段的相交關(guān)系求斜率的范圍例7．（2023秋·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A(-1，1)，B(1，1)，．(1)求直線BC，AC的斜率和傾斜角；(2)若D為的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CD的斜率和傾斜角α的取值范圍．變式1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)．(1)求直線的斜率的取值范圍；(2)求直線的傾斜角的取值范圍．變式2．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知．(1)求直線AB和AC的斜率；(2)若點(diǎn)D在線段BC（包括端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，求直線AD的斜率的變化范圍．變式3．（2023秋·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)，為的邊上一動(dòng)點(diǎn)，則直線斜率的變化范圍是（

）A． B．C． D．變式4．（2023秋·安徽滁州·高二?？计谥校┮阎c(diǎn)，，，若點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式5．（2023秋·安徽蕪湖·高二安徽省無為襄安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)作直線，若直線與連接，的線段總有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是______．變式6．（2023秋·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，若直線與線段沒有交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．1．直線與直線的夾角是（

）A． B． C． D．2．圖中的直線的斜率分別為，則有（

）A． B．C． D．3．若三點(diǎn)，，，（）共線，則的值等于___________.一、單選題1．（2023秋·貴州貴陽·高二統(tǒng)考期末）以下四個(gè)命題，正確的是（

）A．若直線l的斜率為1，則其傾斜角為45°或135°B．經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為銳角C．若直線的傾斜角存在，則必有斜率與之對(duì)應(yīng)D．若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對(duì)應(yīng)2．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知一直線經(jīng)過兩，，且傾斜角為，則的值為（）A．－6 B．－4C．0 D．63．（2023秋·北京密云·高二統(tǒng)考期末）已知直線.則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)在直線上 B．直線的傾斜角為C．直線在軸上的截距為8 D．直線的一個(gè)方向向量為4．（2023秋·山西臨汾·高二統(tǒng)考期末）若三點(diǎn)在同一直線上，則實(shí)數(shù)等于（

）A． B． C．6 D．125．（2023春·山東濱州·高一?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)P(2，m)，Q(m，4)的直線的斜率為1，那么m的值為（

）A．1或4 B．4 C．1或3 D．16．（2023春·河南安陽·高二安陽一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)，直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．7．（2023秋·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）若直線的斜率為，且，則直線的傾斜角為（

）A．或 B．或 C．或 D．或8．（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過點(diǎn)的直線的斜率為（

）A． B． C． D．29．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若直線經(jīng)過點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A．0° B．30°C．60° D．90°10．（2023秋·四川宜賓·高二四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校?？计谀┰O(shè)直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．11．（2023秋·江蘇連云港·高二校考期末）經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是銳角，則實(shí)數(shù)m的范圍是（

）A． B．C． D．12．（2023春·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┮阎獌牲c(diǎn)，，直線過點(diǎn)，若直線與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（

）A． B．C． D．13．（2023秋·江蘇連云港·高二?？计谀┙?jīng)過點(diǎn)作直線，且直線與連接點(diǎn)，的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的有（）A．若直線的傾斜角為，則B．直線的傾斜角的取值范圍為C．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為D．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為15．（2023秋·廣西柳州·高二?？计谀┫铝姓f法正確的是（

）A．直線的傾斜角取值范圍是B．若直線的斜率為，則該直線的傾斜角為C．平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率D．直線的傾斜角越大，其斜率就越大16．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）下列各組點(diǎn)中，共線的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，17．（2023秋·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，，斜率為的直線過點(diǎn)，則下列滿足直線與線段相交的斜率取值范圍是（

）A． B． C． D．三、填空題18．（2023春·上海靜安·高二上海市新中高級(jí)中學(xué)校考期中）將直線MN繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°得到直線，若直線的斜率1，則直線MN的傾斜角是______（結(jié)果用角度制表示）．19．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知過點(diǎn)和的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.20．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線的斜率為，則直線的傾斜角的取值范圍是______.21．（2023春·上海寶山·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的大小如圖所示，則______.四、解答題22．（2023春·高二單元測(cè)試）過點(diǎn)的直線與以、為端點(diǎn)